Đề tài Phương trình vô tỉ - Cách giải phương trình vô tỉ trong trường thcs

ĐỀ TÀI:
Phương trình vô tỉ - cách giải phương trình
 vô tỉ trong trường thcs
Phần thứ nhất
Phững vấn đề chung
I - ĐẶT VẤN ĐỀ:
- Như các bạn đã biết toán học là một môn khoa học nói chung, nhưng lại giữ một vai trò rất chủ đạo trong các nhà trường cũng như đối với các ngành khoa học khác.
- Hiện nay đầu tư sâu cho bộ môn toán là mục tiêu của nhiều ngành giáo dục của các nước trên thế giới cũng như ngành giáo dục của Việt Nam ta.
- Toán học như một kho tàng tài nguyên vô cùng phong phú và quí giá mà nếu ai đã đi sâu tìm hiểu, khai thác thì sẽ thấy rất mê say và ham muốn khám phá và hiểu biết ngày càng nhiều hơn ở bộ môn này.
- Các bậc phụ huynh cũng như các thầy cô giáo, các thế hệ học sinh luôn mơ ước học giỏi bộ môn này, tuy nhiên điều đó thật chẳng dễ dàng gì.
- Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài cơ bản và ngày một say mê bộ môn toán, bản thân mỗi người giáo viên phải tự mình tìm ra những phương pháp giải sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh và kích thích lòng ham muốn học toán của các em, từ đó tìm ra được những học sinh có năng khiếu về bộ môn này, để bồi dưỡng các em trở thành những học sinh giỏi có ích cho xã hội.
- Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối cấp hai là việc nắm được các phương trình sơ cấp đơn giản và cách giả những phương trình đó đối với những đối tượng là học sinh đại trà. Ngoài ra mở rộng các phương trình đó khó hơn, phức tạp hơn đối với đối tượng học sinh khá giỏi.
- Với rất nhiều những chuyên đề được đề cập đến khi dạy đại số cấp hai và phương trình đại số, tôi mạnh dạn tập trung suy nghĩ sâu về phương trình vô tỉ các dạng của nó và các phương pháp giải nó cho đối tượng là những học sinh có nhu cầu ham muốn được khám phá loại phương trình này một cách sâu hơn đối với đại trà các em học sinh chỉ giải các phương trình vô tỉ đơn giản trong sách giáo khoa toán 9.
- Sau đây tôi xin trình bày những suy nghĩ cũng như những gì mà tôi tìm hiểu, tham khảo được về phương trình vô tỉ mong các bạn cùng thầy cô đóng góp ý kiến cho tôi.
II - NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
 - Nghiên cứu về khái niệm của phương trình một ẩn, khái quát và giải phương trình đó.
 - Kỹ năng giải các phương trình: Phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình chứa hệ số ba chữ, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình tích, thương, phương trình bậc cao...
- Kỹ năng giải các phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc 1, bậc 2, phương trình vô tỉ...
- Làm các bài tập minh hoạ.
- Một số phương pháp và dạng bài tập thường gặp.
III - ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH NGHIÊN CỨU:
- Học sinh lớp 9 .
- Học sinh thi học sinh giỏi của trường và của huyện.
IV - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Tìm đọc các tài liệu tham khảo: Sách giáo dục đại số 8; Sách giáo khoa đại số 9; Sách bồi dưỡng học sinh lớp 8 + lớp 9; Toán phát triển đại số 9; Toán nâng cao; Toán chuyên đề đại số lớp 9; Các đề thi học sinh giỏi của các trường, các huyện,các thành phố...
- Dạy và trắc nghiệm trên ba đối tượng học sinh: Khá giỏi - trung bình - yếu kém.
- Đưa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện.
- Tham khảo các trường bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô ...
- Dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh.
V - PHẠM VI NGHIÊN CỨU VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU:
- Giới thiệu nghiên cứu phương trình vô tỉ trong chương trình đại số lớp 9 (Trường THCS).
- Làm trắc nghiệm trong 3 tháng học kỳ I.
- Kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học.
VI - ĐIỀU TRA CƠ BẢN:
* Tổng số học sinh khối 9: - 53 học sinh/2 lớp 9 - Đại trà.
	- 2 học sinh đội tuyển toán giỏi trường.
* Phân loại:	- Khá giỏi:	15 học sinh.
	- Trung bình:	21 học sinh.
	- Yếu - Kém:	17 học sinh.
* Chuẩn bị sách giáo khoa và các bài tập 53/53 học sinh có đủ.
Phần thứ hai
Nội dung đề tài nghiên cứu
a - Lý do chọn đề tài
I - CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Khi giảng dạy bộ môn đại số lớp 9, chúng ta đã bắt gặp những bài tập giải phương trình vô tỉ, mặc dù sách giáo khoa đại số 9 chỉ đề cập đến những bài tập tương đối đơn giản song không phải mọi học sinh đều dễ giàng giải quyết được hết các bài tập này một cách nhuần nhuyễn và thành thạo. Thực tế cho thấy khi bắt gặp loại phương trình vô tỉ ta thấy chúng rất phong phú, đa dạng và thực là một thể loại bài khó đối với đại đa số học sinh cấp 2.
Điều mong muốn của mọi giáo viên dạy toán là làm thế nào đó theo từng dạng của phương trình để các em phần nào bớt đi sự bế tắc khi giải toán phương trình vô tỉ. Nếu như người giáo viên có sự dẫn dắt học sinh cẩn thận, tỉ mỉ từ việc nắm được các dạng của loại phương trình này đến cách thức giải từng loại thì chắc rằng các em sẽ dễ dàng hơn khi gặp toán phương trình và cũng bồi đắp thêm cho các em niềm say mê, hứng thú trong học môn toán.
Tuy nhiên, không phải bất cứ dạng phương tình nào cũng có một nguyên tắc giải cụ thể được. Đối với loại phương trình đó ít nhất người giáo viên cũng cần mở ra cho học sinh kỹ năng nhận biết và phán đoán, khả năng áp dụng đối với những bài toán tương tự mà học sinh đã được làm. Nếu như chúng ta - giáo viên dạy toán THCS đều làm được như vậy thì chắc rằng giải phương trình vô tỉ không còn là một nỗi lo của các em học sinh lớp 9.
Với suy nghĩ đó tôi đã mạnh dạn đưa ra các phương pháp giải phương trình vô tỉ nhằm giúp các em nâng cao kỹ năng và kiến thức giải phương trình. Từ đó học sinh chỉ cần xem phương trình mình đã làm ở dạng phương trình nào, xem phương pháp giải từng loại là có thể giải được phương trình đó một cách dễ dàng hơn.
II - CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9 cụ thể là môn đại số khi dạy toán giải phương trình vô tỉ tôi thấy rằng đại đa số học sinh đều thấy khó, không hiểu được phương hướng giải quyết của từng bài. Chính vì vậy mà chúng tôi đã mạnh dạn phân dạng phương trình vô tỉ và cũng hướng cho các em phương pháp tổng quát để giải phương trình từng dạng phương trình mà tôi đã phân chia, với mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc hơn, dưới nhiều góc độ hơn về phương trình vô tỉ, hơn nữa còn làm nhẹ nhàng quá trình giải phương trình vô tỉ cho học sinh. Theo chúng tôi, khi giảng dạy người giáo viên phải cung cấp ngay từ đầu cho học sinh, giúp các em nắm được những vấn đề sau đây:
1 - Khái niệm về phương trình, nghiệm của phương trình, tập xác định của phương trình:
+ Các định nghĩa, định lý về biến đổi hai phương trình tương đương.
+ Cách giải các loại phương trình cơ bản như: Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn ở mẫu; phương trình bậc hai một ẩn số...
+ Tính chất của bất đẳng thức số.
2 - Học sinh nắm chắc:
+ Định nghĩa phương trình vô tỉ.
+ Các bài giải phương trình vô tỉ nói chung.
+ Các kiến thức cơ bản về căn thức.
+ Các phương pháp giải phương trình vô tỉ.
+ Các dạng phương trình vô tỉ, cách giải từng dạng.
+ Những sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ.
b - Biện pháp thực tiễn
I - KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN:
a - Khái niệm:
Cho A(x), B(x) là hai biểu thức chứa biến x, khi đó A(x) = B(x) gọi là phương trình một ẩn. Trong đó:
+ x được gọi là ẩn.
+ A(x), B(x) gọi là hai vế của phương trình.
+ Quá trình tìm x gọi là giải phương trình.
+ Giá trị tìm được của x gọi là nghiệm của phương trình.
+ S: Tập hợp nghiệm của phương trình.
+ Tập xác định: Tập xác định của phương trình.
b - Tập xác định của phương trình: 
Là tập những giáo trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa.
c - Các khái niệm về hai phương trình tương đương:
+ Là hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm.
Hoặc tập nghiệm của phương trình này đều là nghiệm của phương trình kia và ngược lại.
II - PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ:
1 - Định nghĩa: 
Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn ở dưới dấu căn.
Ví dụ: - 3.
2 - Các bước giải phương trình vô tỉ (dạng chung):
+ Tìm tập xác định của phương trình.
+ Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đã học.
+ Giải phương trình vừa tìm được.
+ So sánh kết quả với tập xác định và kết luận.
Các kiến thức cơ bản về căn thức:
+ Một số âm không có căn thức bậc chẵn vì điều kiện của ẩn là biểu thức chứa trong dấu căn bậc chẵn là một số không âm.
+ Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế phương trình đảm bảo nhận được phương trình tương đương.
 + Các phép biến đổi về căn thức
III - CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CƠ BẢN VÀ CÁCH GIẢI:
1 - Dạng 1
 = g (x)	(1).
Đây là dạng đơn giải nhất của phương trình vô tỉ.
Sơ đồ cách giải:
 = g (x) Û 	g(x) ³ 0	 	 (2).
	f(x) = [g(x)]2	 	 (3).
Giải phương trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra nghiệm của phương trình (1).
Ví dụ 1: Giải phương trình.
	 = x + 1	(1)
Giải (1) 	x - 1 ³ 0
	x + 1 = (x - 1)2.
 	x ³ 1
Û
Û
	x2 - 3x = 0.
Û
Û x = 3
 	x ³ 1
	x = 0 hoặc x = 3
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình (1).
+ = g(x)	(1).
Sơ đồ cách giải.
Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình:
	f(x) ³ 0	 	 
	g(x) ³ 0	 (2).
h(x) ³ 0	 	 
Với điều kiện (2) hai vế của phương trình không âm nên ta bình phương hai vế, ta có:
	 = [g(x)]2 - ¦(x) - h(x) (3)
Phương trình (3) có dạng (1) nên có điều kiện mới:
	[g(x)]2 - f(x) - h(x) ³ 0	(4)
Bình phương hai vế của phương trình (3) được phương trình mới đã biết cách giải.
So sánh nghiệm với điều kiện (2) và điều kiện (4) rồi kết luận.
2 - Dạng 2:
Ví dụ 2: Giải phương trình.
	= 5 - 	(1)
	Û 	 + = 5
 	Giải:
Điều kiện	x + 3 ³ 0
 x ³ 2 (*)
	x - 2 ³ 0
Với điều kiện (*) phương trình có hai vế không âm nên bình phương hai vế ta có:
	2x + 1 + 2 = 25
	Û	2 = 24 - 2x	(2)
Điều kiện để (2) có nghĩa: 12 - x ³ 0 Û x £ 12	(**)
Bình phương hai vế của (2) ta có:
	x2 + x - 6 = 144 - 24x + x2
	Û	25 x = 150
	Û	 x = 6
x = 6 thoả mãn điều kiện (*) và (**) vậy nghiệm của phương trình là x = 6.
3 - Dạng 3:
	 + = 	(1)
Dạng 3 chỉ khác dạng 2 ở vế phải là nên cách giải tương tự như dạng 2.
Ví dụ 3: Giải phương trình.
	 = + 	(1)
Giải:
7 £ x £ 12	(*)
Điều kiện	x + 1 ³ 0
	12 - x ³ 0 
	x - 7 ³ 0
Với điều kiện (*) phương trình (1) có hai vế không âm nên ta bình phương hai vế.
(1) Þ x + 1 = 12 – x + x - 7 + 2. 
Û 2 = x - 4	(2)
Với (*) thì hai vế của phương trình (2) không âm ta bình phương hai vế của (2) ta được:
(2) Þ 4 (- x2 + 19x - 84) = x2 - 8x + 16
Û 5x2 - 84x + 352 = 0
D' = 1764 - 1760 = 4 > 0 Þ = 2	(2)
 Phương trình (3) có hai nghiệm: x1 = , x2 = 8
4 - Dạng 4:
	+ = + 	(1)
Sơ đồ lời giải:
Điều kiện: f(x) ³ 0; h(x) ³ 0, g(x) ³ 0; k(x) ³ 0
Bình phương hai vế ta có:
f(x) + h(x) + 2 = g(x) + k(x) + 2
Û - = 
Tuỳ theo từng trường hợp để giải tiếp
Ví dụ 4: Giải phương trình.
	 - - + = 0	(1)
 Û ... có n dấu căn.
Bài 18:Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
(Vế trái có 100 dấu căn).
Bài 19:Tìm các số hữu tỉ a và b thoả mãn:
Bài 20:Cho hai số x , y thoả mãn: . Tính x + y
Bài 21:Giải phương trình:
Bài 22:Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện:
 Chứng minh rằng:
Bài 23:Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện:
Chứng minh rằng:
Bài 24:Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Bài 25:Tìm các số hữu tỉ a và b biết:
Bài 26:Giải phương trình:
Bài 27:Tìm các số nguyên k thoả mãn:
Bài 28:Giải phương trình:
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
5/
6/ 
7/ 
8/ 
9/ 
10/ 
Bài 29:Giải các phương trình sau:
Bài 30:Giải phương trình: 
a) 
c) 
e) 
b) 
d) 
f) 
IV - MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ:
Thường học sinh hay mắc phải sai lầm khi giải phương trình vô tỉ mà căn là bậc chẵn là:
1 - Quên không tìm tập xác định khi giải:
2 - Không đặt điều kiện khi ta biến đổi tương đương:
Ví dụ 1: Giải phương trình.
	 - = 2	(1)
Học sinh giải:
(1) Þ x + 2 = 4 + 4 
Û 4 = 4 - x	(3)
Ta lại bình phương hai vế ta được:
(3) Þ 16 (2x - 6) = 16 - 8x + x2
Þ 32x - 96 = 16 - 8x + x2.
Þ x2 - 40 + 112 = 0.
D' = 400 - 112 = 288 > 0 Þ = 12 .
Þ x1 = 20 + 12 .
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 20 ± 12 .
* Sai lầm trong cách giải là:
+ Không tìm điều kiện của (1) là x ³ 3.
+ Khi biến đổi tương đương đến phương trình (3) học sinh chưa đặt điều kiện cho 4 - x ³ 0 Û x £ 4.
+ Khi kết luận nghiệm là chưa thoả mãn các điều kiện nêu nghiệm chưa chính xác.
Ví dụ 2: Giải phương trình.
	- = x + 1
Học sinh giải:
Û 
Û 
Û x ³ 1
Điều kiện: x2 - 1 ³ 0	(x - 1) (x + 1) ³ 0	 x - 1 ³ 0
	 x + 1 ³ 0	x + 1 ³ 0	 x + 1 ³ 0
Khi đó phương trình có dạng:- = x + 1
Vì x ³ 1 nên > 0 chia hai vế cho ta có: - 1 = 
Vì với x ³ 1 thì < nên - 1 < Þ phương trình vô nghiệm.
Û
Học sinh tưởng rằng:
Sai lầm khi giải hệ:	x2 - 1 ³ 0	AB ³ 0	A ³ 0
	x + 1 ³ 0	A ³ 0	B ³ 0
A = 0
B có nghĩa
A > 0
B ³ 0
Û
Ở lời giải trên thiếu x = - 1 và đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình: 
Nhớ rằng:	A ³ 0	
	B ³ 0	
Ví dụ 1 : 
Giải phương trình : 
Lời giải sai : Ta có 
Nhận xét : Rõ ràng x = -3 không phải là nghiệm của phương trình trên. 
Ghi nhớ rằng : 
Ví dụ 2 : Giải phương trình : 
Lời giải sai : 
Nhận xét : Rõ ràng x = -3 không phải là nghiệm của phương trình trên. 
Ghi nhớ rằng : 
Ví dụ 3 : Giải phương trình 
Lời giải sai : 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
Nhận xét : Các bạn nghĩ sao khi phương trình đã cho thực sự có nghiệm là x = -7 ? 
Ghi nhớ rằng : 
Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi A ≤ 0 ; B < 0 nên mất nghiệm x = -7. 
Ví dụ 4 : Giải phương trình 
Lời giải sai : Ta có 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2. 
Nhận xét : Ta thấy ngay x = 2 không nghiệm đúng phương trình đã cho. 
Ghi nhớ rằng : 
Ví dụ 5 : Giải phương trình 
Lời giải sai : 
Phương trình tương đương với : 
Căn thức có nghĩa x ≥ 3. Khi đó ta có : 
Do đó phương trình vô nghiệm. 
Nhận xét : Có thể thấy ngay x = 0 là nghiệm. Việc chia hai vế cho đã làm mất nghiệm này. Mặt khác cần ghi nhớ : 
Do đó lời giải phải bổ sung trường hợp = 0 và trường hợp x < 0. Khi x < 0 thì phương trình viết về dạng : 
Do đó x < 0 không thỏa mãn phương trình. Cuối cùng phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. 
Mong các bạn trao đổi thêm về vấn đề này.
C – KẾT QUẢ
I - KẾT QUẢ ĐỐI VỚI HỌC SINH:
 Qua việc dạy chuyên đề về phương trình vô tỉ đối với học sinh nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau khi trắc nghiệm ở một số học sinh tôi đã thu được một số kết quả dưới đây. 
- Học sinh không ngại khi gặp dạng toán giải phương trình vô tỉ.
- Một số học sinh khi giải đã trả lời thấy hứng thú hơn khi giải phương trình đặc biệt là phương trình vô tỉ.
Qua việc kiểm tra đánh giá chất lượng sau 3 lần kiểm tra tôi đã có kết quả cụ thể như sau:
Điểm
Dưới 5 điểm
5 - 6 điểm
7 điểm
8 - 10 điểm
5 - 10 điểm
Đề
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
1
25
47,2
19
35,8
8
15,1
1
1,9
28
52,8
2
19
35,8
22
41,5
9
17
3
5,7
34
64,2
3
12
22,6
22
41,5
11
20,8
8
15,1
41
77,4
II - BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Từ kết quả cụ thể trên tôi đã rút ra một số kinh nghiệm khi giải toán phương trình vô tỉ là: Phương pháp giải toán phương trình vô tỉ ở trên không khó đối với học sinh khá, giỏi mà điều cần lưu ý đối với người giáo viên dạy toán là:
- Cần phân dạng phương trình vô tỉ thành những dạng quen thuộc mà các em đã được gặp trên cơ sở phương pháp giải và giáo viên đưa ra.
Những loại bài tập giao cho học sinh phải thực tế, dễ hiểu, gợi mở giúp kích thích óc sáng tạo của học sinh không quá cao siêu, trừu tượng...
- Hướng dẫn các em trước khi giải toán phương trình cần xác định rõ dạng của phương trình này và phương pháp giải hướng dẫn học sinh phân tích bài toán, phán đoán cách giải, các bước giải để các em đi đến lời giải thông minh và ngăn gọn nhất, đạt hiệu quả cao.
- Rèn kỹ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh thông qua nhiều dạng phương trình và thường xuyên chú ý đến những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải phương trình vô tỉ, nhất là tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Trên cơ sở làm một số bài tập mẫu thật cẩn thận giáo viên cần giao thêm lượng bài tập về nhà có nội dung tương tự hoặc mở rộng hơn để các em được tự mình giải các loại phương trình vô tỉ.
Nếu có được những việc làm trên tôi tin chắc rằng tất cả các em học sinh sẽ không còn lúng túng, ngại ngùng khi giải toán phương trình đặc biệt là phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn.
d - điều kiện áp dụng
- Như tôi đã trình bày ở trên bản kinh nghiệm này được áp dụng trong việc giảng dạy các chuyên đề trong các trường học THCS hoặc sử dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao vốn kiến thức cho đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, là cơ sở vững chắc cho các em học tốt hơn khi học cấp III trong bộ môn toán, đặc biệt là toán giải phương trình vô tỉ.
Dạng toán giải phương trình vô tỉ mà tôi đề cập ở trên cũng có những dạng đã được sử dụng rộng rãi song phần nào giúp học sinh lớp 9 và giáo viên dạy toán 9 nâng cao chất lượng dạy và học của mình.
Chuyên đề này còn để ngỏ và còn tiếp tục khai thác nên nội dung còn sơ sài còn nhiều vấn đề chưa mở rộng, đi sâu.
e - hướng đề xuất
Như tôi đã viết ở trên trong đề tài này chỉ nhằm một mục tiêu đơn giải là giúp cho học sinh trong việc giải toán "Phương trình vô tỉ", để học sinh có thêm những phương pháp giải cụ thể, dễ nhớ, có hiệu quả.
Qua đề tài cho thấy các Thầy cô giáo giảng dạy bộ môn Toán và các bạn đồng nghiệp đều thấy được mọi vấn đề dễ khó đều có hướng giải quyết tốt nếu như người giáo viên giúp học sinh biết đơn giản hoá các vấn đề phức tạp ® thành đơn giản hơn và quen thuộc hơn.
Sau thực tế giảng dạy tôi xin lưu ý với các đồng nghiệp khi vận dụng đề tài trên cần.
- Dạy cho học sinh hiểu chắc chắn các khái niệm về phương trình, đặc biệt là những khái niệm đơn giản và rất quan trọng như các phép biến đổi tương đương phương trình, các hằng đẳng thức quan trọng đặc biệt là các công thức có chứa dấu căn.
- Lựa chọn phương pháp giải phù hợp đối với từng dạng phương trình để có lời giải ngắn gọn và hiệu quả.
- Cần tạo ra những bài toán mở rộng khác , liên quan đến bài tập cơ bản như dạng toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất, vô nghiệm..., tính giá trị của biểu thức...
Từ những vấn đề trên tôi có kiến nghị sau:
Đối với hội đồng khoa học cấp trường, cấp huyện cần xem xét phương pháp mà chúng tôi trình bày trong đề tài này để có những nhận xét, đánh giá những ưu điểm, nhược điểm của đề tài và có hướng chỉ đạo trong thời gian tới. Tôi rất hi vọng đề tài giúp học sinh giải phương trình vô tỉ sẽ đóng góp một phần nào đó trong quá trình giảng dạy môn toán 9 ở THCS.
f - kết luận
Sau một thời gian nghiên cứu cùng với các phương pháp tìm đọc tài liệu tham khảo, sưu tầm các bài tập và kết hợp với thực tế giảng dạy tôi thấy rằng chuyên đề "Giúp học sinh giải phương trình vô tỉ" ở THCS đã một phần nào có tác dụng đối với học sinh và giáo viên lớp 9. Sau khi học chuyên đề song các em rất hứng thú học toán đặc biệt là toán giải phương trình vô tỉ... Đề tài này đã cố giắng dựng một hệ thống kiến thức từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh có thể vận dụng một cách linh hoạt từng phương pháp cụ thể trong từng trường hợp nhất định. Qua đó học sinh có thể đào sâu kiến thức, tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán. Bên cạnh đó các ví dụ có thể giúp học sinh có thể rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo làm quen với các dạng bài tập khác nhau, các loại phương trình vô tỉ khác nhau, góp phần nhỏ bé trong sự phát triển trí tuệ, tính cẩn thận, khoa học, năng lực nhận xét, phân tích, phán đoán tổng hợp kiến thức...Tuy nhiên không phải đối với tất cả các đối tượng học sinh chúng ta đều truyền tải các nội dung trên mà cần xác định đúng đối tượng để cung cấp kiến thức cơ bản phù hợp với trình độ và quỹ thời gian của học sinh.
Toán giải phương trình được nhắc đến nhiều trong các loại sách đọc thêm hoặc trong các tài liệu tham khảo do đó giáo viên toán thường vất vả trong việc sưu tầm, tuyển chọn mới gây được sự hứng thú học tập, lòng say mê học toán của học sinh.
Với mong muốn có đựơc một tài liệu giúp học sinh dễ dàng hơn trong học toán giải phương trình vô tỉ tôi đã viết đề tài đó.
Do thời gian có hạn và kinh nghiệm còn hạn chế nên trong quá trình viết khó tránh khỏi sai sót trong cách trình bày, cũng như hệ thống các dạng bài tập đưa ra còn hạn chế, chưa đầy đủ, chưa khoa học. Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn; góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh.
Cuối cùng chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
 Mục lục
 Phần thứ nhất: Những vấn đề chung
Phần thứ hai: Nội dung nghiên cứu
Phần thứ ba: Kết luận chung
Các tài liệu tham khảo
 1 - Sách giáo khoa Đại số lớp 9 - NXB Giáo dục.
2 - Một số vấn đề phát triển Đại số lớp 8 - NXB Giáo dục 1995.
3 - Một số vấn đề phát triển Đại số lớp 9 - NXB Giáo dục 1998.
4 - Toán bồi dưỡng Đại số lớp 8 - NXB giáo dục 1998.
5 - Toán bổi dưỡng Đại số lớp 9 - NXB Giáo dục 1997.
6 - Để học tốt Đại số lớp 9 - NXB Giáo dục 1996.
7 - Tuyển chọn những bài toán Đại số lớp 9 - NXB Giáo dục 1996.
8 - Toán nâng cao và chuyên đề Đại số lớp 9 - NXB Giáo dục 1995.
9 - Những bài toán hay Đại số lớp 9 - NXB Đại học Quốc gia 1999.
10 - 36 phương pháp giải bộ đề toán lớp 9 - NXB trẻ 1997.
11 - Chuyên đề bồi dưỡng về bất đẳng thức - NXB Đồng Tháp 1993.
12 - Toán luyện thi lớp 9 - NXB trẻ 1996