Đề tài Một số Chuyên đề về số học và ứng dụng của nó trong việc chứng minh và giải quyết các bài toán có liên quan

 Lời nói đầu
 Trong bộ môn Toán ở trường phổ thông thì phần số học được xem là một trong những phần khó, nhiều học sinh khá thậm chí giỏi còn lo ngại tránh né bởi vì học sinh chưa hình thành được những phương pháp giải để học sinh ứng dụng vào việc giải một bài toán số học.
 Qua nội dung về Bài tập lớn em xin trình bày, một số chuyên đề về số học và ứng dụng của nó trong việc chứng minh và giải quyết các bài toán có liên quan. Nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về số học, đặc biệt là giúp cho các em khá, giỏi nắm vững kiến thức và có phương pháp học tốt hơn để có thể tham gia tốt trong kì thi học sinh giỏi cấp THCS
	Đề tài gồm các chuyên đề sau:
 Chuyên đề 1: Tính chia hết
 Chuyên đề 2: Số nguyên tố 
 Chuyên đề 3: Số chính phương
 Chuyên đề 4: Bội và ước của các số
 Mỗi chuyên đề có trình bày lý thuyết, các phương pháp giải, Với mổi phương pháp có các phương pháp cụ thể sau đó là các ví dụ minh hoạ, bài tập tự giải có hướng dẫn nhằm gúp học sinh rèn luyện được kỷ năng và kiến thức về phần số học/. 
 Nội dung đề tài
 CHUYấN ĐỀ 1: TÍNH CHIA HẾT.
Lý thuyết
I. Phộp chia hết và phộp chia cú dư.
 Cho hai số tự nhiờn a, b, b 0. Nếu cú số tự nhiờn qsao cho a = bq thỡ ta núi a chia hết cho b, kớ hiệu a b, hoặc b chia hết cho a, kớ hiệu b | a. Số q (nếu cú) được xỏc định duy nhất và được gọi là thương của a và b, kớ hiệu q = a : b 
hoặc q = . Quy tắc tỡm thương của hai số gọi là phộp chia.
 Tuy nhiờn với hai số tự nhiờn bất kỡ a, b khụng phải luụn luụn cú a chia hết cho b hoặc b chia hết cho a, mà ta cú định lớ sau:
 Với mọi cặp số tự nhiờn a, b, b 0, bao giờ cũng tồn tại duy nhất một cặp số tự nhiờn q, r sao cho:
 A = bq + r, 0 r < b.
 Số q và r trong định lớ về phộp chia cú dư núi trờn lần lượt được gọi là thương và dư trong phộp chia số a cho số b.
II. Phộp đồng dư.
 Cho m là một số nguyờn dương. Nếu hai số nguyờn a và b cựng cho một số dư khi chia cho m thỡ ta núi rằng a, b đồng dư với nhau theo mođun m và kớ hiệu:
 a b (mod m)
 Giả sử số dư cựng là r thỡ ta cú:
 a = mq + r (1)
 b = mq’ + r (2)
lỳc đú a – b = m(q – q’) như vậy a – b chia hết cho m. vậy :
 a b(mod m) a – b m.
III. Dấu hiệu chia hết.
Một số tự nhiờn sẽ:
Chia hếtcho 2 nếu nú là số chẵn, tận cựng bằng 0, 2, 4, 6, 8
Chia hết cho 5 nếu tận cựng bằng 0 hoặc 5.
Chia hết cho 4 nếu số tạo bởi hai chử số cuối chia hết cho 4
Chia hết cho 8 nếu số tạo bởi 3 chử số tận cựng chia hết cho 8
Chia hết cho 25 nếu số tạo bởi hai chử số cuối cựng chia hết cho 25.
Chia hết cho125 nếu số tạo bởi 3 chử số cuối cựng chia hết cho 125.
Chia hết cho 3 nếu tổng của cỏc chử số của số đú chia hết cho 3.
Chia hết cho 9 nếu tổng của cỏc chử số đú chia hết cho 9
Chỳ ý: Số dư trong phộp chia một số N cho 3 hoặc 9 cũng chớnh là dư trong phộp chia tổng cỏc chử số của N cho 3 hoặc 9.
 B. Cỏc dạng toỏn.
Dạng 1. Xột mọi trường hợp cú thể xảy ra của số dư.
 Muốn chứng minh một biểu thức của n là A(n) chia hết cho q ta cú thể xột mọi trường hợp về số dư khi chia n cho q.
Bài 1.
 Chứng minh tớch của 2 số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 2.
Giải.
 Giả sử A = n(n + 1), cú 2 trường hợp
 -Nếu n chẵn, thỡ n 2 do đú A chia hết cho 2.
 - Nếu n lẻ thỡ n +1 chẵn do đú (n +1) chia hết cho 2 nờn A chia hết cho 2.
Bài 2. 
 Chứng minh rằng 
Giải.
 Xột cỏc trường hợp về số dư khi chia n cho 5, ta cú:
Nếu số dư là 0 thỡ n = 5k và A(n) 5
Nếu số dư là 1 thỡ ta cú n = 5k 1 
 và n2 + 4 = (5k 1)2 + 4= 25k2 10k + 5 5.
Nếu số dư là 2 thỡ ta cú n = 5k 2 
 và n2 + 1 = ( 5k 2)2 + 4 = 25k2 20k + 4 + 1 5.
 Vậy khi chia n cho 5 dự số dư là 0, 1, hay 2 biểu thức A(n) cũng đều chia hết cho 5.
Dạng 2: Tỏch thành tổng nhiều hạng tử.
 Đõy là một phương phỏp khỏ thụng dụng. Muốn chứng minh A(n) chia hết cho q , ta tỏch A(n) thành tổng của nhiều hạng tử sao cho mỗi hạng tử đều cú thể chia hết cho q.
Bài 1.
 Chứng minh rằng n5 + 10n4 – 5n3 – 10n2 + 4n chia hết cho 120.
Giải.
 Ta tỏch biểu thức đó cho như sau:
 A = n5 – 5n3 + 4n + 10n4 – 10n2
 = n(n4 – 5n2 + 4) + 10n2(n2 – 1)
Hạng tử thứ nhất là :
 n(n4 – 5n2 + 4) = n(n2 – 1)(n2 – 4)
 = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)
Đõy là tớch của 5 số nguyờn liờn tiếp nờn chia hết cho
 2.3.4.5 = 120
Hạng tử thứ hai là: 10n2(n + 1)(n – 1). Cú 3 số nguyờn liờn tiếp nờn chia hết cho 3. hạng tử này chia hết cho 4 nếu n chẳn. Cũn nếu n lẽ thỡ (n + 1) và n – 1 cũng chẳn nờn tớch (n + 1)(n – 1) cựng chia hết cho 4.
 Vậy hạng tử thứ hai cũng chia hết cho 3.5.10 = 120
 A là tổn của hai hạng tử chia hết cho 120 nờn A cũng chia hết cho 120.
Bài 2.
 Chứng minh rằng với mọi m thuộc Z ta cú m3 – 13m chia hết cho 6.
Giải.
 A = m3 – 13m
 = m3 – m – 12m
 = m(m2 – 1) – 12m
 = (m – 1)m(m + 1) – 12m
 Do m – 1, m, m + 1 là 3 số nguyờn liờn tiếp nờn tớch (m – 1)m(m + 1) vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3, tức là (m – 1)m(m + 1) chia hết cho 6.
 Từ đú suy ra A chia hết cho 6.
Bài 3.
 Chứng minh rằng với mọi m, n thuộc Z ta cú mn(m2 – n2) chia hết cho 3.
Giải.
Ta cú 
 mn(m2 – n2) = mn[(m2 – 1) – (n2 – 1)] 
 = mn(m2 – 1) – mn(n2 – 1)
Mà m(m2 – 1) = (m – 1)m(m + 1) chia hết cho 6
Và n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1) chia hết cho 6.
 Vậy mn(m2 – n2) chia hết cho 6.
Dạng 3. Phõn tớch thành nhõn tử.
 Ta cũng cú thể phõn tớch số bị chia thành nhõn tử sao cho một hạng tử cú chứa số chia. Muốn chứng minh A(n) chia hết cho q ta chứng minh rằng :
 A(n) = q.B(n)
 Thụng thường ta dựng cỏc hằng đẳng thức cú dạng an – bn hoặc an + bn
Bài 1.
 Chứng minh rằng biểu thức :
 Chia hết cho 41976
Giải.
Ta viết A dưới dạng
 Vậy A chia hết cho 41976
Bài 2.
 Chứng minh n5 – n chia hết cho 5 
Giải.
Ta cú A = n5 – n = n(n4 – 1)
 = n(n2 – 1)(n2 + 1)
 = (n – 1)n(n + 1)(n2 + 1).
Nếu n = 5k thỡ n chia hết cho 5 do đú A chia hết cho 5
Nếu n = 5k + 1 thỡ (n – 1) chia hết cho 5
Nếu n = 5k + 2 thỡ n2 + 1 chia hết cho 5
Nếu n = 5k + 3 thỡ n2 + 1 chia hết cho 5
Nếu n = 5k + 4 thỡ (n + 1) chia hết cho 5
Vậy n2 – n chia hết cho 5 ,
Dạng 4. Sử dụng định lớ Fermat và định lớ Euler .
 Fermat là một nhà toỏn học Phỏp (1601 – 1655) nổi tiếng với những định lớ về số nguyờn tố. Định lớ Fermat sau đõy rất hay được dựng để giải cỏc bài toỏnvề chia hết:
Nếu p là số nguyờn tố thỡ np – n chia hết cho p với mọi số nguyờn n
 (mod p), p là số nguyờn tố.
 Đặc biệt nếu n, p nguyờn tố cựng nhau thỡ (mod p)
Bài 1.
 Chứng minh rằng :
 chia hết cho 11
Giải.
 Theo định lớ Fermat thỡ (mod 11), do đú (mod 11)
 Vậy.
Tức là chia hết cho 11.
Bài 2.
 Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 30 thỡ a5 + b5 + c5 chia hết cho 30.
Giải.
Ta cú : 30 = 2.3.5
Theo tớnh chất của phộp đồng dư ta cú:
Tức là a + b+ c chia hết cho 30 thỡ a5 + b5 + c5 chia hết cho 30.
Bài 3.
 Chứng minh rằng với mọi số nguyờn tố p, q , ta cú 
 chia hết cho p.q
Giải.
Vỡ p, q là số nguyờn tố và nờn (p, q) = 1
Theo định lớ Fermat cú :
Vậy 
Do đú A chia hết cho p.
Bài 4.
 Cho p là số nguyờn tố lớn hơn 7. Chứng minh rằng 3p – 2p – 1 chia hết cho 42p.
Giải.
 Ta cú 42p = 6p.7 = 2.3.p.7
Cú :
Vỡ p la số lẻ nờn 
Áp dụng định lớ Fermat: 
Do đú 
Một số nguyờn tố p khi chia cho 6 chỉ cú thể dư là 1 hoặc 5
Nếu p = 6k + 1 thỡ
Nếu p = 6k + 5 thỡ 
Vậy 
Từ cỏc điều trờn (đpcm).
Dạng 5. Sử dụng nguyờn tắc Dirichlet .
 Nguyờn lớ Dirichlet là một định lớ cú chứng minh dể dàng bằng phản chứng và được sử dụng để chứng minh nhiều định lớ toỏn học. Nguyờn lớ này thường được phỏt biểu một cỏch hỡnh học và đơn giản như sau:
 Khụng thể nhốt 7 con thỏ vào 3 cỏi lồng mà mỗi lồn khụng quỏ hai con thỏ. Núi một cỏch khỏc: Nếu nhốt 7 con thỏ vào 3 cỏi lồng thỡ sẻ cú một lồng chứa từ 3 con thỏ trở lờn.
 Một cỏch tổng quỏt cú thể phỏt biểu:
 Nếu đem n + 1 vật xếp vào ngăn kộo thỡ cú ớt nhất một ngăn kộo chứa từ hai vật trở lờn.
 Nguyờn lớ này giỳp ta giải một bài khỏ dể dàng nhất là cỏc bài toỏn về chia hết.
Bài 1.
 Chứng minh rằng trong n + 1 số nguyờn bất kỡ cú hai số mà hiệu chia hết cho n.
Giải.
 Lấy n + 1 số nguyờn đó cho chia cho n thỡ được n + 1 số dư. Nhưng khi chia một số cho n thỡ số dư chỉ cú giỏ trị 0, 1, 2, , n – 1. vậy trong phộp chia thỡ phải cú hai số dư bằng nhau. Khi đú hiệu số của hai số này sẻ chia hết cho n.
Bài 2.
 Chứng minh rằng trong cỏc số tự nhiờn, thế nào cũng cú số k sao cho 1983k – 1 chia hết cho 105 
Giải.
 Ta cho k lấy lần lượt 105 + 1 giỏ trị liờn tiếp từ 1 trở lờn, ta được 105 + 1 giỏ trị khỏc nhau của 1983k – 1. sau đú chia cỏc giỏ trị này cho 105 , ta chỉ cú nhiều nhất là 105 số dư. Vậy theo nguyờn lớ Dirichlet, phải cú ớt nhất hai số cựng cho một số dư khi chia cho 105.
Giả sử đú là cỏc số 1983m – 1 và 1983n – 1( với m > n). Như vậy hiệu của chỳng 
(1983m – 1) – (`983n – 1) = 1983m – 1983n = 1983n(1983m-n – 1) phải chia hết cho 105
 Nhưng 105 chỉ cú cỏc ước số2, 5 cũn 2 và 5 khụng phải là ước số của 1983n vậy chỳng nguyờn tố cựng nhau, do đú.
 1983m-n – 1 phải chia hết cho 105.
Như vậy k = m – n chớnh là số phải tỡm.
Bài 3.
 Viết cỏc số tự nhiờn từ 1 đến 100 thành hàng ngang theo một thứ tự tuỳ ý, tiếp đú cộng mỗi một số trong cỏc số đó cho với số thứ tự chỉ vị trớ nú đứng (tớnh từ trỏi sang phải). Chứng minh rằng ớt nhất củng cú hai tổng mà chử số tận cựng của hai tổng đú như nhau.
Giải.
 Gọi 10 số tự nhiờn từ 1 đến 10 viết theo thứ tự từ trỏi sang phải là a1, a2,, a10. Ta lập dóy mới b1, b2, , b10 với b1 = a1 + 1, b2 = a2 + 2;..; b10 = a10 + 1. 
bi là tổng của ai với vị trớ thứ i mà nú đứng (i = 1, 2, , 10). 
Ta cú: b1 + b2 + + b10 = a1 + a2 + ..+a10 + 1 + 2+ ..+10 = 2(1 + 2 + + 10)= 110
 Vỡ 110 là số chẵn nờn khụng xóy ra trường hợp cú 5 số bi nào đú lẻ và 5 số bj nào đú chẵn, hay núi cỏch khỏc cỏc số bi chẵn, và cỏc số bj lẻ phải khỏc nhau.
 Do đú cỏc số bi lẻ lớn hơn 5 hoặc cỏc số bj chẵn lớn hơn 5. Mà từ 1 đến 10 chỉ cú 5 vị trớ lẻ và 5 vị trớ chẵn nờn theo nguyờn tắc Dirichlet phải cú ớt nhất hai số bi lẻ tận cựng như nhau hoặc cú hai số bj chẵn cú chử số tận cựng như nhau..
Bài 4.
 Chứng minh rằng trong 19 số tự nhiờn liờn tiếp bất kỡ luụn tồn tại một số cú tổng cỏc chử số chia hết cho 10.
Giải.
 Trước hết ta chứng minh rằng: với 19 số tự nhiờn liờn tiếp luụn tồn tại 10 số nguyờn liờn tiếp cú chử số hàng chục như nhau cũn cỏc chử số hàng đơn vị liờn tiếp từ 0 đến 9.
 Nếu trong 19 số tự nhiờn liờn tiếp cú mặt 3 chử số hàng chục khỏc nhau thỡ rỏ ràng cú một chử số hàng chục(ở giữa hai hàng chục kia) cựng với cỏc chử số đơn vị liờn tiếp từ 0 đến 9.
 Nếu trong 19 số tự nhiờn liờn tiếp chỉ cú hai loại chử số hàng chục khỏc nhau thỡ từ 19 = 2.9 + 1 suy ra cú 10 số cú cựng chử số hàng chục và cỏ ... à (2) suy ra a’b’ = 90. Ta cú cỏc trường hợp:
 Do đú 
Bài 4. 
 Tỡm hai số tự nhiờn
a) Cú tớch bằng 2700, BCNN bằng 900
b) Cú tớch bằng 9000, BCNN bằng 900.
Giải.
a) Gọi hai số phải tỡn là a và b
 ƯCLN(a, b) = 
 ƯCNN(a, b) = 3 .
Theo đề bài: a.b = 2700
Nờn 3a’.ab’ = 2700
Suy ra a’.b’ = 300 = 22.3.52
Giả sử thỡ . Chọn hai số a’, b’ cú tớch bằng 300, nguyờn tố cựng nhau, , ta được.
Suy ra
Đỏp số 900 và 3, 300 và 9, 225 và 12, 75 và 36
b) Đỏp số 900 và 10; 450 và 20; 180 và 50; 100 và 90.
Bài 5. 
 Tỡm hai số tự nhiờn a và b, biết rằng:
a) ab = 360, BCNN(a, b) = 60.
b) ƯCNN(a, b) = 12, BCNN(a, b) = 72.
Giải.
a) (a, b) = ab : [a, b] = 360 : 60 = 6.
Đặt a = 6a’, b = 6b’ trong đú (a’ ,b’) = 1, (giả sử ).
Do ab = 360 nờn a’b’ = 10. Vậy a’ = 1, b’ = 10 hoặc a’ = 2, b’ = 5.
Tương ứng ta cú: a = 6, b = 60 hoặc a = 12, b = 30.
b) ƯCLN(a, b) = 12
Ta cú: a.b = ƯCLN(a, b).BCNN(a, b) = 12.72
Nờn 12a’.12b’ = 12.72
Suy ra a’.b’ = 6
 Giả sử thỡ . Chọn hai số a’, b’ cú tớch bằng 6, nguyờn tố cựng nhau, , ta được :
 do đú 
Đỏp số : 72 và 12; 36 và 24
DẠNG 4. TèM ƯCLN CỦA HAI SỐ BẰNG THUẬT TOÁN Ơ-CLIT.
Bài 1.
 Cho 2 số tự nhiờn a và b (a > b).
a) Chứng minh rằng nếu a chia hết cho b thỡ (a, b) = b.
b) Chứng minh rằng nếu a khụng chia hết cho b thỡ ƯCLN của hai số bằng ƯCLN của số nhỏ và số dư trong phộp chia số lớn cho số nhỏ.
c) Dựng cỏc nhận xột trờn để tỡm ƯCLN(72, 56).
Giải.
a) Mọi ước chung của a, b hiển nhiờn là ước của b. Đảo lại, do a chia hết cho b nờn b là ước chung của a và b. Vậy (a, b) = b.
b) Gọi r là số dư trong phộp chia a cho b (a > b). Ta cú a = kb + r cần chứng minh rằng (a, b) = (a, r).
 thật vậy nếu a và b cựng chia hết cho d thỡ r chia hết cho d, do đú ước chung của a và b cũng là ước chung của b và r ( 1). Đảo lại nếu b và r cựng chia hết cho d thỡ a chia hết cho d, do đú ước chung của b và r củng là ước chung của a và b (2). Từ (1), và (2) suy ra tập hợp cỏc ước chung của a và b và tập hợp cỏc ước chung của b và r bằng nhau. Do đú hai số lơn nhất trong hai tập hợp đú cũng băng nhau, tức là (a, b ) =(b, r).
c) 72 chia 56 dư 16 nờn (72, 56) = (65, 16);
 56 chia 16 dư 8 nờn (56, 16) = (16, 8);
 16 chia hết 8 nờn (16, 8 ) = 8
 Vậy (72, 56) = 8
Bài 2.
 Tỡm ƯCLN(A, B), biết rằng A là số gồm 1991 chử số 2, B là số gồm 8 chử số 2.
Giải.
 Ta cú 1991 chia cho 8 dư 7, cũn 8 chia cho 7 dư 1.
Theo thuật toỏn Ơ-clit : 
Bài 3.
 Tỡm hai số, biết rằng bội chung nhỏ nhất của chung và ước chung lớn nhất của chỳng cú tổng bằng 19.
Giải.
Gọi a và b là hai số phải tỡm , d là ƯCLN(a, b)
 ƯCLN(a, b) = d
 BCNN(a, b) = 
Theo đề bài : BCNN(a, b) + ƯCLN(a, b) = 19
Nờn da’b’ + d = 19
Suy ra d(a’b’ + 1) = 19
Do đú a’b’ + 1 là ước của 19, và 
Giả sử thỡ . Ta được :
D
a’b’ + 1
a’.b’
a’
b’
a
b
1
19
18 = 2.32
18
1
18
1
9
2
9
2
Đỏp số : 18 và 1; 9 và 2.
DẠNG 5. HAI SỐ NGUYấN TỐ CÙNG NHAU.
 Hai số nguyờn tố cựng nhau là hai số cú ƯCLN bằng 1. Núi cỏch khỏc, chỳng chỉ cú ước chung duy nhất là 1.
Bài 1.
 Chứng minh rằng
a) Hai số tự nhiờn liờn tiếp (khỏc 0) là hai số nguyờn tố cựng nhau.
b) Hai số lẻ liờn tiếp là hai số nguyờn tố cựng nhau.
c) 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyờn tố cựng nhau.
Giải.
a) Gọi 
 Vậy n và n + 1 là hai số nguyờn tố cựng nhau.
b) Gọi 
Nhưng vỡ d là ước của số lẻ. Vậy d = 1.
c) Gọi .
Bài 2.
 Cho a và b là hai số nguyờn tố cựng nhau. Chứng minh rằng củng là hai số nguyờn tố cựng nhau:
a và a + b
a2 và a + b
ab và a + b
Giải.
a) Gọi d ƯC(a, a + b) . Ta lại cú nờn d ƯC(a, b), do đú d = 1 (vỡ a và b là hai số nguyờn tố cựng nhau ).
 Vậy (a, a + b) = 1.
b) Giả sử a2 và a + b cựng chia hết cho số nguyờn tố d thỡ a chia hết cho d, do đú b cũng chia hết cho d. Như vậy a và b cựng chia hết cho số nguyờn tố d. trỏi với giả thiết (a, b) = 1
Vậy a2 và a + b là hai số nguyờn tố cựng nhau.
c) Giả sử ab và a + b cựng chia hết cho số nguyờn tố d. Tồn tại một trong hai thừa số a và b, chẳng hạn là a, chia hết cho d, trong đú b cũng chia hết cho d, trỏi với (a, b) = 1.
 Vậy (ab, a + b) = 1.
Bài 3.
 Tỡm số tự nhiờn n để cỏc số 9n + 24 và 3n + 4 là cỏc số nguyờn tố cựng nhau.
Giải.
Giả sử 9n + 24 và 3n + 4 cựng chia hết cho số nguyờn tố d thỡ
 9n + 24 – 3(3n + 4) .
 Điều kiện để (9n + 24, 3n + 4) = 1 là và . Hiển nhiờn vỡ 3n + 4 khụng chia hết cho 3. Muốn phải cú ớt nhất một trong hai số 9n + 24 và 3n + 4 khụng chia hết cho 2. Ta thấy :
 9n + 24 là số lẻ 9n lẻ n lẻ
 3n + 4 là số lẻ 3n lẻ n lẻ.
Vậy điều kiện để (9n + 24, 3n + 4) = 1 là n là số lẻ.
Bài 4.
 Tỡm để một trong cỏc phõn số sau tối giản.
a) 
b) 
Giải.
a) ta cú: mà (3, 7) = (3, 3n + 1) = (6n + 1, 3n + 1) = 1
nờn để là phõn số tối giản ta phải cú (6n + 1, 7) = 1.
Mặt khỏc, 6n + 1 = 7n – (n – 1), do đú :
Vậy với n chia cho 7 khụng dư 1 thỡ là phõn số tối giản.
b) Ta cú tối giản 
DẠNG 6. TèM ƯCLN CỦA CÁC BIỂU THỨC SỐ.
Bài 1.
 Tỡm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4 
Giải.
Gọi d ƯC(2n – 1, 9n + 4) 2(9n + 4) – 9(2n – 1) d 
Ta cú 
Nếu n = 17k + 9 thỡ và 9n + 4 =9(17k + 9) + 4 = bội 17 + 85 17, do đú (2n + 1, 9n + 4) = 17.
Nếu n 17k + 9 thỡ 2n – 1 khụng chia hết cho 17, do đú (2n – 1, 9n + 4) = 1
Bài 2.
 Tỡm ƯCLN của và 2n + 1 .
Giải.
Gọi d ƯC thỡ n(n + 1) d và 2n + 1 d
 Suy ra n(2n +1) d và n2 d suy ra n d. Ta lại cú 2n + 1 d, do đú 1 d, nờn d = 1.
Vậy ƯCLN của và 2n + 1 bằng 1. 
Bài 3.
 Cho ƯCNN(a, b) = 1, tỡm ƯCNN(11a + 2b, 18a + 5b)
Giải.
Giả sử d = (11a + 2b, 18a + 5b), khi đú d | 18a + 5b và d | 11a + 2b , suy ra d | 11(18a + 5b) – 18(11a + 2b) = 19b d | 19 hoặc d | b.
i) Nếu d | b thỡ từ d | 5(11a + 2b) – 3(18a + 5b) = a – 5b d | a d | (a, b) = 1 d = 1. 
ii) Nếu d | 19 thỡ d = 1, hoặc d = 19.
 Vậy (11a + 2b, 18a + 5b) băng 1 hoặc bằng 19.
Bài 4.
 Cho ƯCLN(m, n) = 1, tỡm ƯCLN(m + n, m2 + n2).
Giải.
Giả sử d = (m + n, m2 + n2). Khi đú d | m + n và d | m2 + n2 suy ra d | (m + n)2 – (m2 – n2) = 2mn.
d | m + n và d | 2mn suy ra
 d | 2m(m + n) – 2mn = 2m2 và d | 2n(m + n) – 2mn = 2n2.
Do đú d | (2m2,2n2) = 2(m2, n2) = 2 d = 1 hoặc d = 2.
Nếu m, n cựng lẻ thỡ d = 2,
Nếu m,n khỏc tớnh chẳn lẻ thỡ d = 1.
C. Bài tập.
1. Cho a và b là hai nguyờn tố cựng nhau. Chứng minh rằng cỏc số sau cũng là 2 nguyờn tố cựng nhau.
a) b và b – a (a > b)
b) a2 + b2 và ab.
2. Chứng minh rằng nếu số c nguyờn tố cựng nhau với a và với b thỡ c nguyờn tố cựng nhau với tớch ab.
3. Cho (a, b) = 1. tỡm 
 a) (a + b, a – b)
 b) (7a + 9b, 3a + 3b)
4. Tỡm ƯCLN của 7n + 3 và 81 – 1. Khi nào hai số đú nguyờn tố cựng nhau? Tỡm n trong khoảng từ 40 đến 90 để chỳng khụng nguyờn tố cựng nhau.
5. Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất cú :
 a) 10 ước
 b) 21 ước
 c) 8 ước
6. a) Tỡm ƯCLN của tất cả cỏc số tự nhiờn cú chớn chử số gồm cỏc chử từ 1 đến 9
 b) Tỡm ƯCLN của tất cả cỏc số tự nhiờn cú 6 chử số, gồm cỏc chử số từ 1 đế 6.
7. Tỡm ƯCLN của 
 a) Hai số chẳn khỏc 0 liờn tiếp.
 b) và 33.
8. Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất để cỏc phõn số tối giản:
9. Tỡm dư trong phộp chia [123456789, 987654321] cho 11.
10. Dựng thuật toỏn Euclid để chứng minh: (n4 + 3n2 + 1, n3 + 2n) = 1.
11. Chứng minh rằng nếu | kn – lm | = 1 thỡ (ma + nb, ka + lb) = (a, b).
Hướng dẫn giải.
1. a. Gọi d ƯC(b, a – b) thỡ a – b d, b d, do đú a d. 
 Ta cú (a, b) = 1 nờn d = 1.
b) Giả sử a2 + b2 và ab cựng chia hết cho số nguyờn tố d thỡ vụ lớ.
2. Giả sử ab và c cựng chia hết cho nguyờn tố d thỡ vụ lớ.
3. a) ƯCLN(a + b, a – b) = 2 nếu a và b cựng lẻ, bằng 1 nếu trong avà b cú một số chẵn, một số lẻ.
 b) 1 hoặc 29.
4. (7n + 3, 8n – 1) băng 1 hoặc 31.
Nếu n 31k + 4 thỡ (7n + 3,8n – 1) = 1.
Với 40 < n < 90 ta cú n = 66 thỡ (7n + 3, 8n – 1) = 31.
5. a) Xột cỏc dạng a9 và a4b.
Đỏp số: Số nhỏ nhất là 48.
b) Đỏp số: 26.32 = 576
c) Đỏp số: 23.3 = 24.
6. a) Hiệu hai số 123456789 và 987654321 bằng 9, nờn ƯCLN phải tỡm chỉ cú thể là 1, 3, 9. Chỳ ý rằng mọi số cú chớn chử số gồm cỏc chử số từ 1 đến 9 đều chia hết cho 9. Vậy ƯCLN phải tỡm bằng 9.
b) ƯCLN phải tỡm bằng 3.
7. a) 2
b) ƯCLN(, 33) = 33 nếu a + b 3, bằng 11 trong trường hợp cũn lại.
8. Cỏc số đó cho cú dạng ( k = 7, 8, , 31). Mà
 tối giản (n + 2, k) = 1 n + 2 nguyờn tố cựng nhau với 7, 8, , 31 và n + 2 nhỏ nhất n + 2 = 37 n = 35
9. a = 123456789, b = 987654321. Ta cú b – 8a = 9 và a, b 9 nờn (a, b) = 9;
 mà .
10. Ta cú: 
Vậy : (n4 + 3n2 + 1, n3 + 2n) = 1.
11. d | a, d | b thỡ d | ma + nb, d | ka + lb;
 d | ma + nb, d | ka + lb thỡ d | k(ma + nb) – m(ka + lb) =b d | b
 Tương tự d | a.
 mục lục 
Lời mở đầu 1.
Nội dung đề tài..2.
 Chuyờn đề 1: Tớnh chia hết 2.
A. Lý thuyết..2.
 I. Tớnh chia hết và phộp chia cú dư...2.
 II. Phộp đồng dư ...2.
 III. Dấu hiệu chia hết ....2.
B. Cỏc dạng toỏn..3.
 Dạng 1: Xột mọi trường hợp xảy ra của số dư  .3.
 Dạng 2: Tỏch thành tổng nhiều hạng tử 4.
 Dạng 3: Phõn tớch thành nhõn tử ...5.
 Dạng 4: Sử dụng định lý Fermat và định lý Euler .6.
 Dạng 5: Sử dụng nguyờn tắc Dirichlet ..8.
 Dạng 6: Sử dụng phộp quy nặp....10.
C. Bài tập ..12.
 Hướng dẫn giải .13.
 Chuyờn đề 2: Số nguyờn tố 15.
A. Lý thuyết ..15.
 I. Số nguyờn tố và hợp số .15.
 II. Cỏc định lý cơ bản 16.
B. Cỏc dạng toỏn18
 Dạng 1: Ước của 1 số.18
 Dạng 2: Số nguyờn tố và tớnh chia hết25.
 Dạng 3: Sử sụng phương phỏp phõn tớch 32
C. Bài tập .38
 Hướng dẫn giải...............................39
 Chuyờn đề 3: Số chớnh phương . 41.
A. Lý thuyết..41.
 I. Định nghĩa....41.
 II. Tớnh chất.....41.
B. Cỏc dạng toỏn ..42.
 Dạng 1: Cỏch biểu diển số tự nhiờn trong hệ thập phõn ...42.
 Dạng 2: Dựng tớnh chia hết 50.
 Dạng 3: Phõn tớnh thành nhõn tử 57.
C. Bài tập 63.
 Hướng dẫn giải  ..63
 Chuyờn đề 4: Bội và ước của cỏc số 65
A. Lý thuyết65.
B. Cỏc dạng toỏn.67
 Dạng 1: Số ước của một số.......67
 Dạng 2: Tỡm hai số trong đú biết ƯCLN của chỳng ...68.
 Dạng 3: Phối hợp BCNN và ƯCLN..70.
 Dạng 4: Tỡm ƯCLN của hai số bằng thuật toỏn Ơ-Clit ...74
 Dạng 5: Hai số nguyờn tố cựng nhau.. . ...75
 Dạng 6: Tỡm ƯCLN của cỏc biểu thức số.77
C.Bài tập..79
 Hướng dẫn giải..80
 MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Toỏn học tuổi trẻ của Nhà xuất bản giỏo dục .
2. Toỏn tuổi thơ 2. của Nhà xuất bản giỏo dục.
3. Chuyờn đề bồi dưỡng học sinh giỏi toỏn trung học cở sở - số học của Nguyễn Vũ Thanh.
4. Đại số sơ cấp và thực hành giải toỏn của Hoàng Kỳ - Hoàng Thanh Hà.
5. Toỏn nõng cao chọn lọc đại số 8 của Phan Thanh Quang.
6. Toỏn nõng cao và cỏc chuyờn đề đại số 7 của Vũ Dương Thuỵ
7. Toỏn nõng cao số học 6 của Nguyễn Vĩnh Cận.
8. Nõng cao và phỏt triển toỏn 6 của Vũ Hữu Bỡnh.
9. Số học của Bộ giỏo dục và đào tạo