Đề đề xuất thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán cấp THCS - Năm học 2011-2012

Trường THCS Động Đạt I
Tổ KH Tự nhiên
-----***-----
đề thi HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
môn toán lớp 6
Năm học: 2011-2012
Thời gian: 120 phút.
Bài 1(4 điểm): 
a) Cho p và 8p-1 là các số nguyên tố. Chứng tỏ rằng: 8p+1 là hợp số.
	b) Chứng tỏ rằng: A=3+32+33++399 chia hết cho 13.
Bài 2(6 điểm): So sánh:
	a) 530 và 12410;
	b) và .
Bài 3(4 điểm): 
a) Tìm số tự nhiên a sao cho a+7 chia hết cho a+1.
	b) Chứng tỏ rằng: .
Bài 4(4 điểm): Cho 2012 điểm trong đó có đúng 12 điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng từ 2012 điểm đó?
Bài 5(2 điểm): Không quy đồng mẫu số biểu thức trong ngoặc, tìm số nguyên x biết rằng: .
----------------------------- Hết-------------------------------
Họ và tên:  Lớp : . . . .
Đáp án và biểu điểm chấm đề thi HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG môn Toán 6
Bài
ý
Đáp án
Biểu điểm
1
a
Cho p và 8p-1 là các số nguyên tố. Chứng tỏ rằng: 8p+1 là hợp số.
2điểm
Vì p, 8p-1 là các số nguyên tố nên p≥3.
Với p=3 thì 8p+1=8.3+1=25 là hợp số
Với p>3, xét tích A=(8p-1)8p(8p+1) 3
ị8p+13 mà 8p+1>3 nên 8p +1 là hợp số.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b
Chứng tỏ rằng: A=3+32+33++399 chia hết cho 13.
2điểm
A=3+32+33++399=(3+32+33)+(34+35+36)++(397+398+399)
 =3(1+3+32)+34(1+3+32)++397(1+3+32)
 =3.13+34.13++397.13
 ịA13
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2
a
So sánh: 530 và 12410
2điểm
Ta có : 530=53.10=1253
Mà 125>124
Nên 1253>12410
Hay 530>12410
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b
So sánh: và 
4điểm
Ta có : A=; 
B=
C=
Vì 2322C>1
Vậy A<B<C.
1,0đ
1,0đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
3
a
Tìm số tự nhiên a sao cho a+7 chia hết cho a+1
2điểm
a+7 =(a+1)+6a+1Û6a+1
Do a nên a+1 , bởi vậy a+1 phải là các ước nguyên dương của 6.
Mà các ước nguyên dương của 6 là : {1;2;3;6}
Nên a+1=1ịa=0, . . . 
Vậy a
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
3
b
Chứng tỏ rằng: .
2điểm
1,0đ
1.0đ
4
Cho 2012 điểm trong đó có đúng 12 điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng từ 2012 điểm đó?
4điểm
Chia các điểm đã cho thành 2 nhóm: Nhóm thứ nhất gồm 12 điểm thẳng hàng, nhóm thứ 2 gồm 2000 điểm còn lại trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Qua các điểm ở nhóm thứ nhất vẽ được chỉ 1 đt
Qua 2000 điểm ở nhóm thứ 2 vẽ được đt
Vẽ các đt đi qua 1điểm của nhóm 1 với 1 điểm của nhóm 2 ta được 12.2000=24000đt
Vậy vẽ được tất cả là: 1+1999000+24000=2023001đt.
0,5đ
1,0đ
1,0đ
1,0đ
0,5đ
5
Không quy đồng mẫu số biểu thức trong ngoặc, tìm số nguyên x biết rằng: .
2điểm
Đặt A=
 =
ịA>3 hay A-3>0 
Do đó: A(x-2012)>3(x-2012)Û(A-3)(x-2012)>0
 Ûx-2012>0
 ịx>2012.
Vậy các số nguyên cần tìm là các số nguyên2013.
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Trường THCS ĐỘNG ĐẠT I
Tổ KH Tự nhiên
-----***-----
đề thi HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
môn toán lớp 7
Năm học: 2011-2012
Thời gian: 120 phút.
Bài 1(4 điểm): 
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì trong 2 số: 2n+2-1 và 2n+1 có một và chỉ một số chia hết cho 3.
Bài 2(3 điểm): 
	Tìm x, y, z biết: (với x, y, z ≠0).
Bài 3(6 điểm): 
a) Tính giá trị của biểu thức: A=.
	b) Chứng minh rằng: .
Bài 4(4 điểm): Cho tam giác đều ABC, các đường cao AH, BK cắt nhau tại điểm G. Tia phân giác của góc BKH cắt đoạn thẳng CG, AH, BC lần lượt tại các điểm M, N, P. Chứng minh rằng: KM=NP. 
Bài 5(3 điểm): 
a) Tìm một nghiệm của đa thức P(x)=x3+ax2+bx+c. Biết rằng đa thức có nghiệm và .
	b) Tìm các giá trị x, y thỏa mãn: 
----------------------------- Hết-------------------------------
Họ và tên:  Lớp : . . . .
Đáp án và biểu điểm chấm đề thI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG môn Toán 7
Bài
ý
Đáp án
Biểu điểm
1
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì trong 2 số: 
2n+2-1 và 2n+1 có một và chỉ một số chia hết cho 3.
4điểm
Xét tổng của 2 số: (2n+2-1)+(2n+1)= 2n+2+2n=2n(22+1)=5.2n không chia hết cho 3 
ịcả hai số 2n+2-1và 2n+1không thể cùng chia hết cho3(1)
Xét tích (2n+2-1).(2n+1)=4n+3.2n-1
Ta có: 41(mod3) ị4n+11(mod3) ị4n+1-10 (mod3)
3.2n0(mod3) 
Vậy (2n+2-1).(2n+1) chia hết cho 3 (2)
ị Đpcm.
1,5đ
0,5đ
1,5đ
0,5đ
2
Tìm x, y, z biết: 
(với x, y, z ≠0).
3điểm
Từ 
ị 
 nên: x+y+z=1/2. 
Từ đó ta có : x+y=1/2-z; x+z=1/2-y; y+z=1/2-x
Thay vào ta tìm được x=y=1/2 ; z=-1/2. 
1,0đ
1,0đ
1,0đ
3
a
Tính giá trị của biểu thức: A=.
2điểm
Ta có: 
Khi đó ta có: A=
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b
Chứng minh rằng: .
4điểm
Đặt S=
Ta có: S=
>
>=
==3
Lại có: 
<1+
Vậy suy ra đpcm.
1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
4
Cho tam giác đều ABC, các đường cao AH, BK cắt nhau tại điểm G. Tia phân giác của góc BKH cắt đoạn thẳng CG, AH, BC lần lượt tại các điểm M, N, P. Chứng minh rằng: KM=NP. 
4điểm
0,5đ
Ta thấy CG là tia phân giác của góc Cị 
Vì K, H là trung điểm của AC, BC nên KH//AB và ΔCHK đều. 
ị
Do KP là phân giác của nên: , từ đó .
Ta có ,ịnên ΔCMK cân tại C
ịCK=CM.
Ta có AK=CM(=CK) ;;
Vậy ΔAKN=ΔCMP(g.cg) 
ịKN=MP hay KM+MN=MN+NP
Từ đó suy ra: KM=NP. Đpcm.
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
5
a
Tìm một nghiệm của đa thức P(x)=x3+ax2+bx+c. Biết rằng đa thức có nghiệm và 
1điểm
Ta có giả thiết: 
Chia cả hai vế của đẳng thức trên cho 4 ta được:
Vậy x=chính là một nghiệm của đa thức.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b
Tìm các giá trị x, y thỏa mãn: 
2điểm
Ta có : 
Nên : 2x-25=0 và 3y+5=0
ị x=12,5 và y=-5/3
1,0đ
0,5đ
0,5đ
Trường THCS Động Đạt I
Tổ KH Tự nhiên
-----***-----
đề thi HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
môn toán lớp 8
Năm học: 2011-2012
Thời gian: 120 phút.
Bài 1(6 điểm): 
	a) Cho m là một số nguyên dương. Hãy tìm các chữ số x và y (xạ0) sao cho số là số chính phương.
	b) Cho a+b+c=0 và a2+b2+c2=14.Tính giá trị của biểu thức B=a4+b4+c4
Bài 2(3 điểm): Cho biểu thức A=
Tìm các giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Bài 3(4 điểm): Một bể có hai vòi nước. Một vòi lấy nước vào có vận tốc gấp ba lần vòi tháo nước ra. Nếu ta mở cả hai vòi khi bể không có nước thì sau 2 giờ bể đầy. Hỏi vòi tháo nước ra đặt ở độ cao bao nhiêu so với độ cao của bể biết rằng nếu mở một mình vòi lấy nước vào thì bể đầy sau 1 giờ 30 phút?
Bài 4(5 điểm): Cho hình thoi ABCD có cạnh a và . Một đường thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA tại M và N.
	a) Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị không đổi.
	b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo góc BKD?
Bài 5(2 điểm): Trên một vòng tròn người ta đặt 20 đồng xu màu trắng và một đồng xu màu đen. Biết rằng đối diện với một đồng xu màu trắng qua tâm vòng tròn là một đồng xu màu đen. Chứng tỏ rằng tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau.
----------------------------- Hết-------------------------------
Họ và tên:  Lớp : . . . .
Đáp án và biểu điểm chấm đề THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG môn Toán 8
Bài
ý
Đáp án
Biểu điểm
1
a
Cho m là một số nguyên dương. Hãy tìm các chữ số x và y (xạ0) sao cho số là số chính phương.
3điểm
Số (m nguyên dương) là số chính phương vàchia hết cho 5 nên có dạng: A=(10t+5)2=100t2+100t+25 với t.
Từ đó suy ra : 100t2+100t+25=100x+10y+5+100m2+500m (1)
Do đó 10y+5-25 phải chia hết cho 100, 
suy ra y=2, thay vào (1) ta được t2+t=m2+5m+x (2)
Đặt t=m+v, thay vào (2) ta được : (m+v)2+m+v= m2+5m+x 
Û2m(2-v)=v2+v-x. Đẳng thức xảy ra với m bất kỳ khi và chỉ khi v=2 và x=v2+v=6.
Vậy các chữ phải tìm là : x=6; y=2.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
b
Cho a+b+c=0 và a2+b2+c2=14. Tính giá trị của biểu thức B=a4+b4+c4
3điểm
Ta có a2+b2+c2=14ị( a2+b2+c2)2=142
ịa4+b4+c4+2a2b2+2a2c2+2b2c2=196
ị a4+b4+c4 =196-2(a2b2+a2c2+b2c2)
Lại có: a+b+c=0ị( a+b+c)2=0
ị a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0
ị14+2(ab+bc+ac)=0 (vì a2+b2+c2=14)
ị ab+bc+ac=-7
ị(ab+bc+ac)2=49
ị a2b2+a2c2+b2c2 +2abc(a+b+c)=49
ị a2b2+a2c2+b2c2=49 (vì a+b+c=0)
Khi đó B=196-2. 49=98
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2
Cho biểu thức A=
Tìm các giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
3 điiểm
Ta có: A=
= (với xạ-1)
Do x nguyên nên để A nguyên thì x+1 phải là ước của 1.
Suy ra: x=0; x=-2 (tm)
1,0đ
1,0đ
1,0đ
3
Một bể có hai vòi nước. Một vòi lấy nước vào có vận tốc gấp ba lần vòi tháo nước ra. Nếu ta mở cả hai vòi khi bể không có nước thì sau 2 giờ bể đầy. Hỏi vòi tháo nước ra đặt ở độ cao bao nhiêu so với độ cao của bể biết rằng nếu mở một mình vòi lấy nước vào thì bể đầy sau 1 giờ 30 phút?
4 điiểm
Trong1h vòi thứ nhất chảy được vào bể: (bể)
Vòi thứ hai chảy ra trong 1h được: (bể)
Khi mức nước đã ở trên độ cao đặt vòi chảy ra thì trong 1h hai vòi mở cùng một lúc được : (bể)
Gọi x(h) là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình cho đến khi nước bắt đầu chảy ra được. Trong thời gian này vòi thứ nhất chảy được x(bể).
Sau x giờ đó hai vòi cùng mở trong thời gian là: 2-x (giờ)
Ta có phương trình: 
Giải được x=1/2 giờ. 
Vậy độ cao của vòi tháo nước ra so với độ cao của bể nước là : 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
4
Cho hình thoi ABCD có cạnh a và . Một đường thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA tại M và N.
a) Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị không đổi.
b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo góc BKD?
3điểm
a
0,5đ
Xét ΔAMN có BC//AN nên: (theo ĐL Ta let)
Tương tự ta có: 
ị hay MB. DN=AB.AD
Mà AB=AD =a (do ABCD là hình thoi)
Nên: MB. DN=AB.AD=a2 có giá trị không đổi.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b
ΔABD có AB=AD (gt) ; ị ΔABD đều
ị(2 góc kề bù) (1)
Theo cmt ta có MB. DN=a2, BD=a nên (2)
Từ (1) và (2) ị ΔMBD và ΔBDN đồng dạng (c-g-c) 
ị 
Xét ΔBMD có (vì cmt)
ị
ị (ĐL tổng 3 góc của tam giác)
ị
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ 
5
Trên một vòng tròn người ta đặt 20 đồng xu màu trắng và một đồng xu màu đen. Biết rằng đối diện với một đồng xu màu trắng qua tâm vòng tròn là một đồng xu màu đen. Chứng tỏ rằng tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau.
2điểm
Giả sử không tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau(1) thì không có hai đồng xu trắng đặt cạnh nhau, do đó các đồng xu trắng phải xếp xen kẽ nên cũng có 20 đồng xu màu đen.
Xét hai đồng xu trắng đen đối diện nhau trên vòng tròn, đồng xu trắng được đánh số 1, đồng xu đen đối diện đánh số 21. Do các đồng xu trắng đen xếp xen kẽ nên các đồng xu đen mang số 2, 4, 6, , 20 lại xảy ra hai đồng xu đen số 20 và số 21 cạnh nhau, điều này trái với (1). Vậy phải tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau.
0,5đ
1,5đ