Đề cương ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Phạm Quang Sang

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HSG TOÁN : 9
NĂM 2010 - 2011
DẠNG 1: Giải toán theo quy luật .
Phép cộng theo chuỗi số.
* 1+2+3+4++n = 
* 
Phép cộng theo chuỗi phân số.
* 
* 
* 
Phép cộng theo chuỗi phân số
* 
BÀI TẬP
Tính 
A = 1+2+3++2011 
Tìm a để tổng A + a là một số chính phương
tìm x biết 
 x (1 + 2 + 3 +4 +  + 2011) = 
 3. Chứng minh rằng 
 A = 126.(72011 + 72010 + 72009 +  + 7 + 1 ) + 21 chia hết cho 72011
 4. Tính a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
 f. 
 g. 
DẠNG 2: Tìm nghiệm nguyên x,y .
Tìm nghiệm nguyên Phương trình bậc nhất.
ax + by = c	(a,b,c nguyên)
Bài tập mẫu:
Tìm nghiệm nguyên x, y sau cho : 2x + 3y = 11
	Giải.
Từ PT : 2x + 3y = 11
Do x nguyên
Ta có : hay với 
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là 
 với 
BÀI TẬP
1. Giải phương trình.
	a. 11x + 18y = 120
	b. 12x + 7y = 45
	c. 3x + 5y = 10
	d. 4x + 5y = 65
2. Phân tích số 100 thành tổng hai số tự nhiên mà trong đó một số chia hết cho 7, một số chia hết cho 11 (đề thi HSG vòng tinh 2004-2005)
DẠNG 3: Tìm số dư và chứng minh chia hết.
Tìm số dư của phép chia.
A: B = Q + r
Ghi chú : 
dạng này học sinh cần sử dụng máy tính từ 500MS trở lên
nhầm sử dụng phương pháp đồng dư để chứng minh chia hết và tìm số dư hoặc các chữ số cuối cùng của tổng
	Bài tập mẫu
Tìm số dư : 9124565217 : 123456
 Giải
ấn máy tính 500MS:
9124565217 : 123456
Máy hiện số : 73909,45128
Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa lại là : 
9124565217 - 123456 x 73909 = 
Kết quả số dư r = 55713
DẠNG 4: Dùng PP đồng dư để chứng minh chia hết
Dạng tìm số dư của phép chia dạng lũy thừa quá lớn ta thực hiện theo phương pháp đồng dư theo công thức.
Bài tập mẫu
 Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975
 Giải
Ta có : 
	Vậy 2004376 chia cho 1975 dư 246
Bài tập
1. Tìm số dư phép chia
a. 143946 cho 32147
b. 432156 cho 2349
c. 11031972 cho 101972
d. 18901969 cho 1512005
2. Tìm số dư của phép chia.
a. 20072008 cho 2008
b. 20082009 cho 2010
c. 20102009 cho 2011
d. 20112010 cho 2009
3. Tìm hai chữ số cuối cùng của 232005
4. Tìm ba chữ số cuối cùng của 272009
5. Tìm chữ số cuối cùng của 372010
6. Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng 
a. A = 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 
b. B = 32007 + 32008 + 32009 + 32010 + 32011
c. C = 52008 + 52009 + 520010
7. Chứng minh rằng tổng chia hết cho
a. 18901930 + 19451975 + 1 chia hết cho 7
b. 22225555 + 55552222 chia hết cho 7
c. 19971997 + 5 chia hết cho 13
d. 21000 – 1 chia hết cho 25
DẠNG 5: Dùng định lý Bơ zu.
Tìm số dư của đa thức
Tìm các hệ số của đa thức
Chức minh đa thức chia hết cho các nhị thức
	Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a
BÀI TẬP
Dùng định lý BơZu chứng minh đa thức f(x) chia hết cho nhị thức g(x)
(x4 + x3 + 2x2 – x – 123)(x – 3) 
(x3 – 9x2 - 35x - 12)(x – 12) 
(2x3 + x2 - 3x + 2508)(x + 11) 
(3x3 + 2x2 + 5x + )(2x + 1) 
Dùng định lý BơZu tìm số dư của đa thức f(x) chia cho nhị thức g(x)
(x4 + x3 + 2x2 – x +1):(x – 3) 
(x3 – 9x2 - 35x + 7):(x – 12) 
(2x3 + x2 - 3x + 5):(x + 11) 
(3x3 + 2x2 + 5x - 7):(2x + 1) 
(4x5 + 3x3 - 4x + 5):(2x + 11) 
(3x4 +5x3 - 4x2 +2 x - 7)(2 – 3x) 
Dùng định lý BơZu để tìm m đa thức f(x) chia hết cho nhị thức g(x)
(x4 + x3 + 2x2 + m)(x – 3) 
(x3 – 11x2 - 5x -2 m)(x +5) 
(2x3 +5x2 - 3x – 5+ m)(3x + 15) 
(5x3 + 2x2 + 5x - 5m)(2x + 1) 
(2x5 + 3x3 - 4x + m2 - m)(2x - 6) 
(3x4 + 7x3 - 4x2 +2 x – 3m2)(2 – 3x) 
(3x3 +5x2 - 3x – 5+ m3 +2m2)(3x - 9) 
(5x3 + 2x2 + 5x - 5m3 – 4m)(2x + 4) 
DẠNG 6: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương .
Chứng minh rằng tổng các dãy số sau là số chính phương.
Tìm số tự nhiên n sau cho tổng các số sau là số chính phương
DẠNG 7: Rút gọn và tính giá trị biểu thức
Lưu ý: 
sử dụng các hằng đẳng thức bậc 2 đến bậc n để biến đổi rút gọn
Dùng các phép biến đổi căn thức
Chứng minh tổng các căn thức là số nguyên
Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.
DẠNG 8: Hàm số bậc nhất bậc hai, Phương trình bậc hai, bậc ba
Tính diện tích tạo bởi hai đồ thị
Tình chu vi các hình tạo bởi 2,3,4 đồ thị với các các trục tọa độ. 
Phương trình bậc hai
Phương trình bậc ba
Bài tập
Cho hai đường thẳng y = -2x + 4 và y = 3x +4
vẽ 2 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ
tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Ox
Cho hai đường thẳng y = -3x + 9 và y = 2x - 6
vẽ 2 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ
tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Oy
Cho hai đường thẳng y = -3x + 11 và y = 2x - 4
vẽ 2 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ
tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Oy
tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Ox
Cho ba đường thẳng y =  ; y = và y = 7x - 21
vẽ 3 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ
tính chu vi và diện tích hợp bởi 3 đường thẳng trên 
Tính chu vi và diện tích tứ giác hợp bởi 2 đường thẳng 
y =  ; y = với trục Ox và Oy
5. Giải các phương trình sau
 	a. x3 – 4x2 + 6 = 0
	b. x3 + 2x2 – 7x + 4 = 0
	c. 3x4 – 5x3 - 11x2 + 20x - 4 = 0
DẠNG 9: Vận dụng các hệ thức bất đẳng thức 
Dùng Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si mở rộng) để chứng minh 
Dùng bất đẳng thức Bunhinacôpxki để chứng minh
DẠNG 10: Hình học
Các dạng toán hình liên quan đến hệ thức lượng giác
Các bài toán liên quan đến tính diện tích và chu vi các hình thông qua các công thức nâng cao.
Chứng minh một số dạng bài toán quỹ tích ( điểm, đường thẳng, đường tròn)
BÀI TẬP
1. Cho tam giác ABC biết AB = 5cm, BC = 8cm , AC = 12cm, góc BÂC = 300. 
a. Tính diện tích tam giác ABC
b. Tính chu vi và diện tích đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC
2. Cho đường tròn tâm (0;R), trên đường tròn lấy C và B, Qua C và B kẽ 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A, biết AC = 5cm, BÂC = 600.
	a. Tính chu vi và diện tích của tứ giác ABOC
	b. Tính diện tích và chu vi của đường tròn (0;R)
3. Cho cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lần lượt 5cm; 12cm; 13cm. nội tiếp đường tròn tâm (0; 6,5cm).
	a. Tính diện tích tam giác ABC
	b. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
	c. Tính chu vi và diện tích đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
4. Cho tam giác ABC, có độ dài 3 cạnh lần lượt 6cm, 8cm, 10cm. 
	a. Tính diện tích tam giác ABC
	b. Tính chu vi và diện tích đường tròn nội tiếp tam giác ABC
	c. Tính chu vi và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
5. Cho tam giác vuông ABC ( Â = 900), AB = 3cm; AC = 4cm.
	a. Tính diện tích và chu vi tam giác ABC
	b. Giải tam giác vuông ABC
	c. Tính đường cao AH ( H BC )
	d. cho BC cố định, độ dài AH không đổi. Tìm quỹ tích điểm A
	e. BC cố định, tìm quỹ tích điểm A sao cho BÂC = 900