Chuyên đề Điểm. Đường thẳng - Hình học 6 - Trường THCS Cấm Sơn - Lục Ngạn - Bắc Giang

Đ1. Điểm. Đường thẳng. Ba điểm thẳng hàng
h1
Kiến thức cơ bản:
1.vị trí của điểm và đường thẳng(h.1) 
- Điểm A thuộc đường thẳng a, ký hiệu A€ a 
- Điểm B không thuộc đường thẳng a, ký hiệu B a. 
2. Ba điểm thẳng hàng khi chúng cùng thuộc một đường thẳng. 
Ba điểm không thẳng hàng là ba điểm không cùng thuộc bất kỳ đường thẳng nào.
3. Trong ba điểm thẳng hàng, có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
h2
Trong h2 điểm M nằm giữa hai điểm A và B. 
Nâng cao:
1. Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba 
điểm đó thẳng hàng.
2. Quan hệ ba điểm thẳng hàng còn mở rộng thành nhiều điểm thẳng hàng.
Thí dụ 1:
Trên đường thẳng a lấy 4 điểm A,B,C,d theo thứ tự đó.lấy điểm M a hãy gọi tên:
h1.1
a)Tất cả các bộ ba điểm không thẳng hàng.
b) Tất cả các bộ ba điểm thẳng hàng
c)Tất cả các bộ ba điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
 Gải: hình 1.1
a)Các bộ ba điểm không thẳng hàng là:
(M,A,B); (M,A,C); (M,A,D); (M,B,C); (M,B,D); (M,C,D)
b) các bộ ba điểm thẳng hàng là:
(A,B,C);(A,B,D);(A,C,D);(B,C,D).
c) B nằm giữa A và C; B nằm gữa A và D; C nằm gữa A và C; c nằm gữa B và D.
Bài tập
Bài 1. Vẽ đường thẳng p và các điểm A,B nằm trên p.
a)Nêu cách vẽ điểm C thẳng hàng với 2 điểm A,B.
b)Nêu cách vẽ điểm D không thẳng hàng với 2 điểm A,B.
Bài 2. hãy vẽ 5 điểm C;D;E;F;G không thẳng hàng nhưng ba điểm C;D;E thẳng hàng; ba điểm E;F;G thẳng hàng.
Bài 3. vẽ hình theo cách diễn đạt sau:
a)Điểm I nằm giữa hai điểm A và B; điểm bnằm giữa I và K.
b)Hai điểm O;P nằm cùng phía đối với Q; hai điểm O;R nằm khác phía đối với Q nhưng P không nằm giữa O và R.
Bài 4. Cho ba điểm A;B;C mỗi điểm A;b đều không nằm giữa hai điểm còn lại.
hãy nêu điều kiện để:
a)C nằm giữa A và B.
b) C không nằm giữa A và B.
**************************
Đ2. Đường thẳng đi qua hai điểm
Kiến thức cơ bản
1. Có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B (h 3)
h 3
2. Ba cách đặt tên đường thẳng: 
- dùng một chữ cái in thường. ví dụ a;b;c...
- Dùng hai chữ cái in thường, ví dụ xy;ab;...
- Dùng hai chữ cái in hoa, ví dụ AB; CD;.....
3. Vị trí của hai đường thẳng phân biệt:
- Hoặc không có điểm chung nào(gọi là hai đường thẳng song song). H4
- hoặc chỉ có một điểm chung(gọi là hai đường thẳng cắt nhau). H5
h 4
h 5
Nâng cao:
1, Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng nhau ta chỉ cần chỉ ra chúng có 2 điểm chung.
2,Ba hay nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm gọi là ba(hay nhiều) đường thẳng đồng quy. Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta có thể xác định giao điểm của hai đường nào đó ròi chứng minh các đường thẳng còn lại đều đi qua điểm này.
Thí dụ 2:
cho 4 điểm A,B,C,D trong đó ba điểm A;B;C thẳng hàng, ba điểm B;C;D thẳng hàng. Chứng tỏ rằng 4 điểm A;B;C;D thẳng hàng.
Gải:
Ba điểm A,B,C thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng.
Ba điểm B;C;D thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng.
Hai đường thẳng này có hai điểm chung là B và c nên chúng phải trùng nhau, suy ra 4 điểm A;B;C;D thẳng hàng.
Bài tập
Bài 5. Cho trước hai điểm A và B.
Hãy vẽ đường thẳng m đi qua a và B
hãy vẽ đường thẳng n đi qua A nhương không đi qua B
Hãy vẽ đường thẳng p không có điểm chung nào với đường thẳng m.
Bài 6. Cho trước 4 điểm A,B,C,D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Tìm m sao cho ba điểm M,A,b thẳng hàng; bba điểm m,C,D thẳng hàng.
Bài 6. Giải bóng đa vô địch quốc gia gồm 12 đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt đi lượt vè. Tính tổng số trận.
Bài 7. Có một số con đường (thẳng), chúng căt nhau đôi một và không có ba đường nào đòng quy. các con đường đó cắt nhau tạo thành 300 ngã tư. Hỏi có tất cả bao nhiêu con đường? 
**************************
Đ3:Tia
Kiến thức cơ bản:
1. Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O được gọi là tia gốc O.
2. Hai Tia chung gốc tạo thành đường thẳng được gọi là hai tia đối nhau.
Nhận xét:
h6a
- Môi điểm trên đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau.h6a
Điểm M thuộc tia Ox (M O) thì hai tia Ox và OM trùng nhau.h6b
h6b
Nâng cao:
Quan hệ giữa một điểm nằm giữa hai điểm vứi hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau.
Xét ba điểm thẳng hàng (h7).
1, nếu hai tia OA;OB đối nhau thì gốc O nằm giữa A và B.
h7
2, Ngược lại, nếu O nằm giữa A và b thì:
- Hai tia OA,OB đối nhau.
- hai tia AO,AB trùng nhau; hai tia BO;BA trùng nhau.
h 8
Bài tập
Bài 8. xem hình 8 rồi cho biết: 
a)những tia nào chung gốc O ? 
b)Những tia nào đối nhau?
c)Hai tia nào trùng nhau ?
Bài 9. Xho đường thẳng xy. lấy điểm O xy; 
điểm A xy và điểm B trên tia Ay (B khác A) 
a)Kể tên các tia đói nhau,các tia trùng nhau;
b)Kể tên hai tia không có điểm chung;
c)Gọi M là một điểm di đông trên xy. Xác định vị trí của M để cho tia Ot đi qua M không cắt hai tia Ax,By.
Bài 10. Vẽ hai đường thẳng mn và xy cắt nhau tại O.
a)Kể tên các tia đối nhau;
b) Trên tia Ox lấy điểm P, trên tia Om lấy điểm E ( p và E khác O). Hãy tìm vị trí của điểm Q để O nằm giữa P và Q.Tìm vị trí của F để hai tia OE và ò trùng nhau.
Bài 11. Trên đường trẳng xy lấy điểm o. lấy điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy, điểm M nằm giữa O và A. Giải thích vì sao:
a) Hai tia OA,OB đối nhau?
b)Điểm O nằm giã hai điểm M và B.
Bài 12. Cho điểm O nằm giã hai điểm A và B; điểm I nằm giã hai điểm O và B. giải thích vì sao?
a) O nằm giã A và I?
b) I nằm giữa A và B?
**************************
Đ4:Đoạn thẳng. Độ dài đoạn thẳng. Cộng độ dài hai đoạn thẳng
h9
Kiến thức cơ bản:
1, Đoạn thẳn AB là hình gồm điểm A, điểm B 
và tất cả các điểm nằm giữa A và B h9.
2, Mỗi đoạn thẳng có một đọ dài độ dài đoạn thẳng là một số dương.
h10
3 AB = CD AB và CD có cùng độ dài.
AB AB ngắn hơn CD.
AB > CD AB dài hơnCD.
4, Nếu điểm m nằm giữa hai điểm A và B thì
AM + MB = AB
Ngược lai nếu AM+ MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B h10.
h11
Nâng cao:
1, Mệnh đề sau tương đương với tính chất trên: 
Nếu AM+ MB ≠ AB thì M không nằm giữa A và B.
2, Cộng liên tiếp(h11)
Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B; điểm N nằm giữa hai điểm m và B thì:
AM + MN + NM = AB
Thí dụ 3:
Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Giải thích vì sao AM < AB; MB<AB.
h3.1
 Giải:(h3.1)
Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và B
 nên AM + MB =AB
Do AM > 0; BM > 0; nên AM < AB; MB<AB.
Thí dụ 4: 
Cho biết điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Có AB = 11cm; BM= 7 cm. Tính MA?
Giải: (h4.1)
h 4.1
 Vì M nằm giữa hai điểm A và B nên ta có:
AM + MB =AB
AM = AB – MB
AM= 11- 7
AM= 4
Vậy AM = 4 cm.
Thí dụ 5:
Cho ba điểm M;O;N thẳng hàng. Điểm N không nằm giữa hai điểm M và O.
h 5.1
cho biết MN = 3 cm; ON = 1cm, hãy so sánh OM và ON.
Giải: (h4.1)
Nếu điểm M nằm giữa hai điểm O và N thì:
OM + MN = ON
thay số: OM + 3 = 1(vô lý) vậy điểm M không nằm giữa O và N
điểm N không nằm giữa O và M(đề bài) => điểm O nằm giữa hai điểm M và N.
ta có: MO+ ON = MN=> MO + 1 =3 => MO = 2 cm.
Do đó OM > ON (2 > 1).
Thí dụ 6:
Cho ba điểm A;B;C biết AB= 9 cm;AC= 4,9 cm; BC= 4,1 cm. Trong ba điểm A;B;C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
Giải:
Ta có 4,9+ 4,1 = 9 => AC+ CB = AB
=> C nằm giữa A và B. 
Bài tập
Bài 13. Cho biết D là điểm nằm giữa hai điểm M và N. Biết MD = 12 cm; MN = 5 cm
Tính DN?
Bài 14. Biết M là điểm thuộc đoạn Thẳng AB có MA= 3 cm;MB= 7cm. Tính độ dài đoạn thẳng MN?
Bài 15. Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng, là những đoạn thẳng nào.
	Kết quả trên có thay đổi không nếu cả 5 điểm A, B, C, D, E thẳng hàng.
Bài 16. Cho trước n điểm (n € N ; ≥ 2). Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm được tất cả 28 đoạn thẳng. Tìm n.
Bài 17. Vẽ 5 đoạn thẳng đôi một cắt nhau sao cho tổng số giao điểm là 10. Giải thích vì sao số giao điểm không thể quá 10 ?
h12
Bài 18. Xem hình 12 rồi cho biết:
a) Hình này có mấy tia?
b) Hình này có mấy đoạn thẳng ?
c) Những cặp đoạn thẳng nào 
không cắt nhau ?
d) Vì sao có thể khẳng định tia Ox
 không cắt đoạn thẳng BC ?
Bài 19. Cho hai tia chung gốc Ox, Oy.
Trên tia Ox lấy hai điểm B và C sao cho B nằm giữa O và C. Trên tia Oy lấy điểm A sao cho OA>OC.
	a) So sánh OA với OB.
	b) So sánh OA- OB với OA.
Bài 20. Trên đường thẳng a lấy 4 điểm E, F, H theo thứ tự đó. Giả sử EH =7 cm;
 EF = 2cm ; FG = 3cm.
	a) So sánh FG với GH.
	b) Tìm những căp đoạn thẳng bằng nhau.
Bài 21. Cho đạon thẳng AB. Trên tia đối của Ab lấy điểm E, trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho AE<BF. Hãy so sánh à với BE.
Bài 22. Cho ba điểm A, B, C.
	a) Giả sử AB = 2cm ; BC = 3cm ; CA = 5cm, hãy chứng tỏ A, B, C thẳng hàng.
b) Giả sử AB = 2cm ; BC = 3cm ; CA = 4cm, hãy chứng tỏ A, B, C không thẳng hàng.
Bài 23. Cho đoạn thẳng AB. Lấy điểm O nẵm giữa A và B, lấy điểm I nằm giữa O và B.
	a) Giả sử AB = 5cm ; BI = 2cm, tính OI.
	b) Giả sử AO = a ; BI = b, tìm điều kiện của a và b để AI = OB.
Bài 24. Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng. Hỏi điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại nếu:
AC + CB = AB
AB + BC = AC
BA+ AC= BC
Bài 25. Trong mỗi trường hợp sau, hãy vẽ hình và cho biết ba điểm A,B,M có thẳng hàng không?
AM= 3,1 cm; MB= 2,9 cm; AB= 6 cm.
AM= 3,1 cm; MB= 2,9 cm; AB= 5 cm
AM= 3,1 cm; MB= 2,9 cm; AB= 7 cm
**************************
Đ5:Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài.
h 13
Kiến thức cơ bản: 
 1. Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được một và chỉ 
 một điểm M sao cho OM = a ( đơn vị dài ) (H.13) 
 2. Trên tia Ox, OM = a, ON = b nếu 0 < a < b thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N.(H.14)
Nâng cao:
 Trên tia Ox có ba điểm M, N, P: OM = a; ON = b; OP = c nếu a < b < c thì điểm N nằm giữa hai điểm M và P. (h.15)
h 15
h 14
Thí dụ 7:
Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA= 7 cm; OB = 5 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Giải: (h.7.1)
h7.1
Trên tia Ox vì OB < OA 
nên điểm B nằm giữa hai điểm O và A
OB+ BA =OA
AB= OA – OB
AB= 7- 5 
AB= 2
AB= 2 cm.
Thí dụ 8:
Trên tia Ox lấy điểm P và Q sao cho OP = 3 cm; PQ = 2 cm. Tính OQ.
h 8.1a
Giải:(h.8.1a,b)
Ta xét hai trường hợp: 
a) Trường hợp Q nằm trên tia đối của 
tia PO. Lúc đó P nằm giữa hai điểm O và Q, 
h 8.1b
suy raOQ = OP + PQ = 3 + 2 = 5 (cm) 
b) Trường hợp Q nằm trên tia PO (h.24b) 
vì PQ < PO (2<3) nên Q nằm giữa P vàO 
do đó PQ + QO = OP. Suy ra: 
OQ = OP – PQ = 3 – 2 = 1 (cm). 
Nhận xét:
Trên tia Ox lấy P sao cho OP = 3 cm, điểm P là điểm duy nhất, còn điểm Q thì không duy nhất. Tại sao như vậy?
Điểm Q không duy nhất trên tia Ox vì điểm Q không cách gốc O của tia Ox một khoảng 2 cm; điểm P chỉ là một điểm thuộc tia Ox chứ P không phải là gốc của tia Ox.
Thí dụ 9:
Gọi M, N, P là ba điểm trên tia Ox; OM = a, ON = b; OP = c; Giải thích vì sao nếu a<b<c thì điểm N nằm giữa hai điểm M và P.
Giải: (h.9.1)
h 9.1
Hai điểm M và N thuộc tia Ox mà OM< ON
 (a<b) nên điểm M nằm giữa hai điểm O và 
N suy ra hai tia NM, NO trùng nhau (1)
Hai điểm N và P thuộc tia Ox mà ON < OP (b<c) nên điểm N nằm giữa hai điểm O và P, suy ra hai tia NO và NP đối nhau. (2)
Từ (1) và (2) suy ra hai tia NM, NP đối nhau, do đó điểm N nằm giữa hai điểm M và P.
Bài tập.
Bài 26. 
Trên tia Ox vẽ đoạn thẳng OM= 3 Cm
Cho điểm A. Vẽ đoạn thẳng AB= 2,5 Cm
Vẽ đoạn thẳn CD = 3,5 Cm.
 Bài 27 Gọi M, N, P là ba điểm trên tia Ox sao cho OM = 2cm, ON=3cm, OP = 5 cm. So sánh MN và NP.
Bài 28. Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm, OB = 6cm. Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. So sánh AB với AC.
Bài 29. Trên tia Ox:
Đặt OA= 2 Cm
Trên tia Ax đặt AB= 4 Cm
 Trên tia BA đặt BC= 3 Cm
 Hỏi trong ba điểm A,B,C thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
Bài 30. Cho A và B là hai điểm trên Ox sao cho OA = a (cm) với a>0; AB = 2 cm. Tính OB.
Bài 31. 
Vẽ đoạn thẳng AB = 5 cm. Lấy hai điểm E và F nằm giữa Avà B sao cho AE + BF = 7 cm.
a) Chứng tỏ rằng điểm E nằm giữa hai điểm B và F.
b) Tính EF.
Bài 32. Trên tia Ox vẽ các điểm A, B sao cho OA= 7 Cm, AB= 3,5 Cm. Tính OB?
Bài 33. Vẽ tia Ox.
Vẽ )A= 1 Cm; OB = 2 Cm. Hỏi trong ba điểm O,A,B thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
 Vẽ OC = 3 Cm. Hỏi trong ba điểm A,B,C thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
Vẽ OD = 4 Cm. Quan sát thứ tự các điểm A,B,C,D trên tia Ox.
**************************
Đ6:Trung điểm của đoạn thẳng.
Kiến thức cơ bản:
1. Trung điểm của một đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và cách đều hai đầu đoạn thẳng đó. (h.16)
h 16
2. Nếu M là trung điểm của một đoạn thẳng AB 
thì MA = MB = 
Nâng cao:
1. Nếu M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và AM = thì M là trung điểm của AB. 
2. Mỗi đoạn thẳng có một trung điểm duy nhất.
Thí dụ 10:
Cho đoạn thẳng AB = a. Điểm O nằm giữa Avà B, gọi M và N thứ tự là trung điểm của OA và OB. Tính MN.
Giải: (h.10.1)
h 10.1
M là trung điểm của OA nên M nằm giữa 
A và O; OM = 
N Là trung điểm của OB nên N nằm giữa O 
và B: ON = .
Vì có O nằm giữa A và B (đề bài) nên O nằm giữa M và N ( xem thí dụ 5 ).
Vậy MN = OM + ON = += hay MN = 
Nhận xét:
Độ dài MN là một số không đổi , nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm O trên đoạn thẳng AB. Ta luôn có MN = 
Thí dụ 11:
 Cho điểm M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và AM = . Giải thích vì sao M là trung điểm của AB.
Giải: (h.11.1)
h 11.1
Điểm M nằm giữa A và B (1)
nên AM + MB = AB 
MB = AB – AM
MB = AB - = 
Do đó: AM = MB.
 Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của AB.
Bài tập.
Bài 34: 
Cho ba điểm M, N, O sao cho OM = 2cm; ON = 2cm và MN = 4cm. Vì sao có thể khẳng định O là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Bài 35:
Trên tia Ox lấy hai điểm A và M sao cho OA = 3 cm, OM = 4,5 cm. Trên tia Ax lấy điểm B sao cho M là trung điểm của AB. Hỏi điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?
Bài 36;
Trên đường thẳng a lấy 6 điểm M, N, O, P, Q, R theo thứ tự đó. Biết MN = NO = OP = PQ = QR. Tìm những điểm là trung điểm của đoạn thẳng.
Bài 37.
Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. Lấy hai điểm C, D thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = BD = 2cm. Gọi M là trung điểm của AB.
Giải thích tại sao M cũng là trung điểm của CD.
Tìm trên hình vẽ những điểm khác cũng là trung điểm của đoạn thẳng.
Bài 38: 
Trên tia Ax lấy điểm O và B sao cho AO = 2cm; AB = 5 cm. Gọi I là trung điểm của OB. Tính AI.
Bài 39:
Trên đường thẳng xy lấy điểm O và hai điểm M, N sao cho OM = 2 cm; ON = 3 cm; Vẽ các điểm A và B trên đường thẳng xy sao cho M là trung điểm của OA; N là trung điểm của OB. Tính độ dài AB.
Bài 40:
Cho đoạn thẳng CD= 5 cm. Trên đoạn thẳng này lấy hai điểm I và k sao cho CI= 1 cm; DK= 3 cm.
Điểm K có là trung điểm của đoạn thẳng CD không?
Chứng tỏ rằng I là trung điểm của đoận thẳng CK.