Các Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 6 (Phần số học)

Chuyªn ®Ò 1:
Số phần tử của một tập hợp.Tập hợp con
1.Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể không có phần tử nào.
2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø.
3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu là AB hay BA.
Nếu AB và BA thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B.
Ví dụ 4. Cho hai tập hợp
 A = { 3,4,5}; B = { 5,6,7,8,9,10};
a) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử?
b) Viết các tập hợp khác tập hợp rỗng vừa là tập hợp con của tập hợp A vừa là tập hợp con của tập hợp B.
c) Dùng kí hiệu để thực hiên mối quan hệ giữa tập hợp A,B và tập hợp nói trong 
 câu b). Dung hình vẽ minh họa các tập hợp đó.
Giải. a) Tập hợp A có 3 phần tử , tập hợp B có 6 phần tử.
b) Vì số 5 là phần tử duy nhất vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B.vì vậy chỉ có một tập hợp C vừa là tập hợp con của tập hợp A ,vừa là tập hợp con của tập hợp B: C = {5}.
c) CA và CB. biểu diễn bởi hình vẽ:
Bài tập:
Cho hai tập hợp 
M = {0,2,4,..,96,98,100};
 Q = { x N* | x là số chẵn ,x<100};
a) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử?
b)Dùng kí hiệu để thực hiên mối quan hệ giữa M và Q.
2.Cho hai tập hợp 
R={m N | 69 ≤ m ≤ 85};
S={n N | 69 ≤ n ≤ 91};
Viết các tập hợp trên;
Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử;
Dùng kí hiệu để thực hiên mối quan hệ giữa hai tập hợp đó.
3.Viết các tập hợp sau và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử:
 a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 17 – x = 3 ;
b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà 15 – y = 16;
c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà 13 : z = 1;
d) Tập hợp D các số tự nhiên t , t N* mà 0:t = 0;
4. Tính số điểm về môn toán trong học kì I . lớp 6A có 40 học sinh đạt ít nhất một điểm 10 ; có 27 học sinh đạt ít nhất hai điểm 10 ; có 29 học sinh đạt ít nhất ba điểm 10 ; có 14 học sinh đạt ít nhất bốn điểm 10 và không có học sinh nào đạt được năm điểm 10.
dung kí hiệu để thực hiên mối quan hệ giữa các tập hợp học sinh đạt số các điểm 10 của lớp 6A , rồi tính tổng số điểm 10 của lớp đó.
5. Bạn Nam đánh số trang của một cuốn sách bằng các con số tự nhiên từ 1 đến 265 .hỏi bạn nam phải viết tất cả bao nhiêu chữ số?
6. Để tính số trang của một cuốn sách bạn Viết phải viết 282 chữ số. hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu trang.
Chuyªn®Ò2
C¸c phÐp to¸n trong N
Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân.
D a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi
Khi đổi chõ các thừa số trong một tích thì tích không đổi.
Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
Muốn cộng một tổng hai số với một số thứ ba , ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của hai số thứ hai và thứ ba.
Muốn nhân một tích hai số với số thứ ba ,ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba.
Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.:
 a(b+ c) = ab + ac
 Muốn nhân một số với một tổng , ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi cộng các kết quả lại.
Điều kiện để thực hiện phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ.
Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) là có số tự nhiên p sao cho
 a= b.p.
Trong phép chia có dưa;
 số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r)
 số dư bao giờ cũng khác 0 và nhỏ hơn số chia.
Ví dụ . a) Tính tổng của các sống tự nhiên từ 1 đến 999;
b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hang ngang ,ta được số 123.999. tính tổng các chữ số của số đó.
Giải . a) Ta có 1 + 2 + 3 + + 997 + 998 + 999 = (1+ 999) + ( 2 + 998 ) +(3 + 997 ) ..+ (409 + 501 ) = 1000.250 = 250000.
b) số 999 có tổng các chữ số bằng 27, vì thế nếu tách riêng số 999 , rồi kết hợp 1 với 998; 2 với 997 ; 3 với 996; thành từng cặp để có tổng bằng 999, thì mỗi tổng như vậy đều có tổng các chữ số là 27.vì vậy có 499 tổng như vậy ,cộng thêm với số 999 cũng có tổng các chữ số bằng 27.do đó tổng các chữ số nêu trên là 27.50= 13500.
Ví dụ . Tìm số có hai chữ số,biế rằng nếu viêt chữ số 0 xen giữa hai chữ của số đó thì được số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu.
Giải : gọi số có hai chữ số phải tìm là trong đó a ,b là các số tự nhiên từ 1 đến 9.theo đề bài ,ta có:
 = 9 hay 100a + b = 9( 10a + b ) hay 100a + b = 90a + 9b
Do đó 5a = 4b. bằng phép thử trực tiếp ta thấy trong các số tự nhiên từ 1 đến 9 chỉ có a= 4 ,b = 5 thỏa mãn 4a = 5b.
Số có hai chữ số phải tìm là 54.
Bài tập :
Tính 
1 + 7 + 8 +15 + 23 + .+ 160;
1 + 4 + 5 + 9 + 14 +.+ 60 + 97;
78.31 + 78.24 + 78.17 +22.72.
2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số 5 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để được tổng bằng 1000.
b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số 8 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để được tổng bằng 1000.
3.Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào có tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?
4. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để được phép tính đúng :
 a) + 36 = ;
 b) + + = 
5. Cho ba chữ số a,b,c với 0 < a < b < c ;
a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm cả ba chữ số a, b ,c:
b) Biết rằng tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488.tìm tổng các chữ 
a + b + c.
4
10
2
8
5. Cho 1 bảng vuông gồm 9 ô vuông như hình vẽ.
hãy điền vào các ô của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10 
 (mỗi số chỉ được viết một lần) sao cho tổng các số ở 
mỗi hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo bằng nhau.
6. Kí hiệu n! là tích của các số tự nhiên từ 1 đến n : n! = 1.2.3n.
Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!
7. Trong một tờ giấy kẻ ô vuông kích thước 50.50 ô vuông .trong mỗi ô người ta viết một số tự nhiên . biết rằng bốn ô tạo thành một hình như hình vẽ thì tổng các số trong bốn ô đó đều bằng 4 .hãy chứng tỏ rằng mỗi số đó đều bằng 1.
8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số được viets bảy chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì được tổng là số có bảy chữ số.hãy chứng tổ rằng tổng tìm được có ít nhất một chữ số chẵn.
 9.Cho bảng gồm 16 ô vuông như hình vẽ .hãy điền vào các 
15
29
23
5
3
17
27
9
ô bảng của bảng các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 31 (mỗi số chỉ 
viết một lần.) sao cho tổng các số trong cùng một hàng,
 cùng một cột , cùng một đường chéo đều bằng nhau
10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,.( dãy số phi bô na xi) trong đó mỗi số (bắt đầu từ số thứ ba) bằng tổng hai số đứng liền trước nó.chọn trong dãy số đó 8 số liên tiếp tùy ý.chứng minh rằng tổng của 8 số này không phải là một số của dãy đã cho. 
11. Một số chắn có bốn chữ số, trong đó chứ số hàng trăm và chứ số hang chục lập thành một số gấp ba lần chữ số hàng nghìn và gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số đó.
12.Tìm các số a,b,c,d trong phếp tính sau:
 abcd + abc + ab + a = 4321 .
13.Hai người chơi một trò chơi lần lượt bốc những viên bi từ hai hộp ra ngoài.mỗi người đến lượt mình bốc một số viên bi tùy ý .người bốc viên bi cuối cùng đối với cacr hai hộp là người thắng cuộc.biết rằng ở hộp thứ nhất có 190 viên bi ,hộp thứ hai có 201 viên bi.hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc bi đầu tiên là người thắng cuộc.
Bài tập cñng cè
Tính giá trị của biểu thức một cách hợp lí:
A = 100 + 98 + 96 + .+ 2 - 97 – 95 - - 1 ;
B = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + - 299 – 330 + 301 + 302;
 2. Tính nhanh
a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21.
b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40;
c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42.
 3.Tìm x biết:
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35);
b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
 4. Tổng của hai số bằng 78293.số lớn trong hai số đó co chữ số hàng dơn vị là 5 ,chữ hàng chục 1,chữ số trăm là 2.nếu ta gạch bỏ các chữ số đó đi thì ta được một số bằng số nhỏ nhất .tìm hai số đó.
 5.Một phếp chia có thương là 6 dư 3 .tổng của số bị chia ,số chia và số dư là 195.tìm số bị chia và số chia.
 6.Tổng của hai số có a chữ số là 836.chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5 ,của số thứ hai là 3 .nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ được hai số có hai chữ số mà số này gấp 2 lần số kia.tìm hai số đó.
 7.Một học sinh khi giải bài toán đáng lẽ phải chia 1 số cho 2 và cộng thương tìm được với 3 .nhưng do nhâm lẫn em đó đã nhân số đó với 2 và sau đó lấy tích tìm được trừ đi 3 .mặc dù vậy kết quả vẫn đúng .hỏi số cần phải chia cho 2 là số nào?
 8. Tìm số có ba chữ số .biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 và dư 2.tích của số phải tìm với 7 là 1 số có chữ số tận cùng là 1.
 9. Tìm số tự nhiên a ≤ 200 .biết rằng khi chia a cho số tự nhiên b thì được thương là 4 và dư 35 .
 10. Viết số A bất kì có 3 chữ số ,viết tiếp 3 chữ số đó 1 lần nữa ta được số B có 6 chữ số.chia số B cho 13 ta được số C. chia C cho 11 ta được số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng của phép chia này.
 11. Khi chia số M gồm 6 chữ số giống nhau cho số N gồm 4 chữ số giống nhau thì được thương là 233 và số dư là 1 số r nào đó .sau khi bỏ 1 chữ số của số M và 1 chữ số của số N thì thương không đổi và số dư giảm đi 1000.tìm 2 số M và N?
chuyªn ®Ò 3
Lũy thừa vµ c¸c phÐp to¸n
Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau,mỗi thừa số bằng a: 
 an = a.aa ; (n thừa số a, n ≠0).
2.Khi nhân hai lũy thừa của cùng cơ số , ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ 
 am an = a(m+n)
Ví dụ . 
Hãy chứng tỏ rằng: a) (22)3 = 22 . 3 ; (33)2 = 33 . 2 ; (54)3 = 5 4. 3;
 b) (am)n = a m . n ; (m,n N).
Giải: 
a) (22)3 = 22.22.22 = 22+ 2+2 = 26 = 22.3
 tương tự làm như vậy tao có: (33)2 = 33 . 2 ; (54)3 = 5 4. 3;
 b) Một cách tổng quát ta có (am)n = a m . n ; (m,n N).
Ví dụ 9. a) Hãy so sánh : 23.53 với (2.5)3 ; 32 .52 với (2.5)2;
b) Hãy chứng minh rằng : (a.b)n = an .bn ; (n ≠ 0);
Giải . a) 23.53 = 8.125 = 1000;
 (2.5)3 = 103 = 1000; 
Vậy 23.53 = (2.5)3
Tương tự ta dễ dàng chưng minh được : (a.b)n = an .bn ; (n ≠ 0);
32 .52 = (2.5)2;
Bài tập:
Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:
10 ; 100 ; 1000; 10000; 100..0; (n số 0 );
5 ; 25; 625; 3125;
2.So sánh các số sau:
 a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281;
 3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa:
 a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ;
 4.So sánh:
 a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ;
 5.Một hình lập phương có cạnh là 5 m.
 a) tính thể tích của hình lập phương;
 b) nếu cạnh của hình lập phương tăng lên 2 lần , 3 lần thì thể tích của hình lập phương tăng lên bao nhiêu lần.
6. Trong cách viết ở hệ thập phân số 2100 có bao nhiêu chữ số?
C®4.Tính chất chia hết của một tổng,mét hiÖu, mét tÝch
Tính chất 1.nếu tất cả các số h ...  do đó x = 3 + 12 = 15.
 x – 15 = 17 – 48 hay x = - 16.
Bài tập:
Tìm y Z , biết :
y + 25 = - 63 – ( - 17);
y + 20 = 95 _ 75;
2y – 15 = -11 – ( - 16);
 - 7 _ 2y = - 37 – ( - 26).
Cho ba số - 25; 15; x (x Z). tìm x , biết :
Tổng của ba số trên bằng 50;
Tổng của ba số trên bằng - 35;
Tổng của ba số trên bằng – 10.
Cho x , y Z . Hãy chứng minh rằng:
nếu x – y > 0 thì x > y ;
 nếu x > y thì x – y > 0.
Cho a Z. tìm số nguyên x biết:
a + x = 11 ;
 a – x = 27.
 Trong mỗi trường hợp hãy cho biết với giá trị nào của a thì x là số nguyên dương, số nguyên am , số 0?
Cho aZ. tìm x Z biết 
│x│= a ;
 │x + a│ = a.
bội và ước của một số nguyên.
Bội và ước của một số nguyên : cho a , bZ và b≠ 0 . nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b. ta còn nói a là bội của b va b là ước của a.
 Chú ý :
Nếu a = bq thì ta còn nói a chia cho b được q và viết a : b = q.
Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0.
Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
Các số 1 và – 1 là ước của mọi số nguyên.
Tính chất:
Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a cũng chia hết cho c : 
 a b và b c a c.
Nếu a chia hết cho b thì bội của a cũng chia hết cho b : 
 m Z ta có a b a = am b.
Nếu hai số a ,b chai hết cho c thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho c 
 a c và b c ( a + b ) c và ( a – b ) c.
Ví dụ . Tìm số nguyên n , sao cho: (n - 6) ( n – 1 ).
Giải . (n - 6) ( n – 1 ) hay [ ( n – 1 ) – 5] ( n – 1 ) suy ra ( - 5) ( n – 1 ) hay (n – 1) là ước của ( - 5). Do đó:
Nếu n – 1 = -1 thì n = 0;
Nếu n – 1 = 1 thì n = 2;
Nếu n – 1 = - 5 thì n = -4;
Nếu n -1 = 5 thì n = 6.
Thử lại:
 Với n = 0 thì n – 6 = - 6 , n- 1 = -1 và (– 6) ( - 1);
Với n = 2 thì n – 6 = - 4 , n- 1 = 1 và (– 4) 1;
Với n = -4 thì n – 6 = - 10 , n- 1 = -5 và (– 10) ( - 5);
Với n = 6 thì n – 6 = 0 , n- 1 = 5 và 0 5;
vậy n = - 4 , 0 , 2 ,6.
Bài tập
Chứng tỏ rằng :
Tổng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3;
Tổng của năm số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5.
Có hay không một hình vuông mà số đo độ dài các cạnh là số nguyên và số đo diện tihcs bằng 11111 ; ( 2001 chữ số 1)?
Tìm số nguyên n sao cho:
(3n + 2) ( n – 1 ).
(3n + 24) ( n – 4 ).
(n2 + 5) ( n + 1 ).
Cho x, y là các số nguyên . chứng tỏ rằng nếu 6x + 11y chia hết cho 31 thì x + 7y cũng chia hết cho 31. điều ngược lại có đứng không?
Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n thì :
( n - 1)( n + 2) + 12 không chia hết cho 9;
( n + 2)( n + 9) + 21 không chia hết cho 49;
Phân số bằng nhau.
Hai phân số và gọi là bằng nhau nếu : a. b = c. d.
Ví dụ . Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong năm số sau: 3; 6; 12; 24; 48.
Giải. Từ năm số đã cho , có ba đẳng thức sau: 3. 24 = 6.12 ; 3.48 = 6.24; 6.48 = 12.24.
Với đẳng thức 3.24 = 6.12 , trước hết ta lập một cặp phân số = (1). Để lập các cặp phân số bằng nhau khác ta làm như sau:
 Tráo đổi vị trí số 3 và 24 của (1), ta được cặp phân số = .
Tráo đổi vị trí số 6 và 12 của (1), ta được cặp phân số = .
Tráo đổi vị trí số 3 và 24 , 6 và 12 của (1), ta được cặp phân số = .
Tóm lại từ đẳng thức 3.24 = 6.12, ta lập được 4 cặp phân số bằng nhau.
Cách làm tương tự với hai đẳng thức còn lại , ta được 8 cặp phân số bằng nhau nữa.
Vậy có tất cả 12 cặp phân số bằng nhau:
 = ; = ; = ; = ;
 = ; = ; = ; = ;
 = ; = ; = ; = ;
Ví dụ. Tìm các cặp số nguyên x, y biết : = .
Giải. Từ = , suy ra xy = - 6.
Để tìm các cặp số nguyên x , y ta phải xét tất cả các cách phân tích số -6 dước dangjtichs của hai số nguyên:
 ( - 6) = ( - 1).6 = 6 .( -1) = ( -2) .3 = ( - 3) .2.
Vì vai trò của x , y như nhau nên có 8 cặp số nguyên thỏa mãn đề bài :
x
-1
6
1
-6
2
-3
-2
3
y
6
-1
-6
1
-3
2
3
-2
Bài tập. 
1.Viết các phân số sau dưới dạng phân số co mẫu dương:
 ; ; ; ; 
2.Tìm các số nguyên x,y biết: 
a) = ; b) = ; c) = .
3. Tìm các số nguyên x , y ,z ,t biết :
 = = = = .
4.Tìm các số nguyên x, y , z biết : = = = .
5. Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong sáu số sau :
 - 5 ; - 3 ; - 2 ; 6 ; 10 ; 15.
6. Tìm các số tự nhiên a , b , biết rằng a ,b là các số nguyên tố cùng nhau 
 và = .
Rút gọn phân số.
Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một số ước chung ( khác 1 hoặc – 1) của chúng để được phân số đơn gian hơn.
Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa. phân số tối giản nếu │a│và│b│ là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ. Chứng tỏ rằng phân số là phân số tối giản với n N.
Vì n N , nên 5n + 3N* và 3n + 2 N* . do vậy để chứng minh phân số là phân số tối giản với n N. at phải chứng minh 5n + 3 và 3n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Gọi ƯCLN của 5n + 3 và 3n + 2 là d ( d N và d≥ 1) , ta có 5n + 3 d và 3n + 2 d , do đó 3(5n + 3) d và 5(3n + 2) d . suy ra 5(3n + 2) - 3(5n + 3) hay 15n + 10 – 15n – 9 d , hay 1 d , do đó d = 1 .vậy phân số là phân số tối giản với n N.
Vì dụ . tìm phân số bằng phân số , biết tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6.
Giải . ta có: = . Các phân số pahir tìm có dạng (k Z , k ≠ 0).
Vì tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6 nên – 17k + 19k = 6 suy ra k = 3.
Vậy phân số phải tìm là : = 
Bài tập 
Rút gọn các phân số sau: a) b) 
Rút gọn các phân số sau:
 a) ; b) 
3. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n , các phân số sau là phân số tối giản:
 a) b) .
4. Tìm tất cả các số nguyên để phân số là phân số tối giản.
5. a) Cho phân số . Phải them vào tử và mẫu của phân số , số tự nhiên nào để được phân số bằng phân số ?
b) Cho phân số . Phải thêm vào tử và mẫu của phân số , số tự nhiên nào để được phân số bằng phân số ?
6. Dung một trong chín chữ số từ 1 đến 9 để ghép thành một phân số mà mỗi phân số lần lượt bằng : 2 ,3, 4, 5,6 ,7 , 8, 9.
7. Tìm phân số tối giản , biết:
a) Cộng tử với 4 . mẫu với 10 thì được một phân số bằng phân số đã cho;
b) cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu thì được một phân sô gấp 2 lần phân số đã cho.
8. Tìm phân số , biết :
a) Phân số đó bằng phân số và BCNN của tử và mẫu là 360;
b) Phân số đó bằng phân số và ƯCLN của tử và mẫu là 36.
9. Tìm phân số , biết rằng phân số đó bằng phân số .
10. Chứng tỏ rằng nếu phân số là số tự nhiên với n N thì cá phân số và là các phân số tối giản.
Quy đồng mẫu nhiều phân số.
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta làm như sau:
Bước 1 : Tìm một bội chung của các mẫu ( thường là BCNN) để làm mẫu chung.
Bươc 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu ( bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu).
Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng.
Ví dụ. Rút gọn rồi quy đồng mẫu số các phân số sau:
; và .
Giải. rút gọn các phân số:
 = = = ;
 = = = = ;
 = = = .
Quy đồng mẫu ba phân số : ;;.
Mẫu chung : 7.9.11 = 693.
Các thừa số phụ tương ứng : 9.7 = 63 ; 7.11 = 77 và 9.
Vậy : = = ; = = ; = =.
Bài tập:
Tìm mẫu chung của các phân số sau :
 a) và ; b) và 
2. Tìm tất cả cá phân số mà tử và mẫu đều là các số tự nhiên khác 0 có một chữ số , tủ kém mẫu 3 đơn vị và có 
 a) BC của các tử là 210;
 b) BC của các mẫu là 210;
 c) BC của các tử và mẫu là 210;
3. Tìm các chữ số a , b ,c để:
a) Phân số = a + b;
b) Phân số = .
 4. Cho ba phân số:
 ;;
 Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số đó.
Tìm phân số có mẫu bằng 11 , biết rằng khi cộng tử với – 18, nhân mẫu với 7 thì được một phân số bằng phân số ban đầu.
a) Tìm phân số bằng phân số , có tích giữa tử và mẫu bằng 324;
b)Tìm phân số biết tích của tử và mẫu là 550 và mẫu của phân số chỉ chứa các số nguyên tố 2 và 5.
So sánh phân số.
Với hai phân số cùng mẫu dương , ta có :
Nếu a 0 thì < .
Nếu a > c và b > 0 thì >.
Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu , ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau. Phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lơn hơn.
Ví dụ: Hãy tìm các phân số , thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
Có mẫu là 30 , lớn hơn và nhỏ hơn .
Có mẫu là 5 , lớn hơn và nhỏ hơn .
Trong mỗi trường hợp trên hãy sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lơn.
Giải. a) Gọi phân số cần tìm là , trong đó a Z., ta có:
 < < , quy đồng mẫu chung của ba phân số ta được : < < ; suy ra 150 < 17a < 180 , do đó 8 < a < 11 , mà a Z. nên a = 8 ,10. vậy có hai phân số thỏa mãn đề bài : = ; = .
Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : < < < .
b) Cách làm tươn tự : ta tim được ba phân số thỏa mãn đề bài : ; ; .
Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : < < << .
Bài tập :
 1. Điền số thích hợp vào chỗ co dấu 
a) < < < < < ;
b) < < < .
 2. Hãy tìm các phân số , sao cho :
 a) Có mẫu là 20 , lớn hơn và nhỏ hơn ;
 b) Lớn hơn và nhỏ hơn .
 3. a) Cho phân số . cùng cộng thêm 3 vào tử và mẫu của phân số thì phân số tìm được lớn hơn hay nhỏ hơn ?
 b) Cho phân số . cùng cộng thêm 3 vào tử và mẫu của phân số thì phân số tìm được lớn hơn hay nhỏ hơn ?
 4. Cho hai phân số và . hãy tìm :
a) Năm phân số có tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân sô đó lớn hơn và nhỏ hơn ;
b) hai mươi phân số có tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân sô đó lớn hơn và nhỏ hơn ;
c) Có nhận xét gì về số các phân số có cùng tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân số đó lớn hơn và nhỏ hơn ;
5. Hãy viết ba phân số có mẫu khác nhau , xen giữa hai phân số : và 
Tính chất cơ bản của phép cộng phân số.
Tính chất giao hoán : khi đổi chỗ các phân số trông một tổng thì tổng không đổi .
 Với mọi phân số và ta có : + = +.
Tính chất kết hợp : muốn cộng một tổng hai phân số với phân số thứ ba , ta cố thể cộng phân số thứ nhất với tổng hai phân số còn lại.
 Với mọi phân số , , ta có : ( + ) + = + ( + ).
Tổng của một phân số với 0 bằng chính phân số đó : Với mọi phân số , ta có + 0 = + 0 = .
Ví dụ : Tính nhanh các tổng sau:
A = ++++ + .
B = ++++++++++++
Giải.a) Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng phân số , gộp các phân số có cùng mẫu vào từng nhóm, ta có :
 A = (++) + (+) + = .
b)Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng phân số , gộp các phân số có tổng bằng 0 vào từng nhóm, ta có :
B = (+)+(+)+(+)+(+)+(+)+(+) +
B = .
Bài tập:
 1.Thực hiện phép tính một cách hợp lí , tính các tổng sau:
 A = ++++ + + 
 B = ++++ + + 
 C = = ++++ + + 
2. Tìm các số nguyên x biết :
a) + ++ ≤ x < + ++ +.
 b) ++++< x ≤ ++++
3. Cho S = +++.++. Hãy so sánh S với 
4. Ba vòi nước cùng chảy vào một chiếc bể không chứa nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 3 giờ , vòi thứ hai chảy trong 4 giờ và vòi thứ ba trong 5 giờ.Hỏi:
 a) Trong 1 giờ, nõi vòi chảy được mấy phần của bể?
b) Trong 1 giờ,cả ba vòi cùng chảy thì được mấy phần của bể?