Bồi dưỡng về Số học Lớp 6 - Số chính phương

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VỀ SỐ HỌC
CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. Định nghĩa:
Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. 
A : là số chính phương thì A = k2 (kN)
II. Tính chất:
Số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng: 0;1; 4; 5; 6; 9; không thể tận cùng bằng 2; 3; 7; 8.
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chức các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
Chứng minh:
Giả sử A = k2 và k = ax.by.cz (a; b; c;  là các số nguyên tố)
thì A = (ax.by.cz)2 = a2x.b2y.c2z (đpcm)
Từ tính chất 2 ta có các hệ quả:
Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4
Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 phải chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16
Tích của các số chính phương là một số chính phương
A = a.b, nếu a là số chính phương thì b cũng là số chính phương.
Số lượng các ước của một số chính phương là lẻ. Ngược lại, một số có số lượng các ước là lẻ thì số đó là số chính phương 
Chứng minh:
Nếu A = 1 thì A là số chính phương có một ước. Ta giả sử A > 1 có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là A = ax.by.cz thì số lượng các ước của A là (x+1)(y+1)(z+1)  
Nếu A là số chính phương thì x; y; z;  là các số chẵn, nên x+1; y+1; z+1;  là lẻ, do đó số lượng các ước của A là lẻ.;
Nếu số lượng các ước của A là lẻ thì (x+1)(y+1)(z+1)  là lẻ
Do đó các thừa số x+1; y+1; z+1;  đều là số lẻ,
Suy ra x; y; z;  là các số chẵn. 
Đặt x = 2x’, y = 2y’; z = 2z’;  (x’; y’; z’;N) thì 
A = (ax’by’cz’)2 nên A là số chính phương (đpcm)
	4) Nếu số A bao hàm giữa bình phương hai số tự nhiên liên tiếp thì A không thể là số chính phương. Nghĩa là : nếu n2 < A < (n+1)2 thì A không là số chính phương.
III. Các kiến thức liên quan:
Nếu mỗi số hạng của một tổng (hoặc hiệu) chia hết cho một số thì tổng (hoặc hiệu) đó chia hết cho số đó.
Số có chữ số tận cùng chia hết cho 2 thì số đó chia hết cho 2
Số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4
Số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8
Số có chữ số tận cùng chia hết cho 5 thì số đó chia hết cho 5
Số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì số đó chia hết cho 25
Số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3
Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 9
Dấu hiệu chia hết cho 11
Cho A = 
A 11 (a0 + a2 + a4 + ) – (a1 + a3 + a5 + ) 11
IV. Các dạng bài tập thường gặp:
Dạng 1: Kiểm tra một số có phải là số chính phương hay không:
Ví dụ 1: Cho số chính phương n2 , tìm các số chính phương biết 
k chữ số 0 
n Ỵ 
	Giải 
	Ta có	112	= 121
	1012	= 10201
	10012	= 1002001
	100012	= 100020001
1000012	= 10000200001
10000012	= 1000002000001
k chữ số 0 
k chữ số 0 
k chữ số 0 
Tổng quát	
Ví dụ 2: Các tổng sau có phải là số chính phương không ?
A = 3 + 32 + 33 +  +320 
B = 11 + 112 + 113 
C = 1010 + 8
D = 100! + 7
E = 1010 + 5
F = 10100 + 1050 + 1
Giải
Ta có 3n 9 với mọi n ³ 2 nên 32 + 33 +  +320 9
Suy ra A = 3 + 32 + 33 +  +320 chia cho 9 dư 3
Vì A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên A không phải là số chính phương (t/c 2)
Ta có B = 11 + 112 + 113
= 11.(1 + 11 + 112)
= 11.(1 + 11 + 121)
= 11.133
= 1463
Có chữ số tận cùng là 3 nên B không phải là số chính phương (t/c 1) 
Ta có 1010 + 8 có chữ số tận cùng là 8 nên không phải là số chính phương (t/c 1) 
Ta có 100! + 7 có chữ số tận cùng là 7 nên không phải là số chính phương (t/c 1)
Ta có 1010 + 5 có chữ số tận cùng là 05 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không phải là số chính phương (t/c 2) 
Ta có 10100 + 1050 + 1 có tổng các chữ số là 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không phải là số chính phương (t/c 2) 
Ví dụ 3: 
a) Cho A = 22 + 23 + 24 ++ 220. Chứng minh rằng A + 4 không là số chính phương
b) Cho B = 31 + 32 + 33 ++ 3100 . Chứng minh rằng 2B + 3 không là số chính phương
	Giải 
	a) Ta có 	A = 22 + 23 + 24 ++ 220
	 nên	2A = 23 + 24 + 25 ++ 221
	 suy ra 	2A – A = 221 – 2222 
	 do đó 	A – 4 = 221 – 2222 – 4 = 221 = (210)2.2 không là số chính phương vì 2 không là số chính phương.
	b) Ta có 	B = 31 + 32 + 33 ++ 3100
	 nên	3B = 	32 + 33 + 34 ++ 3101
	 suy ra 	3B – B = 3101 – 3
	 do đó	2B + 3 = 3101 – 3 + 3 = 3101 = 3100.3 = (350)2.3 không là số chính phương vì 3 không là số chính phương.
Ví dụ 4: Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số A = 1234  1112. Số A có thể có 81 ước được không ?
Giải
Giả sử A có 81 ước.
Vì số lượng các ước của A là 81 (là số lẻ) nên A là số chính phương (1)
Mặt khác, tổng của các chữ số của A là 1+2+3++12 = 51 
Vì 51 3; 51 51 nên A chia hết cho 3 nhưng A không chia hết cho 9, do đó A không là số chính phương mâu thuẫn với (1).
Vậy A không thể có 81 ước 
Dạng 2 : Lập số chính phương từ các chữ số đã cho
Ví dụ 1 : 
Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 3, 6, 8, 8.
Giải :
	Gọi n2 là số chính phương phải tìm 
	Vì số chính phương không tận cùng bằng 3, 8 nên do đó n2 phải tận cùng bằng 6 
	Số tận cùng của n2 bằng 86 hoặc 36 
	Nếu tận cùng là 86 thì chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không phải là số chính phương (tính chất 2.a)
	Suy ra: n2 có tận cùng bằng 36 
Vậy số chính phương đó là 8836 = 942 
Dạng 3: Áp dụng tính chất 4
Ví dụ: Chứng minh rằng không tồn tại hai số tự nhiên x và y sao cho x2 + y và x + y2 là số chính phương.
	Giải: 
	Giả sử x ³ y. Ta có : x2 < x2 + y ≤ x2 + x < (x + 1)2
Dạng 3: Kiểm chứng một số thỏa mãn điều kiện cho trước có là số chính phương hay không.
Ví dụ 1: Một số tự nhiên gồm một số chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số chính phương không ? 
Giải
	Giả sử n2 là số chính phương cần tìm 
	Nếu n2 tận cùng bằng 0 thì nó phải tận cùng bằng một số chẵn chữ số 0. 
	Ta bỏ tất các chữ số 0 tận cùng này đi thì số còn lại tận cùng bằng 6 và phải là số chính phương. Ta xét hai trường hợp : Số còn lại tận cùng là 06 hoặc 66. Trong cả hai trường hợp đều chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không phải là số chính phương (t/c 2)
	Nếu n2 tận cùng là 6 thì tương tự như trên cũng không phải là số chính phương 
	Vậy số có tính chất như đề bài không thể là một số chính phương. 
Ví dụ 2: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135 thì ta được một số chính phương. 
Giải: 
Gọi số phải tìm là n, ta có 135n = a2 (a N) hay 33. 5. n = a2. Số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n = 3. 5. k2 (kỴN).
	Với k = 1 thì n = 15; với k = 2 thì n = 60; với k ³ 3 thì n ³ 135; có nhiều hơn hai chữ số (lọai)
	Vậy số phải tìm là 15 hoặc 60. 
Ví dụ 3: Tìm số chính phương có bốn chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ cuối giống nhau.
Giải :
Cách 1:
Gọi số chính phương phải tìm là n2 = (a,b Ỵ N, 1≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9).
	Ta có n2 = = 1100a + 11b = 11(100a + b) = 11(99a + a + b) (1).
Do đó 99a + a + b chia hết cho 11 nên a + b chia hết cho 11, 
Vậy a + b = 11.
	Thay a + b = 11 vào (1) ta được n2 = 11(99a + 11) = 112(9a + 1).
Do đó 9a + 1 phải là số chính phương .
Thử với a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	Ta thấy chỉ có a = 7 thì 9a + 1 = 64 = 82 là số chính phương
	Vậy a = 7 => b = 4 ta có số cần tìm là 7744 = 112 . 82 = 882 
Cách 2 : 
Biến đổi n2 = = 1100a + 11b = 11(100a + b) = , 
Do đó (kỴN).
	Ta có 100 ≤ 11k2 ≤ 909 => => 4 ≤ k ≤ 9
	Ta chọn 704 vì có chữ số hàng chục là 0
	Suy ra k = 8 và n2 = = 11 . 11 . 82 = 7744.
Ví dụ 4: Tìm số nguên tố (a > b > 0) sao cho là số chính phương.
Giải : = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b 
	 = 9(a – b) = 32(a – b)
	Để là số chính phương thì a – b phải là số chính phương.
	Ta thấy 1 ≤ a – b ≤ 8 nên a – b Ỵ {1; 4}.
	Với a – b = 1 thì Ỵ {21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98}lọai các hợp số 21; 32; 54; 65; 76; 87; 98; còn lại 43 là số nguyên tố.
Với a – b = 4 thì Ỵ {51; 62; 73; 84; 95} lọai các hợp số 51; 62; 84; 95; còn 73 là số nguyên tố.
Vậy bằng 43 hoặc 73.
Dạng 4: Toán chứng minh:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phương.
Chứng minh:
	Giả sử trong bốn số tự nhiên liên tiếp ta chọn số tự nhiên nhỏ nhất là a, ta phải xét tích số a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 có là số chính phương hay không?
	Ta biết a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 	= a(a+3) (a+1) (a+2) + 1
	= (a2 + 3a)(a2 + 3a + 2) + 1
	= (a2 + 3a)2 + 2(a2 + 3a) + 1
	= (a2 + 3a + 1)2 
	Vì a là một số tự nhiên nên (a2 + 3a + 1)2 phải là một số chính phương
	Suy ra điều cần phải chứng minh.
 Thông qua bài chứng minh trên ta không chỉ biết được a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 là một số chính phương mà còn biết được nó còn là bình phương của số nào.
Ví dụ :
	a) 1. 2. 3. 4 + 1 = 25 = 52 
	 2. 3. 4. 5 + 1 = 121 = 112 	 
 3. 4. 5. 6 + 1 = 361 = 192 
 4. 5. 6. 7 + 1 = 841 = 292 
	b) Biểu thức sau đây là bình phương của số tự nhiên nào ?
	 	+ 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = ?
	Biết a = 10 nên a2 + 3a + 1 = 102 + 3.10 + 1 = 131
	Nên 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = 1312 
+ 15 . 16 . 17 . 18 + 1 = ? 
Biết a = 15 nên a2 + 3a + 1 = 152 + 3.15 + 1 = 271
	Nên 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = 2712 
Với cách chứng minh tương tự như trên ta có các tính chất sau:
Tích của 4 số tự nhiên chẳn liên tiếp cộng 16 là một số chính phương.
Tích của 4 số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng 16 là một số chính phương.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng một số tự nhiên viết toàn bằng chữ số 2 thì không phải là số chính phương.
	Giải 
	Cách 1:
Ta có 24; 224. Giả sử có số tự nhiên A được ghi bởi n chữ số 2 với n > 2 thì :
	A = 222222 = 222200 + 22 = 100.A1 + 22
	Trong đóA1 làsố được ghi bởi n – 2 chữ số 2
	A = 4.25A1 + 22
	V ... 8
	Đến đây ta có thể tìm ra được quy luật: 
13 +23 ++ n3 = (1 + 2 ++ n)2
“Bạn tin không”
	Ta có số 49 là số chính phương. Nếu ta xen số 48 vào giữa sẽ được số 4489, nếu tiếp tục xen số 48 vào giữa sẽ được số 444889, một cách tổng quát . Lúc đó ta được dãy số 49, 4489, 444889, 44448889, , , bạn nghĩ gì về các số hạng của dãy số đó?Điều thú vị ở đây là mỗi số hạng của dãy lại chính là số chính phương.
	Chứng minh : 
 A=	= 9+8.10+8.102++8.10n+4.10n+1+4.10n+2++4.102n+1
Ta viết 9 = 1+4+4 và 8 = 4+4	ta được:
 A=1+4+4+(4+4).10+(4+4).102++(4+4).10n+4.10n+1+4.10n+2++4.102n+1
 = 1+(4+4.10+4.102++4.10n)+(4+4.10+4.102++4.102n+1)
 = 1+4.(1+10+102++10n)+4.(1+10+102++102n+1)
 = 1+4.+4. 
 =
 =
 =
Ta có 2.10n+1+13 (có tổng các chữ số bằng 3) nên số trong ngoặc là số nguyên. Suy ra A là số chính phương.
V. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN:
	1/. (Dạng 1) Các số sau có phải là số chính phương không ?
	a) A = 2004000	b) B = 20012001 
	2/. (Dạng 3) Chứng tỏ rằng các số sau không là số chính phương.
	a) 	b) 	c) 
	3/. (Dạng 3) Chứng tỏ rằng tổng sau không là số chính phương.
	A = 
4/. (Dạng 2) Cho bốn chữ số 0, 2, 3, 4. Tìm số chính phương có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên.
5/. (Dạng 2) Cho bốn chữ số 7, 4, 2, 0. Tìm số chính phương có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên. 
6/. (Dạng 2) Cho bốn chữ số 0, 2, 3, 5. Tìm số chính phương có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên.
7/.(Dạng 3)
 	a) Cho một số tự nhiên gồm 15 chữ số 2. Có cách nào viết thêm các chữ số 0 vào vị trí tùy ý để số mới tạo thành là một số chính phương hay không ?
	b) Một số tự nhiên gồm một chữ số 1, hai chữ số 2, ba chữ số 3, bốn chữ số 4, có thể là một số chính phương hay không?
8/. (Dạng 1) Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 101 làm thành một số A
A có là hợp số hay không ?
A có là số chính phương hay không ? 
A có thể có 35 ước hay không ?
9/. (Dạng 1) Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập tất cả các số có năm chữ số gồm cả năm chữ số ấy. Trong tất cả các số đó có số nào là số chính phương không? 
10/. (Dạng 3) Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương.
11/. (Dạng 3) Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 45 thì ta được một số chính phương.
12/. (Dạng 4)
	a) Các số tự nhiên n và 2n có tổng các chữ số bằng nhau. Chứng minh rằng n chia hết cho 9.
b) Tìm số chính phương n có ba chữ số, biết rằng n chia hết cho 5 và nếu nhân n với 2 thì tổng các chữ số của nó không đổi.
	13/.(Dạng 3) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu cộng nó với số có hai chữ số ấy viết theo chiều ngược lại thì ta được một số chính phương.
	14/. (Dạng 3) Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng : các chữ số hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị theo thứ tự đó làm thành bốn số tự nhiên liên tiếp tăng dần.
	15/. (Dạng 3) Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị và số chính phương đó viết được dưới dạng (5n+4)2 với n Ỵ N.
	16/. (Dạng 1) Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng minh rằng A – B là một số chính phương.
	17/. (Dạng 1) Có hay không có một số chính phương mà số đó gồm 1995 chữ số 1 và các chữ số còn lại là chữ số 0
	18/. (Dạng 1) Các số sau có là số chính phương không :
A = 10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20
B = 31 + 32 + 33 ++ 3100
C = 11 + 112 + 113
19/. (Dạng 1) Tìm số tự nhiên n sao cho tổng 
	1! + 2! + 3! +  + n! là một số chính phương.
20/. (Dạng 1) Số nào là số chính phương; số nào không là số chính phương?
	a) 21000	b) 31993 	c) 4161	d) 	
n-2 số 9 n số 0
21/. (Dạng 1) Chứng minh rằng số là số chính phương
22/. (Dạng 1) Chứng minh rằng 100! không phải là số chính phương.
	23/. (Dạng 4) Chứng minh rằng tổng của n số lẻ dầu tiên là một số chính phương:	1 + 3 + 5 +  + (2n + 1) = n2
24/. (Dạng 4) Chứng minh rằng: Tổng lập phương các số tự nhiên liên tiếp từ 1 là một số chính phương: 13 +23 ++ n3 = (1 + 2 ++ n)2
	25/. Chứng minh rằng tổng các chử số của một số chính phương không thể bằng 5.
	26/. Bình phương các số 1, 2, 3, , 1982 rồi viết chúng liền nhau theo một thứ tự nào đó. Có được một số có nhiều chữ số là số chính phương không ? 
	27/. Số chính phương có thể bắt đầu bằng 1983 chữ số 9 không ?
	28/. Tồn tại hay không số tự nhiên A mà khi viết thêm chính nó vào bên phải sẽ được số chính phương không ?
	29/. Số tự nhiên N là một số chính phương và không tận cùng bằng chữ số 0. Sau khi xóa hai chữ số cuối cùng của nó ta lại được một số chính phương. Tìm số N lớn nhất có tính chất trên.
	30/. Chứng minh rằng các số 16, 1156, 111556,  trong đó mỗi số bắt đầu bằng chữ số thứ hai, bằng số liền trước nó xen số 15 vào giữa, là những số chính phương. (xem mục “Bạn tin không ?”)
	31/. Tìm tất cả các số có bốn chữ số mà khi viết nó vào bên phải số 400 sẽ được một số chính phương.
	32/. Tổng các chữ số của một số chính phương có thể bằng 1983 không? 1984 không?
	33/. Chứng minh rằng mỗi số hạng của dãy số 11, 111, 1111,  không thể là số chính phương.
	34/. Viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 1976 theo thứ tự bất kì. Chứng minh rằng số viết được không là số chính phương.
HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP SỐ
	1/. 	a) Số A không tận cùng một số chẵn chữ số 0 (3 chữ số 0). nên không là số chính phương.
	b) Ta có B = 20012001 = (20011000)2 . 2001
	 Số 2001 có tổng các chữ số là 3 chia hết cho ba nhưng không chia hết cho 9 => B không là số chính phương. 	
	2/. 	a) , vô lí.
	b) , vô lí.
 	c) , vô lí.
	3/. A = = 
	 = 
	số chính phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn,
	do đó a+b+c = 37k2 (kỴN). Vô lí vì a+b+c ≤ 27.
	Vậy A không là số chính phương.
	4/. Đáp số : 2304 = 482 
5/. Đáp số : 2704 = 522
6/. Đáp số : 3025 = 552
	7/. 	a) Không phải là số chính phương vì số mới tạo thành chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
	b) Không phải là số chính phương vì số mới tạo thành chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
	8/. 	a) Tổng các chữ số của A là 903 nên A3 do đó là hợp số
	b) A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên A không là số chính phương.
	Hay A có số gốc là 3 nên không phải là số chính phương
c) A không là số chính phương nên số lượng các ước không thể là lẻ.
	9/. Tổng các chữ số từ các số lập được là 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên mỗi số lập được không phải là số chính phương
	10/. Vì n có 2 chữ số nên 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n + 1 ≤ 199. Các số chính phương lẻ trong khoảng trên là 25; 49; 81; 121; 169. 
25
49
81
121
169
n
12
24
40
60
84
3n + 1
37
73
121
181
253
Chỉ có số 3n + 1 = 121 là số chính phương. Vậy n = 40
	11/. Đáp số : 20; 45; 80
	12/. 	a) Gọi tổng các chữ số của n và của số 2n là k => ta có n – k 9 và 2n – k 9; do đó (2n – k) – (n – k) 9 hay n 9
	b) số chính phương phải tìm 5; 9 và có 3 chữ số nên có 2 đáp số : 225 và 900
	13/. ; có 8 đáp số: 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92.
	14/. Giả sử chữ số tận cùng của số chính phương là a + 3 chỉ có thể bằng 4; 5; 6; 9.
	Tương ứng ta có n2 bằng 2134;	3245;	4356;	7689
	Chỉ có 4356 = 662 còn các trường hợp còn lại loại
	15/. Số 5n + 4 tận cùng là 4 hoặc 9. Ta xét 2 trường hợp:
 TH 1: Số 5n + 4 tận cùng là 4 thì (5n + 4)2 tận cùng là 6. Cần tìm các số có dạng là bình phương của một số tận cùng bằng 4. Không có số nào thỏa mãn vì 742 = 5476 < < 7056 = 842 
 TH 2: Số 5n + 4 tận cùng là 9 thì (5n + 4)2 tận cùng là 1. Cần tìm các số có dạng là bình phương của một số tận cùng bằng 9. 
Ta thấy 292 = 841 << 2401 = 492 còn 392 = 1521
Vậy số cần tìm là 1521
50 chữ số 50 chữ số 50 chữ số
16/. Ta có 	 A = + 
Đặt C = thì B = 2C 
	Suy ra A = C.1050 + C 
do đó A – B = C.1050 + C – 2C = C(1050 – 1).
50 chữ số 
Ta có 1050 – 1 = = 9C
50 chữ số 
Vậy A – B = C. 9C = 9C2 = (3C)2 = là số chính phương. 
1995 số 1 
	17/. Giả sử A = 
	Tổng các chữ số của A bằng:
1995 số 1 
	 là một số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên A không là số chính phương.
	18/. 	a) Không vì A tận cùng 3 chữ số 0
Không (xem ví dụ 2 dạng 1)
Không vì C có chữ số tận cùng là 3
	19/. 	Với n = 1 thì 1! = 1 = 12
	Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương
	Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 9 = 32 là số chính phương 
Với n ³ 4 thì 1! + 2! ++ n! tận cùng bằng 3 nên không là số chính phương. (Thậy vậy 1! + 2! + 3! + 4! = 33, còn 5!; 6!  đều tận cùng bằng 0).
Vậy n = 1 hay n = 3
	20/. 	a) 21000 = 22.500 = (2500)2 
	b) 31993 = 31992.3 = (3996)2.3 
	c) 4161 = (22)161 = (2161)2 
	d) 
n-2 số 9 
	21/. Ta có 
n-2 số 9 n số 0
n-2 số 9 
	 	= 
	= 
	= 
	= 	
	= 
	= 
	= là số chính phương 
	22/. Ta có 100! = 1.2.3100
	Ta đi tìm số có tận cùng là 2 hoặc 5 (vì 2.5 = 10)và tận cùng là 0
	Có 10 số tận cùng là 2 là: 2; 12; 22; 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.
	Có 10 số tận cùng là 5 là: 5; 15; 25; 35; 45; 55; 65; 75; 85; 95.
	=> Tích của chúng có 10 chữ số 0 tận cùng
	Có 9 số tận cùng là 1 số 0 : 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90.
	Có 1 số tận cùng là 2 số 0 : 100
	Vậy 100! có 10 + 9 + 2 = 21 (lẻ) chữ số 0 tận cùng nên không là số chính phương. 
 	23/. Giả sử công thức: 1 + 2 + 3 +  + (2n + 1) = n2 (1) đúng với n=k, ta chứng minh công thức (1) đúng với n = k + 1.
	Theo quy nạp ta có: 
	1 + 3 + 5 +  + (2k – 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 
	Suy ra điều phải chứng minh.
	24/. Theo bài toán của Gauss ta có:
	Bài tóan trở thành cmr: 	(1)
	Giả sử công thức (1) đúng với n, ta chứng minh công thức (1) đúng với n + 1. Theo quy nạp ta có :
	Suy ra điều phải chứng minh.