Bộ đề tự luyện ôn thi giáo viên giỏi môn Toán - Nguyễn Thế Hoàng

ĐỀ TỰ LUYỆN SỐ 01
MÔN: Toán
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: Giải phương trình, hệ phương trình sau:
a, 
b, 
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Bài 3: Cho a, b, c . Chứng minh .
Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Dựng đường tròn tâm O, đường kính BC. Vẽ đường cao AD của tam giác ABC và các tiếp tuyến AM, AN với (O) (M, N là các tiếp điểm).
Gọi E là giao điểm của MN với AD. Hãy chứng minh rằng: AE.AD=AM2.
Bài 5: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Một đường thẳng qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK ^ BN.
Bài 6: Giả sử a, b là các số nguyên dương sao cho:
 là một số nguyên, gọi d là ước của a, b.
Chứng minh rằng: 
BÀI LÀM ĐỀ TỰ LUYỆN SỐ I
Họ và tên: Nguyễn Thế Hoàng - Đơn vị: Trường THCS Lam Kiều
Bài 1: Giải phương trình, hệ phương trình sau:
a, 
Bài giải
Với x = 0 thay vào (2) ta có 0 = 2 (Vô lý).
Vậy x = 0 không phải là nghiệm của hệ phương trình.
Khi đó với x khác 0 ta có (2) (*) thay vào phương trình (1) ta được:
Với và thay vào (*) ta được ; 
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: và 
b, 
Bài giải
Điều kiện xác định: 
Ta có:
Đặt: () Khi đó (*) (Vì 
Với (Thoả mãn điều kiện).
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 1.
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
 (3)
Bài giải
Điều kiện xác định: 
Đặt ()
Suy ra
Mặt khác: 
Khi đó phương trình (3) trở thành: (4)
Đặt 
Để phương trình (3) có nghiệm thì phương trình (4) có nghiệm đối với k thoả mãn điều kiện: 
Ta có: " m nên phương trình (4) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Nếu một trong hai nghiệm của phương trình (4) là k = thì ta có: 
Nếu cả hai nghiệm đều khác thì điều kiện của bài toán được thoả mãn khi và chỉ khi hoặc cả hai nghiệm cùng thuộc (0; ) hoặc có 1 nghiệm nằm xen giữa khoảng (0; ) có nghĩa là: hoặc ()
Điều đó xẩy ra khi và chỉ khi: 
Vậy giá trị cần tìm của m là: 
Bài 3: Cho a, b, c . Chứng minh .
Bài giải
Vì a, b, c nên ta có
Mà a, b, c nên: 
Khi đó 
Hay (điều phải chứng minh)
Bài 4:
Từ O nối OM, ON, Nối OA cắt MN tại K.
Khi đó ta có AM^OM; AN^ON (tính chất tiếp tuyến vuông góc với
Bán kính tại tiếp điểm).
AO^MN tại K (A giao điểm của 2 tiếp tuyến nên suy ra AO vừa là 
Tia phân giác góc A, vừa là đường trung trực đoạn thẳng MN).
Khi đó xét DAKE và DADO có: ; chung
đồng dạng 
 (tỉ lệ đồng dạng) (1)
Mặt khác vuông tại M có MK là đường cao
 (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm).
ĐỀ TỰ LUYỆN SỐ 02
MÔN: Toán
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm không âm:
 (1)
Bài 2: Giải hệ phương trình:
Bài 3: a, Cho phương trình có nghiệm thực.
CMR: 
b, Cho 3 số dương a, b, c. C/m rằng:
Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Điểm M di động trên cung nhỏ BC. Từ M kẻ MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC (HÎđường thẳng AB, KÎđường thẳng AC).
a, Chứng minh: đồng dạng với 
b, Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC sao cho biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho vuông ở A, . Vẽ phân giác trong BI, vẽ góc về phía trong tam giác (HÎAB).
Tính góc CHI.
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
BÀI LÀM ĐỀ TỰ LUYỆN SỐ II
Họ và tên: Nguyễn Thế Hoàng - Đơn vị: Trường THCS Lam Kiều
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm không âm:
 (1)
Bài giải
Điều kiện xác định: 
Đặt khi đó ta có: 
 thay vào (1) ta được: (2)
Đặt 
Để phương trình (1) có nghiệm không âm phương trình (2) có ít nhất một nghiệm 
Trường hợp 1: Phương trình (2) có nghiệm khi đó:
(2) 
Trường hợp 2: Phương trình (2) Có hai nghiệm phân biệt t1,t2
* Thoả mãn: 
 (Vô lý) do đó trường hợp này không thoả mãn.
* Thoả mãn: 
Kết hợp cả hai trường hợp giá trị cần tìm của m là: .
Bài 2: Giải hệ phương trình:
Bài giải
Ta có: 
Do y < 0 Hệ 
Thoả mãn điều kiện y < 0.
Với y = - 3 ta có 	(Thoả mãn điều kiện x > 0)
Với y = - ta có 	(Thoả mãn điều kiện x > 0)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) là và .
Bài 3: b, Cho 3 số dương a, b, c. C/m rằng:
Bài giải
Ta có: 
Dấu = xẩy ra khi a=1 
Tương tự: 	
Khi đó VT = (*)
Dấu bằng xẩy ra Khi và chỉ khi a = b = c = 1
Biến đổi vế phải:
Đặt: và 
Khi đó 
Do a, b, c dương x, y, z>0 nên (**)
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c
Từ (*) và (**) ta có: (đpcm)
Bài 4: 
a, Ta có tứ giác BACM nội tiếp nên:
	(1)
Tương tự tứ giác MHKA nội tiếp (do )
Nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (3)
Suy ra: 
Xét và có và nên đồng dạng 
Suy ra: (tỉ số đồng dạng)	(4)
Từ (3) và (4) suy ra: đồng dạng (c.g.c) (đpcm).
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: (6)
Bài giải
Ta có phương trình (6) 	
	(Thoả mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là: