Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Kèm đáp án)

TUYỂN TẬP 
CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
MÔN TOÁN LỚP 6
ĐỀ SỐ 1
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức 
	a, Rút gọn biểu thức
	b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản.
Câu 2: (1 điểm) 
 Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho và 
Câu 3: (2 điểm)
	a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương
	b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.
Câu 4: (2 điểm) 
	a. Cho a, b, n Î N* Hãy so sánh và 
	b. Cho A = ; B = . So sánh A và B.
Câu 5: (2 điểm)
 Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, ....., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.
Câu 6: (1 điểm) 
 Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.
ĐÁP ÁN 
Câu 1: Ta có: = 
Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm).
Rút gọn đúng cho 0,75 điểm.
b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm).
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] d
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. ( 0, 5 điểm)
Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm)
Câu 2: 	= 100a + 10 b + c = n2-1	(1)
 = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4	(2) (0,25 điểm)
Từ (1) và (2) Þ 99(a-c) = 4 n – 5 Þ 4n – 5 99 (3) (0,25 điểm)
Mặt khác: 100 [ n2-1 [ 999 Û 101 [ n2 [ 1000 Û 11 [n[31 Û 39 [4n – 5 [ 119 (4) ( 0, 25 điẻm)
 Từ (3) và (4) Þ 4n – 5 = 99 Þ n = 26
Vậy: = 675 ( 0 , 25 điểm)
Câu 3: (2 điểm)
a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( aÎ Z) Û a2 – n2 = 2006Û (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm).
+ Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm).
+ Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)2 và (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm).
Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm).
b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.
Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm).
Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm 
Ta xét 3 trường hợp 	 	 (0,5 điểm).
TH1: 	 Û a=b thì thì = =1. (0 , vì ,5 điểm).
TH1: 	 Û a>b Û a+m > b+n. 
Mà có phần thừa so với 1 là 
	 có phần thừa so với 1 là , vì < nên < (0,25 điểm).
TH3: <1 Û a<b Û a+n < b+n.
Khi đó có phần bù tới 1 là , vì (0,25 điểm).
b) Cho A = ; 
rõ ràng A Þ A< 	(0,5 điểm).
Do đó A< = 	(0,5 điểm).
Vây A<B.
Bài 5: Lập dãy số .
Đặt B1 = a1.	
B2 = a1 + a2 .
B3 = a1 + a2 + a3 
...................................
B10 = a1 + a2 + ... + a10 .
Nếu tồn tại Bi ( i= 1,2,3...10). nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh. 	( 0,25 điểm).
Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau: 
Ta đen Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư ( các số dư Î { 1,2.3...9}). Theo nguyên tắc Di-ric- lê, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n) Þ ĐPCM.
Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng Þ có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần Þ số giao điểm thực tế là:
(2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm.
ĐỀ SỐ 2
Thời gian làm bài 120 phút
Câu1: 	a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x+1)(y-5)=12
	b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 
	c. Tìm tất cả các số B= 62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99
Câu 2. 	a. chứng tỏ rằng là phân số tối giản.
	b. Chứng minh rằng : +++...+<1
Câu3: Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ 2 bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 quả ; Lần thứ 3 bán 1/4số cam còn lại và 3/4 quả. Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán .
Câu 4: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.
ĐÁP ÁN 
Câu1: a.(1đ): Ta có 2x+1: y-5 Là ước của 12
12= 1.12=2.6=3.4 	 (0,25đ)
do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 	 (0,25đ)
2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 
hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 	(0,25đ)
vậy (x,y) = (0,17); (1,9) 	(0,25đ)
b.(1đ)
Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ)
để 4n-5 chia hết cho2n-1 => 3 chia hết cho2n-1 (0,25đ)
=>* 2n-1=1 => n=1
*2n-1=3=>n=2 	 (0,25đ)
vậy n=1;2 	 (0,25đ)
 c. (1đ) Ta có 99=11.9
B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ)
*B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9 
(x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15
B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11
x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 	 (0,25đ)
y-x=2 và x+y=6 => y=4; x=2 	 (0,25đ)
y-x=2 và x+y=15 (loại) vậy B=6224427 	 (0,25đ)
Câu2: a. Gọi dlà ước chung của 12n+1và 30n+2 ta có 
5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ)
vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau 
do đó là phân số tối giản 	 (0,5đ)
b. Ta có <=-
 <=-
 ...
 <=- (0,5đ)
Vậy ++...+ <-+-+ ...+-
++...+ <1-=<1 (0,5đ)
Câu 3.Số cam còn lại sau lần bán thứ 2 là :
(24+3/4): 3/3 =33(quả) (1đ)
Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất .
(33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ)
 Số cam bác nông dân mang đi bán .
(50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ)
Câu 4(1đ)
 . Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm . có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100:2= 5050 ( giao điểm)
ĐỀ SỐ 3 
Thời gian làm bài: 120’
Bài 1:(1,5đ) Tìm x
	a) 5x = 125; 	b) 32x = 81 ; 	c) 52x-3 – 2.52 = 52.3
Bài 2: (1,5đ) 
 Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: 
Bài 3: (1,5đ) 
 Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng:
	a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương.
	b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm.
	c. Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm?
Bài 4: (2đ) 
 Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương.
Bài 5: (2đ)
 Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10.
Bài 6: (1,5đ)
 Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng:
	a. 
	b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại. 
ĐÁP ÁN 
Bài 1 (1,5đ) 
a).5x = 125 ó 5x = 53 => x= 3
b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2
c). 52x-3 – 2.52 = 52.3
ó52x: 53 = 52.3 + 2.52
ó52x: 53 = 52.5
ó52x = 52.5.53
ó 52x = 56 => 2x = 6 => x=3
Bài 2. Vì là một số tự nhiên với mọi a Z nên từ < 5 ta 
=> = {0,1,2,3,4}.
Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó -5<a<5.
Bài 3.
a)Nếu a dương thì số liền sau cũng dương.
Ta có: Nếu a dương thì a>0 số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương
b)Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm.
Ta có: Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm.
Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số 
bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết.
Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương.
Bài 5 (2đ): 
Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, ., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10.
Bài 6 (1,5đ).Ta có: và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên vậy 
Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz.
Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy
ĐỀ SỐ 4
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1. Tính: 
	a. A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +. . . + 2 20 
	b. tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750.
Câu 2. 
	a. Chứng minh rằng nếu: 11 thì 11.
	b. Chứng minh rằng: 10 28 + 8 72.
Câu 3. 
 Hai lớp 6A;6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 Kg còn lại mỗi bạn thu được 11 Kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 Kg còn lại mỗi bạn thu được 10 Kg . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200Kg đến 300 Kg.
Câu 4. 
 Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và bằng số thứ 3.
 Câu 5. 
 Bốn điểm A,B,C,Dkhông nằm trên đường thẳng a . Chứng tỏ rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD.
ĐÁP ÁN 
Câu 1. a). 2A = 8 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 21. 
=> 2A – A = 2 21 +8 – ( 4 + 2 2 ) + (2 3 – 2 3) +. . . + (2 20 – 2 20). = 2 21.
 b). (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750
=> x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100 = 5750
=> ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750
 101 x 50 + 100 x = 5750
 100 x + 5050 = 5750
	100 x = 5750 – 5050 
	100 x = 700
 	x = 7
Câu 2. a) = 9999 +11.
b). 10 28 + 8 9.8 ta có 10 28 + 8 8 (vì có số tận cùng là 008) 
nên 10 28 + 8 9.8 vậy 10 28 + 8 72
Câu 3. Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (Kg) thì ( x-26) 11 và ( x-25) 10.
Do đó (x-15) Î BC(10;11) và 200 x 300 => x-15 = 220 => x = 235.
Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + 1 = 20. hs
Số học sinh lớp 6B là: (235 – 25) : 10 + 1 = 22 hs.
Câu 4. Số thứ nhất bằng: : = (số thứ hai) 
Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai)	
Tổng của 3 số bằng (số thứ hai) = (số thứ hai)
Số thứ hai là : 210 : = 66 ; số thứ nhất là: . 66 = 63 ; số thứ 3 là:.66 = 81
Câu5: Đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng
 Xét 3 trường hợp
a). Nếu cả 4 điểm A, B, CD thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì a không cắt đoạn thẳng nào.
b). Nếu có 1 điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối thì đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD
c). Nếu có 2 điểm chẳng hạn (A và B) thuộc một nửa mặt phẳng hai điểm kia (C và D) thuộc mỗi mặt phẳng đối thì a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD 
ĐỀ SỐ 5
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1 (3đ) ...  =4 b Þ b = 4
Vậy có 2 cặp số thoả mãn là 3 và 6; 4 và 4.
0.5
0.5
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 6: 
2 điểm 
Ta có 
Từ đó: 
Suy ra: 
1.0
1.0
Bài 7:
2 điểm
Không tìm được x vì vế trái luôn lớn 0 với mọi x.
Bài 8:
4 điểm
a. Vẽ hình đúng (1đ)
	m	z	n
 x O y
b. Vì Om là phân giác của góc xOz 
nên ÐxOm = ÐmOz = 1/2ÐxOz 
mà ÐmOz = 300
Suy ra: ÐxOm = 300
 ÐxOz = 600
+ vì góc ÐxOz và ÐzOy kề bù
nên ÐxOz = ÐzOy = 1800
Suy ra: ÐzOy = 1800 - ÐxOz
 = 1800 - 600 = 1200
+ Vì On là phân giác của góc zOy
nên ÐzOn = ÐnOy = 1/2 ÐzOy = 1/2 . 1200 = 600
Kết luận: ÐxOm = 300
 ÐxOm = ÐnOy = 600
0.5
0.5
0.5
0.5
1
ĐỀ SỐ 57
Khoanh tròn chữ a,b,c,d nếu đó là câu đúng.
Bài 1: Cho 2 số nguyên m và n: 
a. m . n = |m| . |n| vói mọi m và n.
b. m . n = |m| . |n| với mọi m và n cùng dấu.
c. m . n = |m| . |n| với mọi m và n trái dấu.
d. m . n = |m| . |n| với mọi m và n cùng âm.
Bài 2: Với a là số nguyên:
Tổng: không phải là số nguyên.
Khẳng định trên là: a. Đúng b. sai
Bài 3: Qua ba điểm bất kỳ A,B,C ta có:
a. AB + BC = AC
c. AB + BC ³ AC
b. AB + BC > AC 
b. AB + BC £ AC
Bài 4: Chứng minh rằng: 
A = 
Bài 5: Tìm số nguyên tố p sao cho các số p + 2 và p + 4 Cũng là các số nguyên tố.
	Bài 6: Tìm ssó tự nhiên nhỏ nhất có tính chất sau:
Số đó chia cho 3 thì dư 1; chia cho 4 thì dư 2, chia cho 5 thì dư 3, chia cho 6 thì dư 4 và chia hết cho 13.
	Bài 7: Tìm x biết: 	|x- 1| = 2x + 3
Bài 8: Cho đoạn thẳng Ab = 7cm. Điểm C nằn giữa Avà B sao cho AC = 2cm. Các điểm D,E theo thứ tự là trung điểm của AC và CB. Gọi I là trung điểm của DE. tính DE và CI.
ĐÁP ÁN
Bài 1: 
2 điểm
Chọn câu a: 
Bài 2: 
2 điểm 
Chọn câu b: 
Bài 3: 
2 điểm 
Chọn câu c: 
Bài 4: 
2 điểm 
Ta có: 3A = 
Nên 3A - A = 1 - 
Hay 2A = 1 - Þ A = 
Vậy A < ẵ
0,5
0.5
0.5
0.5
Bài 5: 
3 điểm 
Số p có một trong 3 dạng 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k Î N *
Nếu p = 3k thì p = 3 ( vì p là số nguyên tố)
Khi đó p + 2 =5; p + 4 =7 đều là các số nguyên tố.
Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k +3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p +2 là hợp số trái với đề bài.
Nếu P = 3k +2 thì p +4 = 3k + 6 chia hết cho 3 lớn hơn 3 nên 
p + 4 là hợp số; trái với đề bài.
Vậy p = 3 là giá trị duy nhất phải tìm.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 6: 
3 điểm 
Gọi x là số phải tìm thì x + 2 chia hết cho 3; 4; 5; 6 nên x +2 là bội chung của 3; 4; 5; 6 
BCNN (3,4,5,6) = 60 nên x + 2 = 60n
Do đó x = 60n - 2 (n = 1,2,3 ... )
Do x là số nhỏ nhất có tính chất trên và x phải chia hết cho 13.
Lần lượt cho n = 1,2,3 ... ta thấy đến n = 10
Thì x = 598 chia hết cho 13.
Số nhỏ nhất cần tìm là 598.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 7:
2 điểm
|x - 1| = 2x + 3 ta có: x - 1 = 2x + 3 hoặc x - 1 = -(2x + 3)
* x - 1 = 2x +3
2x - x = -1 - 3
x = - 4
* x - 1 = -(2x + 3)
x + 2x = -3 + 1
x = -2/3
Vậy x = -4; x = -2/3
0.5
0.5
0.5
Bài 8:
4 điểm
Vẽ hình đúng 
A D C I E B
+ Ta có: AC + CB = AB ( vì C nằm giữa AB)
nên CB = AB - AC = 7cm - 2cm = 5cm
+ Vì D và E nằm giữa A,B nên
AD + DE + EB = AB
Suy ra: DE = AB - AD - EB
AD = 1/2 AC = 1/2.2 = 1(cm) (vì D là trung điểm AC)
EB = 1/2 BC = 1/2.5 = 2,5(cm) (vì E là trung điểm BC)
Vậy DE = 7 - 1 - 2,5 = 3,5 (cm)
+ Vì I là trung điểm của DE
Nên DI = 1/2 DE = 1/2 .3,5 = 1,75(cm)
Suy ra AI = AD + DI = 1 + 1,75 = 2,75
+ Ta thấy AD < AC < AI nên (nằm giữa D và I)
nên DC + CI = DI
Suy ra: CI = DI - DC = 1,75 - 1 = 0,75 (cm).
Kết luận: DE = 3,5cm; CI = 0,75cm.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
ĐỀ SỐ 58
Đề Olimpic huyện năm học 2005 2006
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Thực hiện phép tính: 
Bài 2. Thay dấu “ * ” bằng các chữ số thích hợp để 359** chia cho 5; 6; và 7 đều có số dư là 1
Bài 3. Một Đoàn khách 300 người đi du lịch tham quan thắng cảnh Vịnh Hạ Long. Trong đó có ba loại thuyền để chở: Loại thứ nhất 1 người lái chở được 30 khách, loại thứ hai 2 người lái chở được 30 khách, loại thứ ba 2 người lái chở được 24 khách. Tính toán sao cho số thuyền, số người lái thuyền để chở hết số khách không thừa, không thiếu người trên thuyền. Đoàn đã dùng 11 chiếc thuyền và 19 người lái. Tính số thuyền mỗi loại ?
Bài 4. Số 250 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số ? 
Bài 5. Tìm ƯCLN của 77...7, (51 chữ só 7) và 777777.
HƯỚNG DẪN 
Bài 1. (4 điểm) Thực hiện phép tính: 
 = 
 (Mỗi bước 1 đ)
 Bài 2. (5 điểm) 
 Thay dấu “ * ” bằng các chữ số thích hợp để 359** chia cho 5; 6; và 7 đều có số dư là 1
 Theo bài ra suy ra:
 (359** - 1) chia hết cho BCNN (5; 6; 7); BCNN (5; 6; 7) = 210 (1 đ)
 Hay = 35700 + 200 + (1 đ)
 => - 1 = 210 . 170 + 199 + (1 đ)
 => 199 + chia hết cho 210 => = k . 210 - 199 (k ) (1,5 đ)
 k = 1 => = 11. Vậy số cần tìm là 35911 (1,5 đ)
Bài 3. . (4 điểm)
 Một Đoàn khách 300 người đi du lịch tham quan thắng cảnh Vịnh Hạ Long. Trong đó có ba loại thuyền để chở: Loại thứ nhất 1 người lái chở được 30 khách, loại thứ hai 2 người lái chở được 30 khách, loại thứ ba 2 người lái chở được 24 khách. Tính toán sao cho số thuyền, số người lái thuyền để chở hết số khách không thừa, không thiếu người trên thuyền. Đoàn đã dùng 11 chiếc thuyền và 19 người lái. Tính số thuyền mỗi loại ?
 Giả sử mỗi thuyền đều chở 30 người thì 11 thuyền chở được: 30 . 11 = 330 (người). (1 đ)
 Nên số thuyền 2 người lái chở 24 người / thuyền là (330 - 300): (30 - 24) = 5 (thuyền) (1 đ)
 Giả sử mỗi thuyền đều có 2 người láI, thì số người láI thuyền là: 11 . 2 = 22 (người). (1 đ)
Nên số thuyền 1 người láI chở 30 người là: 22 -19 = 3 (thuyền) 
 Suy ra số thuyền 2 người láI chở 30 người / thuyền là: 11 - (3 + 5) = 3 (thuyền) (1 đ)
 Bài 4. (4 điểm)
 Số 250 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số ? 
 Nhận xét: Số a có n chữ số khi và chỉ khi: (1 đ)
 Ta thấy: (0,5 đ)
 Từ (1) và (2) suy ra: (0.5 đ)
 Mặt khác: (0,5 đ)
 Từ (3) và (4) suy ra: (0.5 đ)
 Vậy ta có: ; Nên số 250 có 16 chữ số viết trong hệ thập phân (1đ)
Bài 5. (3 điểm)
 Tìm ƯCLN của 77...7, (51 chữ só 7) và 777777.
 Ta có: = 777777.1045 +777777. 1039+ . . .+ 777777 .103+777 (0.5 đ)
 = 777777(1045 + 1039 + . . . + 103) + 777 (0.5 đ)
Suy ra: chia cho 777 777 dư 777 (0.5 đ)
 Đặt = A ; 777 777 = B; 1045 + 1039 + . . . + 103 = C (0.5 đ)
 Ta có A = B.C + 777 hay A - B. C = 777. Từ đó mọi ước chung của A và B đều là ước của 777. Mặt khác 777 là ước số của A và B (0.5 đ)
 ( A = 777.(1048 +1045 + . . . + 1); B = 777 . 1001)
 Vậy 777 chính là ƯCLN của A và B. (0.5 đ)
ĐỀ SỐ 59
Bài 1: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số , biết rằng: và .
Bài 2: 	a)Tính nhanh:	
	b)Rút gọn:
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số 	
	a)Có giá trị là số tù nhiên.	
	b)Là phân số tối giản.
Bài 4: Cho với n Î N.	Chứng minh rằng 
Bài 5: Trên đường thẳng xx’ lấy một điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xx’ vẽ 3 tia Oy, Ot, Oz sao cho: Góc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540.
Chứng minh tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz.
Chứng minh tia Ot là tia phân giác của góc zOy.
HƯỚNG DẪN
Bài 1: Ta có
Vì và 0 ≤ b ≤ 9 mà a - c = 5. Nên ta có:
Với a = 9 c = 4 và b2 = 9.4 = 36 b = 6 (Nhận)
Với a = 8 c = 3 và b2 = 8.3 = 24 không có giá trị nào của b.
Với a = 7 c = 2 và b2 = 7.2 = 14 không có giá trị nào của b. 
Với a = 6 c = 1 và b2 = 6.1 = 6 không có giá trị nào của b .
Bài 2: 	a)	
	b)	
Bài 3: Đặt A =
Để A là số tù nhiên thì 91⋮ 3n + 4 ⋮ 3n + 4 là ước của 91 hay 3n + 4 thuộc {1; 7; 13; 91}.
Với 3n + 4 = 1 n = -1 Loại vì n là số tù nhiên.
Với 3n + 4 = 7 n = 1 Nhận A = 2 + 13 = 15.
Với 3n + 4 = 13 n = 3 Nhận A = 2 + 7 = 9.
Với 3n + 4 = 91 n = 29 Nhận A = 2 + 1 = 3.
Để A là phân số tối giản thì 91 không chia hết 3n + 4 hay 3n + 4 không là ước của 91 
Suy ra 3n + 4 không chia hết cho ước nguyên tố của 91. Từ đó suy ra: 
3n + 4 không chia hết cho 7 suy ra n ≠ 7k +1.
3n + 4 không chia hết cho 13 suy ra n ≠ 13m + 3.
Bài 4: 	Xét Suy ra:	
Với 
Bài 5: Hình vẽ
x'
O
x
z
t
y
970
540
400
	a)Theo đề bài ta có góc x’Ox = 1800 mà góc x’Oy và góc yOx kề bù. Mà góc x’Oy = 400 ⇒ góc yOx = 1800 - 400 = 1400 Suy ra: góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy. Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Ox. Vậy tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy.
b)Theo câu a ta có tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy.
Vì tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 430 ( vì góc xOt = 970 và góc xOy = 1400).
Vì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ⇒ Góc xOz + góc zOt = góc xOt hay góc zOt = 430 ( vì góc xOt = 970 và góc xOy = 540).
Suy ra góc tOy = góc zOt = 430. Vậy tia Ot là tia phân giác của góc zOy
ĐỀ SỐ 60
Phòng GD huyện Ngọc Lạc Trường Cao Thịnh năm 2006 2007 Thời gian làm bài:120 phút
 Bài 1 (4 điểm) :
 Tính giá trị của biểu thức :
 a/ A = 1 + (-2) +3 + (-2) + ...+ 2003 + (-2004) + 2005
 b/ B = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 +...(B có 2005 số hạng)
 Bài 2(5 điểm) :
 a/ Chứng minh : C = ( 2004 + + + ...+2004) chia hết cho 2005
 b/ Tìm số nguyên n sao cho n + 4 chia hết cho n + 1.
 Bài 3(4 điểm) : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 3 thì dư 1 ; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3 ; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 13.
 Bài 4(2 điểm) : Tìm x là số nguyên biết : .
 Bài 5 (5 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 7 cm ; điểm C nằm giữa A và b sao cho AC = 2 cm ; các điểm D, E theo thứ tự là trung điểm của AC và CB ,Gọi I là trung điểm của DE.Tính độ dài của DE và CI.
ĐÁP ÁN
Bài 1 : a/ A = 1 + (-2+3) + (-3+4) +...+ (-2002+2003) + (-2004 + 2005)
 = 1+ 1 + 1 +....+ 1+ + 1 ( có 1002 số hạng)
 = 1003
 b/ B = 1 – 7 +13 – 19 + 25 – 31 +.... (B có 2005 số hạng)
 = 1 +C
 C = (-7+13) + (-19+25) + (-31+37) +.... (C có 1002 cặp)
 = 6 + 6+ 6 + .... 
 = 6012
 Vậy B = 6013
 Bài 2 : a/ C = (2004 + 20042) + (20043+20044) + ....+( 20049+200410)
 = 2004.2005 + 20043.2005 + ... + 20049.2005
 = 2005.( 2004 +20043+...+ 20049) 
 b/ n + 4 = (n + 1) + 3 
 Ư(3) = {}
 Vậy n {-4;-2;0;2}
 Bài 3 : Gọi số phải tìm là a (a nguyên dương)
 Theo gt : chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2 ,chia cho 5 dư 3 ,chia cho 6 dư 4 suy ra a +2 chia hết cho 3,4,5,6. BCNN(3;4;5;6) = 60 suy ra a+260 hay a = 60k -2 (k N)
 Mặt khác a 13 suy ra 60k -2 13 hay 8k-213
 Do a nhỏ nhất suy ra k nhỏ nhất.Vậy 8k-2 = 78 k = 10 suy ra a = 598
 Bài 4 : 
 Nếu x : x-5+x-5=0 x=5 (TM)
 Nếu x <5 : 5-x+x-5 =0 0.x = 0 phương trình thoã mãn với mọi x <5
 Vậy với các số nguyên x thoã mãn bài ra.
 Bài 5 : C nằm giữa A và B : CB = AB – AC= 5 cm 
 D là trung điểm AI : AD = DC = 1cm
 E là trung điểm CB : CE = EB = 2,5 cm
 DE = DC + CE = 3,5 cm	
 I là trung điểm DE : DI = 1 ,75 cm CI = DI-DC = 0,75 cm