Tuyển chọn đề thi vào Lớp 10 THPT - Môn Toán học

các đề thi vào lớp 10 trung học phổ thôngĐề 1. đề thi vào lớp 10 chuyên toán
trường ptnk đhqg tp. hồ chí minh
Năm học 2006 - 2007
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1. 1) Giải hệ phương trình
2) Giải bất phương trình .
3) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x + y = 2. Chứng minh rằng 
xy(x2 + y2) 2. 
Bài 2. Cho phương trình
(m + 3)x2 - 2(m2 + 3m)x + m3 + 12 = 0 (1)
trong đó m là tham số.
1) Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
2) Kí hiệu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho x12 + x22 là một số nguyên. 
Bài 3. Cho tam giác đều ABC. P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ P đến các cạnh BC, CA, AB tương ứng.
1) Biết rằng x = 1, y = 2, z = 3. Hãy tính diện tích tam giác ABC.
2) Tìm quỹ tích những điểm P trong tam giác sao cho x + y = z. Từ đó suy ra tập hợp những điểm P trong tam giác sao cho x, y, z lập thành ba cạnh của một tam giác.
Bài 4. Cho đường tròn (C) tâm O, AB là một dây cung của (C) không đi qua O và I là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (C1) tâm O bán kính OI tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP.AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ đi qua một điểm cố định khác B. 
Bài 5. 1) Trong một giải bóng đá, có 4 đội thi đấu vòng tròn một lượt (trong một trận, đội thắng được 3 điểm,đội hoà được 1 điểm và đội thua được 0 điểm). Khi kết thúc giải, người ta thấy có 3 đội đạt được tổng số điểm lần lượt là 6 điểm, 5 điểm và 1 điểm. Hãy cho biết đội còn lại của giải có tổng số điểm là bao nhiêu và giải thích tại sao ?
2) Cho 13 số thực thoả mãn điều kiện: Tổng của 6 số bất kì trong chúng nhỏ hơn tổng của 7 số còn lại. Chứng minh rằng tất cả các số đã cho đều dương.
Đề 2. đề thi vào lớp 10 chuyên
trường đhsp hà nội
Năm học 2006 - 2007
Ngày thứ nhất
 ( Thời gian làm bài : 150 phút)
Câu 1. (1,5 điểm). Cho a, b, c là ba số phân biệt khác không thoả mãn điều kiện 
a + b + c = 0. Đơn giản biểu thức
P = .
Câu 2. (1,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
T = (x + y)(x + z) , 
trong đó x , y, z là ba số dương thay đổi luôn thoả mãn điều kiện (x + y + z)xyz = 1.
Câu 3. (2,0 điểm). Giải hệ phương trình
Câu 4. (3,5 điểm). Cho đường tròn (C) tâm O, đường kính AB. E là một điểm nằm trong đoạn OA; CD là dây cung vuông góc với đường kính AB tại điểm E. Đường thẳng DM cắt (C) tại N (khác điểm D). Đường tròn (C1) tâm O1, bán kính r, tiếp xúc trong với (C) tại điểm J thuộc cung nhỏ CN và tiếp xúc với các đoạn thẳng CM và MN tại các điểm I và K tương ứng. Biết AM = a, ME = b, EB = c.
1) Chứng minh rằng tam giác O1KM đồng dạng với tam giác MEC.
2) Tính độ dài các đoạn OO1, KM và O1M theo a, b, c và r. 
3) Chứng minh rằng .
Câu 5. (1,5 điểm). Tìm các chữ số x, y, z, t, u thoả mãn điều kiện , trong đó x, y là các chữ số hàng chục, đơn vị của số ; z, t, u là các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị của số ; x, y, z, t, u là chữ số hàng vạn, nghìn, trăm, chục, đơn vị của số .
Ngày thứ hai
(Thời gian làm bài : 150 phút)
Câu 6. (2,5 điểm). Giải phương trình
 (3x + 4)(x + 1)(6x + 7)2 = 6.
Câu 7. (1,5 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm x, y thoả mãn phương trình 
(y + 1)4 + y4 = (x + 1)2 + x2 .
Câu 8. (1,0 điểm). Giả sử x1 và x2 là hai số nguyên dương đã cho; a và b theo thứ tự là trung bình cộng và trung bình nhân của x1 và x2 . Biết rằng tỉ số là một số nguyên dương. Chứng minh rằng x1 = x2 .
Câu9.(4,0điểm). Cho hai đường tròn (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm A, B. Biết rằng (C1) có tâm O1, bán kính r1 = 1cm; (C2) có tâm O2, bán kính r2 = 2 cm ; AB = 1cm và hai điểm O1, O2 ở hai phía của đường thẳng AB. Xét đường thẳng (d) qua A, cắt (C1) và (C2) lần lượt tại các điểm M và N sao cho A nằm trong đoạn MN. Tiếp tuyến của (C1) tại M và tiếp tuyến của (C2) tại N cắt nhau tại điểm E.
1) Chứng minh rằng tứ giác EMBN nội tiếp được trong một đường tròn.
2) Tính độ dài các cạnh của tam giác AO1O2 .
3)Chứng minh rằng 2EM + ENcm.
4) Giả sử ba điểm A, B, E thẳng hàng. Chứng minh rằng (d) là đường phân giác ngoài của góc O1AO2.
Câu 10. (1,0 điểm). Cho X là tập hợp gồm 700 số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số không lớn hơn 2006. Chứng minh rằng trong tập hợp X luôn tìm được hai phần tử x, y sao cho x - y thuộc tập hợp E = { 3; 6; 9 }.
Đề 3. đề thi vào lớp 10 thpt chuyên
đại học vinh
Năm học 2006 - 2007
VòNG 1
 ( Thời gian làm bài : 150 phút)
Câu 1. (2 điểm). Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 + n + 2 không chia hết cho 3.
Câu 2. (3 điểm)
a) Giải hệ phương trình
b) Giải phương trình
.
Câu 3. (1,5 điểm). Cho hàm số f(x) = (x3 + 6x - 5)2006 .
Tính f(a) với a = .
Câu 4. (3,5 điểm). Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại A và B. Gọi EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (E thuộc (O; R) và F thuộc 
(O'; R')). Đường thẳng AB cắt EF tại K. Gọi I là điểm đối xứng của A qua K (A nằm giữa B và I).
a) Có nhận xét gì về tứ giác AEIF ?
b) Gọi M là trung điểm của OO'. Cho biết MA = MO'. Hãy tính độ dài EF theo R và R' .
VòNG 2
( Thời gian làm bài : 150 phút)
Câu 5. (1,5 điểm). Tìm số nguyên dương a sao cho
a1966 + a2006 + 1 
là số nguyên tố.
Câu 6. (3 điểm)
a) Giải phương trình x4 + 4x3 - 8x - 12 = 0.
b) Xác định số nguyên m để phương trình sau có nghiệm nguyên
 x2 - m(m + 1)x + 3m - 1 = 0. 
Câu 7. (1,5 điểm). Chứng minh rằng 
a2b2(a2 + b2) 128, 
với a, b là các số thực dương thoả mãn hệ thức a + b = 4. 
Đẳng thức xảy ra khi nào? 
Câu 8. (4 điểm). Cho tam giác đều ABC, có O là trung điểm của cạnh BC. Vẽ góc xOy bằng 600 sao cho các tia Ox, Oy cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F.
a) Chứng minh rằng BC2 = 4BE. FC.
b) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox, Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC.
Đề 3. đề thi vào lớp 10
thpt chuyên amsterdam và thpt chu văn an, hà nội
Năm học 2006 – 2007
MÔN : TOáN
(Thời gian làm bài : 150 phút)
Bài 1 (2 điểm). Cho phương trình ẩn x
 (*)
1) Giải phương trình (*) khi a = 1.
2) Tìm a để phương trình có nhiều hơn hai nghiệm dương phân biệt.
Bài 2 (2 điểm). Cho dãy các số tự nhiên 2, 6, 30, 210, ... được xác định như sau: Số hạng thứ k bằng tích k số nguyên tố đầu tiên (k = 1, 2, 3, ... ). Biết rằng tồn tại hai số hạng của dãy số có hiệu bằng 30000, tìm hai số hạng đó.
Bài 3 (2 điểm). Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn
Bài 4 (3 điểm). Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi C là điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn, D là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Tia phân giác góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là E, cắt tia phân giác góc ABC tại H.
1) Chứng minh AE // BH.
2) Tia phân giác góc CAB cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là F, cắt CE tại I. Tính diện tích tam giác FID trong trường hợp tam giác đó là đều.
3) Trên đoạn BH lấy điểm K sao cho HK = HD, gọi J là giao điểm của AF và BH. Xác định vị trí của C để tổng các khoảng cách từ các điểm I, J, K đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất. 
Bài 5 (1 điểm). Chứng minh rằng trong 2007 số khác nhau tuỳ ý được lấy ra từ tập hợp 
A = {1, 2, 3, ..., 20062007},
có ít nhất hai số x, y thoả mãn: 0 < 
Đề 5. đề thi vào lớp 10
trường thpt chuyên phân bội châu, nghệ an
Năm học 2006 - 2007
Ngày thứ 1
Bài 1 (2 điểm). Cho biểu thức 
P = .
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Chứng minh P < với xvà x 1.
Bài 2 (2 điểm). Cho phương trình x2 - 2(m-1)x + m2-3 = 0 (1) (m là tham số).
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Bài 3 (2 điểm)
a) Giải phương trình .
b) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Q = 6a + 7b + 2006c.
Bài 4 (4 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A với AB > BC. Điểm D di động trên cạnh AB, không trùng với A và B. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau tại K.
a) Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp.
b) Tứ giác ABCK là hình gì ? Tại sao ?
c) Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành.
ngày thứ 2
(Thời gian làm bài : 150 phút)
Bài 5 (3 điểm)
a) Giải phương trình .
b) Cho x, y, z là các số thực thoả mãn x + y + z = 0. 
Đặt a = x2 - yz, b = y2 - xz, c = z2 - xy. Chứng minh ax + by + cz = 0.
Bài 6 (2,5 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn x2 - (5 + y)x + 2 + y = 0.
b) Cho 2006 số thực a1, a2, ... , a2006 thoả mãn với n = 1, 2, ... , 2005. 
Đặt A =. 
Tính phần nguyên của A.
Bài 7 (1 điểm). Cho ba số dương x, y, z thoả mãn 
	x + y + z = . 
Chứng minh rằng (y + z)4 + (z + x)4 < (x + y)4.
Bài 8 (2,5 điểm). Cho đường tròn tâm O, bán kính R và dây BC bé hơn 2R, các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại A. M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC và không trùng với B, C. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. BM cắt HK tại P, CM cắt HI tại Q.
a) Chứng minh rằng PQ // BC.
b) Xác định vị trí của điểm M để tích MH.MI.MK đạt giá trị lớn nhất.
Bài 9 (1 điểm). Trong tam giác ABC có ba góc nhọn ta lấy một điểm M bất kì. Chứng minh rằng khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ M tới ba đỉnh của tam giác không bé hơn hai lần khoảng cách bé nhất trong các khoảng cách từ M tới ba cạnh của tam giác đó.
Đề 6. đề thi vào lớp 10 thpt chuyên lam sơn, thanh hoá,
năm học 2006 - 2007
Ngày thứ nhất 
 (Thời gian làm bài : 150 phút) 
Bài 1 (2 điểm). Cho biểu thức
A = .
1) Tìm điều kiện của a để A có nghĩa.
2) Rút gọn biểu thức A.
Bài 2 (2 điểm). Cho phương trình bậc hai x2 - 4x + m = 0.
1) Giải phương trình khi m = - 60.
2) Xác định các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2) thoả mãn điều kiện x22 - x12 = 8.
Bài 3 (2 điểm). Cho hệ phương trình 
1) Giải hệ phương trình khi m = 2.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm (x0 ; y0) sao cho y0 = 1.
Bài 4 (3 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn; AD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H; O là điểm cách đều ba đỉnh tam giác ABC. Gọi M là điểm đối xứng của B qua O; I là giao điểm của BM và DE; K là giao điểm của AC và HM.
1) Chứng minh rằng các tứ giác AEDC và CMID là các tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.
2) Chứng minh rằng OK vuông góc với AC.
3) Cho số đo góc AOK bằng 60o. Chứng minh rằng tam giác HBO cân.
Bài 5 (1 điểm). Cho ba số x, y, z khác 0 và thoả mãn 
.
Hãy tính A = . 
Ngày thứ hai
(Thời gian làm bài : 150 phút)
Bài 6 (1,5 điểm). Tìm ba số x, y, z thoả mãn điều kiện
Bài 7 (1,5 điểm). Cho biểu thức 
A = x2 +  ... bcd = 1. Chứng minh bất đẳng thức 
	(ac + bd)(ad + bc) ³ (a + b)(c + d).
Câu 4. Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD. Biết rằng đường tròn đường kính CD 
đi qua trung điểm các cạnh bên AD, BC và tiếp xúc với AB. Hãy tìm số đo các góc của hình thang.
Câu 5. a) Cho a, b, c là các số thực dương phân biệt có tổng bằng 3. Chứng minh rằng trong ba phương trình x2 – 2ax + b = 0, x2 – 2bx + c = 0 và x2 – 2cx + a = 0 có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm.
b) Cho S là một tập hợp gồm ba số tự nhiên có tính chất: tổng hai phần tử tùy ý của S là một số chính phương (Ví dụ S = {5, 20, 44} hoặc S = {10, 54, 90} là các tập hợp thỏa mãn điều kiện trên). Chứng minh rằng trong tập S có không quá một số lẻ.
đề 18. đề thi vào lớp 10 thpt chuyên hà tĩnh
năm học 2007 - 2008
Vòng 1
(Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1. Cho phương trình 	
(m + 1)x2 - (2m+3)x + 2 = 0,
với m là tham số.
a) Giải phương trình với m = 1.	
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này gấp bốn lần nghiệm kia.
Bài 2. a) Giải phương trình 	
 2x2 + 2x + 1 = . 	
b) Giải hệ phương trình 
Bài 3. Cho hai số x, y thoả mãn đẳng thức
. Tính x + y.
Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm M bất kì thuộc đường tròn 
(M khác A và B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên AB. Đường tròn đường kính HM cắt các dây cung MA, MB lần lượt tại P, Q.	
a) Chứng minh rằng = 900 và MP.MA = MQ.MB.
b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AH, BH. Tứ giác EPQF là hình gì?	
c) Xác định vị trí của M để tứ giác EPQF có diện tích lớn nhất.
Bài 5. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn 
a + b + c = 1. Chứng minh rằng .
Vòng 2
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 6. a) Giải phương trình
 x4 - 2x3 + 4x2 -3x - 4 = 0.
b) Tìm những điểm M(x ; y) trên đường thẳng y = x + 1 có toạ độ thoả mãn đẳng thức 	
 y2 - 3y + 2x = 0.
Bài 7. Các số x, y, z khác 0, thoả mãn 
xy + yz + xz = 0. Tính giá trị của biểu thức	
.
Bài 8. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
x2 - xy + y2 = 2x - 3y - 2.
Bài 9. Tìm tất cả các bộ ba số dương (x ; y ; z) thoả mãn hệ 
Bài 10. Từ một điểm P ở ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến PE, PF tới đường tròn (E, F là các tiếp điểm). Tia PO cắt đường tròn tại A, B sao cho A nằm giữa P và O. Kẻ EH vuông góc với FB (H ẻ FB). Gọi I là trung điểm của EH. Tia BI cắt đường tròn tại M (M B), EF cắt AB tại N. Chứng minh rằng:
a) .	
b) Đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn đi qua ba điểm P, E, M.
Bài 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
trong đó x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện x + y + z 4.
đề 19. đề thi vào lớp 10 thpt chuyên
amsterdam và thpt chu văn an, hà nội
năm học 2007 - 2008
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1 (3 điểm). Cho phương trình
	x2 – 3y2 + 2xy – 2x – 10y + 4 = 0 (1)
1) Tìm nghiệm (x ; y) của phương trình (1) thoả mãn x2 + y2 = 10.
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1).
Bài 2 (4 điểm). Cho điểm A di chuyển trên đường tròn tâm O đường kính BC = 2R (A không trùng với B và C). Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm của AM. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC và I là trung điểm của HC.
1) Chứng minh rằng M chuyển động trên một đường tròn cố định.
2) Chứng minh rằng DAHM DCIA.
3) Chứng minh rằng MH vuông góc với AI.
4) MH cắt đường tròn (O) tại E và F, AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai G. Chứng minh rằng tổng các bình phương các cạnh của tứ giác AEGF không đổi.
Bài 3 (1 điểm). Tìm số nhỏ nhất trong các số nguyên dương là bội của 2007 và có bốn chữ số cuối cùng là 2008.
Bài 4 (1 điểm). Cho một lưới vuông kích thước 5´5. Người ta điền vào mỗi ô của lưới một trong các số –1 ; 0 ; 1. Xét tổng của các số được tính theo từng cột, theo từng hàng và theo từng đường chéo. Chứng minh rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau.
Bài 5 (1 điểm). Tính tổng sau theo n (n ẻ *)
S = 2n – 1 + 2.2n – 2 + 3.2n – 3 +...+ (n – 1).2 + n.
đề 20. đề thi vào lớp 10 thpt chuyên phan bội châu, nghệ an
năm học 2007 - 2008
Ngày thứ 1
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 1. (2 điểm). Cho biểu thức
P = .
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi x = .
Câu 2. (2 điểm). Cho phương trình (m là tham số) 2x2 – 4mx + 2m2 – 1 = 0	(1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn + 4mx2 + 2m2 – 1 > 0.
Câu 3. (2 điểm). a) Giải hệ phương trình 
b) Cho x, y là các số dương thoả mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =.
Câu 4. (2,5 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A ( < 900) có đường cao BD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, BM và BD. Tia NI cắt cạnh AC tại K. Chứng minh rằng
a) Các tứ giác ABMD, ABNK nội tiếp.
b) .
Câu 5. (1,5 điểm). Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AC, N là điểm thuộc đoạn thẳng MC sao cho MN =NC. Biết rằng =. Chứng minh rằng = 900.
Ngày thứ 2
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 6. (3 điểm). 
a) Giải phương trình .
b) Cho đa thức bậc bốn P(x) với các hệ số nguyên thoả mãn P(x) chia hết cho 7 với mọi số nguyên x. Chứng minh các hệ số của P(x) chia hết cho 7.
Câu 7. (2,5 điểm). 
a) Giải hệ phương trình 
b) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 8. (1 điểm). Trong một hình chữ nhật có diện tích bằng 5 chứa chín hình chữ nhật nhỏ, mỗi hình chữ nhật nhỏ có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại hai hình chữ nhật nhỏ có diện tích phần chung không nhỏ hơn .
Câu 9. (2,5 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AN và CK. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt đường tròn (O) tại điểm M (M ạ B). Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AC.
a) Chứng minh EK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN.
b) Chứng minh EM vuông góc với MB.
Câu 10. (1 điểm). Biết rằng một tứ giác lồi có tổng hai cạnh đối và một đường chéo không lớn hơn (S là diện tích tứ giác). Tính độ dài đường chéo còn lại theo S.
Đề 21. Đề thi vào lớp 10 thpt chuyên lam sơn, thanh hoá
năm học 2007 - 2008
Thời gian làm bài : 150 phút 
Câu 1. (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình 
Câu 2. (2 điểm). Đội bóng bàn của trường A thi đấu với đội bóng bàn của trường B, mỗi đấu thủ của trường này thi đấu với mọi đấu thủ của trường kia 1 trận. Biết rằng tổng số trận đấu bằng 4 lần tổng số cầu thủ của cả hai đội và số cầu thủ của trường B là số lẻ. Tìm số cầu thủ của mỗi đội.
Câu 3. (3 điểm). Cho hai điểm A và B cố định trên đường tròn (O). C là điểm chính giữa cung AB, M là điểm chuyển động trên dây AB. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng
1) AC2 = CM.CD.
2) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc một đường thẳng cố định.
3) Gọi R1 và R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADM và BDM. Chứng minh R1 + R2 là hằng số.
Câu 4. (2 điểm). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(0 ; 3), B(4 ; 0), cùng với O tạo thành tứ giác lồi AOBC. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và chia tứ giác AOBC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Câu 5. (1,5 điểm). Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn thì tích abc là lập phương của một số nguyên.
đề 29
(Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2008 - 2009)
Đề đợt một
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1. (2 điểm)
1) Phân tích x2 - 9 thành tích.
2) x = 1 có là nghiệm của phơng trình x2 - 5x + 4 = 0 không?
Câu 2. (1 điểm)
1) Hàm số y = -2x + 3 đồng biến hay nghịch biến?
2) Tìm toạ độ các giao điểm của đờng thẳng y = -2x + 3 với Ox và Oy.
Câu 3. (1,5 điểm)
Tìm tích của hai số biết tổng của chúng bằng 17, nếu tăng số thứ nhất lên 3 đơn vị và số thứ hai lên 2 đơn vị thì tích của chúng tăng lên 45 đơn vị.
Câu 4. (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức .
Câu 5. (2 điểm)
Cho tam giác cân ABC cân tại B. Các đờng cao AD và BE cắt nhau tại H. Đờng thẳng d đi qua A và vuông góc với AB cắt tia BE tại F.
1) Chứng minh rằng AF // CH.
2) Từ giác AHCF là hình gì?
Câu 6. (1 điểm)
Gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đờng tròn (O) với các cạnh BC, CA, AB lần lợt là D, E, F. Kẻ BB' vuông góc với AO, AA' vuông góc với BO. Chứng minh rằng tứ giác AA'B'B nội tiếp và bốn điểm D, E, A', B' thẳng hàng.
Câu 7. (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
A = (2x - x2)(y - 2y2) với 0 Ê x Ê 2; 0 Ê y Ê .
Đề 30
Đề đợt hai
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1. (2 điểm)
1) Rút gọn .
2) Cặp số (x ; y) = (1 ; 2) có là nghiệm của hệ phơng trình không?
Câu 2. (1 điểm)
1) Điểm A(-1 ; 2) có thuộc đờng thẳng y = 4 + 2x không?
2) Tìm x để có nghĩa.
Câu 3. (1,5 điểm)
Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài trừ chiều rộng bằng 18m và chiều dài gấp 3 lần chiều rộng.
Câu 4. (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức với -1 < x < 1.
Câu 5. (2 điểm)
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R, C là một điểm trên nửa đờng tròn sao cho = 30° và D là điểm chính giữa cung AC. Các dây AC và BD cắt nhau tại K.
1) Chứng minh rằng BD là tia phân giác của và AK = 2KC.
2) Tính AK theo R.
Câu 6. (1 điểm)
Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm A và B phân biệt. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O tại A và B cắt nhau tại M. Từ A kẻ đờng thẳng song song với MB cắt đờng tròn (O) tại C, MC cắt đờng tròn (O) tại E; các tia AE và MB cắt nhau tại K. Chứng minh rằng MK2 = AK.EK và MK = KB.
Câu 7. (1 điểm)
Cho a, b là hai số thực dơng và thoả mãn . Chứng minh rằng . Khi nào bất đẳng thức xảy ra dấu bằng?
đề 28
(Đề thi vào lớp 10 THPT, TP. Hồ Chí Minh năm học 2007 - 2008)
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 1. (1,5 điểm)
Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau:
a) x2 - + 4 = 0
b) x4 - 29x2 + 100 = 0
c) 
Câu 2. (1,5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:
a) ; 	b) 
Câu 3. (1 điểm)
Một khu vờng hình chữ nhật có diện tích bằng 675m2 và có chu vi bằng 120m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vờn.
Câu 4. (2 điểm)
Cho phơng trình x2 - 2mx +m2 - m + 1= 0 với m là tham số và x là ẩn số.
a) Giải phơng trình với m = 1.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
c) Với điều kiện của câu b) hãy tìm m để biểu thức A = x1x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5. (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đờng tròn đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
c) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm BC. Tính tỉ số khi tứ giác BHOC nội tiếp.
d) Cho HF = 3cm, HB = 4cm, CE = 8cm và HC > HE. Tính HC.