Tính chia hết trong tập số tự nhiên

 TÍNH chia hết trong tập số tự nhiên 
I. Các tính chất 
Với " a ạ 0 ị a M a
Nếu a M b và b M c ị a M c
Với " a ạ 0 ị 0 M a
Nếu a, b > 0 và a M b ; b M a ị a = b
Nếu a M b và c bất kỳ ị ac M b
Nếu a M b ị (±a) M (±b)
Với " a ị a M (±1)
Nếu a M b và c M b ị a ± c M b
Nếu a M b và cMb ị a ± c M b
 Nếu a + b M c và a M c ị b M c
 Nếu a M b và n > 0 ị an M bn
 Nếu ac M b và (a, b) =1 ị c M b
 Nếu a M b, c M b và m, n bất kỳ am + cn M b
 Nếu a M b và c M d ị ac M bd
 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho
II.CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm các chữ số x, y sao cho 
a. M 4 và 9
b. M 17
Bài 2: Cho số N = CMR
	a. N M 4 Û (a + 2b) M 4
	b. N M 16 Û (a + 2b + 4c + 8d) M 16 với b chẵn
	c. N M 29 Û (d + 2c + 9b + 27a) M 29
Bài 3: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó.
Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số A = 1920217980. Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao?
Bài 5: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?
Bài 6: Chứng tỏ rằng số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.
Giải từ bài I đến 6
Bài 1: 	a. x = 	và y = 2
	 	 x =	và y = 6
	b. = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)M17 Û x = 2
Bài 2: 	a. NM4 Û M4 Û 10b + aM4 Û 8b + (2b + a) M4
 ị a + 2bM4
	b. NM16 Û 1000d + 100c + 10b + aM16
 	 Û (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) M16
	 ị a + 2b + 4c + 8dM16 với b chẵn
	c. Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - M29
 mà (1000, 29) =1
 M29
 ị (d + 3c + 9b + 27a) M29
Bài 3: Gọi là số có 2 chữ số
 Theo bài ra ta có:
= 10a + b = 2ab (1)
 M2 ị b ẻ{0; 2; 4; 6; 8} 
 thay vào (1) a = 3; b = 6
Bài 4: Có 1980 = 22.32.5.11 
	Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80 M 4 và 5
	ị AM 4 và 5
Tổng các số hàng lẻ 1+(2+3++7).10+8 = 279
Tổng các số hàng chẵn 9+(0+1++9).6+0 = 279
Có 279 + 279 = 558 M 9 ị A M 9
 279 - 279 = 0 M 11 ị A M 11
Bài 5: Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số lẻ nên không chia hết cho 2. 
Có 46 số tự nhiên liên tiếp ị có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ ị tổng 23 cặp không chia hết cho 2. Vậy tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46.
Bài 6: Có =
Mà = 3. 
ị = (Đpcm)
Bài 7: CMR: a. n(n + 1) (2n + 1) M 6
	b. n5 - 5n3 + 4n M 120 Với " n ẻ N
Bài 8: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n M 24 Với " n ẻ Z
Bài 9: CMR: Với " n lẻ thì
n2 + 4n + 3 M 8
n3 + 3n2 - n - 3 M 48
n12 - n8 - n4 + 1 M 512
Bài 10: Với p là số nguyên tố p > 3 CMR : p2 - 1 M 24
Bài 11: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27.
Giải từ bài 7 đến 11
Bài 7: a. n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)]
= n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) M 6
b. n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n
= n(n2 - 1) (n2 - 4)
= n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) M 120
Bài 8: n4 + 6n3 + 6n + 11n2
	= n(n3 + 6n2 + 6 + 11n)
= n(n + 1) (n + 2) (n + 3) M 24
Bài 9: a. n2 + 4n + 3 = (n + 1) (n + 3) M 8
b. n3 + 3n2 - n - 3 = n2(n + 3) - (n + 3)
= (n2 - 1) (n + 3)
= (n + 1) (n - 1) (n + 3)
= (2k + 4) (2k + 2) (2k với n = 2k + 1, k ẻ N)
= 8k(k + 1) (k +2) M 48
c. n12 - n8 - n4 + 1 = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1)
= (n4 - 1) (n8 - 1)
= (n4 - 1)2 (n4 + 1) 
= (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1)
= 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1)
Với n = 2k + 1 ị n2 + 1 và n4 + 1 là những số chẵn ị (n2 + 1)2 M 2
 n4 + 1 M 2
ị n12 - n8 - n4 + 1 M (24.22. 22. 1 . 21)
Vậy n12 - n8 - n4 + 1 M 512
Bài 10: Có p2 - 1 = (p - 1) (p + 1) vì p là số nguyên tố p > 3
ị p M 3 ta có: (p - 1) (p + 1) M 8
và p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ẻ N)
ị (p - 1) (p + 1) M 3
Vậy p2 - 1 M 24
Bài 11: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là 
n, n +1; n + 2;  ; n + 1989 (1)
trong 1000 tự nhiên liên tiếp n, n + 1; n + 2; ; n + 999 
có 1 số chia hết cho 1000 giả sử n0, khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 giả sử tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; ; n0 + 99; n0 + 199;  n0 + 899 (2)
Có tổng các chữ số lần lượt là: s; s + 1  ; s + 26
Có 1 số chia hết cho 27 (ĐPCM)
* Chú ý: n + 899 Ê n + 999 + 899 < n + 1989
ị Các số ở (2) nằm trong dãy (1)
Bài 12: CMR: a. 32n +1 + 22n +2 M 7
	 b. mn(m4 - n4) M 30
Bài 13: CMR: A(n) = 3n + 63 M 72 với n chẵn n ẻ N, n ³ 2
Bài 14: Cho a và b là 2 số chính phương lẻ liên tiếp
CMR: a. (a - 1) (b - 1) M 192
Bài 15: CMR: Với p là 1 số nguyên tố p > 5 thì p4 - 1 M 240
 Giải từ bài 12đến 14
Bài 12: a. 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n
= 3.9n + 4.2n
= 3(7 + 2)n + 4.2n 
= 7M + 7.2n M 7
b. mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) M 30
Bài 13: Có 72 = 9.8 mà (8, 9) = 1 và n = 2k (k ẻ N) 
có 3n + 63 = 32k + 63
= (32k - 1) + 64 ị A(n) M 8
Bài14: Đặt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k ẻ N) 
Ta có (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) M 64 và 3 hay chia hết cho 192
Bài 15: CMR: 13 + 33 + 53 + 73 M 23
Bài 16: CMR: 36n2 + 60n + 24 M 24
Bài 17: CMR: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 M 59
	b. 9 2n + 14 M 5
Bài 18: Tìm n ẻ N sao cho n3 - 8n2 + 2n M n2 + 1
Giải từ bài 15 đến 18
Bài 15: 13 + 33 + 53 + 73 = (13 + 73) + (33 + 53)
	= 8m + 8N M 23
Bài16: 362 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24
Ta thấy n và 3n + 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ 
ị n(3n + 5) M 2 ị ĐPCM
Bài 17: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 
	= 5n(25 + 26) + 8 2n+1 
	= 5n(59 - 8) + 8.64 n
	= 5n.59 + 8.59m M 59
b. 9 2n + 14 = 9 2n - 1 + 15
	= (81n - 1) + 15
	= 80m + 15 M 5
Bài 18: Có n3 - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + 8 M (n2 + 1) Û n + 8 M n2 + 1
Nếu n + 8 = 0 ị n = -8 (thoả mãn)
Nếu n + 8 ạ 0 ị ẵn + 8ẵ³ n2 + 1
ị 
ị n ẻ {-2; 0; 2} thử lại
Vậy n ẻ {-8; 0; 2}
TÍNH CHIA HẾT CỦA CÁC SỐ NGUYấN
 SỐ NGUYấN TỐ - BSCNN - USCLN
Bài 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA CÁC SỐ NGUYấN
1. Chứng minh rằng (a3 – a) chia hết cho 3
	Giải:
Ta thấy a3 – a = a(a2 -1) = a.(a + 1)(a – 1) = (a – 1)a(a + 1).
Đõy là tớch của ba số tự nhiờn liờn tiếp do đú cú ớt nhất là một thừa số là bội của 3. Nghĩa là: (a3 – a) chia hết cho 3.
2. Chứng minh rằng (2n + 1)2 – 1 chia hết cho 8.
	Giải:
Ta cú (2n + 1)2 – 1 = 4n2 + 4n + 1 – 1 = 4n2 + 4n = 4n(n + 1).
Đõy là một tớch của 3 thừa số trong đú cú thừa số 4 và 2 thừa số cũn lại là hai số nguyờn liờn tiếp, cho nờn tớch trờn vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 4.
Do đú (2n + 1)2 – 1 chia hết cho 8.
3. Tỡm số 
	Giải:
Vậy theo điều kiện chia hết cho 11 ta cú: (8 + x) – (0+ 6) = 11k (k nguyờn) hay 
 8 + x – 6 = x + 2 = 11k hay x = 11k – 2. 
 Số phải tỡm là: 8092
4. Cho một số N gồm 4 chữ số đều khỏc khụng. Biết rằng chữ số hàng nghỡn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục.
	a. Chứng minh N chia hết cho 11.
	b. Tớnh N khi N chia hết cho 5 và 9.
	Giải:
	a. Theo đề bài ta biểu diễn số phải tỡm như sau: . Khi đú muốn cho chia hết cho 11 thỡ[(a+b)- (a-b)].
	Thật vậy: (a + b) – (b + a) = a + b – b – a = 0. Mà 0 11 nờn 11
- N chia hết cho 5 nờn chữ số cuối cựng bờn phải a = 0 hoặc 5, nhưng theo điều kiện bài ra là a khỏc 0 nờn a = 5. như vậy số phải tỡm cú dạng: .
- N5 và N9 nờn ( 5+ b +b +5 ) 9 2.(5 + b) 9
mà b < 9 nờn chỉ cú b = b 
vậy số cần tỡm là 5445
5. Tỡm số tự nhiờn n sao cho:
	a). n + 2 chia hết cho n – 1.
	b). 2n + 7 chia hết cho n + 1.
	c). 2n + 1 chia hết cho 6 – n.
	d). 3n chia hết cho 5 – 2n.
	e). 4n + 3 chia hết cho 2n + 6.
Giải:
a). 	(n + 2) (n – 1) suy ra [(n + 2) – (n – 1)] (n – 1) hay 3 (n – 1). Do đú (n -1) phải là ước của 3.
	Với n – 1 = 1 ta suy ra n = 2
	Với n – 1 = 3 ta suy ra n = 4.
Vậy với n = 2 hoặc n = 4 thỡ n + 2 chia hết cho n – 1.
	b) 	(2n + 7) (n + 1) => [(2n + 7) – 2(n + 1)] (n + 1) => 5 (n + 1)
	Với n + 1 = 1 thỡ n = 0
	Với n + 1 = 5 thỡ n = 4
Số n phải tỡm là 0 hoặc 4.
	c).	(2n + 1) (6 – n) => [(2n + 1) + 2(6 - n)] (6 – n) => 13 (6 – n)
	Với 6 – n = 1 thỡ n = 5
	Với 6 – n = 13 thỡ khụng cú sụ tự nhiờn nào thỏa món..
Vậy với n = 5 thỡ 2n + 1 chia hết cho 6 – n.
	d) 	3n (5 – 2n) => [2.3n + 3(5 – 2n)] ((5 – 2n) => 15 (5 – 2n)
	Với 5 – 2n = 1 thỡ n = 2
	Với 5 – 2n = 3 thỡ n = 1
	Với 5 – 2n = 5 thỡ n = 0
	Với 5 – n = 15 thỡ khụng cú số tự nhiờn n nào thỏa món.
Vậy với n lấy một trong cỏc giỏ trị 0, 1, 2 thỡ 3n chia hết cho 5 – 2n
	e) 	Ta thấy rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ 4n + 3 = 2(2n + 1) + 1 là một số lẻ và 2n + 6 = 2(n + 3) là một số chẵn. Một số chẵn khụng thể là ước của một số lẻ. Vậy khụng thể cú một số tự nhiờn n nào để 4n + 3 chia hết cho 2n + 6.
6. Tỡm tất cả cỏc số cú 5 chữ số cú dạng : mà chia hết cho 36
	Giải:
	Vỡ 36 = 9.4 nờn số vừa chia hết cho 9 vừa chia hết cho 4.
Để 9 ta phải cú (3+4+x+5+y) 9. 
Vỡ x và y là cỏc chữ số nờn chỉ cú thể x + y = 6 hoặc x + y = 15.
Mặt khỏc 34x5y 4 nờn 5y 4 y=2 hoặc y = 6
Kết hợp với cỏc điều kiện trờn, ta cú : 
	Nếu y = 2 thỡ x = 6 – 2 = 4
	Nếu y = 6 thỡ x = 6 – 6 = 0 hoặc x = 15 – 6 = 9.
Vậy cỏc số phải tỡm là : 34452 ; 34056 ; 34956.
Bài 2: cỏc bài toỏn liờn quan đến ƯCLN BCNN
1. Chứng minh rằng hai số nguyờn liờn tiếp thỡ nguyờn tố cựng nhau.
	Giải:
	Ta cú n và n + 1 là hai số nguyờn liờn tiếp => UCLN (n, n + 1) = d. Ta thấy n d và (n + 1) d nờn [(n + 1) – n] d hay 1 d hay d = 1.
	Vậy (n, n + 1) = 1 nờn n và n + 1 nguyờn tố cựng nhau. 
2. Chứng minh rằng 2752 và 221 là hai số nguyờn tố cựng nhau.
	Giải:
	2752 và 221 nguyờn tố cựng nhau khi UCLN của chỳng là d = 1.
 Vậy ta tỡm UCLN của 2752 và 221. 
	Theo thuật toỏn Ơ Cơ lit ta cú: 	
12
2
4
1
3
5
2752
221
100
21
16
5
1
100
21
16
5
1
0
USCLN (2752, 221) = 1 nờn 2752 và 221 nguyờn tố cựng nhau.
3. Chia 7600 và 629 cho một số nguyờn N thỡ cỏc số dư lần lượt là 4 và 5. Tớnh N.
	Giải:
Ta cú N > 5 (vỡ số dư là 4 và 5)
	7600 – 4 = 7596 N
	629 – 5 = 624 N
Vậy N là UC của 7596 và 624 nờn nú cũng là UC của UCLN ( 7596 ; 624)
Ta tỡm UCLN (7596 624) = 12. Cỏc Ư của 7596 và 624 là : 1, 2, 3, 4, 6, 12. 
 Mà N > 5 nờn N = 6 hay N = 12.
4. Tỡm hai số nguyờn, biết tổng số của chỳng là 192 và UCLN là 24 ?
Giải :
	Gọi A và B là là hai số phải tỡm, a và b là cỏc thương số của chỳng với 24. Ta cú A = 24a ; b = 24b. Hay A + B = 24(a + b) = 192 => (a + b) = 192 : 24 = 8.
Mặt khỏc theo định lý thỡ : 
	Vậy:	a = 1 => 7 = 7
	a = 2 => b = 6 (khụng hợp lý)
	a = 3 => b = 5
	a = 4 => b = 4 (khụng hợp lý)
Do đú số phải tỡm là: 	a = 1, b = 7 => A = 24 ; B = 168
	a = 3, b = 5 => A = 72 ; B = 120 
5. Cho ba số chẵn liờn tiếp, chứng minh tớch ba số ấy chia hết cho 48.
	Giải:
	Gọi 2n, 2n + 2, 2n + 4 là ba số chẵn liờn tiếp. 
Ta sẽ cú 2.(2n + 2)(2n + 4) = 8n(n + 1)(n + 2).
n(n + 1)(n + 2) là tớch ba số nguyờn liờn tiếp nờn cú một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3. Suy ra n(n + 1)(n + 2) 8.
	Vậy ta cú 8n(n + 1)(n + 2) 48
6. Tỡm hai số biết tổng của chỳng là 288 và UCLN của chỳng là 24.
Giải:
	Gọi hai số phải tỡm là a và b (giả sử a>b). Ta cú a + b = 288 và (a,b) =24. Vỡ 24 là ƯCLN của a và b nờn ta cú thể viết a = 24a,, b = 24 b, trong đú a, và b, là hai số tự nhiờn nguyờn tố cựng nhau và a’>b’. Do đú :
7. chỉ cú thể là tổng của hai cặp số nguyờn tố cựng nhau: 1 và 11, 5 và 7.
Hai số phải tỡm là : 24 và 264, 120 và 168.
8 Tỡm hai số biết tớch của chỳng là 4320 và BSCNN của chỳng là 360.
	Giải:
	Gọi hai số phải tỡm là a và b (giả sử a < b ), gọi d = (a, b) nờn a = a’.d, 
b = b’.d trong đú (a’,b’) = 1. Ta đó biết:
	[a,b] = . Từ đú ta cú a.b = a’.b’.d2 và [a,b] = a’b’d.
Theo đầu bài, ta suy ra: 
Đảo lại, nếu (a’,b’) = 1 và a’.b’ = 30 thỡ cỏc số a = a’.12 và b = b’.12 cú tớch bằng 4320 và cú BCNN là 360.
	Vậy chỉ cần tỡm hai số a’. b’ nguyờn tố cựng nhau 
 Và a’ < b’ và a’.b’ = 30 ta cú bảng sau
a’
b’
a
b
1
2
3
5
30
15
10
6
12
24
36
60
360
180
120
72
	Vậy cỏc cặp số phải tỡm là : 12 và 360, 24 và 180, 36 và 120, 60 và 72.
9. Một số chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đú chia cho 1292 dư bao nhiờu?
	Giải:
	Gọi số đó cho là A. Theo bài ra ta cú: 
A = 4q1 + 3
	 = 17q2 + 9 
	 = 19q3 + 13	 (q1, q2, q3 N)
Nếu ta thờm vào số đó cho 25 thỡ ta lần lượt cú:
	 A + 25 = 4q1 + 3 + 25 = 4.(q1 + 7)
	= 17q2 + 9 + 25) = 17.(q2 + 2)
	= 19q3 + 13 + 25 = 19.(q3 + 2)
Như vậy A + 25 đồng thời chia hết cho 4, 17, 19. Nhưng 4, 17, 19 là ba số đụi một nguyờn tố cựng nhau, suy ra A + 25 chia hết cho 4.17.19 = 1292.
	Vậy A + 25 = 1292.k	(k = 1, 2, 3, 4,.). 
Suy ra A = 1292k – 25 = 1292 (k – 1) + 1267 = 1292 k’ + 1267.
Do 1267 < 1292 nờn 1267 là số dư trong phộp chia số đó cho A cho 1292.
10. Tỡm hai số biết hiệu giữa BSCNN và ƯSCLN của chỳng bằng 18.
Giải:
Gọi hai số phải tỡm là a và b, 
ƯCLN của a và b là d. Ta cú a = a’.d; b = b’.d (a’ và b’ là hai số nguyờn tố cựng nhau). BCNN của a và b là a’b’d. Theo đầu bài ta cú: a’b’d – d = 18.
	(a’b’ – 1)d = 18 => a’b’ = .
	Vỡ a’b’ là số tự nhiờn nờn d phải là ước của 18. Khụng mất tớnh tổng quỏt, ta giả sử 
d
a’b’
a’
b’
a
b
1
19
19
1
19
1
2
10
10
5
1
2
20
10
2
4
3
7
7
1
21
3
6
4
4
1
24
6
9
3
3
1
27
9
18
2
2
1
36
18
11. Tỡm tất cả cỏc số lớn hơn 10000 nhưng nhỏ hơn 15000 mà khi chia chỳng cho 393 cũng như khi chia chỳng cho 655 đều được số dư là 210.
	Giải:
	Gọi số phải tỡm là A. Theo đầu bài ta cú: 10000 < A < 15000	(1)
	A = 393q1 + 210	(2)
	A = 655q2 + 210	(3)	(q1, q2 N).
	Từ (2) và (3) ta suy ra A – 210 chia hết cho 393 và 655 tức là A – 210 chia hết cho [393,655] = 1965.
	Do đú A – 210 = 1965 q (q N), nờn A = 1965q + 210
	Từ (1) suy ra q chỉ cú thể bằng 5, 6, 7.
	Với q = 5 thỡ A = 1965.5 + 210 = 10035.
Với q = 6 thỡ A = 1965.6 + 210 = 12000.
Với q = 7 thỡ A = 1965.7 + 210 = 13965.
	Vậy cỏc số phải tỡm là: 10035, 12000, 13965.
C: PHÂN SỐ
I. Cỏc khỏi niệm cơ bản:
	* 
Cỏc số tự nhiờn đều cú thể coi là phõn số cú mẫu số bằng 1.
	* 
Cỏc phõn số khi chưa tối giản đều cú một phõn số tối giản bằng nú.
II. Tớnh chất cơ bản:
	. Ta ỏp dụng t/c cơ bản này để rỳt gọn phõn số.
	 	với n cú thể là UCLN của a và b (rỳt gọn một lần để được phõn số tối giản) hoặc n cú thể là một trong cỏc ước của a và b (rỳt gọn nhiều lần).
III. Cỏc cỏch so sỏnh hai phõn số:
	1). Qui đồng tử hay mẫu số:
	a. Nếu hai phõn số cú cựng tử số, phõn số nào cú mẫu số ớn hơn thỡ phõn số đú nhỏ hơn.
	b. Nếu hai phõn số cú cựng mẫu số, phõn số nào cú tử số lớn hơn thỡ phõn số đú lớn hơn.
	2). Phõn số phần bự đến đơn vị:
	Hai phõn số đều nhỏ hơn đơn vị, nếu phõn số phần bự đến đơn vị của phõn số nào lớn hơn thỡ phõn số đú nhỏ hơn (hai phõn số phần bự đến đơn vị cú tử số bằng nhau).
3). Phõn số trung gian thứ 3: Thụng thường cú hai cỏch sau:
	a. Chọn một phõn số trung gian thứ ba cú cựng tử số với một trong hai phõn số đó cho, cựng mẫu số với phõn số cũn lại.
	b. Chọn một phõn số trung gian thứ ba thể hiện mối quan hệ giữa tử số và mẫu số của hai phõn số.
IV. Bài tập ỏp dụng:
1. So sỏnh hai phõn số sau: 
	Giải: 
	Ta chọn phõn số 
Ta lại cú: .
	2. So sỏnh hai phõn số: 
	Giải:
	Ta thấy 59 gấp gần 4 lần 15; 97 gấp hơn 4 lần 24.
Ta cú: 
	Từ (1) và (2) 
..............................................................
	3. Cho phõn số Cựng thờm m đơn vị vào tử số và mẫu số thỡ phõn số mới lớn hơn hay bộ hơn ?
	Giải:
	Cỏch 1: 	Nếu a < b thỡ: 
Khi đú : . So sỏnh 
	Vậy: 
	Cỏch 2:	Qui đồng mẫu số: MSC là b(b + m)
 Cỏch 3:	 Nếu a < b thỡ am < bm 
	=> ab + am < ab + bm
	=> a(b + m) < b(a + m)
	=> 
	4. Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n > 0 để 
	Giải:
	Vỡ n là số cần tỡm cú cả ở tử số và mẫu số nờn cần biến đổi thành tổng cỏc phõn số sao cho n chỉ cũn ở tử hoặc mẫu số.
	.
Muốn hay 21 và n – 2 là nguyờn tố cựng nhau, mà 21 chia hết cho 3 và 7 nờn (n – 2) khụng chia hết cho 3 và 7.
	Vậy nếu n .
..
Với giỏ trị nào của số tự nhiờn a thỡ:
 	Giải:
	Biết rằng cú giỏ trị lớn nhất khi tử số a khụng đổi, mẫu số b là nhỏ nhất
	Vậy cần biến đổi 
Muốn cú giỏ trị lớn nhất thỡ ta cần tỡm với giỏ trị nào của a để cú giỏ trị lớn nhất.
	Giỏ trị nhỏ nhất của a để phộp trừ 4a – 13 thực hiện được là a = 4. Khi đú .
	6. Tớnh giỏ trị của phõn số: 
	Giải:
Ta thấy rằng tử và mẫu của mỗi phõn số đều là tổng của bốn số hạng, mỗi số hạng đều là tớch của ba thừa số. Ta cú:
= 
= 
..
	7. Tỡm phõn số tối giản biết giỏ trị của nú khụng thay đổi khi cộng tử số với 6 và mẫu số với 8.
	Giải:
	Gọi phõn số cần tỡm là Theo đầu bài ta cú: 
	A(b + 8) = b(a + 6) => ab + 8a = ab + 6b => 8a = 6b => 
	Vậy phõn số đó cho là .
	8. Cho phõn số 
	Giải:
	Giả sử . Suy ra (a + b) chia hết cho d và b chia hết cho d nờn (a + b) – b chia hết cho d do đú a chia hết cho d. Điều đú cú nghĩa là a và b cựng cú UC là d khỏc 1, tức là phõn số 
	Vậy 
	9. Chứng minh rằng phõn số sau tối giản với n là số tự nhiờn lớn hơn 0:
	Giải:
	Giả sử a là một số tự nhiờn bất kỳ lớn hơn 0, phõn số khụng tối giản thỡ ƯCLN (8n + 5, 6n +4) = d > 1. Suy ra (8n + 5) d và (6n + 4) d. Do đú [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] d, mà [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] = 1 d vụ lý.
	Vậy 
 	10. Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n lớn hơn 0, để cú thể rỳt gọn được?
	Giải:
	cú ƯCLN là d > 1, ta được (4n +5) d và (5n + 4) d, do đú (20n + 25) d (1)
 và (20n + 16) d	(2). 
	Từ (1) và(2) ta được 9 d, vậy nếu phõn số rỳt gọn được thỡ tử số và mẫu số chia hết cho 3. Vỡ (5n + 4) và (4n + 5) chia hết cho 3 nờn (n – 1) 3 hay n = 3k + 1 (k 0).
.
	11. Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n để: 
	Giải:
	.
Muốn là số tự nhiờn thỡ n – 2 phải là ước của 3, do đú n – 2 = 1 hoặc
n – 2 = 3. Vậy n = 3 hoặc n = 5. 
	12. Hóy chứng tỏ rằng: .
	Giải:
	Ta thấy từ Tất cả cỏc phõn số trờn đều cú tử số là 1. Ta cú thể nhúm cỏc phõn số thành một nhúm rồi dựa vào kiến thức so sỏnh cỏc phõn số cú tử số giống nhau.
	Vậy: 
= 
Vỡ 
	Ta lại cú: 
	= 
Từ (1), (2), (3) ta được: 
..
	13. Tớnh giỏ trị của biểu thức:
 S = 
	Giải:
	Biến đổi ở phõn số dạng tổng quỏt ta cú: 
Áp dụng kết quả này vào bài tập đó cho ta cú:
Cộng từng vế ta được:
..........................................................
	14. Cho hai phõn số 
	Giải:
	 . Vỡ nờn mỗi phõn số nhõn với chớnh bản thõn nú 4 lần ta được:
	 	(1)
	Mà 	(2)
	Từ (1) và (2) ta cú 
	15. Hóy chứng tỏ rằng nếu .
	Giải:
	Từ 
	Từ 
	Từ