Tài liệu vài bài tập Hình học - Chuyên đề 6: Trung điểm của đoạn thẳng

 1 
Chuyên đề 6 .trung điểm của đoạn thẳng 
A. Lý thuyết 
I. Kiến thức cơ bản 
1. Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và cách đều hai 
đầu đoạn thẳng. 
2. Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB = 
2
AB
II. Nâng cao. 
1. Nếu M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và AM = 
2
AB
 thì M là trung điểm của 
đoạn thẳng AB. 
2. Mỗi đoạn thẳng có một trung điểm duy nhất. 
B. Bài tập 
Bài 1 . Cho 3 điểm M, N, O sao cho OM = 2cm; ON = 2cm; MN = 4cm. Vì sao có 
thể khẳng định O là trung điểm của đoạn thẳng MN. 
Giải 
Ta có OM = 2cm 
 OM = ON (1) 
 ON = 2 cm 
Ta thấy OM + ON = 2 + 2 = 4 cm 
 ⇒OM + ON = MN 
 mà MN = 4 cm 
⇒O nằm giữa hai điểm M và N (2) 
Từ (1) và (2) ⇒M là trung điểm của AB 
Bài 2. Cho đoạn thẳng AB = a . Điểm O nằm giữa A và B, gọi M, N thứ tự là trung 
điểm của OA và OB . Tính MN 
Giải 
Điểm M là trung điểm của OA nên M nằm giữa O và A và OM = MA = 
2
OA
2
OA
Điểm N là trung điểm của OB nên N nằm giữa O và B và ON = OB = 
2
OB
Vì M nằm giữa O và A nên 2 tia OM và OA đối nhau 
 N nằm giữa O và B nên 2 tia ON và OB đối nhau 
mà O nằm giữa A và B nên hai tia OA, OB đối nhau . Do đó điểm O nằm giữa 2 
điểm M, N . 
 ⇒MN = OM + ON = 
2
OA
+
2
OB
222
aABOBOA
==
+
 2 
Bài 3. Cho điểm M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và AM = 
2
AB
. Giải thích vì 
sao M là trung điểm của AB. 
Giải 
Điểm M nằm giữa A và B (1) 
nên AM + MB = AB 
⇒ MB = AB - AM 
mà AM = 
2
AB
 ⇒MB = AB - 
2
AB
 = =
−
2
2 ABAB
2
AB
⇒AM = MB (2) 
Từ (1) và (2) ⇒ M là trung điểm của AB. 
Bài 4. Trên tia Ox lấy hai điểm A và M sao cho OA = 3cm. OM = 4,5cm. Trên tia 
Ax lấy hai điểm B sao cho M là trung điểm của AB. Hỏi điểm A có phải là trung 
điểm của đoạn thẳng OB không ? Vì sao? 
Giải 
A, M thuộc tia Ox mà OA = 3cm 
 ⇒OA < OM ⇒A nằm giữa O và M 
 OM = 4,5cm 
⇒OA + AM = OM 
⇒AM = OM - OA = 4,5 - 3 = 1,5cm 
+) Điểm M là trung điểm của AB nên AM = 
2
AB
⇒ AB = 2 AM = 2. 1,5 = 3cm 
mà OA = 3cm ⇒ OA = AB (1) 
+ Vì A nằm giữa O và M nên hai tia AO và AM đối nhau; M nằm giữa A và B nên 
hai tia AB và AM trùng nhau ⇒ hai tia AO và AB đối nhau ⇒Điểm A nằm giữa 
hai điểm O và B (2) 
Từ (1) và (2) ⇒ Điểm A là trung điểm của OB. 
Bài 5. Trên đ−ờng thẳng a lấy 6 điểm M, N, O, P, Q, R theo thứ tự đó . 
 Biết MN = NO = OP = PQ = QR. Tìm những điểm là trung điểm của đoạn thẳng. 
Giải 
- N là trung điểm của MO 
- O là trung điểm của NP và MQ. 
- P là trung điểm của OQ và NR. 
- Q là trung điểm của PR. 
 3 
Bài 6. Cho đoạn thẳng AB = 6cm. Lấy hai điểm C, D thuộc đoạn thẳng AB sao cho 
AC = BD = 2cm. Gọi M là trung điểm của AB . 
a) Giải thích tại sao M cũng là trung điểm của CD. 
b) Tìm trên hình vẽ những điểm khác cũng là trung điểm của đoạn thẳng 
Giải 
a) Điểm M là trung điểm của AB nên : 
Điểm M nằm giữa hai điểm A, B và MA = MB = cm
AB 3
2
6
2
= (1) 
Điểm D nằm giữa A và B ⇒AD + DB = AB ⇒AD = AB - DB = 6 - 2 = 4cm 
Trên tia AC ta có : 
 AC = 2cm 
 AM = MA = 3cm ⇒ AC < AM < AD⇒Điểm M nằm giữa C và D (2) 
 AD = 4cm 
Từ (1) , (2) ⇒ M là trung điểm của CD. 
b) Vì AC < AD nên điểm C nằm giữa hai điểm A và D (3) 
và AC + CD = AD ⇒CD = AD - AC = 4 - 2 = 2cm ⇒ AC = CD (4) 
Từ (3) và (4) ⇒ C là trung điểm của AB. 
Ta có BD = DC = 2cm (5) 
Điểm C nằm giữa hai điểm A, B nên : 
 AC + CB = AB ⇒ CB = AB - AC = 6 - 2 = 4cm 
Trên tia BD ta có : 
 BD = 2cm 
 ⇒ BD < BC⇒Điểm D nằm giữa B và C (6) 
 BC = CB = 4cm 
Từ (5), (6) ⇒ D là trung điểm của BC. 
Bài 7 . Trên tia Ax lấy hai điểm O, B sao cho AO = 2cm; AB = 5cm. Gọi I là trung 
điểm của OB. Tính AI. 
Giải 
Trên tia A x ta có : 
 AO = 2cm 
 ⇒ AO < AB ⇒ Điểm O nằm giữa A và B (1) 
 AB = 5cm 
⇒ AO + OB = AB ⇒ OB = AB - AO = 5 - 2 = 3cm. 
Điểm I là trung điểm của OB ⇒ OI = IB = 5,1
2
3
2
==
OB
cm 
Từ (1) ⇒ Hai tia OA và OB là hai tia đối nhau. (2) 
Điểm I là trung điểm của OB ⇒ Hai tia OI và OB trùng nhau (3) 
 4 
Từ (2) và (3) ⇒ Hai tia OA và OI đối nhau ⇒ Điểm O nằm giữa hai điểm A và I 
⇒ AI = AO + OI 
 = 2 + 1,5 = 3,5cm. 
Bài 8 . Trên đ−ờng thẳng xy lấy một điểm O và hai điểm M, N sao cho 
OM = 2cm; ON = 3cm. Vẽ các điểm A và B trên đ−ờng thẳng xy sao cho M là 
trung điểm của OA ; N là trung điểm của OB . Tính độ dài AB. 
Giải 
TH1: Hai điểm M, N nằm trên hai tia đối nhau gốc O. 
Điểm M là trung điểm của OA ⇒ Điểm M nằm giữa O và A (1) 
 và MO = MA = 
2
OA
⇒ OA = 2 MO = 2OM = 2 . 2 = 4cm 
Điểm N là trung điểm của OB ⇒ Điểm N nằm giữa O và B (2) 
và NO = NB = 
2
OB
⇒ OB = 2 NO = 2ON = 2 . 3 = 6cm 
Từ (1) ⇒Hai tia OM và OA đối nhau 
 ⇒ Hai tia OA, OB đối nhau 
Từ (2) ⇒Hai tia ON và OB đối nhau 
⇒ Điểm O nằm giữa A, B ⇒ AB = OA + OB = 4 + 6 = 10 cm. 
TH2: Hai điểm M, N cùng nằm trên một tia gốc O. 
T−ơng tự TH 1 . Tính đ−ợc OA = 4cm, OB = 6cm. 
Trên tia gốc O ch−a M, N ta có : 
 OA = 4cm 
 ⇒ OA < OB ⇒ Điểm A nằm giữa O và B ⇒ OA + AB = OB 
 OB = 6cm 
⇒ AB = OB - OA = 6 - 4 = 2cm. 
Bài 9. Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Lấy điểm O thuộc tia đối của 
tia BA (O khác B) . Hãy so sánh OM với trung bình cộng của hai đoạn thẳng OA, 
OB. 
Giải 
Điểm M là trung điểm của AB nên điểm M nằm giữa A và B và MA = MB =
2
AB
⇒ Hai tia BM, BA trùng nhau (2) 
Điểm O nằm trên tia đối của tia BA nên hai tia BO và BA đối nhau (3) 
Từ (2) và (3) ⇒ Hai tia BM và BO đối nhau ⇒ Điểm B nằm giữa O và M 
⇒ OM = OB + BM = OB + 
2
AB
 =
22
2 ABOBOBABOB ++
=
+
 (4) 
 5 
Điểm O nằm trên tia đối của tia BA nên hai tia BA và BO đối nhau 
⇒ Điểm B nằm giữa hai điểm O và A ⇒ OB + AB = OA (5) 
Từ (4) và (5) ⇒ OM = 
2
OAOB +
Vậy OM bằng trung bình cộng của hai đoạn thẳng OA, OB. 
Bài 10. Cho đoạn thẳng AB = 2100 (cm). Gọi M1 là trung điểm của AB ; M2 là 
trung điểm của đoạn thẳng M1B , M3 là trung điểm của đoạn thảng M2B, gọi 
M100 là trung điểm của đoạn thẳng M99B. Tính độ dài của đoạn thẳng M1M100. 
Giải 
M1 là trung điểm của AB ⇒ M1B = 2
AB
 = 
2
2100
M2 là trung điểm của M1B ⇒ M2B = 2
1BM = 2
100
2
2
M3 là trung điểm của M2B ⇒ M3B = 2
2BM = 3
100
2
2
. 
M100 là trung điểm của M99B ⇒ M100B = 2
99BM = 100
100
2
2
 = 1(cm) 
Ta có BM100 = 1cm 
 ⇒BM100 < BM1 ⇒ 
 BM1 = 2
2100
⇒M100 nằm giữa hai điểm M1 và B ⇒ M1M100 + M100B = M1B 
⇒ M1M100 = M1B - M100B = 2
99 - 1 (cm) 
Chuyên đề 6 . Bài tập trung điểm của đoạn thẳng 
 6 
A. Lý thuyết 
I. Kiến thức cơ bản 
1. Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và cách 
đều hai đầu đoạn thẳng. 
2. Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB = 
2
AB
II. Nâng cao. 
1. Nếu M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và AM = 
2
AB
 thì M là trung điểm 
của đoạn thẳng AB. 
2. Mỗi đoạn thẳng có một trung điểm duy nhất. 
B. Bài tập 
Bài 1 . Cho 3 điểm M, N, O sao cho OM = 2cm; ON = 2cm; MN = 4cm. Vì sao 
có thể khẳng định O là trung điểm của đoạn thẳng MN. 
Bài 2. Cho đoạn thẳng AB = a . Điểm O nằm giữa A và B, gọi M, N thứ tự là 
trung điểm của OA và OB . Tính MN 
Bài 3. Cho điểm M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và AM = 
2
AB
. Giải thích 
vì sao M là trung điểm của AB. 
Bài 4. Trên tia Ox lấy hai điểm A và M sao cho OA = 3cm. OM = 4,5cm. Trên 
tia Ax lấy hai điểm B sao cho M là trung điểm của AB. Hỏi điểm A có phải là 
trung điểm của đoạn thẳng OB không ? Vì sao? 
Bài 5. Trên đ−ờng thẳng a lấy 6 điểm M, N, O, P, Q, R theo thứ tự đó . 
 Biết MN = NO = OP = PQ = QR. Tìm những điểm là trung điểm của đoạn 
thẳng. 
Bài 6. Cho đoạn thẳng AB = 6cm. Lấy hai điểm C, D thuộc đoạn thẳng AB sao 
cho AC = BD = 2cm. Gọi M là trung điểm của AB . 
a) Giải thích tại sao M cũng là trung điểm của CD. 
b) Tìm trên hình vẽ những điểm khác cũng là trung điểm của đoạn thẳng 
Bài 7 . Trên tia Ax lấy hai điểm O, B sao cho AO = 2cm; AB = 5cm. Gọi I là 
trung điểm của OB. Tính AI. 
Bài 8 . Trên đ−ờng thẳng xy lấy một điểm O và hai điểm M, N sao cho 
OM = 2cm; ON = 3cm. Vẽ các điểm A và B trên đ−ờng thẳng xy sao cho M là 
trung điểm của OA ; N là trung điểm của OB . Tính độ dài AB. 
Bài 9. Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Lấy điểm O thuộc tia đối 
của tia BA (O khác B) . Hãy so sánh OM với trung bình cộng của hai đoạn 
thẳng OA, OB. 
Bài 10. Cho đoạn thẳng AB = 2100 (cm). Gọi M1 là trung điểm của AB ; M2 là 
trung điểm của đoạn thẳng M1B , M3 là trung điểm của đoạn thảng M2B, gọi 
M100 là trung điểm của đoạn thẳng M99B. Tính độ dài của đoạn thẳng M1M100. 
===***===