Tài liệu Toán Lớp 10 - Tam thức bậc hai - Phan Thị Phương Thảo

Chuyên đề Tam thức bậc hai
(Phan Thị Phương Thảo- Khoa Toán đhsp-đhtn)
A.Phương trình bậc hai
I. Định nghĩa:
 Cho hàm số y= f(x) và y= g(x) có tập xác định lần lượt là Df , Dg. Khi đó mệnh đề chứa
biến f(x) = g(x) được gọi là phương trình một biến x.
Trong đó: được gọi là tập xác định của phương trình.
 là đẳng thức đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình.
 là tập nghiệm của phương trình.
 ặ thì ta nói phương trình vô nghiệm.
Với định nghĩa này thì khái niệm nghiệm của phương trình phụ thuộc vào D.
 Có thể : Vô nghiệm 
 Có nghiệm 
 Nghiệm đúng với mọi x thuộc D 
Định nghĩa này dễ dàng mở rộng cho khái niệm phương trình nhiều biến.
II. Các định lý về phép biến đổi tương đương
Khi sử dụng các định lý về phép biến đổi tương đương học sinh thường mắc phải những 
Sai lầm do không nắm được điều kiện dùng định lý
Ví dụ 1 : Giải phương trình 
Có học sinh giải như sau: Điều kiện 
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với
 Vô nghiệm
Lời giải trên là sai lầm rõ ràng x=0 là một nghiệm của phương trình
Nguyên nhân sai lầm vì học sinh thực hiện phép biến đổi không tương đương nghĩa là
khi cộng vào hai vế của phương trình với biểu thức không hoàn toàn xác định trên D.
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Có học sinh giải như sau:
Điều kiện 
 Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với 
Lời giải trên có sai lầm vì nhận thấy x=2 không là nghiệm của phương trình
Nguyên nhân sai lầm là do học sinh không chú ý đến điều kiện để bình phương hai vế của 
phương trình.
III. Phương trình bậc hai
1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai là phương trình có dạng
 (a, b, cẻ R; x ẩn; a ≠ 0)
2. Công thức nghiệm 
 ∆ > 0 (∆’ > 0) phương trình có hai nghiệm phân biệt ) 
 ∆ = 0 (∆’ = 0) phương trình có nghiệm kép 
 ∆ < 0 (∆’ < 0 ) phương trình vô nghiệm 
IV. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
1. Phương trình bậc 4 
 Để giải phương trình bậc 4 ta đều tìm cách đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ (cần đưa về phần chứa x giống nhau) hoặc đưa về phương trình tích hoặc đưa về phương trình bậc 4 biết cách giải.
a. Một số phương trình bậc 4 biết cách giải
 *) Phương trình trùng phương: (1) 
 Cách giải: Đặt x2 = t (t 0) phương trình đã cho có dạng (2)
 Giải phương trình tìm t ( thoả mãn ) rồi tìm x.
 Mối quan hệ giữa nghiệm của phương trình trùng phương và nghiệm của phương trình bậc hai 
vô nghiệm Û 
có một nghiệm 
có hai nghiệm 
có ba nghiệm 
có bốn nghiệm 
*). Phương trình hồi quy, phương trình phản thương
 **)Phương trình phản thương ( phương trình đối xứng)
 Dạng 1: 
Cách giải:
- Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x2 ta được .
- Đặt phương trình có dạng 
- Giải phương trình tìm t (thoả mãn) rồi tìm x.
 Dạng 2: 
Cách giải: 
- Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x2 ta được .
- Đặt phương trình có dạng 
- Giải phương trình tìm t rồi tìm x.
Nhận xét 
 Nếu phương trình có một nghiệm là x0 thì có nghiệm thứ hai là .
 Nếu phương trình có một nghiệm là x0 thì có nghiệm thứ hai là -.
Ví dụ: Giải các phương trình sau
Hướng dẫn (4) đặt y = x-2
 (5) đặt y = x-1
**) Phương trình hồi quy theo x là phương trình có dạng 
Khi k = 1thì phương trình hồi quy trở thành phương trình phản thương đã xét ở trên
Phương pháp giải:
- Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x2.
- Biến đổi phương trình đã cho về phương trình ẩn t.
- Giải phương trình tìm t rồi tìm x.
Ví dụ: Giải các phương trình sau
Hướng dẫn
1) Đặt . đưa về phương trình đại số ẩn t
2) Viết lại phương trình (2) dưới dạng . Đặt 
3) Chia cả hai vế cho x2 đặt 
4) Chia cả hai vế của phương trình cho x2 đặt 
5) Chia cả hai vế của phương trình cho x2 đặt 
6) Chia cả tử và mẫu của vế trái cho x ta được . đặt 
*, Phương trình bậc 4 có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e. với a+b = c+d
 Phương pháp giải: 
- Phương trình đã cho tương đương với 
- Đặt . Ta có (t+ab)(t+cd)=e
- Giải phương trình tìm t rồi tìm x.
Ví dụ: Giải các phương trình sau
*) Phương trình bậc 4 có dạng 
Phương pháp giải:
- Đặt khi đó 
- Phương trình đã cho có dạng 
- Giải phương trình trùng phương tìm t rồi tìm x.
Ví dụ: Giải các phương trình sau
b) Ngoài các phương trình bậc 4 biết cách giải nói trên ta còn gặp những phương trình bậc 4 mà để giải nó ta phải đưa về phương trình tích hoặc phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ.
Ví dụ : Giải các phương trình sau
Hướng dẫn:
1) Phương trình đã cho 
2) có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x = 1.
3) phương trình (3)
4) Chia cả hai vế của phương trình cho (x + 1) 2
5) Chia cả hai vế của phương trình cho x4
6) phương trình (6)
7) biến đổi phương trình về dạng 
8) 
2. Phương trình vô tỷ
a. Một số dạng phương trình vô tỷ cỏ bản
b. Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ
Phương pháp 1: Biến đổi tương đương
1. Biến đổi tương đương đưa về phương trình cơ bản.
Ví dụ : Giải các phương trình sau
Hướng dẫn:
1) phân tích biểu thức dưới căn là các hằng đẳng thức từ đó đưa phương trình về dạng chức dấu giá trị tuyệt đối.
2) nhân cả hai vế của phương trình với rồi giải như phương trình (1)
3) Giải phương trình dựa tren miền xác định.
4) Quy đồng rồi đưa về phương trình tích.
5) Quy đồng đưa phương trình về dạng 
6) Chuyển vế trái sang phải đưa phương trình về dạng 
7) đưa về phương trình tích
8) Phương trình 
9) Chia cả hai vế của phương trình cho ta được 
10) Biến đổi phương trình có dạng 
2. Bình phương hai vế của phương trình
Ví dụ: Giải phương trình 
Giải: Bình phương hai vế không âm của phương trình ta được 
 Tuy nhiên giải phương trình này hơi phức tạp. Phương trình giải sẽ đơn giản hơn nếu ta chuyển vế phương trình 
Bình phương hai vế ta có 
Thử lại x=1 thoả mãn.
Nhận xét:
 Nếu phương trình mà có f(x) + h(x)= g(x) + k(x) thì ta biến đổi phương trình về dạng sau đó bình phương rồi giải phương trình hệ quả.
Ví dụ: Giải phương trình 
Giải: Ta có . Từ nhận xét này ta có lời giải như sau
Phương trình đã cho tương đương với 
Bình phương hai vế ta được 
Thử lại ta có hai nghiệm đều thoả mãn.
Qua lời giải trên ta có nhận xét 
Nếu phương trình mà có f(x) . h(x)= g(x). k(x) thì ta biến đổi phương trình về dạng sau đó bình phương rồi giải phương trình hệ quả.
3. Trục căn thức
 3.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
 a. Phương pháp: Một số phương trình vô tỷ có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa được về dạng tích (x-x0)A(x)=0. Ta có thể giải phương trình A(x) = 0 hoặc chứng minh A(x) = 0 vô nghiệm.
 b. Ví dụ: Giải các phương trình sau 
Hướng dẫn:
1) Nhân liên hợp vào vế trấi của phương trình ta có phương trình đã cho tương đương với 
2) Nhân liên hợp vào vế trái của phương trình ta có phương trình đã cho tương đương với 
3) Trục căn thức hai vế của phương trình ta có 
Có x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
4) Phương trình đã cho có dạng 
5) Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình nên ta biến đổi 
 3.2 Đưa về hệ tạm
 a, Phương pháp: nếu phương trình vô tỷ có dạng mà A-B = kC ở đây C có thể là hằng số, có thể là biểu thức của x. Ta có thể giải như sau:
 . Khi đó ta có hệ 
 b, Ví dụ: Giải các phương trình sau 
Hướng dẫn: 1) Ta thấy x = - 4 không là nghiệm của phương trình. Trục căn thức ta có 
Vậy ta có hệ 
Thử lại phương trình ta có hai nghiệm đều thoả mãn.
2) Chia cả hai vế của phương trình cho x ta được 
Đặt khi đó phương trình có dạng .
 Trục căn thức ta có .
 Vậy ta có hệ 
Bài tập tương tự
Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn:
1) đưa về phương trình tích
2) Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình. Phương trình đã cho có dạng 
3) Nhận thấy x =1 là nghiệm của phương trình do đó phương trình có nhân tử x – 1
Phương trình đã cho có dạng
4) Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Phương trình có dạng 
5) Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình . Phương trình đã cho có dạng 
7) 
8) Nhận thấy x=1 là nghiệm của phương trình, phương trình có dạng 
9)Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình, phương trình đã cho có dạng
10) Trục căn thức ở mẫu ta có 
4.Phương trình biến đổi về tích:
Ví dụ : Giải các phương trình sau
Hướng dẫn:
1) 
2)
3) chia cả hai vế của phương trình cho 
4)
5) Chia cả hai vế của phương trình cho phương trình tương đương với 
Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng 1: Sử dụng ẩn phụ để đưa về phương trình đại số
Phương pháp:- Biến đổi phương trình đã cho về phần chứa x giống nhau.
 - Đặt f(x) = t đưa phương trình đã cho về phương trình đại số ẩn t. 
 - Giải phương trình tìm t, rồi tìm x.
Chú ý: Nếu bài toán có chứa và (Với k là hằng số). Khi đó có thể đặt .
Nếu bài toán có chứa và f(x) + g(x) = k. Khi đó có thể đặt 
Ví dụ: Giải các phương trình sau 
Hướng dẫn
 1, Đặt 
 2, Đặt 
 3, Đặt 
 4, Biến đổi phương trình đã cho về dạng 
 Đặt 
 5, Đặt thì phương trình có dạng 
 6, đặt Phương trình đã cho có dạng 
 7, Chia cả hai vế của phương trình cho x ta được 
 Đặt 
 8, Chia cả hai vế của phương trình cho x ta được 
 đặt 
 9, Đặt 
 10, Đặt 
Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau
Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai đối với hai biến 
 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với hai biến có dạng 
Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho y2 đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai có ẩn là .
Các trường hợp sau đưa về được dạng trên
Khi ta thay các biểu thức A(x) hoặc B(x) bởi các biểu thức vô tỷ thì ta sẽ được các phương trình vô tỷ theo dạng này.
 a. Phương trình dạng 
Như vậy phương trình có thể giải bẳng phương pháp trên nếu 
Ví dụ: Giải các phương trình 
Hướng dẫn
1, Đặt Ta được phương trình 
 2, Đặt Ta được phương trình 
3, Đặt Ta được phương trình 
4) Đặt Ta được phương trình 
5) Đặt Ta được phương trình 
6, Đặt Ta được phương trình . Để tìm hệ số a, b ta có thường dùng phương pháp hệ số bất định. Cụ thể 
7) Đặt dùng hệ số bbất định ta tìm được hệ số do đó ta được phương trình 
8) Đặt Ta được phương trình 
Thông qua các ví dụ trên ta thấy có thể sử dụng một số hằng đẳng thức như
Ta có thể tạo ra những phương trình vô tỷ dạng trên. Để có một phương trình đẹp ta cần chọn hệ sốa, b, c sao cho phương trình bậc hai giải nghiệm đẹp.
b. Phương trình dạng 
Phương trình có ở dạng này thường khó phát hiện hơn dạng trên, nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa được về phương trình dạng trên.
Ví dụ: Giải các phương trình sau
Hướng dẫn:
1, Đặt Ta được phương trình 
2, Bìn ... 136
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức 
đặt khi đó x1, x2 là nghiệm của phương trình 
Yêu cầu bài toán đưa về tính A= S6 và 
Ví dụ 3: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình .
 Chứng minh rằng là số nguyên không chia hết cho 5
Hướng dẫn: Chứng minh bằng quy nạp
Ta có S0 = 2, S1 = 6 là những số nguyên không chia hết cho 5
Giả sử Sk, Sk-1 là những số nguyên theo hệ thức truy hồi ta có 
Theo hệ thức truy hồi 
Vậy Sn+1 và -Sn-2 chia cho 5 có cùng số dư mà S0, S1, S2 đều không chia hết cho 5. Vậy Sn không chia hết cho 5.
b. Điều kiện của nghiệm không là biểu thức đối xứng
Khi gặp bài toán này ta thường giải quyết theo hai hướng
Hướng 1: Chuyển bài toán về biểu thức của nghiệm có tính đối xứng 
 Ví dụ: Gặp biểu thức x1 – x2 ta thường đưa về tính (x1 – x2)2
Hướng 2: Dựa vào định lý viet và điều kiện của nghiệm thiết lập hệ phương trình. Giải hệ phương trình tìm giá trị thoả mãn
Ví dụ 1: Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1-2x2 = 0.
Ví dụ 2: Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 4x1+3x2=1.
Ví dụ 3: Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 3x1-5x2 = 6.
Ví dụ 4: Cho phương trình có hai nghiệm x1, x2
 a, Chứng minh 
 b, Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Dạng 3: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai 
Ví dụ 1: Cho phương trình . Xác định m để 
 a, Phương trình có hai nghiệm trái dấu.
 b, Phương trình có hai nghiệm đều âm .
Ví dụ 2: Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn 2.
Ví dụ 3: xác định tham số a để phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1.
Ví dụ 4: Với giá trị nào của a thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 5: Cho hàm số 
 a, Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng (0 ; 1)
 b, Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng có độ dài lớn hơn 1
Hướng dẫn
a, Yêu cầu bài toán tương đương với : tìm m để 
Điều này xảy ra khi f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 
b, Yêu cầu bài toán tương đương với tìm m để f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 sao cho 
Dạng 4: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình 
Ví dụ 1: Cho Chứng minh a, b là nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số nguyên.
Ví dụ 2: Cho . Chứng minh c2, d2 là nghiẹm của phương trình bậc hai với hệ số nguyên.
Ví dụ 3: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm . Trong đó y1, y2 là nghiệm của phương trình .
4. Các ứng dụng khác
1.ứng dụng của định lý Viet trong việc giải một số bài toán về hàm số y=ax2
Ví dụ 1: Cho (P) . Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1, 2. Viết phương trình đường thẳng AB.
Đây là bài toán dễ hầu hết học sinh và nhiều tài liệu toán đều có lời giải như sau:
Vì 
Tuy nhiên nếu suy nghĩ đến việc sử dụng định lý Viet ta có lời giải:
Phương trình đường thẳng AB y = ax + b.
Phương trình hoành độ giao điểm . Theo định lý Viet ta có 
Ví dụ 2: Cho (P) . Điểm A trên (P) có hoành độ là 2. Tìm phương trình tiếp tuyến tại A với (P).
Học sinh thường có lời giải như sau:
 Phương trình đường thẳng cần tìm y = ax + b. Vì A trên (P) nên 1= 2a + bÛb=1-2a
 Phương trình hoành độ giao điểm 
 Đường thẳng tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép 
Nếu dùng định lý Viet ta có lời giải: 
Phương trình đường thẳng (d) y = ax + b
Phương trình hoành độ giao điểm 
X = 2 là nghiệm kép của phương trình mà theo định lý viet 
Lại có x1 = x2 = 2 nên suy ra a = 1; b = -1. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = x -1.
Ví dụ 3: Cho parabon (P): y= x2 và đường thẳng (d) y = 2mx-m+1( m≠ 0). Tìm m sao cho đường thẳng (d) cắt parabol (P) tai hai điểm A, B có hoành độ x1, x2 thoả mãn 
Ví dụ 4: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol điểm I(0; -2) và điểm M(m; 0) ( với m là tham số, m ≠ 0). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qu hai điểm M, I. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B với độ dài đoạn AB lớn hơn 4.
Bài tập tương tự:
1) Tìm phương trình đường thẳng qua điểm I (0; 1) cắt (P) y = x2 tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN = .
2) Cho (d) có phương trình và (P) 
 a, Tìm a để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng khi đó A, B nằm bên phải Oy.
 b, Gọi xA, xB là hoành độ của điểm A, B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
3) Cho parabol (P): y = 3x2 và đường thẳng (d): y= 2-m+1 ( m≠ 0). Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d) cắt pảabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1, x2 thoả mãn .
4) Cho (P) và (d) y = mx + 1
 a, Chứng minh với mọi m đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
 b, Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tinh diện tích tam giác OAB theo m.
5) Cho parabol y= x2 và đường thẳng (d) y = mx + 4 ( m là tham số).
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Tìm các giá trị của m để đoạn thẳng AB có độ dài ngắn nhất.
6) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I(0; -4) và cắt parabol tại hai điểm phân biệt M, N sao cho độ dài đoạn thẳng 
7) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m ( m là tham số)
a) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB theo m
2, ứng dụng tam thức bậc hai trong giải hệ phương trình đưa về hệ phương trình bậc hai 
Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại 1
Định nghĩa: Hệ phương trình hai ẩn x, y gọi là hệ đối xứng loại 1 khi và chỉ khi ta tráo đổi vai trò x và y; thì từng phương trình thành phần của hệ không thay đổi.
 Nghĩa là 
Để giải hệ đối xứng loại 1 ta làm như sau
	B1: Đặt điều kiện 
 Đưa hệ đã cho về hệ phương trình với ẩn S, P.
	B 2: Giải hệ tìm S, P thoả mãn.
	B 3: áp dụng định lý Viet đảo thì x, y là nghiệm của phương trình .
Chú ý : Đối với hệ đối xứng loại 1 nếu (x0, y0) là một nghiệm của hệ thì (y0, x0) cũng là nghiệm của hệ.
Nếu (x0, y0) là nghiệm duy nhất của hệ thì x0 = y0.
ở đây không loại trừ khả năng giải hệ bằng phương pháp thế.
Ví dụ 1: Giải hệ 
 Đáp số 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn: đặt S = x+ y và P = xy (S2 ≥ 4P) ta có P2 = 36.
Phương trình (1) của hệ 
Coi đây là phương trình bậc hai đối với . Giải phương trình ta được .
đến đây ta có hệ 
Giải hệ ta tìm được 4 nghiệm của hệ phương trình là (3; -2); (-2; 3); (-3; 2); (2; -3)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 
Hệ phương trình đã cho có thể viết lại 
Do đó theo định lý Viet ta có x(x+1) và y(y+1) là nghiệm của phương trình 
Giải hệ phương trình ta có nghiệm của hệ là 
 (2;3); (2; -4); (-3; 3); (-3; -4); (3; 2); (3; -3); (-4; 2); (-4; -3).
Ví dụ 4: Cho x, y, z là 3 số thoả mãn điều kiện chứng minh rằng 
Hướng dẫn: Vai trò của x, y, z trong hệ là như nhau nên không làm mất tính tổng quát của bài toán ta xemx, y là ẩn và z là tham số. Ta có 
Theo định lý Viet x, y là nghiệm của phương trình (*)
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi 
Vì vai trò của x, y, z như nhau nên ta có đpcm.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn: hệ phương trình đã cho
áp dụng định lý viet ta có y và (x+z) là nghiệm của phương trình . Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với 
Tiếp tục áp dụng định lý viet ta có x, z là nghiệm của phương trình .
Hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; 3; 2) (2; 3; 1).
Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2
Định nghĩa: Hệ phương trình hai ẩn x, y gọi là hệ đối xứng loại 2 khi tráo đổi vai trò của x, y trong một phương trình tuỳ ý thì phương trình nọ biến thành phương trình kia.
Nghĩa là hệ phương trình có dạng 
Phương pháp:
	B 1: Trừ hai vế của phương trình đã cho sẽ làm xuất hiện phương trình tích.
	B 2: Giải từng hệ phương trình 
Chú ý : trong hệ đối xứng loại 2 nếu (x0; y0) là nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn:
 Trừ hai vế của phương trình ta có 
Xét trên [0; 2]
Dạng 3: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 
Dạng tổng quát 
Phương pháp giải:
	Cách 1: Giải bằng phương pháp cộng, thế đại số.
	Cách 2: 
 B1: Kiểm tra x =0 hay y = 0 có là nghiệm của hệ hay không?
 B2: Đặt y=kx
 B3: Đưa hệ phương trình về dạng phương trình bậc hai theo k. Tìm k, tìm x, tìm y.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 
 Đáp số: 
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau
Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình sau
Hướng dẫn
1) Điều kiện .
 Từ phương trình (1) của hệ ta có do đó 
Nếu x >y thì vế trái của (2) lớn hơn 0, vế phải nhỏ hơn 0, vô lý
Nếu x< y thì vt(2) nhỏ hơn 0, VP (2) lớn hơn 0, Vô lý.
Nếu x = y thì (2) thoả mãn. Vây hệ có nghiệm duy nhất 
2) Cộng hai vế của phương rình ta được . Coi đây là phương trình bậc hai ẩn là . Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với 
Giải hệ ta được hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (1; 1).
B. Định lý về dấu của tam thức bậc hai 
I. Các định lý 
1. Định lý thuận: Cho tam thức bậc hai có 
	 Nếu 
 Nếu ()
 Nếu và 
2. Định lý đảo: Cho tam thức bậc hai và . Nếu af(a) < 0 thì f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt và x1 < a <x2.
Hệ quả 1: Cho tam thức bậc hai có . Khi đó 
Hệ quả 2: Cho tam thức bậc hai có . Và hai số thực a, b khi đó điều kiện cần và đủ để f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt và một trong hai nghiệm thuộc (a, b ) còn nghiệm kia thuộc [a, b ] là 
II.Các ứng dụng của định lý dấu tam thức bậc hai
ứng dụng 1: Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm
Để chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm ta có thể dùng một trong các cách sau:
 Cách 1: Chứng minh ∆ ≥ 0
 Cách 2: Chứng minh a.c < 0
 Cách 3: Chứng minh tồn tại một số 
 Cách 4: Chỉ ra tồn tại hai số 
Ví dụ: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm 
ứng dụng 2: Tìm điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên một miền
Trường hợp 1: Tam thức bậc hai không đổi dấu trên R
Ví dụ: 
1) Chứng minh rằng 
2) Xác định m để hàm số có tập xác định là R
3) Xác định m để vô nghiệm.
Trường hợp 2: Tam thức bậc hai không đổi dấu trên [a, b ]
Phương pháp: Tính ∆, a. Lập bảng xét dấu a và ∆.
 Dựa vào bảng xét dấu a, ∆ suy ra dấu của f(x)
 Đặt a, b vào vị trí phù hợp với yêu cầu của bài toán.
 Đưa ra hệ điều kiện.
 Giải hệ điều kiện, tìm giá trị tham số thoả mãn bài toán.
Ví dụ 1: Xác định m để 
Ví dụ 2: Tìm m để 
Ví dụ 3: Tìm m để 
ứng dụng 3: So sánh một số với hai nghiệm của phương trình
Ví dụ 1: với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện đã cho
Ví dụ 2: Cho phương trình . Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0).
Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.