Tài liệu Số học Lớp 6 - Một vài phương pháp tính tổng các số tạo thành dãy số có quy luật

Một vài phương pháp tính tổng các số 
tạo thành dãy số có quy luật 
 I > Phương pháp dự đoán và quy nạp : 
 Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn 
Sn = a1 + a2 + .... an (1) 
Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được .
 Ví dụ 1 : Tính tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 )
Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1 
 S2 = 1 + 3 =22 
 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32 
 ... ... ...
Ta dự đoán Sn = n2 
 Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng 
giả sử với n= k ( k 1) ta có Sk = k 2 (2)
ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3) 
 Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có 
1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) 
vì k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2 
theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh 
 vậy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2 
 Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học .
1, 1 + 2+3 + .... + n = 
2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 = 
3, 13+23 + ..... + n3 = 
4, 15 + 25 + .... + n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) 
II > Phương pháp khử liên tiếp :
 Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , i = 1,2,3...,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2 
 	a2 = b2 - b3 
 	.... .... .....
 	an = bn – bn+ 1 
khi đó ta có ngay :
 Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 ) 
 = b1 – bn + 1 
Ví dụ 2 : tính tổng :
 S = 
Ta có : , , 
Do đó : 
S = 
Dạng tổng quát 
 Sn = ( n > 1 ) 
 = 1- 
Ví dụ 3 : tính tổng 
 Sn = 
Ta có Sn = 
 Sn = 
 Sn = 
Ví dụ 4 : tính tổng 
 Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n ) 
Ta có : 1! = 2! -1! 
 2.2! = 3 ! -2! 
 3.3! = 4! -3! 
 	 ..... ..... ..... 
 n.n! = (n + 1) –n! 
Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! 
 = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
Ví dụ 5 : tính tổng 
Sn = 
Ta có : i = 1 ; 2 ; 3; ....; n
Do đó Sn = ( 1- 
 = 1- 
III > Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính: 
Ví dụ 6 : Tính tổng 
 S = 1+2+22 +....... + 2100 ( 4) 
 ta viết lại S như sau :
 S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 )
 S = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100 - 2100 ) 
 => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) 
Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101
S = 2101-1
Ví dụ 7 : tính tổng 
 Sn = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn ( p1) 
Ta viết lại Sn dưới dạng sau : 
Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 )
Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +..... + p n-1 + p n –p n ) 
Sn = 1+p ( Sn –pn ) 
Sn = 1 +p.Sn –p n+1 
Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 
Sn = 
Ví dụ 8 : Tính tổng 
Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn , ( p 1) 
Ta có : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + ..... + ( n+ 1) p n +1 
 = 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + ...... + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1
= ( 2p + 3p2 +4p3 + ...... +(n+1) pn ) – ( p +p + p + .... pn ) + ( n+1) pn+1
= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ ....... + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + .... + p n) + ( n +1 ) pn+1
p.Sn=Sn- ( theo VD 7 )
 Lại có (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - 
Sn = 
IV > Phương pháp tính qua các tổng đã biết 
Các kí hiệu : 
Các tính chất : 
 1, 
 2, 
Ví dụ 9 : Tính tổng :
Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1) 
Ta có : Sn = 
Vì :
 (Theo I )
cho nên : Sn = 
Ví dụ 10 : Tính tổng :
Sn =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1)
ta có : Sn = 
 = 
Theo (I) ta có :
Sn = 
Ví dụ 11 . Tính tổng 
Sn = 13+ +23 +53 +... + (2n +1 )3 
 ta có : 
Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....+(2n)3]
 = [13+23 +33 +43 + ..... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 +......+ n3 ) 
Sn = ( theo (I) – 3 )
=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 
= (n +1 )2 (2n2 +4n +1) 
V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học sinh lớp 6 ) 
Cơ sở lý thuyết :
 + để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức: 
 Số số hạng = ( số cuối – số đầu 0 : ( khoảng cách ) + 1 
+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức:
 Tổng = ( số đầu – số cuối ) .( số số hạng ) :2 
Ví dụ 12 : 
Tính tổng A = 19 +20 +21 +.... + 132 
Số số hạng của A là : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng )m
 A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607 
Ví dụ 13 : Tính tổng 
 B = 1 +5 +9 +.......+ 2005 +2009 
 số số hạng của B là ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503 
 B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515 
VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh được vào làm toán 
Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) 
Từ đó tính tổng S = 1..2+2.3 + 3.4 +...... + n (n + 1) 
Chứng minh : cách 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) 
 = k( k+1) 
	 = k (k+1) .3 
	 = 3k(k+1) 
Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1). 	
	 = 	 *
3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) 
 => 1.2 = 
S = 
Ví dụ 15 : Chứng minh rằng :
 k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) 
 từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2) 
Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2) 
	= k( k+1) ( k +2 ) .4
Rút ra : k(k+1) (k+2) = 
áp dụng : 1.2.3 = 
 2.3.4 = 
 ..........................................................
 n(n+1) (n+2) = 
Cộng vế với vế ta được S = 
* Bài tập đề nghị :
Tính các tổng sau 
1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 202 
2, a, A = 1+2 +22 +23 +.....+ 26.2 + 2 6 3 
 b, S = 5 + 52 + 53 + ..... + 5 99 + 5100 
 c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76 
3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169 
4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,.... 
5, S = 
6, S = 
7, A = 
8, M = 
9, Sn = 
10, Sn = 
11, Sn = 
12, M = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 
	 50 chữ số 9 
13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9
 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 
 Tính S100 =? 
 Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070 
 b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820 
 c, 1 + 
Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan 
15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 +..... + 220 là luỹ thừa của 2 
 b, B =2 + 22 + 2 3 + ...... + 2 60 3 ; 7; 15
 c, C = 3 + 33 +35 + ....+ 31991 13 ; 41
 d, D = 119 + 118 +117 +......+ 11 +1 5