Tài liệu Số học Lớp 6 - Đề tài 2: Số nguyên tố

	ĐỀ TÀI 2: SỐ NGUYÊN TỐ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
1. Xây dựng khái niệm về số nguyên tố, hợp số.
2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
3. Ứng dụng sự phân tích một số ra thừa số nguyên tố để tìm ƯCLN và BCNN của nhiều số.
A. Một vài vấn đề về số nguên tố. 
B. Một vài ví dụ minh họa
C. Soạn giáo án dạy tiết...."SỐ NGUYÊN TỐ- HỢP SỐ"
 CHƯƠNG I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
I. XÂY DỰNG KHÁI NIỆM VỀ SỐ NGUYÊN TỐ- HỢP SỐ
1. Định nghĩa và tính chất của số nguyên tố
a. Định nghĩa: Ta đã biết trong tập hợp số tự nhiên lớn hơn 1, mọi số tự nhiên khác 1 đều có ít nhất hai ước số là 1 và chính nó. Nếu một số tự nhiên ngoài hai ước số 1 và chính nó còn có ước số khác. Đó gọi là ước số thực của số tự nhiên.
 Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và không có ước số thực nào.
 Số tự nhiên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố gọi là hợp số.
 Ví dụ: 2; 3; 5 là các số nguyên tố. 
 4; 15 là hợp số.
 Từ định nghĩa trên ta thấy: Tập hợp số tự nhiên dương là hợp của ba tập hợp. Số 1; số nguyên tố; hợp số.
b. Định lí: ước số nhỏ nhất (ƯSNN) khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và không lớn hơn căn bậc hai của một số ấy.
Chứng minh: Giả sử a là hợp số và q\a; q≠1 và q nhỏ nhất, cần chứng minh q là một số nguyên tố.
Giả sử: q không phải là số nguyên tố thì q là hợp số, q có ước thực q1. mà 1<q1<q; q1\q mà q\a nên q1\a. Điều này trái với giả thiết q là ƯSNN của a.
Vậy a là số nguyên tố.
* Từ trên ta có: a = qa1; a1 cũng là ước số của a, nhưng q là ƯCNN nên q£ a1
hay q2£ aq=a.
 Do đó .
 Ví dụ: ƯSNN khác 1 của 75 là số nguyên tố 3 và 3< .
 Ước số nguyên tố kgacs 1 của 49 là số nguyên tố 7 và 7= ;
* Hệ quả: Nếu một số tự nhiên M khác 1 và không chia hết cho mọi số nguyên tố không lớn hơn căn bậc hai của nó thì số đó là số nguyên tố.
Thật vậy: Giả sử M không phải là số nguyên tố thì theo định lý trên M lại chia hết cho số nguyên tố q£ ; điều này trái với giả thiết.
Vậy M là số nguyên tố. 	
Ví dụ: Số 29 là số nguyên tố hay hợp số ?
 Ta xét các số nguyên tố p< ; p = 2 ; 3; 5.
Dựa vào tiêu chuẩn chia hết ta nhận thấy ngay: 29 không chia hết cho 2; 3; 5. Vậy 29 là số nguyên tố.
2. Bảng số nguyên tố:
 Khi nghiên cứu số nguyên tố, một vấn đề được đặt ra là những số nào trong dãy số tự nhiên là số nguyên tố. Nhiều nhà Toán học đã cố gắng nghiên cứu vấn đề này nhưng đều không đưa ra được một công thức tổng quát biểu diễn các số nguyên tố.
Dưới đây là cách tìm tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn số M cho trước, theo phương pháp của nhà Toán cổ Hy Lạp Eratosthene (276-194 trước Công nguyên) đề ra: "Muốn tìm tất cả cá số nguyên tố không lơn hơn M thì viết tất cả các số đó ra. Sau đó bỏ đi số 1 và tất cả các bội số của số nguyên tố không lớn hơn (trừ bội số là chính số đó), những số còn lại là những số nguyên tố.
Thật vậy: Giả sử có một số A£ M chưa bị xóa là hợp số thì A phải có ước số thực sự nhỏ nhất q£ £ .
 Nói cách khác A là bội số của số nguyên tố q£ .
Theo phương pháp trên thì A đã được xóa đi rồi.
Cũng cần chú ý rằng: Khi đã xóa đi tất cả ác bội số của các số nguyên tố bé hơn số nguyên tố p (trừ bội số là chính nó) thì tất cả các số nhỏ hơn p2 không bị xóa đều là số nguyên tố.
 Thật vậy: Giả sử A<p2 không bị xóa mà là hợp số thì A phải là ước số thực sự nhỏ nhất q, mà q£ < p.
Như vậy A là bội số của q mà q<p nên A đã được xóa đi rồi.
Do vậy trong thực hành ta lần lượt bỏ đi bội số của các số nguyên tố lớn dần 2; 3; 5; 7...; p;.... Và khi bỏ đi các bội số của số nguyên tố nào thì chỉ câcf bỏ đi các bội số lớn hơn hay bằng bình phương của số nguyên tố đó thôi.
Ví dụ: Tìm tất cả các số nguyên tố không lớn hơn 145
Muốn vậy: Ta viết tất cả các số từ 1 đến 145. Bỏ đi số 1 và tất cả các bội số của các số nguyên tố không lớn hơn < 13. Cụ thể là bỏ đi các bội số của 2, 3, 5, 7, 11 trừ các số đó. Khi bỏ đi các bội số của 2 sẽ bắt đầu bỏ đi từ 22 = 4. Khi bỏ đi các bội số của 2 sẽ bắt đầu bỏ đi từ 32 = 9... và cuối cùng bỏ đi các bội số của 2 sẽ bắt đầu bỏ đi từ 112 = 121 trở đi. Những số còn lại không bỏ đi là số nguyên tố.
* Định lý: Dãy số các số nguyên tố là vô hạn
Giả sử các số hữu hạn các số nguyên tố: 2. 3, 5, 7... , p ( p là số nguyên tố lớn nhất) ta chứng minh rằng: bao giờ cũng tìm được số nguyên tố q mà q > p.
Thật vậy, ta để ý đến các số T, S thành lập như sau:
	T = 2.3.5....p
	và S = T + 1
Rõ ràng S ≠ 1 nên ta có hai trường hợp xảy ra:
1) Nếu S là số nguyên tố thì S = q > p, định lý đã được chứng minh.
2) Nếu S là hợp số thì theo định lý ở mục 1.b ỨNN khác 1 của S là số nguyên tố q không thể là số nguyên tố 2, 3, 5,..., p. Vì như vậy: q\ S; q\T nên q\1. Điều này vô lý vì q≠ 1. Vậy số nguyên tố q > p.
II. PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ:
1. Định lý: Một số tự nhiên a hoặc là bội số của số nguyên tố p hoặc nguyên tố với p.
Chứng minh: Theo giả thiết p là số nguyên tố nên p chỉ có 2 ước là 1 và chính nó (p). Do đó, (a,p) = p hoặc 1. Cho nên hoặc a+ p hoặc (a,p) = 1.
* Định lý: Nếu một số nguyên tố chia hết một tích các thừa số thì nó chia hết ít nhất một trong các thừa số đó.
Chứng minh: Theo giả thiết p là số nguyên tố và a1, a2,...., an + p.
Giả sử: Mọi ai (i = 1, 2, ..... n) đều không chia hết cho, theo định lý trên (ai,p) = 1 (i = 1, 2, ..... n) .
Và như vậy thì (a1, a2,...., an ) = 1
Điều này trái với giả thiết a1, a2,...., an + p
Vậy có ít nhất một ai + p
* Hệ quả: Nếu một số nguyên tố chia hết một tích các số nguyên tố thì nó phải bằng một trong các thừa số nguyên tố đó.
Thật vậy: Theo định lý trên, số nguyên tố phải chia hết ít nhất một số nguyên tố khác. Điều này chỉ xảy ra khi hai số nguyên tố đó bằng nhau.
2. Định lý: Mỗi hợp số đều có thể phân tích được thành một tích những thừa số nguyên tố và nếu không kể đến thứ tự của các thừa số thì kết quả của sự phân tích là duy nhất.
Chứng minh: 
* Chứng minh sự phân tích được:
Gọi a là hợp số thì a có ước số nguyên tố p, khi đó a = p.a1
Nếu a1 là số nguyên tố thì việc phân tích là xong.
Còn nếu a1 không là số nguyên tố thì a1 = p2.a2, p2 là số nguyên tố. Và cũng lập luận tương tự như trên.
Ta nhận thấy: a > a1 > a2 > ....
nên quá trình phân tích là hữu hạn. Và cuối cùng ta được:
a = p1.p2.p3...pn
Trong đó, pi là các số nguyên tố có thể trùng nhau.
* Chứng minh sự phân tích là duy nhất:
Giả sử a còn có dạng phân tích khác: a = q1.q2.q3...qm
Như vậy: p1.p2.p3...pn = q1.q2.q3...qm
Vì p1\p1.p2.p3...pn nên q\q1.q2.q3...qm
Theo hệ quả của định lý trên (mục 1) p1 phải bằng một trong qi. Giả sử p1=q1, dựa và tính chất chính quy của phép nhân ta suy ra: p1.p2.p3...pn = q1.q2.q3...qm
Lập luận tương tự ta có:
p2 = q2
p3 = q3
...........
pn= qm
Và từ đó suy ra: m = n
Do vậy, với một số tự nhiên chỉ có một dạng phân tích thành một tích các thừa số nguyên tố. Nếu ta hợp các thừa số trùng lại thì ta sẽ được dạng phân tích tiêu chuẩn của a là:
 a = p1a1 . p2a2 .... pkak 
(pi là các số nguyên tố, còn ai là các số tự nhiên)
3. Phương pháp phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
Trong thực tế dựa vào tiêu chuẩn chia hết và có khi cả phép thử, người ta phân tích một số ra thừa số nguyên tố như sau:
Ví dụ: 
a/ 360
2
b/ 4116420
2
 180
2
 2058210
2
 90
2
 1029105
3
 45
3
 343035
3
 15
3
 114345
3
	5
5
 38115
3
	1
 12705
3
 4235
5
Vậy: 360 = 23.32.5
 847
7
 121
11
 11
11
 1
 Vậy: 4116420 = 22.55.5.7.112
Trong cacs trường hợp đặc biệt, nếu một số là tích của hai số đã biết dạng phân tích thì áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cho nhanh.
Ví dụ: 16000 = 16.1000 = 24.23.53 = 27. 53
4. Chú ý: Từ định lý trên (2) chúng ta thấy mọi số nguyên a khác 0 và khác ± 1 đều có dạng phân tích tiêu chuẩn sau:
a = ± p1a1 . p2a2 .... pnan 
Với pi (i = 1, 2, ...., n) là số nguyên tố.
aj (j = 1, 2, ...., n) là số nguyên dương. 
Thật vậy, khi a ≠ 0 và a ≠ ± 1 ta chia làm hai trường hợp.
- Nếu a > 1 thì a = pi khi a là số nguyên tố
 a = p1a1 . p2a2 .... pnan khi a là hợp số
- Nếu - a = p1a1 . p2a2 .... pnan hoặc - a = pi
và do đó: a = - p1a1 . p2a2 .... pnan hoặc a = - pi
III. ỨNG DỤNG SỰ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ ĐỂ TÌM ƯCLN VÀ BSCNN CỦA NHIỀU SỐ:
1. Định lý: 
Cho a là một số nguyên dương có dạng a = ± p1a1 . p2a2 .... pnan thì số nguyên d là ước của a khi và chỉ khi nó có dạng phân tích:
 d = ± p1b1 . p2b2 .... pnbn
thì ước 0 < bi < ai (i = 1, 2, 3,....., n)
* Chứng minh:
+/ Điều kiện ắt có: Cho d\a thì a = dq
Đẳng thức này chứng tỏ mọi ước số nguyên tố của d đều là ước nguyên tố của a và số mũ của số nguyên tố đó trong dạng phân tích của d không lớn hơn số mũ của nó trong dạng phân tích của a.
+/ Điều kiện đủ: 
Cho a = ± p1a1 . p2a2 .... pnan 
 d = ± p1b1 . p2b2 .... pnbn ; với 0 < bi < ai 
Từ trên ta có : 0 < ai - bi
 và a = ± p1b1 ... pnbn .p1a1 - b1....pnan - bn
 a = dq ; trong đó q Î Z và q # 0
Vậy d\a
2. Tìm ƯCLN của nhiều số:
Cho các số a1, a2, ...., an và dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của a1, a2, ...., an là: a1 = ± P1a1 . P2a2 ....Pkak 
 ..................................
 ..................................
 an = ± P1l 1 . P2l 2 .... Pklk 
Thế thì D = (a1, a2, ...., an) = P1min(a1,....,l1) ................ Pkmin(ak,....,lk) 
trong đó min(aj,.......,lj) là số nhỏ nhất trong các số aj,.......,lj
Chứng minh: 
Thật vậy D > 0 điều đó khả năng rõ ràng, do:
 	a1 ³ min(a1,...........,l1) 
	..............................
	..............................
	ak ³ min(ak,............, lk)
Theo định lý trên thì: D \ a1
 và tương tự D \ a2;............; D \ ak
Nếu d là một ƯSC nào của a1, a2, ...., an thì theo định lý ở trên d có dạng phân tích tiêu chuẩn:
 d = P1l1 . P2l 2 .... Pklk
Trong đó: l1 < a1; l2 < a2; ..................; l1 < l1
 .......................................................
 .......................................................
 lk < ak; ..............................; lk < lk
Do vậy: l1 £ min(a1,............, l1)
 ......................................
 .....................................
 lk £ min(ak,............, lk)
Nên theo định lý trên d \ D. Vậy D = (a1, a2, ...., an ) 
 = P1min(a1,....,l1) ................ Pkmin(ak,....,lk)
* Ví dụ: Tìm (192; 240; 288; 336)
Phân tích các số đã cho thành thừa số nguyên tố:
192 = 26 . 3
240 = 24 . 3 . 5
288 = 25 . 32
336 = 24 . 3 . 7
Theo quy tắc trên D = 24 . 3 = 48
3. Tìm BSCNN của nhiều số:
Cho các số nguyên a1, a2, ...., an . Gọi p1, p2, ...., pk là các số nguyên tố . Giả sử: 
 a1 = ± p1a1 . p2a2 ....pkak 
 ..................................
 ..................................
 an = ± p1l 1 . p2l 2 .... pklk 
 Thế thì: m = [ a1, a2, ...., an ] = p1max(a1,....,l1) ................ pkmax(an,....,ln)
Trong đó max(aj,.......,lj) là số lớn nhất trong các số aj,.......,lj
* Chứng minh: 
Thật vậy m > 0 điều này khả năng rõ ràng, do:
 	a1 £ max(a1,...........,l1) 
	..............................
	..............................
	ak £ max(ak,............, lk)
Do đó, theo định lý trên ta có: a1 \ m
 tương tự: a2 \ m;............; an \ m
Vậy m là BSC của a1, a2, ...., an
Nếu M là BSC nào đó của a1, a2, ...., an thì cũng theo định lý ở trên:
 M = p1l1 . p2l 2 .... pklk
Trong đó: l1 ³ a1; l2 ³ a2; ..................; l1 ³ l1
 .......................................................
 .......................................................
 lk ³ ak; ..............................; lk ³ lk
Do vậy: l1 ³ max(a1,............, l1)
 ......................................
 .....................................
 lk ³ max(ak,............, lk)
Nên m \ M.
 Vậy D = [a1, a2, ...., an ] = p1max(a1,....,l1) ................ pkmax(ak,....,lk)
* Ví dụ: Tìm [192; 240; 288; 336]
Phân tích các số trên ra thừa số nguyên tố và áp dụng các làm trên ta được:
 [192; 240; 288; 336] = 26 . 32 . 5 . 7 = 20180
IV. MỘT SỐ VẤN ĐỀ KHÁC VỀ NGUYÊN TỐ:
1. Trong phần trên ta đã biết tập hợp các số nguyên tố là tập hợp vô hạn và ta đã biết cách tìm các số nguyên tố không vượt quá một số tự nhiên cho trước bằng "Sàng Eratosthene". Lịch sử toán học đã ghi nhận kết quả của nhiều nhà toán học lập các bảng số nguyên tố.
+ Lamberta (1728 - 1777) đã lập bảng các số nguyên tố từ 1 đến 102000
+ Đến năm 1891 Secniki đã cho ra số nguyên tố đến 1020000
+ Đến 1914 Lome cho ra đời bảng số nguyên tố từ 1 đến 10006721.
2. Số nguyên tố lớn nhất mà chúng ta đã biết là số nào?
Bằng phương pháp chứng minh khác với phương pháp lập bảng, năm 1883 nhà toán học Pecvukhin đã chứng tỏ số 261 - 1 = 230584300921369351 là số nguyên tố.
Trong thời gian gần đây nhờ máy tính điện tử người ta đã tìm được số nguyên tố:
 24423 - 1 có 1332 chữ số trong hệ ghi cơ số 10
Số nguyên tố có dạng 2p - 1 gọi là số nguyên tố mecsen.
Ta chứng minh: Mp = 2p - 1 là số nguyên tố thì p là số nguyên tố.
3. Khi nghiên cứu về dãy số nguyên tố ta thấy:
Trong 10 số tự nhiên đầu có 4 số nguyên tố
Trong 100 số tự nhiên đầu có 25 số nguyên tố
Trong 1000 số tự nhiên đầu có 168 số nguyên tố
Trong 100000 số tự nhiên đầu có 78498 số nguyên tố.
Và càng về sau số nguyên tố càng thưa dần.
* Những vấn đề xung quanh số nguyên tố còn nhiều điều bí ẩn và hấp dẫn để loài người tiếp tục tìm hiểu và nghiên cứu.