Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán Lớp 12 - Phần Hình học - Nguyễn Bá Tuấn

PHẦN HÌNH HỌC
Chủ đề 1 : THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là : 
Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là : 
Thể tích của khối hộp bằng tích diện tích đáy với chiều cao của nó.
Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
Chú ý :
a) Tỷ số thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương tỷ số đồng dạng.
b) Ta thường áp dụng kết quả sau : Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đó : 
Ví dụ :
1) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích khối chóp đó.
Giải :
Kẻ SH^(ABC). H là trọng tâm của DABC.
, 
Thể tích khối chóp là : 
2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mp(P) qua A và vuông góc SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Biết rằng : .
a- Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD.
b- Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Giải : 
a) Gọi SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. Mp(P) cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác AB’C’D’.
Ta có : BD^(SAC) Þ BD^SC, do đó BD // (P), từ đó suy ra (P) cắt (SBD) theo giao tuyến B’D’ // BD
Kẻ HE // AC’, khi đó : EC’= EC và 
Suy ra : 
Do đó : 
Vậy C’ là trung điểm của SC và SC^(AB’C’D’)
Ta có : 
b) Theo câu a), AC’vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của DSAC nên AS = SC, suy ra DSAC đều. Từ đó ta có : 
Bài tập :
1) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính tỷ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
2) Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đt qua C và vuông góc với mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính theo a.
3) Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB=AC=5a, BC=6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích khối chóp đó.
4) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. SA vuông góc với đáy. Biết AB=a, BC=2a, SA=a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối chóp S.AEF theo a.
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, SA=c. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB và SD sao cho AB’^ SB, AD’^ SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
6) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB’ và DD’. Mp(CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện đó.
7) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. (TN 2009)
8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. (TN 2010)
9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = . Tính thể tích khối chóp S.CDNM (ĐH Khối A 2010)
10) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là các giao điểm các đường chéo của đáy dưới ABCD, biết OA’ = a.
a. Tính thể tích hình chóp A’.ABD, từ đó suy ra khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (A’BD).
b. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mp(A’BD).
11) Một hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.
a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy. Tính thể tích hình lăng trụ.
b. Chứng minh rằng mặt bên AA’C’C là hình vuông.
12) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh góc vuông bằng a. Mặt bên (SBC) vuông góc với đáy, mỗi mặt bên còn lại tạo với đáy một góc 450.
a. Chứng minh rằng chân đường cao hình chóp trùng với trung điểm cạnh huyền BC.
b. Tính thể tích của hình chóp.
HD : Kẻ . Từ I kẻ 
 là trung điểm của BC
13) Đáy ABC của hình chóp S.ABC là tam giác vuông cân (BA = BC). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và độ dài bằng . Cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 600.
a. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
b. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính góc giữa mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng đáy.
14) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA= SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. (CĐ B 2010)
15) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. (ĐH D 2010)
16) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy bằng a.
a. Tính thể tích hình chóp.
b. Tính góc do mặt bên tạo với đáy.
17) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác vuông tại B. Biết BB’=AB=h và góc của B’C làm với mặt đáy một góc α.
a. Chứng minh rằng : và tính thể tích hình lăng trụ trên.
b. Tính diện tích thiết diện tạo nên do mặt phẳng (ACB’) cắt hình lăng trụ.
18) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và bằng a.
a. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b. Từ A dựng AM ^ SB, AN ^ SD . Chứng minh rằng SC ^ mp(AMN) .
c. Gọi K là giao điểm của SC và mp(AMN). Tính diện tích tứ giác AMKN.
19) Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại . Biết , cạnh bên . Tính thể tích khối lăng trụ theo .
20) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = CD = a, AB = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. (TN 2011)
Chủ đề 2 : MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
1- Mặt nón :
Diện tích xung quanh : 	 	Diện tích đáy : - 
Diện tích toàn phần : 	Thể tích : 
Bài tập :
1- Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.
c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc . Tính diện tích của thiết diện này.
2- Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
3- Cắt hình nón đỉnh bằng một mặt phẳng qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng .
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.
b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho tạo với đáy một góc . Tính diện tích tam giác SBC.
4- Cho hình chóp tứ giác đều có chiều cao và góc . Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
5- Cho hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên và mặt phẳng đáy là . Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC.
6- Cho tứ diện đều EFGH có cạnh bằng a. Tính thể tích khối nón có đỉnh là E và mặt đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác FGH.
2- Mặt trụ :
Diện tích xung quanh : 	 	Diện tích đáy : 
Diện tích toàn phần : 	Thể tích : 
Bài tập :
1- Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
2- Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao . A và B là hai điểm trên đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là . 
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
c) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
3- Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại . Biết , cạnh bên . Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp của .
4- Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn và . Khoảng cách giữa hai đáy là . Một hình nón có đỉnh là và có đáy là hình tròn .
a) Gọi là d.tích xung quanh của hình trụ và là d.tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ số 
b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, tính tỷ số thể tích hai phần đó.
3- Mặt cầu :
a- Giao của mặt cầu và mặt phẳng :
Cho mặt cầu và mặt phẳng . 
 : không cắt 
 : tiếp xúc tại H
 : cắt theo đường tròn có bán kính 
b- Giao của mặt cầu và đường thẳng :
Cho mặt cầu và đường thẳng . 
 : không cắt 
 : tiếp xúc tại H
 : cắt tại hai điểm 
c- Diện tích mặt cầu : - Thể tích khối cầu : 
Bài tập :
1- Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
2- Cho hình hộp chữ nhật có .
a) Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua tám đỉnh của hình hộp đó.
b) Tìm bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên.
3- Cho tứ diện có đôi một vuông góc nhau và . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
4- Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
5- Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và chiều cao bằng a.
6- Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, , . CMR hình chóp nội tiếp được trong một mặt cầu và tính diện tích mặt cầu này.
Chủ đề 3 : TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. TÍCH VÔ HƯỚNG
1. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và các ứng dụng
Định lí. Trong không gian Oxyz, cho : : 
2. Ứng dụng
· 	· 	
· 	· 
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Trong K.gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính r có phương trình: 
Phương trình : với là phương trình mặt cầu có
 tâm I(–a; –b; –c) và bán kính 
III- PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1- Tích có hướng của hai vectơ : Cho hai vectơ , 
 gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ và . 
· và cùng phương ó . 	· đồng phẳng ó .
2- Phương trình mặt phẳng : 
Phương trình , trong đó , đgl phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét : 
Nếu mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với thì mặt phẳng (P) còn được viết dưới dạng : 	(2) được gọi là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.
a. Điều kiện để hai mặt phẳng song song : 
Cho hai mp ,. Ta có và lần lượt là vectơ pháp truyến của và , ta có: 
 	· 	 · 	 · cắt 
b. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc :
3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Cho (P): và điểm : 
IV- PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Phương trình tham số của đường thẳng D đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có VTCP có dạng:
	, trong đó t là tham số.
Chú ý: Nếu a1, a2, a3 đều khác 0 thì có thể viết PT của D dưới dạng chính tắc: 
Cho hai đường thẳng d và d¢ lần lượt có VTCP là và , . Đặt , ta có các điều kiện sau:
1. Điều kiện để hai đường thẳng song song
	d // d¢ Û 	d º d¢ Û 
2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau
d cắt d¢ Û 	
3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau : d chéo d’ 
V. VTTĐ GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG : 
Cho (P): , có vtpt và , có 
VTCP 
BÀI TẬP :
1- Trong Kg Oxyz cho bốn điểm và 
a) CM bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng	b) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A
c) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD
2- Trong Kg Oxyz cho bốn điểm và 
a) CMR ABCD là một tứ diện 	b) Tính góc giữa các đường thẳng là các cạnh đối của tứ diện đó.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ A
3- Lập phương trình mặt cầu:
a) Có đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3).	b) Đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1).
c) Đi qua ba điểm và có tâm nằm trên 
d) Có tâm và tiếp xúc với 
4- Cho bốn điểm . 
a) CMR bốn điểm đó không đồng phẳng.	
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.	c) Viết phương trình mp(BCD).	
d) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD). Tìm toạ độ tiếp điểm.
5- Cho hai điểm và mp.
a) Tìm toạ độ điểm đối xứng với A qua mp(P)
b) Viết phương trình mp(Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P).
6- Cho mp và mặt cầu . Lập phương trình song song (P) và tiếp xúc (S).
7- Cho điểm A(0,1,-1) và đường thẳng 
a) Viết pt mp() qua A và vuông góc với d
b) Tìm toạ độ giao điểm M của () với trục Ox.
c) Viết pt tham số của giao tuyến d’ của () với mp(Oxy).
8- Viết pt hình chiếu vuông góc d’ của đt d : trên 
9- Tìm toạ độ M’ đxứng với M( 2, -1, 3) qua đt d : 
10- Cho 2 đường thẳng : d1: và d2 : 
Viết pt đường vuông góc chung của d1 và d2.
11- Cho 2 đường thẳng : d1: và d2 : 
a) Chứng minh : và d1 chéo d2.
b) Viết pt đường vuông góc chung của d1 và d2.
12- Cho M(2; -1; 1) và đường thẳng 
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên D
b) Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua D.
13- Cho mặt phẳng và mặt cầu 
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu 
b) Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) và xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của I lên (P).
14- Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A( −1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).
a) Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b) Gọi M là điểm sao cho . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M vuông góc với đ.thẳng BC.
16- Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm E(1;2;3) và mặt phẳng (α) : x + 2y – 2z + 6 = 0.
a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ O và tiếp xúc với mặt phẳng(α).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng (Δ) đi qua điểm E và vuông góc với mặt phẳng (α).
17- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm E(-1; 0; 1), F(3; 4; 5)
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng EF.
b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng trung trực của đoạn EF.
18- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu và mặt phẳng ( với m là tham số).
a) Xác định toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
b) Tìm m để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với giá trị m vừa tìm được, hãy xác định toạ độ tiếp điểm của mp(P) và mặt cầu (S).
19- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 0; 5), và hai mặt phẳng 
(P) : 2x - y + 3z + 1 = 0 và (Q) : x + y –z + 5 = 0.
1) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q).
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (T) đi qua M và vuông góc với cả (P) và (Q).