Tài liệu ôn thi môn Toán Lớp 9 - Phần Đại số (phần 5)

2. Phương trình vô tỷ: Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ
Phương pháp 1: Biến đổi tương đương
1. Biến đổi tương đương đưa về phương trình cơ bản.
Bài tập:
2. Bình phương hai vế của phương trình
Ví dụ: Giải phương trình 
Giải: Bình phương hai vế không âm của phương trình ta được 
 Tuy nhiên giải phương trình này hơi phức tạp. Phương trình giải sẽ đơn giản hơn nếu ta chuyển vế phương trình 
Bình phương hai vế ta có Thử lại x=1 thoả mãn.
Nhận xét:
 Nếu phương trình mà có f(x) + h(x)= g(x) + k(x) thì ta biến đổi ptrình về dạng sau đó bình phương rồi giải phương trình hệ quả.
Ví dụ: Giải phương trình 
Giải: Ta có . Từ nhận xét này ta có lời giải như sau
Phương trình đã cho tương đương với 
Bình phương hai vế ta được 
Thử lại ta có hai nghiệm đều thoả mãn.
Nhận xét: Nếu phương trình mà có f(x) . h(x)= g(x). k(x) thì ta biến đổi ptrình về dạng sau đó bình phương rồi giải phương trình hệ quả.
3. Trục căn thức
 3.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
 a. Phương pháp: Một số phương trình vô tỷ có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa được về dạng tích (x-x0)A(x)=0. Ta có thể giải phương trình A(x) = 0 hoặc chứng minh A(x) = 0 vô nghiệm.
 b. Ví dụ: Giải các phương trình sau 3.2 Đưa về hệ tạm
 a, Phương pháp: nếu phương trình vô tỷ có dạng mà A-B = kC ở đây C có thể là hằng số, có thể là biểu thức của x. Ta có thể giải như sau: . Khi đó ta có hệ 
 b, Ví dụ: Giải các ptrình sau 
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: 
4.Phương trình biến đổi về tích: Áp dụng như phõn tớch đa thức thành nhõn tử
Ví dụ : Giải các phương trình sau
Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng 1: Sử dụng ẩn phụ để đưa về phương trình đại số
Phương pháp:- Biến đổi phương trình đã cho về phần chứa x giống nhau.
 - Đặt f(x) = t đưa phương trình đã cho về phương trình đại số ẩn t. 
 - Giải phương trình tìm t, rồi tìm x.
Chú ý: Nếu bài toán có chứa và (Với k là hằng số). Khi đó có thể đặt .
Nếu bài toán có chứa và f(x) + g(x) = k. Khi đó có thể đặt 
Ví dụ: Giải các phương trình sau Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai đối với hai biến 
 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với hai biến có dạng 
Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho y2 đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai có ẩn là .
Các trường hợp sau đưa về được dạng trên 
Khi ta thay các biểu thức A(x) hoặc B(x) bởi các biểu thức vô tỷ thì ta sẽ được các phương trình vô tỷ theo dạng này.
 a. Phương trình dạng 
Như vậy ptrình có thể giải bẳng phương pháp trên nếu 
Ví dụ: Giải các phương trình 
Hướng dẫn
1, Đặt Ta được phương trình 
 2, Đặt Ta được phương trình 
3, Đặt Ta được phương trình 
4) Đặt Ta được phương trình 
5) Đặt Ta được phương trình 
6, Đặt Ta được phương trình . Để tìm hệ số a, b ta có thường dùng phương pháp hệ số bất định. Cụ thể 
7) Đặt dùng hệ số bbất định ta tìm được hệ số do đó ta được ptrình 
8) Đặt Ta được phương trình 
Thông qua các ví dụ trên ta thấy có thể sử dụng một số hằng đẳng thức như
Ta có thể tạo ra những phương trình vô tỷ dạng trên. Để có một phương trình đẹp ta cần chọn hệ sốa, b, c sao cho phương trình bậc hai giải nghiệm đẹp.
b. Phương trình dạng 
Phương trình có ở dạng này thường khó phát hiện hơn dạng trên, nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa được về phương trình dạng trên.
Ví dụ: Giải các phương trình sau Hướng dẫn:
1, Đặt Ta được phương trình 
2, Bình phương hai vế ta có Đặt Ta được phương trình 
3, Chuyển vế bình phương ta được 
 Nhận xét: không tồn tại số a, b để vậy không thể đặt ẩn phụ ngay được. Ta có . 
Ta đặt ta được phương trình 
Với định hướng này ta có thể tự sáng tạo được những phương trình vô tỷ đẹp .
Dạng 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: Trong một số trường hợp ta có thể giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ, nhưng sau khi biến đổi ta đựoc phương trình vẫn còn cả hai biến t và x, tuy nhiên ta tìm được mối liên hệ giữa t và x bằng cách coi đây là phương trình ẩn t còn x coi như là hằng số.
Ví dụ: Giải các phương trình sau
Hướng dẫn:
 1, Đặt Ta được phương trình 
2, Đặt Ta được phương trình 
3, Đặt Ta được phương trình 
4, Đặt Ta được phương trình 
5, Đặt khi đó phương trình trở thành nếu coi đây là phương trình ẩn x thì nghiệm khá phức tạp, còn nếu coi là phương trình ẩn t thì phương trình vô tỷ cần giải lại khó khăn. Do đó ta thêm bớt để được phương trình bậc hai theo t có ∆ chẵn 
6, Đặt Ta được ptrình 
Ta có phương trình 
7, Bình phương hai vế ta được phương trình 
 Ta đặt Ta được phương trình 
Ta phải tách làm sao cho ∆t là số chính phương 
Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết số hạng tự do thì sẽ đạt được mục đích.
Dạng 4: Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích 
Ví dụ: Giải các phương trình 
Hướng dẫn:
1) Đặt 
2) đặt 
3) Đặt 
4) Đặt 
5) đặt 
6) Đặt 
7) đặt 
Đối với các ví dụ 5, 6, 7 ta thấy có sự đặc biệt là sau khi đặt ẩn phụ ta đều đưa được về phương trình tích. Tất cả các phương trình này đều xuất phát từ một hằng đẳng thức quan trọng là 
 Ta có . Bằng cách chọn a, b, c sao cho ta được phương trình vô tỷ chứa căn bậc bai.
 Dạng 5: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình 
Dạng 1: Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
Phương pháp:Đặt và tìm mối liên hệ giữa độc lập đối với x, từ đó tìm được hệ theo u, v.
Dạng 2: Dạng phương trình chứa căn bậc hai và luỹ thừa bậc hai
Phương pháp:
- Biến đổi phương trình đã cho có dạng: với 
- Đặt khi đó phương trình được chuyển thành hệ 
Ví dụ1: Giải phương trình 
Hướng dẫn:
1). đặt Khi đó phương trình đã cho trở thành hệ 
2). Đặt , khi đó phương trình đã cho trở thành hệ 
Dạng 3:Dạng phương trình chứa căn bậc ba và luỹ thừa bậc ba
Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng với 
đặt khi đó phương trình được chuyển thành hệ 
Ví dụ : Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn:
1) Đặt 2) Đặt 
3) Đặt 4) Đặt 
5) đặt 6) đặt 7) Đặt 
 Các ptrình 8, 9, 10,11 cách giải đều được xây dựng xuất phát từ hệ ptrình 
Từ phương trình (2) của hệ ta có 
Thay vào phương trình (1) ta có 
Đến đây bằng cách chọn ta xây dựng được các phương trình vô tỷ.
Cụ thể : Với phương trình (8) ta đặt ta đưa về hệ 
Với phương trình (9) ta đặt ta đưa về hệ 
Với phương trình (10) ta đặt ta đưa về hệ 
Với phương trình (11) ta đặt ta đưa về hệ 
Nếu xét hệ bằng cách tương tự ta xây dựng được ptrình 
Bằng cách xét các hệ đối xứng khác ta có thể tự xây dựng thêm một số dạng phương trình. Qua đó ta sẽ tạo ra được rất nhiều đề toán hay.
Bài tập tương tự 
Phương pháp 3: Phương pháp đánh giá
Dạng 1: Đánh giá hai vế của phương trình 
Một số ptrình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức Ptrình A = B xảy ra khi .
 Tổng quát một số ptrình được tạo ra từ ý tưởng khi đó 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau
Hướng dẫn:
 Đối với phương trình (1): áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có 
Đối với phương trình (2) : áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có 
Phương trình (2) xảy ra khi dấu ‘==’ của bất đẳng thức Bunhia xảy ra.
Đối với phương trình (3) ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có . Phương trình (3) xẩy ra khi dấu ‘= ‘ của bất đẳng thức Bunhia xảy ra.
Phương trình (4) cách giải như phương trình (1)
Ptrình (5) ta có Phương trình (5) xảy ra khi 
Dạng 2: Tìm một nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất 
Ví dụ: giải phương trình 
Điều kiện: x < 2 Ta có là một nghiệm của phương trình 
Với Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Phương pháp 4: Phương pháp hàm số Sử dụng tính chất của hàm số để giải ptrình. Ta thường có 3 hướng sau đây
Hướng 1: Thực hiện theo các bước
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f(x) = k
Bước 2: Xét hàm số y= f(x)
Bước 3: Xét sự biến thiên của hàm số y= f(x)
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên kết luận số nghiệm của phương trình f(x) = k.
Hướng 2:Thực hiện theo các bước
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x)
B2:Dùng lập luận khẳng định rằng f(x) và g(x) có những tính chất trái nghược nhau và xác định x0 sao cho f(x0)= g(x0) 
Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x0.
Hướng 3: Thực hiện theo các bước
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v)
Bước 2: Xét hàm số y= f(x), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu
Bước 3: Khi đó f(u) = f(v) Û u=v
Ví dụ : Giải các phương trình sau
Hướng dẫn:
1)Ptrình đã cho tương đương với 
Xét hàm số là đồng biến trên R ta có x= 
2)Chia cả hai vế của phương trình cho x – 2. Xét hàm số đồng biến với mọi x. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3
3) Xét hàm số trên có f’(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên D và . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
4) đặt t=x2 – x phương trình có dạng .Xét hàm đồng biến trên [2; 3], mà f(1) = 1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất t =1 
5) Xét trên D ta có f(x) < 0 với mọi x thuộc D mà vế phải của phương trình luôn dương nên phương trình vô nghiệm.
6) Tập xác định của phương trình là thay hai giá trị vào ta có phương trình có nghiệm là x = 1
7) Xét hàm số trên D có f’(x) > 0 nên hàm số luôn đông biến. Lại có f(1) = 4, do dó x= 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
8) làm tương tự bài 7 ta có nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1.
9) Đặt phương trình đã cho trở thành 
Xét hàm có f’(t) > 0 nên ptrình tương đương f(u) = f(v) Û 
10) Xét hàm là hàm đồng biến trên D còn hàm nghịch biến trên D. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất, nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.