Tài liệu ôn thi môn Toán Lớp 9 - Phần Đại số

I - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và đưa được về dạng cơ bản
Bài 3. Giải hệ phương trình 
Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 4. Giải hệ phương trình bằng đặt ẩn phụ:
Bài 5. Giải hệ phương trình: 
 a) b) c)
Bài 6. Giải hệ phương trình: 
1
2, 
3, 
4, 
5, 
6, 
7, 
8, 
9, 
10, 
11, 
12, 
13, 
14, 
15, 
16, 
17, 
18,
19, 
20, 
21
22, 
23, 
24, 
Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng loại 1
Định nghĩa: Hệ phương trình hai ẩn x, y gọi là hệ đối xứng loại 1 khi và chỉ khi ta tráo đổi vai trò x và y; thì từng phương trình thành phần của hệ không thay đổi.
 Nghĩa là 
Để giải hệ đối xứng loại 1 ta làm như sau
	B1: Đặt điều kiện Đưa hệ đã cho về hệ phương trình với ẩn S, P.
	B 2: Giải hệ tìm S, P thoả mãn.
	B 3: áp dụng định lý Viet đảo thì x, y là nghiệm của phương trình .
Chú ý:Đối với hệ đối xứng loại 1 nếu (x0,y0) là một nghiệm của hệ thì (y0, x0) cũng là nghiệm của hệ.
Nếu (x0, y0) là nghiệm duy nhất của hệ thì x0 = y0.
ở đây không loại trừ khả năng giải hệ bằng phương pháp thế.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 
H/dẫn: đặt S = x+ y và P = xy (S2 ≥ 4P) ta có P2 = 36. Ptrình (1) của hệ 
Coi đây là phương trình bậc hai đối với . Giải phương trình ta được .
đến đây ta có hệ Giải hệ ta tìm được 4 nghiệm của hệ ptrình là (3; -2); (-2; 3); (-3; 2); (2; -3)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 
Hệ phương trình đã cho có thể viết lại 
Do đó theo định lý Viet ta có x(x+1) và y(y+1) là nghiệm của phương trình 
Giải hệ phương trình ta có nghiệm của hệ là (2;3); (2; -4); (-3; 3); (-3; -4); (3; 2); (3; -3); (-4; 2); (-4; -3).
Ví dụ 4: Cho x, y, z là 3 số thoả mãn điều kiện chứng minh rằng 
Hướng dẫn: Vai trò của x, y, z trong hệ là như nhau nên không làm mất tính tổng quát của bài toán ta xemx, y là ẩn và z là tham số. Ta có 
Theo định lý Viet x, y là nghiệm của phương trình (*)
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi 
Vì vai trò của x, y, z như nhau nên ta có đpcm.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn: hệ phương trình đã cho
áp dụng định lý viet ta có y và (x+z) là nghiệm của phương trình . Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với 
Tiếp tục áp dụng định lý viet ta có x, z là nghiệm của phương trình .
Hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; 3; 2) (2; 3; 1).
Dạng 4: Hệ phương trình đối xứng loại 2
Định nghĩa: Hệ phương trình hai ẩn x, y gọi là hệ đối xứng loại 2 khi tráo đổi vai trò của x, y trong một phương trình tuỳ ý thì phương trình nọ biến thành phương trình kia.
Nghĩa là hệ phương trình có dạng 
Phương pháp:
	B 1: Trừ hai vế của phương trình đã cho sẽ làm xuất hiện phương trình tích.
	B 2: Giải từng hệ phương trình 
Chú ý : trong hệ đối xứng loại 2 nếu (x0; y0) là nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn: Trừ hai vế của phương trình ta có 
Xét trên [0; 2]
Dạng 5: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai Dạng tổng quát 
Phương pháp giải:
	Cách 1: Giải bằng phương pháp cộng, thế đại số.
	Cách 2: 
 B1: Kiểm tra x =0 hay y = 0 có là nghiệm của hệ hay không?
 B2: Đặt y=kx
 B3: Đưa hệ phương trình về dạng phương trình bậc hai theo k. Tìm k, tìm x, tìm y.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 
Vídụ2:Giải các hệ ptrình sau 
Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình sau
 Hướng dẫn
1) Điều kiện .
 Từ phương trình (1) của hệ ta có do đó 
Nếu x >y thì vế trái của (2) lớn hơn 0, vế phải nhỏ hơn 0, vô lý
Nếu x< y thì vt(2) nhỏ hơn 0, VP (2) lớn hơn 0, Vô lý.
Nếu x = y thì (2) thoả mãn. Vây hệ có nghiệm duy nhất 
2) Cộng hai vế của phương rình ta được . Coi đây là phương trình bậc hai ẩn là . 
Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với Giải hệ ta được nghiệm duy nhất (1; 1).
II - Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 3: Hệ đối xứng loại I
Ví dụ: Giải hệ phương trình 
Dạng4: Hệ đối xứng loại II
Ví dụ: Giải hệ phương trình 
Dạng5: Hệ bậc hai giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số
1. Giải hệ phương trình a. b. c. 
Dạng 6: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước
Vớ dụ 1: Cho hệ phơng trình: 
a) Giải hệ ptrình khi m = 3 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
c)Giải và biện luận hệ theo m, Khi hệ có nghiệm duy nhất tìm giá trị của m t/mãn:2x2 - 7y=1
d) Tìm các giá trị của m để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Giải:
a) Thay m = 3 vào hệ phơng trình ta có hệ phơng trình trở thành 
 Vậy với m = 3 thì hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = 
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Xét hệ phơng trình 
Từ phơng trình 
thay vào phơng trình ta có phơng trình: 
Vậy là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Giải hệ phơng trình theo tham số m ta có hpt 
 ` 
 Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = ()
- Với m = 0 thì phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm
- Với m = 2 thì phơng trình (*) trở thành 0x = 0 , phơng trình này vô số nghiệm nên hệ đã cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ là ()
+) Để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x2 - 7y = 1
 m = 1
Vậy với m = 1 thì hệ phơng trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 1
d) Thay ; vào biểu thức A = ta đợc biểu thức
A = = = = = = 
Để biểu thức A = nhận giá trị nguyên 
 nhận giá trị nguyên (m+2) là ước của 5. Mà Ư(5) = 
Kết hợp với điều kiện ; 
Vậy với các giá trị thì giá trị của biểu thức nhận giá trị nguyên. 
Vớ dụ 2: Tìm giá trị của m và p để hệ phơng trình 
a) Có một nghiệm duy nhất b) Có vô số nghiệm c) Vô nghiệm
Giải:Thay x = 7 – y vào ptrình thứ hai, ta có: m(7 - y) = 2y + p (m + 2)y = 7m - p (1)
a) Nếu m + 2 m => Ptrình (1) có nghiệm duy nhất nên hệ đã cho có nghiệm duy nhất. Từ (1) => y = , thay vào x = 7 – y => x = 7 - = 
Vậy khi m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (;)
b)Nếu m=-2 =>Ptrình (1) trở thành 0.y = - 14 – p. Hệ vô số nghiệm khi: -14– p=0 p= - 14
Vậy khi m = - 2 và p = - 14 thì hệ vô số nghiệm
c) Nếu m = - 2 và p thì phơng trình(1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
*) Cách khác:
Hệ phương trình đã cho 
a) Hệ có nghiệm duy nhất 
b) Hệ vô số nghiệm => m = - 2, p = - 14
c) Hệ vô nghiệm => m = - 2, p 
* Lưu ý: Phương pháp: Cho hệ phơng trình : 
Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm
Cách 1:
Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) và giải.
Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) và giải.
Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phơng trình và giải hệ phơng trình chứa ẩn là tham số
III - Bài tập tổng hợp:
 Bài 1: Cho hệ phương trình: ( m là tham số )
1, Giải với m = - 2. 2, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: y = x2.
Bài 2: Cho hệ phương trình: ( m là tham số )
1, Giải hệ ptrình với m = 3. 2, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: 2y = x.
Bài 3: Cho hệ phương trình: ( m là tham số )
1, Tìm m biết y = 1. 2, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x2 + y2 = 17.
3, Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) . Khi đó tìm GTLN của biểu thức P = x.y
Bài 4: Cho hệ phơng trình: 
a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 b) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m 
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Bài 5 Cho hệ pt: . Giải và biện luận hệ theo m.
Bài 6 : Cho hệ phơng trình 	
Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2)
Bài 7 Cho hệ phơng trình 
Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất (x = 1; y = 3).
Bài 8 Cho hệ phơng trình : Tìm m; n để hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1)
Bài 9 Cho hệ phơng trình (I)
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn :4x – 2y = - 6 (3)
Bài 10 Cho hệ phơng trình (I)
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m (3)
Bài 11 Cho hệ pt: Tìm mZ để hệ có nghiệm duy nhất là các số nguyên
Bài 12 Cho hệ phơng trình : Tìm m để hệ có nghiệm nguyên.
(2)
(1)
Bài 13 Cho hệ phơng trình : 
a) Chứng minh rằng hệ phơng trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + 4 nhận GTNN. Tìm giá trị đó.
Bài 14 Cho hệ phơng trình : 
Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó
Bài 15 Biết cặp số (x ; y) là nghiệm của hệ phơng trình
Hãy tìm giá trị của tham số m để biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 16 Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phơng trình
Xác định giá trị của tham số a để hệ thỏa mãn tích xy đạt giá trị nhỏ nhất; lớn nhất ?
Bài 17 Tìm giá trị của tham số m để hệ phơng trình 
 có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 18 Cho hệ phơng trình: 
a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 b) Giải hệ phơng trình theo tham số m 
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
 Bài 19 Cho hệ phơng trình :
a. Cmrhệ luôn có nghiệm duy nhất b. Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m
Bài 20 Cho hệ ptrình : Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.
Bài 21 Cho hợ̀ phương trình õ̉n x, y sau: 
Xỏc định giỏ trị của m đờ̉ hợ̀ có nghiợ̀m duy nhṍt
Giả sử (x ; y) là nghiợ̀m duy nhṍt của hợ̀. Tìm hợ̀ thức liờn hợ̀ giữa x, y đụ̣c lọ̃p với m.
Tìm m ẻ Z đờ̉ x, y ẻ Z
Chứng tỏ (x ; y) luụn nằm trờn mụ̣t đường thẳng cụ́ định (với (x ; y) là nghiệm của hệ phương trỡnh)
Bài 22: Tìm giá trị của m, n để hai hệ phơng trình sau tơng đơng
Bài 23 . Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm ? Có vô số nghiệm ? 
 Bài 24. Cho hệ phương trình : 
 1.Tìm a biết y=1 2.Tìm a để : x2 + y2 =17
 Bài 25: Cho hệ phương trình : (I)
 1. Giải hệ phương trình (1) khi 	 2. Tìm m để hệ ptrình (1) có nghiệm 
 Bài 26: Cho hệ phương trình 
 1.Giải hệ với m = 1 2. Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm
 Bài 10. Cho hệ phương trình: (m là tham số)
 1.Giải hệ với m = -2 2.Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn y = x2
 Bài 27. Cho hệ phương trình 
a) Giải hệ ptrình với m = 2 b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S = x2 + y2 đạt GTNN
Bài 28. Cho hệ phương trình: (a là tham số)
1. Giải hệ khi a=1. 2. Cmrằng với mọi giá trị của a, hệ luôn có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x + y ≥ 2.
Bài 29 .Cho hệ phương trình(ẩn là x, y ): 
1. Giải hệ với n = 1. 2. Với giá trị nào của n thì hệ vô nghiệm.
 Bài 14. Cho hệ phương trình: (ở đó x, y, z là ẩn)
1. Trong các nghiệm (x0; y0; z0) của hệ p trình, hãy tìm tất cả những nghiệm có z0 = - 1.
 2. Giải hệ phương trình trên. 
Bài 30. Cho hệ phương trình:
 1. Chứng tỏ hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.
 2. Gọi (x0;y0) là nghiệm của ptrình, c/minh với mọi giá trị của m luôn có: x02 + y02 = 1
 Bài 31. Cho hệ phương trình: 
1. Tìm m để ptrình có nghiệm (x0,y0) sao cho x0 đạt giá trị lớn nhất. Tìm nghiệm ấy?
 2. Giải hệ phương trình khi m = 0.
 Bài 32. Cho hệ phương trình :	
Gọi nghiệm của hệ là ( x, y ), tìm giá trị của a để biểu thức P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất . 
Bài 33. Cho hệ phương trình: (x, y là ẩn, a là tham số)
 1. Giải hệ phương trình trên.
2. Tìm số nguyên a lớn nhất để hệ ptrình có nghiệm (x0,y0) thoả mãn bất đẳng thức P= x0y0 < 0.
Bài 34. Cho hệ phương trình: trong đó x, y là ẩn, a là số cho trước.
1. Giải hệ ptrình đã cho với a=2011. 2. Tìm giá trị của a để hệ ptrình đã cho có nghiệm.
 Bài 35. Cho hệ phương trình: 
1. Giải hệ phương trình. 2. Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho x < y.
 Bài 36. Cho hệ phương trình: 
1. Giải hệ phương trình. 2.Tìm n để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho x + y > 1.
Bài 37. Cho hệ phương trình: 
 a) Giải hệ phương trình với a = 1 b)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
 Bài 38. Cho hệ phương trình : 
 a) Giải hệ phương trình khi m = 1. b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m . 
 c)Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho x – y = 2 .
 Bài 39. Cho hệ phương trình : 
a)Giải hệ khi m = 3 b)Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho x > 1 , y > 0 .
 Bài 40. Cho hệ phương trình . 
 a) Giải hệ khi m = n = 1. b)Tìm m , n để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho 
Bài 41.Cho hệ phương trình :	
a. Giải hệ khi m = 1 . b. Giải và biện luận hệ phương trình .
 Bài 42. Cho hệ phương trình : 
a. Giải biện luận hệ ptrình theo tham số m. b.Tìm m để hệ ptrình có một nghiệm (x;y) sao cho x2 +y2 = 1 .
 Bài 43. Cho hệ phương trình .	
a, Giải hệ ptrình khi m = 1 b.Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm (x; y) sao cho 
 Bài 44.Cho hệ phương trình 
a.Giải hệ ptrình khi a = 1 b) Gọi nghiệm của hệ phương trình là ( x , y) . Tìm các giá trị của a để x + y = 2 
Bài 45. Cho hệ phương trình :	
Giải hệ khi m = 1 . b. Giải và biện luận hệ phương trình .
HỆ PHƯƠNG TRèNH 
Bài1. Giải hệ ptrỡnh a.. b. . c. .
d. .
HD : Điều kiện . Đặt , ta cú: và .
Thế vào (1), ta được:Suy ra:.
1. . 2. . 3. . 
4. . 5. . 6. . 
7. . 8. 9. . 
10. . 11. 12. 
13. . 1) . 2) . 
3) . 4) . 5) . 
6) . 7) . 	8) . 9) . 
10) . 11. Đặt và 
12. Đặt và 13. Đặt và 
14. Đặtvà 15.Đặt và 
Trong một số trường hợp khi gặp hệ ptrỡnh đối xứng ta khụng thể giải theo cỏch giải “quen thuộc” và cũng khụng chọn được ẩn phụ thớch hợp , khi đú ta sẽ dựng p/phỏp đỏnh giỏ, hay sử dụng tớnh đơn điệu của hàm số để giải quyết. Cỏc vớ dụ sau đõy sẽ minh hoạ cho hai trường hợp như thế.
Vớ dụ 6. Giải hệ phương trỡnh 
Giải. Điều kiện 
Cộng vế theo vế ta cú (*)
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta cú và nờn . Do đú (*) 
Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất 
Vớ dụ 7. Giải hệ phương trỡnh 
 Bài toỏn này khụng thể giải quyết được theo phương phỏp đỏnh giỏ như trờn.
Giải. Điều kiện 
Trừ từng vế hai phương trỡnh cho nhau ta được :
trong đú với Dễ thấy là hàm đồng biến trờn khoảng Vỡ thế 
Thay vào phương trỡnh ta được hoặc 
Vậy nghiệm của hệ phương trỡnh là và 
BÀI TẬP BỔ SUNG
1) 2) 3)
4) 6) 8) 
9) Tổng quỏt: 
11) 12) 13 
14) 15 16)