Tài liệu ôn tập theo từng chuyên đê Môn toán Lớp 9

 1 
PHẦN I: ĐẠI SỐ 
CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC. 
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa. 
Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau). 
 3x16x 14) 
x2x
1 )7
x5
3x
3x
1 13) 
x7
3x 6)
65xx
1 12) 
27x
x3 5)
35x2x 11) 12x 4)
73xx 10) 
147x
1 3)
2x 9) 2x5 2)
3x 8) 13x 1)
2
2
2
2
2
2













Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức. 
Bài 1: Đưa một thừa số vào trong dấu căn. 
22 x
7
x e) ;
x25
x
5)(x d) ;
5
2
x c) 0);x (víi
x
2
x b) ;
3
5
5
3
 a)

 
Bài 2: Thực hiện phép tính. 
333;3
33
3152631526 h) ;2142021420 g)
725725 f) ;10:)4503200550(15 c)
26112611 e) ;0,4)32)(10238( b)
;526526 d) ;877)714228( a)




Bài 3: Thực hiện phép tính. 
1027
1528625 c) 
57
1:)
31
515
21
714 b) 
6
1)
3
216
28
632( a)









 
Bài 4: Thực hiện phép tính. 
62126,5126,5 e)
77474 d) 25353 c)
535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 )


a
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: 
See on VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com
 2 
53
53
53
53 d) 
65
625
65
625 c)
113
3
113
3 b) 
1247
1
1247
1 a)














 
Bài 6: Rút gọn biểu thức: 
10099
1...
43
1
32
1
21
1c) 
34710485354b) 4813526a)








Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: 
4
3y6xy3x
yx
2
 e)
)4a4a(15a
12a
1
 d)
;
4a
a42a8aa
 c)
1.a vµ 0a víi,
1a
aa
1
1a
aa
1 b)
b.a vµ 0b 0,a víi,
ba
1
:
ab
abba
 a)
22
22
24































Bài 8: Tính giá trị của biểu thức 
  
a.)y)(1x(1xybiÕt , x1yy1xE e)
1.x2x9x2x16biÕt , x2x9x2x16D d)
3;3yy3xxbiÕt , yxC c)
;1)54(1)54(x víi812xxB b)
549
1
y;
25
1
x khi2y,y3xxA a)
2222
2222
22
333
2








Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán. 
Bài 1: Cho biểu thức 
21x
3xP


 
a) Rút gọn P. 
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 - 3 ). 
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P. 
Bài 2: Xét biểu thức 1.
a
a2a
1aa
aaA
2





 
a) Rút gọn A. 
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với A . 
See on VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com
 3 
c) Tìm a để A = 2. 
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 
Bài 3: Cho biểu thức 
x1
x
2x2
1
2x2
1C





 
a) Rút gọn biểu thức C. 
b) Tính giá trị của C với 
9
4x  . 
c) Tính giá trị của x để .3
1C  
Bài 4: Cho biểu thức 
222222 baa
b:
ba
a1
ba
aM










 
a) Rút gọn M. 
b) Tính giá trị M nếu .
2
3
b
a
 
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1. 
Bài 5: Xét biểu thức .
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2xP
2













 
a) Rút gọn P. 
b) Chứng minh rằng nếu 0 0. 
c) Tìm giá trị lơn nhất của P. 
Bài 6: Xét biểu thức .
x3
1x2
2x
3x
6x5x
9x2Q








 
a) Rút gọn Q. 
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1. 
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của Q cũng là số nguyên. 
Bài 7: Xét biểu thức  
yx
xyyx
:
yx
yx
yx
yxH
233















 
a) Rút gọn H. 
b) Chứng minh H ≥ 0. 
c) So sánh H với H . 
Bài 8: Xét biểu thức .
1aaaa
a2
1a
1:
1a
a1A 

















 
a) Rút gọn A. 
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1. 
c) Tính các giá trị của A nếu 200622007a  . 
Bài 9: Xét biểu thức .
x1
2x
2x
1x
2xx
39x3xM








 
a) Rút gọn M. 
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của M cũng là số nguyên. 
Bài 10: Xét biểu thức .
3x
3x2
x1
2x3
3x2x
11x15P








 
a) Rút gọn P. 
See on VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com
 4 
b) Tìm các giá trị của x sao cho .
2
1P  
c) So sánh P với 
3
2 . 
Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐỊNH LÝ VI-ÉT. 
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai. 
Bài 1: Giải các phương trình 
1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ; 
3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ; 
5) x2 – 4x + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – 2 = 0 ; 
7) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) ; 8) 2 3 x2 + x + 1 = 3 (x + 1) ; 
9) x2 – 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0. 
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm: 
1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ; 
3) x2 – (1 + 3 )x + 3 = 0 ; 4) (1 - 2 )x2 – 2(1 + 2 )x + 1 + 3 2 = 0 ; 
5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ; 
7) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ; 
9) x2 – 12x + 27 = 0 ; 10) x2 – 10x + 21 = 0. 
Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm. 
Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm. 
1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ; 
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ; 
5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; 
7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 
9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0. 
Bài 2: 
a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phương trình sau luôn có nghiệm: 
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 
b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phương trình sau có hai nghiệm phân biết: 
x) (Èn 0
cx
1
bx
1
ax
1






c) Chứng minh rằng phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba 
cạnh của một tam giác. 
d) Chứng minh rằng phương trình bậc hai: 
(a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. 
Bài 3: 
a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm: 
ax2 + 2bx + c = 0 (1) 
bx2 + 2cx + a = 0 (2) 
cx2 + 2ax + b = 0 (3) 
b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: 
x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1) 
x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2) 
See on VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com
 5 
x2 - 4ax + b2 = 0 (3) 
x2 + 4bx + a2 = 0 (4) 
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm. 
c) Cho 3 phương trình (ẩn x sau): 
(3) 0
cb
1x
ba
ba2acx
(2) 0
ba
1x
ac
ac2cbx
(1) 0
ac
1x
cb
cb2bax
2
2
2


















với a, b, c là các số dương cho trước. 
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm. 
Bài 4: 
a) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. 
Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm. 
b) Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều 
kiện sau được thoả mãn: 
a(a + 2b + 4c) < 0 ; 
5a + 3b + 2c = 0. 
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của phương 
trình bậc hai cho trước. 
Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – 3x – 7 = 0. 
Tính: 
  
4
2
4
1
3
2
3
1
1221
21
21
2
2
2
1
xxF ;xxE
;x3xx3xD ;
1x
1
1x
1C
;xxB ;xxA







Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là 
1x
1
 vµ 
1x
1
21 
. 
Bài 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình: 5x2 – 3x – 1 = 0. Không giải phương trình, tính giá 
trị của các biểu thức sau: 
.
x4xx4x
3xx5x3xC
;
x
1
x
1
1x
x
x
x
1x
x
x
xB
;x3x2xx3x2xA
2
2
1
2
21
2
221
2
1
2
211
2
1
2
2
1
2
1
2
21
3
22
2
1
3
1















Bài 3: 
a) Gọi p và q là nghiệm của phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0. Không giải phương trình hãy 
thành lập phương trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là 
1p
q
 vµ 
1q
p

. 
See on VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com
 6 
b) Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là 
2610
1
 vµ 
7210
1

. 
Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = 0. 
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m. 
b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn 
1
22
2
11 x
1
xy vµ 
x
1
xy  . 
Bài 5: Không giải phương trình 3x2 + 5x – 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau: 
  
2
2
1
1
21
1
2
2
1
1221
x
2x
x
2xD ;xxC
;
1x
x
1x
xB ;2x3x2x3xA








Bài 6: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Không giải phương trình hãy thiết lập 
phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 
Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai 
nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 














1
2
2
2
2
2
1
1
22
11
x
x
y
x
x
y
 b) 
2xy
2xy
 a) 
Bài 8: Cho phương trình x2 + x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai 
nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 















0.5x5xyy
xxyy
 b) ; 
3x3x
y
y
y
y
x
x
x
x
yy
 a)
21
2
2
2
1
2
2
2
121
21
1
2
2
1
1
2
2
1
21
Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy lập phương 
trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 
21
2121
21 xxy
1
y
1
 vµ 
x
1
x
1
yy  
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm có nghiệm kép,vô nghiệm. 
Bài 1: 
a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x). 
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. 
b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. 
Tìm m để phương trình có nghiệm. 
a) Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0. 
- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. 
- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. 
b) Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0. 
Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
See on VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com
 7 
Bài 2: 
a) Cho phương trình:   06mm
1x
x12m2
12xx
4x 2
224
2





. 
Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm. 
b) Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác định m để 
phương trình có ít nhất một nghiệm. 
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho 
trước. 
Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 
1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm k ... 
Bài 3: 
Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O'; R' ) tiếp xúc ngoài tại A ( R> R' ). Đường nối tâm OO' cắt đường 
tròn (O) và (O') theo thứ tự tại B và C ( B và C khác A). EF là dây cung của đường tròn (O) vuông 
góc với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt đường tròn (O') tại D. 
a) Tứ giác BEFC là hình gi? 
b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng. 
c) CF cắt đường tròn (O’) tại G. Chứng minh ba đường EG, DF và CI đồng quy. 
d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’). 
Bài 4: 
Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại C. AC và BC là đường kính của (O) và (O’), DE là 
tiếp tuyến chung ngoài (D  (O), E  (O’)). AD cắt BE tại M. 
a) Tam giác MAB là tam giác gì? 
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến chung của (O) và (O’). 
c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB. Ex cắt By tại N. Chứng minh D, N, C thẳng hàng. 
d) Về cùng phía của nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và OO’. Đường 
thẳng qua C cắt hai nửa đường tòn trên tại I, K. Chứng minh OI // AK. 
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định. 
Bài 1: 
Cho đường tròn (O ; R). Đường thẳng d cắt (O) tại A, B. C thuộc d ở ngoài (O). Từ điểm chính 
giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt AB tại D. CP cắt (O) tại điểm thứ hai I, AB cắt IQ 
tại K. 
a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp. 
See on VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com
b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD. 
c) Chứng minh IC là phân giác ngoài của tam giác AIB. 
d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhưng vẫn luôn qua A, B. Chứng minh rằng IQ luôn đi qua 
điểm cố định. 
Bài 2: 
Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O ; R). M di động trên AB. N di động trên tia đối của tia CA sao 
cho BM = CN. 
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) tại A và D. Chứng minh rằng D cố định. 
b) Tính góc MDN. 
c) MN cắt BC tại K. Chứng minh DK vuông góc với MN. 
d) Đặt AM = x. Tính x để diện tích tam giác AMN là lớn nhất. 
Bài 3: 
Cho (O ; R). Điểm M cố định ở ngoài (O). Cát tuyến qua M cắt (O) tại A và B. Tiếp tuyến của (O) 
tại A và B cắt nhau tại C. 
a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K. 
b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định là O và H khi cát tuyến quay quanh M. 
c) CH cắt AB tại N, I là trung điểm AB. Chứng minh MA.MB = MI.MN. 
d) Chứng minh: IM.IN = IA2. 
Bài 4: 
Cho nửa đường tròn đường kính AB tâm O. C là điểm chính giữa cung AB. M di động trên cung 
nhỏ AC. Lấy N thuộc BM sao cho AM = BN. 
a) So sánh tam giác AMC và BCN. 
b) Tam giác CMN là tam giác gì? 
c) Kẻ dây AE//MC. Chứng minh tứ giác BECN là hình bình hành. 
d) Đường thẳng d đi qua N và vuông góc với BM. Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định. 
Bài 5: 
Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Điểm M tuỳ ý trên d, kẻ tiếp 
tuyến MA, MB. I là trung điểm của CD. 
a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn. 
b) Gọi H là trực tâm của tam giác MAB, tứ giác OAHB là hình gì? 
c) Khi M di đồng trên d. Chứng minh rằng AB luôn qua điểm cố định. 
d) Đường thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lượt tại E và K. Chứng minh EC = 
EK. 
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng 
thức hình học. 
Bài 1: 
Cho đường tròn (O) và dây AB. M là điểm chính giữa cung AB. C thuộc AB, dây MD qua C. 
a) Chứng minh MA2 = MC.MD. 
b) Chứng minh MB.BD = BC.MD. 
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB tại B. 
d) Gọi R1, R2 là bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD. Chứng minh R1 + R2 
không đổi khi C di động trên AB. 
Bài 2: 
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và một điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, 
B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến tại A, B lần lượt ở C và E. 
a) Chứng minh rằng CE = AC + BE. 
b) Chứng minh AC.BE = R2. 
c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE. 
See on VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com
d) Xét trường hợp hai đường thẳng AB và CE cắt nhau tại F. Gọi H là hình chiếu vuông góc của 
M trên AB. 
+ Chứng minh rằng: 
FB
FA
HB
HA
 . 
+ Chứng minh tích OH.OF không đổi khi M di động trên nửa đường tròn. 
Bài 3: 
Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P bất kì. Các đường 
thẳng AP và BC cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng: 
PC
1
PB
1
PQ
1
 . 
Bài 4: 
Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox đặt đoạn OA = a. Dựng đường tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox tại A 
và cắt Oy tại hai điểm B, C. Chứng minh các hệ thức: 
a) 222 a
1
AC
1
AB
1
 . 
b) AB2 + AC2 = 4R2. 
Chủ đề 6: Các bài toán về tính số đo góc và số đo diện tích. 
Bài 1: 
Cho hai đường tròn (O; 3cm) và (O’;1 cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B 
 (O); C  (O’)). 
a) Chứng minh rằng góc O’OB bằng 600. 
b) Tính độ dài BC. 
c) Tính diện tích hình giới hạn bởi tiếp tuyến BC và các cung AB, AC của hai đường tròn. 
Bài 2: 
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 cm, CB = 40 cm. Vẽ về một phía của AB các 
nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường 
vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) ở E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, 
EB với các nửa đường tròn (I), (K). 
a) Chứng ming rằng EC = MN. 
b) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K). 
c) Tính độ dài MN. 
d) Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn. 
Bài 3: 
Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Từ một 
điểm M trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q. 
a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động trên cung BC nhỏ thì chu vi tam giác APQ có giá 
trị không đổi. 
b) Cho biết BAC = 600 và bán kính của đường tròn (O) bằng 6 cm. Tính độ dài của tiếp tuyến 
AB và diện tích phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC. 
Bài 4: 
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp , K là tâm đường tròn bàng tiếp 
góc A, O là trung điểm của IK. 
a) Chứng minh rằng: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn. 
b) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 
c) Tính bán kính của đường tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm. 
Bài 5: 
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. E là một điểm trên đường tròn mà AE > EB. M là 
một điểm trên đoạn AE sao cho AM.AE = AO.AB. 
a) Chứng minh AOM vuông tại O. 
See on VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com
b) OM cắt đường tròn ở C và D. Điểm C và điểm E ở cùng một phía đối với AB. Chứng minh 
ACM đồng dạng với AEC. 
c) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM. 
d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm và AEC là 
3
2 . Tính AC, AE, AM, CM theo R. 
Chủ đề 7: Toán quỹ tích. 
Bài 1: 
Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp trong đường tròn (O) và M là điểm di động trên đường 
tròn đó. Gọi D là hình chiếu của B trên AM và P là giao điểm của BD với CM. 
a) Chứng minh BPM cân. 
b) Tìm quỹ tích của điểm D khi M di chuyển trên đường tròn (O). 
Bài 2: 
Đường tròn (O ; R) cắt một đường thẳng d tại hai điểm A, B. Từ một điểm M trên d và ở ngoài 
đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ. 
a) Chứng minh rằng góc QMO bằng góc QPO và đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ đi qua 
hai điểm cố định khi M di động trên d. 
b) Xác định vị trí của M để MQOP là hình vuông? 
c) Tìm quỹ tích tâm các đường tròn nội tiếp tam giác MPQ khi M di động trên d. 
Bài 3: 
Hai đường tròn tâm O và tâm I cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng d đi qua A cắt các 
đường tròn (O) và (I) lần lượt tại P, Q. Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng PO và QI. 
a) Chứng minh rằng các tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp. 
b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AP, AQ, K là trung điểm của EF. Khi đường thẳng d 
quay quanh A thì K chuyển động trên đường nào? 
c) Tìm vị trí của d để tam giác PQB có chu vi lớn nhất. 
Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian. 
Bài 1: 
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 4 cm; AC = 5 cm và A’C = 13 cm. Tính thể 
tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó. 
Bài 2: 
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng 25 2 cm2. Tính thể 
tích và diện tích toàn phần của hình lập phương đó. 
Bài 3: 
Cho hình hộp chứ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm và góc A’AC’ bằng 600. 
Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đó. 
Bài 4: 
Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’. Tính diện tích xung quanh và thể tích của nó biết 
cạnh đáy dài 6 cm và góc AA’B bằng 300. 
Bài 5: 
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm G 
của tam giác ABC. Trên đường thẳng d lấy một điểm S. Nối SA, SB, SC. 
a) Chứng minh rằng SA = SB = SC. 
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a. 
Bài 6: 
See on VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và đường cao là 
2
2a . 
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều. 
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp. 
Bài 7: 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. 
a) Tính diện tích toán phần của hình chóp. 
b) Tính thể tích của hình chóp. 
Bài 8: 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tích là 1280 cm3. 
a) Tính độ dài cạnh đáy. 
b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp. 
Bài 9: 
Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ là 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ và 
chiều cao là 6 cm. Tính thể tích của hình chóp cụt đó. 
Bài 10: 
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với 
mặt phẳng đáy (ABCD). 
a) Tính thể tích hình chóp. 
b) Chứng minh rằng bốn mặt bên là những tam giác vuông. 
a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp. 
Bài 11: 
Một hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy. Biết thể tích hình trụ là 128 cm3, tính diện tích 
xung quanh của nó. 
Bài 12: 
Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm và diện tích xung quanh bằng 65 cm2. Tính thể tích của 
hình nón đó. 
Bài 13: 
Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn bằng 8 cm, đường cao bằng 12 cm và đường sinh bằng 13 cm. 
a) Tính bán kính đáy nhỏ. 
b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt đó. 
Bài 14: 
Một hình cầu có diện tích bề mặt là 36 cm2. Tính thể tích của hình cầu đó. 
See on VIETMATHS.com See on VIETMATHS.com
www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com