Tài liệu nâng cao môn Toán cao cấp - Tích phân

$ 3. TÍCH PHÂN 
3.1 Nguyên hàm 
ĐỊNH NGHĨA 
Hàm số F là một nguyên hàm của ƒ trên khoảng I nếu 
( ) ( )'F x f x= với mọi x trên I. 
VÍ DỤ 1 
( ) ( )
2
)
2
x
a f x x F x= → =
( ) ( )21) t anxcosb g x G xx= → = 
( ) ( )
2
2
1) t anx
cos 2
x
c h x x H x
x
= + → = + 
Nếu F là nguyên hàm của ƒ trên khoảng I thì ( )F x C+
( 
trong đó C là hằng số bất kì) là nguyên hàm của ƒ trên I . 
ĐỊNH NGHĨA 
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của ƒ là tích phân bất 
định của ƒ theo x, kí hiệu bởi 
( )f x dx∫ 
VÍ DỤ 2 
2
2
x
x dx C= +∫ 
2
1
tan
cos
dx x C
x
= +∫ 
2
2
1
tan
cos 2
x
x dx x C
x
 
+ = + + 
 
∫ 
Bảng tích phân bất định 
1. 0dx C=∫ ( c = const) 
3. ( )
1
 1
1
x
x dx C
α
α α
α
+
= + ≠
+∫
5. 
ln
x
x aa dx C
a
= +∫ . 
7. cos sinxdx x C= +∫ 
2. adx ax C= +∫ 
4. 1 lndx x C
x
= +∫ 
6. x xe dx e C= +∫ . 
8. sin sxdx co x C= − +∫ 
9. 2 tancos
dx dx x C
x
= +∫ 
11. ln tan
s 2
dx xdx C
inx
= +∫ 
13. 12 2
1
tan
dx xdx C
x a a a
−
= +
+∫
15. 1
2 2
sindx xdx C
aa x
−
= +
−
∫ 
10. 2 tansin
dx dx co x C
x
= − +∫ 
12. ln tan
s 2 4
dx xdx C
co x
pi 
= + + 
 
∫ 
14. 2 2
1 ln
2
dx a xdx C
a x a a x
+
= +
− −
∫ 
16. 2 2
2 2
lndx dx x x a C
x a
= + ± +
±∫
VÍ DỤ 3 Tính 
( )21) xa dx
x x
−
∫ 2 2) sin cos
dxb
x x∫ 
( )) 1
dx
c
x x +∫ 
2 3) 2 . 3 .5x x xd dx∫ 
Giải 
3.2 Tích phân xác định 
VÍ DỤ 4 
 Georg Friedrich 
Bernhard Riemann 
(1826–1866) 
Hàm ƒ xác định trên [a, b]. 
Chia [a, b]: 0 1 2 1..... n na x x x x x b−= < < < < < = 
Chọn 
kc [ ]1, , 1k kx x k n−∈ ≤ ≤
ĐỊNH NGHĨA 
Tích phân xác định của f trên [a, b] 
( ) ( )
0 1
lim
bn
k k
P k a
I f c x f x dx
→ =
= ∆ =∑ ∫
( không phụ thuộc cách chia đoạn và cách chọn kc ) 
ĐỊNH LÍ Sự tồn tại của tích phân xác định 
Hàm liên tục thì khả tích. Nghĩa là, nếu hàm số ƒ liên tục 
trên [a, b] thì tích phân xác định trên [a, b] tồn tại. 
3.3 Tích chất của tích phân xác định 
ĐỊNH LÍ
 Nếu ƒ và g khả tích thì 
1.
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫
2.
( ) 0
a
a
f x dx =∫
3.
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=∫ ∫
4. 
( ) ( )( ) ( ) ( )b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ 
5. 
( ) ( ) ( )
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx+ =∫ ∫ ∫
6.
Nếu ƒ có max ƒ và min ƒ trên [a, b], thì 
( ) ( ) ( )min . max .
b
a
f b a f x dx f b a− ≤ ≤ −∫
7. ( ) ( )f x g x≥ trên [a, b] ( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx⇒ ≥∫ ∫
( ) 0f x ≥
trên [a, b] ( ) 0
b
a
f x dx⇒ ≥∫
VÍ DỤ 5 Chứng minh rằng 
2
2
2
4
0
2 2x xe dx e
e
−≤ ≤∫ 
Giải 
3.4 Các định lí cơ bản của Giải tích 
ĐỊNH LÍ Định lí Giá trị trung bình đối với Tích phân xác định 
Nếu ƒ liên tục trên [a, b] thì [ ],c a b∃ ∈ : 
( ) ( )1
b
a
f c f x dx
b a
=
−
∫ 
ĐỊNH LÍ CƠ BẢN 1 CỦA GIẢI TÍCH 
Nếu ƒ liên tục trên [a, b] thì ( ) ( )
a
x
F x f t dt= ∫ liên tục trên 
[a, b], khả vi trên (a, b) và 
 ( ) ( ) ( )'
a
x
dF x f t dt f x
dx
= =∫ 
VÍ DỤ 6 Tính 
2
1
) 1
xd
a t dt
dx
+∫
2
2
1
) cos
x
x
db t dt
dx +
∫
Giải 
ĐỊNH LÍ CƠ BẢN 2 CỦA GIẢI TÍCH 
Nếu ƒ liên tục trên [a, b] và F là nguyên hàm của ƒ trên [a, b], 
thì 
 ( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −∫ 
VÍ DỤ 7 Tính 
1
1 lge x dx
x
+
∫
Giải 
ĐỊNH LÍ 
Cho ƒ liên tục trên [ - a, a]. 
 (a) Nếu ƒ chẵn thì ( ) ( )
0
2
a a
a
f x dx f x dx
−
=∫ ∫ 
 (b) Nếu ƒ lẻ thì ( ) 0
a
a
f x dx
−
=∫
VÍ DỤ 8 Tính 
1
2
1
2010 (cos )
1
x x x
dx
x
−
+ −
+∫ 
Giải 
Công thức Walliss 
( )
( )
2 2
0 0
1 !!
 2
!! 2
sin s
1 !!
 2 1
!!
n n
n
n k
n
xdx co xdx
n
n k
n
pi pi pi −
=
= =
−
= +

∫ ∫ 
VÍ DỤ 9 Tính 
2
5
0
cos x dx
pi
∫ 
3.5. Các phương pháp cơ bản để tính tích phân: 
A. Biến đổi đại số: 
VÍ DỤ 10 Tính 
1
dx
x x+ +∫
Giải 
B. Đổi biến: 
a. Phép đổi biến: ( )x tϕ= 
VÍ DỤ 11 Tính 
2 2
dx
x a+∫
Giải 
b. Phép đổi biến: ( )t xϕ= 
VÍ DỤ 12 Tính 
2
1
x
x
e dx
e+∫
Giải 
C. Tích phân từng phần 
udv uv vdu= −∫ ∫ 
*) ( ) 1
1
ln
 tan 
sin
x
P x x dx
x
−
−





∫ : đưa đa thức P(x) vào dấu vi phân rồi 
lấy tích phân từng phần. 
VÍ DỤ 13 Tính ( )2 1 lnx xdx+∫ 
Giải 
*) ( ) 
sin
xe
P x cosx dx
x





∫ : đưa hàm siêu việt vào dấu vi phân rồi 
lấy tích phân từng phần. 
VÍ DỤ 14 Tính nx si xdx∫ 
Giải 
*) 
sin
x
cosx
e dx
x



∫ : đưa một trong hai thừa số vào dấu vi 
phân rồi lấy tích phân từng phần hai lần. 
VÍ DỤ 15 Tính nxe si xdx∫ 
Giải 
3.6 Tích phân các hàm hữu tỷ: 
*) Hàm hữu tỷ: 
( )
( )
( ) ( )( )
*) ( )
*) ( )
k
m
k
n
m
H x
k mQ x
H x
P x k mQ x

<


 + <


*) Mẫu số ( ) ( ) ( )2 nmQ x a bx r px qx= + + + 
+) Phân tích: *) Mỗi thừa số ( )ma bx+ tương ứng với: 
 ( ) ( )
1 2
2 ...
m
m
A A A
a bx a bx a bx
+ + +
+ + +
 *) Mỗi thừa số ( )2 nr px qx+ + tương ứng với: 
( ) ( )
1 1 2 2
22 2 2
...
n n
n
B x C B x C B x C
r px qx r px qx r px qx
+ + +
+ + +
+ + + + + +
+) Đồng nhất hệ số:
→
Áp dụng bảng tích phân cơ bản 
VÍ DỤ 16 Tính 
a) 2
5 3
2 3
x dx
x x
−
− −
∫ b) 2
6 7
( 2)
x dx
x
+
+∫
c)
3 2
2
2 4 3
2 3
x x x dx
x x
− − −
− −
∫ d) 3 1
dx
x +∫
Giải 
3.7 . Tích phân lượng giác: ( n ,cos )R si x x dx∫ 
*) Phương pháp chung: 
 Đặt 1 2
22tan
2 1
tan
x
t x t dx dt
t
−→ = → =
+
= 
2
2 2
2 1
sin , s
1 1
t t
x co x
t t
−
= =
+ +
VÍ DỤ 17 Tính 1
1 2sin cos
dx
x x+ −∫
Giải 
*) Các trường hợp riêng: 
- Nếu R chẵn đối với sin x và cosx thì đặt tanx = t. 
- Nếu R lẻ đối với sin x thì đặt cos x = t. 
- Nếu R lẻ đối với cosx thì đặt sinx = t. 
VÍ DỤ 18 Tính 
a) 
2
2
1 sin
1 cos
x dx
x
+
+∫
 b) 5cos xdx∫ 
Giải