Tài liệu môn Toán - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Trong quá trình giảng dạy và làm toán, tôi đã hệ thống được một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, hi vọng sẽ giúp các em học sinh biết lựa chọn phương pháp thích hợp khi giải bài toán loại này. 
Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích
Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên.
Thí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
y3 - x3 = 91   (1)
Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x2 + xy + y2) = 91   (*) 
Vì x2 + xy + y2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0. 
Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x2 + xy + y2 đều nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau : 
y - x = 91 và x2 + xy + y2 = 1 ; (I) 
y - x = 1 và x2 + xy + y2 = 91 ; (II) 
y - x = 3 và x2 + xy + y2 = 7 ; (III) 
y - x = 7 và x2 + xy + y2 = 13 ; (IV) 
Đến đây, bài toán coi như được giải quyết. 
Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn
Nếu các ẩn x, y, z, ... có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y ≤ z ≤ ... để tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện này. Từ đó, dùng phép hoán vị để => các nghiệm của phương trình đã cho. 
Thí dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
x + y + z = xyz   (2). 
Lời giải : 
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. 
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}. 
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí. 
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3. 
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2. 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3). 
Thí dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
1/x + 1/y + 1/z = 2   (3) 
Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Ta có : 
2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1. 
Thay x = 1 vào (3) ta có :
1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2 
=> y = 1 => 1/z = 0 (vô lí)
hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2. 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2). 
Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết 
Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương trình. 
Thí dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
x2 - 2y2 = 5   (4) 
Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được : 
4k2 +4k + 1 - 2y2 = 5 
tương đương 2(k2 + k - 1) = y2 
=> y2 là số chẵn => y là số chẵn. 
Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có : 
2(k2 + k - 1) = 4t2 
tương đương k(k + 1) = 2t2 + 1   (**) 
Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t2 + 1 là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm. 
Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên. 
Thí dụ 5 : Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn : 
x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000   (5)
Lời giải : Ta có x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên). Do đó : x3 - x chia hết cho 3. 
Tương tự y3 - y và z3 - z cũng chia hết cho 3. Từ đó ta có : x3 + y3 + z3 - x - y - z chia hết cho 3. 
Vì 2000 không chia hết cho 3 nên x3 + y3 + z3 - x - y - z ≠ 2000 với mọi số nguyên x, y, z tức là phương trình (5) không có nghiệm nguyên. 
Thí dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
xy + x - 2y = 3   (6)
Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 không thỏa mãn phương trình nên (6) tương đương với: 
y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2). 
Ta thấy : y là số nguyên tương đương với x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương đương với x = 1 hoặc x = 3. Từ đó ta có nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0). 
Chú ý : Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1. 
Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức 
Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này => các giá trị nguyên của ẩn này. 
Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
x2 - xy + y2 = 3   (7) 
Lời giải : 
(7) tương đương với (x - y/2)2 = 3 - 3y2/4 
Vì (x - y/2)2 ≥ 0 => 3 - 4y2/4 ≥ 0 
=> -2 ≤ y ≤ 2 . 
Lần lượt thay y = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vào phương trình để tính x. Ta có các nghiệm nguyên của phương trình là :
(x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}.
Chắc chắn còn nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên và còn nhiều thí dụ hấp dẫn khác. Mong các bạn tiếp tục trao đổi về vấn đề này. Các bạn cũng thử giải một số phương trình nghiệm nguyên sau đây : 
Bài 1 : Giải các phương trình nghiệm nguyên :
a) x2 - 4 xy = 23 ; 
b) 3x - 3y + 2 = 0 ; 
c) 19x2 + 28y2 =729 ; 
d) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96. 
Bài 2 : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : 
a) 4xy - 3(x + y) = 59 ; 
b) 5(xy + yz + zx) = 4xyz ; 
c) xy/z + yz/x + zx/y = 3 ; 
d) 1/x + 1/y + 1/z = 1/1995.
Phương pháp 5 : Đưa về dạng tổng 
Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương. 
Thí dụ 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 - x - y = 8   (8) 
Lời giải : (8) 4x2 + 4y2 - 4x - 4y = 32 
 (4x2 - 4x + 1) + (4y2 - 4y + 1) = 34 
 |2x - 1|2 + |2y - 1|2 = 34 
Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất một dạng phân tích thành tổng của hai số chính phương 32 và 52. 
Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng : 
Giải các hệ trên => phương trình (8) có bốn nghiệm nguyên là (x ; y) Є {2 ; 3) ; (3 ; 2) ; (-1 ; -2) ; (-2 ; -1)} 
Phương pháp 6 : lùi vô hạn 
Thí dụ 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 - 5y2 = 0   (9) 
Lời giải : 
Giả sử (x0 ; y0) là nghiệm của (9) thì : x02 - 5y02 = 0 => x0 chia hết cho 5, đặt x0 = 5x1 ; (x1 Є Z), ta có : 25x12 - 5y02 = 0 5x12 - y02 = 0 
=> y0 chia hết cho 5, đặt y0 = 5y1 ; (y1 Є Z). 
Từ đó ta có : 5x12 - 25y12 = 0 x12 - 5y12 = 0. 
Vậy nếu (x0 ; y0) là nghiệm nguyên của (9) thì (x0/5 ; y0/5) cũng là nghiệm nguyên của (9). 
Tiếp tục lập luận tương tự, ta có với k nguyên dương bất kì, cũng là nghiệm nguyên của (9) hay x0 và y0 đều chia hết cho 5k với mọi k là số nguyên dương tùy ý. Điều này chỉ xảy ra khi x0 = y0 = 0. 
Vậy phương trình (9) có nghiệm duy nhất là x = y = 0. 
Phương pháp 7 : xét chữ số tận cùng 
Thí dụ 10 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 1! + 2! + ... + x! = y2   (10) 
Lời giải : Cho x lần lượt bằng 1 ; 2 ; 3 ; 4, ta có ngay 2 nghiệm nguyên dương (x ; y) của phương trình (10) là (1 ; 1) và (3 ; 3). 
Nếu x > 4 thì dễ thấy k! với k > 4 đều có chữ số tận cùng bằng 0 ị 1! + 2! + 3 ! + 4! + 5! + ... + x! = 33 + 5! + ... + x! có chữ số tận cùng bằng 3. 
Mặt khác vế phải là số chính phương nên không thể có chữ số tận cùng là 3. 
Vậy phương trình (10) chỉ có hai nghiệm nguyên dương (x ; y) Є {(1 ; 1) ; (3 ; 3)}. 
Thí dụ 11 : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình : 
x2 + x - 1 = 32y + 1   (11) 
Lời giải : Cho x các giá trị từ 0 đến 9, dễ dàng xác định được chữ số tận cùng của x2 + x - 1 chỉ nhận các giá trị 1 ; 5 ; 9. Mặt khác, ta thấy 32y + 1 là lũy thừa bậc lẻ của 3 nên chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 3 hoặc 7, khác với 1 ; 5 ; 9. 
Vậy (11) không thể xảy ra. Nói cách khác, phương trình (11) không có nghiệm nguyên dương. 
Bài toán này cũng có thể giải bằng phương pháp sử dụng tính chất chia hết. 
Phương pháp 8 : Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc hai 
Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai của ẩn, coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của các tham số. 
Thí dụ 12 : 
Giải phương trình nghiệm nguyên : 
3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0   (12) 
Lời giải : 
(12)   y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + 5 = 0 
Ta thấy nếu phương trình có nghiệm thì y nguyên => - 4x - 2 nguyên, mà x nguyên nên nguyên 
=> ∆'y = x2 - 4 = n2 với n Є Z, dùng phương pháp 1 (đưa về dạng tích) => (x + n)(x - n) = 4, ta xác định được x = 2 và x = -2 . 
Vậy phương trình (12) có hai nghiệm nguyên (x ; y) Є {(2 ;-5); (-2 ; 3)}. 
Thí dụ 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 - (y + 5)x + 5y + 2 = 0   (13) 
Lời giải : Giả sử phương trình ẩn x có nghiệm nguyên x1, x2 thì theo định lí Vi-ét ta có : 
=> (x1 - 5)(x2 - 5) = 2 = 1.2 = (-1)(-2) 
=> x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 
=> y = 8 hoặc y = 2, thay vào (13), phương trình này có 4 nghiệm : (x ; y) Є {(7 ; 8) ; (6 ; 8) ; (4 ; 2) ; (3 ; 2)}. 
Chú ý : Một số phương pháp mà các bạn gọi là phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên nhưng chúng tôi thấy không phải là đặc trưng cho phương trình nghiệm nguyên nên không giới thiệu. Chẳng hạn có bạn nêu phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất với thí dụ giải phương trình nghiệm nguyên 2x + 5x = 7x. Có bạn viết phương trình về dạng phương trình bậc 2 ẩn x rồi đặt điều kiện ∆x ≥ 0 để có miền giá trị của y, phương pháp này thực ra đã được trình bày ở thí dụ 7, tuy không viết biệt thức ∆’x. Các bạn có thể làm thêm một số bài tập : 
Bài 1 : Tìm x, y nguyên thỏa mãn các phương trình : 
a) 5x2 - 4xy + y2 = 169 
b) 3x = 4y + 1 
Bài 2 : Tìm nghiệm nguyên của các phương trình : 
a) 5x + 12x = 13x 
b) y4 = x6 + 3x3 + 1 
Bài 3 : Chứng minh rằng phương trình 25t = 2t5 + 1997 không có nghiệm nguyên. 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 - 3y3 - 9z3 = 0. 
Bài 5 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x2 + 2y2 - 2xy + x + y - 10 = 0.