Tài liệu môn Toán - Định lí Beout và một số bài tập ứng dụng

Xác định đa thức
* Định lí Beout (BêZu) và ứng dụng:
1) Định lí BêZu: 
 Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng f(a) (giá trị của f(x) tại x = a): 
(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a.
áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. Thực hiện như sau:
 Bước 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của f(x) không.
 Bước 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: 
Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a.
 Bước 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích được. Sau đó viết kết quả cuối cùng cho hợp lí.
Dạng 1: Tìm đa thức thương bằng phương pháp đồng nhất hệ số(phương pháp hệ số bất định), phương pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức.
*Phương pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :
Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai đa thức phải có hệ số phải có hệ số bằng nhau.
Ví dụ: ; 
Nếu P(x) = Q(x) thì ta có:
 a = 1(hệ số của lũy thừa 2)
 2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)
 - 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)
*Phương pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x)
Gọi thương và dư trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lượt là M(x) và N(x)
Khi đó ta có: (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì : 
( là hằng số). Sau đó ta đi giải phương trình hoặc hệ phương trình để tìm các hệ số của các hạng tử trong các đa thức ( Đa thức thương, đa thức chia, đa thức bị chia, số dư).
Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)
Gọi thương của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có: 
.
Vỡ đẳng thức đỳng với mọi x nờn cho x = -1 ta dược: 
Với a = -2 thỡ 
Với a = 3 thỡ 
*Phương pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (như SGK)
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho đa thức . Xác định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1.
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng: 
Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức : chia hết cho đa thức: . Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau.
Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: chia hết cho đa thức: .
Bài 5: Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn k để cho đa thức: chia hết cho nhị thức: .
Bài 6: Với giỏ trị nào của a và b thỡ đa thức: chia hết cho đa thức: .
Bài 7: a) Xỏc định cỏc giỏ trị của a, b và c để đa thức: 
Chia hết cho .
 b) Xỏc định cỏc giỏ trị của a, b để đa thức: chia hết cho đa thức .
 c) Xỏc định a, b để chia hết cho .
Bài 8: Hóy xỏc định cỏc số a, b, c để cú đẳng thức:
(Để học tốt Đại số 8)
Bài 9: Xỏc định hằng số a sao cho:
a) chia hết cho .
b) chia cho dư 4.
c) chia hết cho .
Bài 10: Xỏc định cỏc hằng số a và b sao cho:
a) chia hết cho .
b) chia hết cho .
c) chia hết cho .
d) chia hết cho .
Bài 11: Tỡm cỏc hăng số a và b sao cho chia cho thỡ dư 7, chia cho thỡ dư -5.
Bài 12: Tỡm cỏc hằng số a, b, c sao cho chia hết cho , chia cho thỡ dư .
(Một số vấn đề phỏt triển Đại số 8)
Bài 13: Cho đa thức: và . Xỏc định a, b để P(x) chia hết cho Q(x).
Bài 14: Xỏc định a và b sao cho đa thức chia hết cho đa thức 
Bài 15: Cho cỏc đa thức và . Xỏc định a và b để P(x) chia hết cho Q(x).
(23 chuyờn đề toỏn sơ cấp)
Dạng 2: Phương phỏp nội suy NiuTơn
Phương phỏp:
 Để tỡm đa thức P(x) bậc khụng quỏ n khi biết giỏ trị của đa thức tại n + 1 điểm ta cú thể biểu diễn P(x) dưới dạng:
 Bằng cỏch thay thế x lần lượt bằng cỏc giỏ trị vào biểu thức P(x) ta lần lượt tớnh được cỏc hệ số .
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tỡm đa thức bậc hai P(x), biết: .
Giải
Đặt (1)
Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được: 
Vậy, đa thức cần tỡm cú dạng:
.
Bài 2: Tỡm đa thức bậc 3 P(x), biết: 
Hướng dẫn: Đặt (1)
Bài 3: Tỡm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho đều được dư bằng 6 và P(-1) = - 18.
Hướng dẫn: Đặt (1)
Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa món: 
 a) Xỏc định P(x).
 b) Suy ra giỏ trị của tổng .
Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :
Đặt (2)
Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được:
Vậy, đa thức cần tỡm cú dạng:
(Tuyển chọn bài thi HSG Toỏn THCS)
Bài 5: cho đa thức . Cho biết 
 1) Tớnh a, b, c theo .
 2) Chứng minh rằng: khụng thể cựng õm hoặc cựng dương.
Bài 6: Tỡm một đa thức bậc hai, cho biết: 
Bạn muốn cú lời giải chi tiết cỏc bài toỏn trờn xin mời vào trang riờng.