Tài liệu bồi dưỡng Toán Lớp 6 - Số chính phương

CHUYấN ĐỀ:SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. ĐỊNH NGHĨA: Số chớnh phương là số bằng bỡnh phương đỳng của một số tự nhiờn.
II. TÍNH CHẤT:
1. Số chớnh phương chỉ cú thể cú chữ số tận cựng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; khụng thể cú chữ số tận cựng bằng 2, 3, 7, 8.
2. Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số chớnh phương chỉ chứa cỏc thừa số nguyờn tố với số mũ chẵn.
3. Số chớnh phương chia hết cho 2 thỡ chia hết cho 4.
 Số chớnh phương chia hết cho 3 thỡ chia hết cho 9.
 Số chớnh phương chia hết cho 5 thỡ chia hết cho 25.
 Số chớnh phương chia hết cho 8 thỡ chia hết cho 16.
4. Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số chớnh phương chỉ chứa cỏc thừa số nguyờn tố với số mũ chẵn, khụng chứa thừa số nguyờn tố với số mũ lẻ.
5. Số lượng cỏc ước cửa một số chớnh phương là một số lẻ. Đảo lại, một số cú số lượng cỏc ước là số lẻ thỡ số đú là số chớnh phương.
A.Chứng minh một số Là Số CHíNH PHƯƠNG, không phải là số chính phương
Phương pháp: Viết số đó dưới dạng bình phương của một số tự nhiên khác.
Bài 1: Chứng minh các tổng sau đều là số chính phương.
a) 13+23+33+43+53
b) 1+3+5+7+...+2n-1 (nẻN*).
B.Chứng minh một số không phải là số chính phương
Phương pháp 1.
Nhìn chữ số tận cùng:
- Vì số chính phương bằng bình phương của một số nên suy ra.Số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số: 0,1,4,5,6,9. Từ đó ta có thể giải được các bài toán dạng sau đây:
Bài toán 1.
Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012. Không là số chính phương.
LG.
- Ta thấy chữ số tận cùng của các số: 20042,20032,20022,20012lần lượt là 6,9,4,1. Do đó n có chữ số tận cùng là 8. Nên n không phải là số chính phương.
Phương pháp 2.
Dùng tính chất của số dư.
Bài toán 2.
Chứng minh số: 1234567890 không phải là số chính phương.
LG.
- Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng bằng 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.
Chú ý:
- Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90).Nên 1234567890 không phải là số chính phương.
Bài toán 3.
Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.
LG.
Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà nó lại không chia hết cho 9. Nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Do đó số này không phải là số chính phương.
Phương pháp 3. 
 Phương pháp kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp: n2 và (n+1)2.
Ta thấy: Nếu n và k N và thỏa mãn điều kiện: n2 < k < (n+1)2 thì lúc đó k không phải là số chính phương.
Bài toán 4.
Chứng minh số 4014025 không phải là số chính phương.
Nhận xét:
Số này có hai chữ số tận cùng là 25 nên chia cho 3 dư 1 và chia cho 4 cũng dư 1, nên không thể áp dụng bằng cách trên.
LG.
Ta thấy: 20032 = 401209; 20042= 4016016. Nên 20032< 4014025 < 20042. Chứng tỏ số 4014025 không phải là số chính phương.
Bài toán 5*.
Chứng minh:
A = n(n+1)(n +2)(n+3) không là số chính phương với mọi nN, n0
LG.
Ta có: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + 1
 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1
 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
 = (n2+3n +1)2 
Mặt khác (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A
Điều này hiển nhiên đúng vì: n > 1. Chứng tỏ
(n2 + 3n)2 < A < A+1= (n2+3n +1)2. Suy ra A không phải là số chính phương.
c. tìm số để kết quả là số chính phương.
Bài 1: Tỡm số chớnh phương cú 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
Gọi số chớnh phương phải tỡm là aabb = n2 với a, b N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9
Ta cú n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhận xột thấy aabb 11 a + b 11
Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nờn 1 ≤ a+b ≤ 18 a+b = 11
Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đú 9a+1 là số chớnh phương .
Bằng phộp thử với a = 1; 2; ; 9 ta thấy chỉ cú a = 7 thỏa món b = 4
Số cần tỡm là 7744
Bài 2: Tỡm một số cú 4 chữ số vừa là số chớnh phương vừa là một lập phương.
Gọi số chớnh phương đú là abcd . Vỡ abcd vừa là số chớnh phương vừa là một lập phương nờn đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N
Vỡ y3 = x2 nờn y cũng là một số chớnh phương .
Ta cú 1000 ≤ abcd ≤ 9999 10 ≤ y ≤ 21 và y chớnh phương y = 16
 abcd = 4096
 Bài 3: Tỡm số cú 2 chữ số mà bỡnh phương của số ấy bằng lập phương của tổng cỏc chữ số của nú. 
2
Gọi số phải tỡm là ab với a,b N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9
Theo giả thiết ta cú : ab = ( a + b )3 
 (10a+b)2 = ( a + b )3
 ab là một lập phương và a+b là một số chớnh phương
Đặt ab = t3 ( t N ) , a + b = l 2 ( l N )
Vỡ 10 ≤ ab ≤ 99 ab = 27 hoặc ab = 64
Nếu ab = 27 a + b = 9 là số chớnh phương 
Nếu ab = 64 a + b = 10 khụng là số chớnh phương loại
 Vậy số cần tỡm là ab = 27
Bài 4: Tỡm số tự nhiờn n cú 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là cỏc số chớnh phương.
Ta cú 10 ≤ n ≤ 99 nờn 21 ≤ 2n+1 ≤ 199. Tỡm số chớnh phương lẻ trong khoảng trờn ta được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84.
Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ cú 121 là số chớnh phương.
Vậy n = 40
2
Bài 5: Biết x N và x>2. Tỡm x sao cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) 
Từ đề bài ta viết lại như sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1)
Do vế trỏi là một số chớnh phương nờn vế phải cũng là một số chớnh phương .
Một số chớnh phương chỉ cú thể tận cựng bởi 1 trong cỏc chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nờn x chỉ cú thể tận cựng bởi 1 trong cỏc chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)
Do x là chữ số nờn x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta cú x N và 2 < x ≤ 9 (2)
Từ (1) và (2) x chỉ cú thể nhận 1 trong cỏc giỏ trị 5; 6; 7.
Bằng phộp thử ta thấy chỉ cú x = 7 thỏa món đề bài, khi đú 762 = 5776
Bài 6. Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 3, 6, 8, 8.
Giải: Gọi n2 là số chính phương phải tìm. Số chính phương không tận cùng bằng 3, 8 do đó n2 phải tận cùng bằng 6. Số có tận cùng bằng 86 thì chia hết cho 2 không chia hết cho 4 nên không là số chính phương. Vậy n2 có tận cùng bằng 36.
Số chính phương đó là: 8836 = 942.
Bài 7. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135 thì ta được một số là số chính phương.
Giải: Gọi số phải tìm là n, ta có 135n= a2(aẻN) hay 33.5.n= a2. Số chính phương chỉ các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n=3.5.k2(kẻN). 
Với k = 1 thì n =15, với k= 2 thì n=60, với k³3 thì n³135, có nhiều hơn hai chữ số nên loại.
Vậy số phải tìm là 15 hoặc 60.
D. bài tập vận dụng.
Hãy khẳng định các số sau là số chính phương hay không là số chính phương.( Từ bài 1 đến bài 4).
Bài 1: a) A= 3 + 32+ 33+...+ 320
	b) B= 11+112+113
	c) 1010+8.
	d) 100! +7
	e) 1010 +5
	g) 10100+1050+1.
Bài 2. a) 2004000	b) 20012001
Bài3. 
Bài 4: A= 
Bài 5. Cho bốn số 0, 2, 3, 4. Tìm số chính phương có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên.
Bài 6. Tìm số chính phương có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số 7, 4, 2, 0.
Bài 7. Tìm số chính phương có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số 2, 3, 5, 0.
Bài 8. Cho một số tự nhiên gồm 15 chữ số 2. Có cách nào viết thêm các chữ số 0 vào vị trí tuỳ ý để số mới tạo thành là một số chính phương hay không?
Bài 9. Một số tự nhiên gồm một chữ số 1, hai chữ số 2, ba chữ số 3, bốn chữ số 4 có thể là một số chính phương hay không?
Bài 10. Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 101 thành một số A.
a) A có là hợp số hay không?
b) A có là số chính phương hay không?
c) A có thể có 35 ước hay không?
Bài 11. Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập tất cả các số tự nhiên có năm chữ số gồm cả năm chữ số ấy. Trong các số đó, có số nào là số chính phương hay không? Có số nào chia hết cho 11 không?
Bài 12. Tìm các số dạng sao cho 3.+1 và 4.+1 đều là số chính phương.
Bài 13. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu nhân nó với 45 thì ta được một số chính phương.
Bài 14. a) Các số tự nhiên n và 2n có tổng các chữ số bằng nhau. Chứng minh rằng n chia hết cho 9.
b*) Tìm số chính phương n có ba chữ số, biết rằng n chia hết cho 5 và nếu nhân n với 2 thì tổng các chữ số của nó không đổi.
Bài 15. Tìm số dạng sao cho + là số chính phương.
Bài 16. Tìm chữ số a để là số chính phương.
Bài 17. Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị và số chính phương đó được viết dưới dạng (5n +4)2 với nẻN.
Bài 18*. Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng minh rằng A- B là số chính phương.