Tài liệu bồi dưỡng Toán Lớp 12 - Nguyên hàm và tích phân - Ứng dụng của tích phân - Phạm Xuân Trung

I/ C«ng thøc nguyªn hµm:
Nguyªn hµm cđa c¸c hµm sè c¬ b¶n
Nguyªn hµm cđa hµm hỵp ( du = u’dx )
 (a>0)
 (a>0)
II/ C¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm – tÝch ph©n:
A. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) 	 thì:
 ( Công thức NewTon - Leiptnitz)
B. Các tính chất của tích phân:
Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : 
Tính chất 2: 
Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên thì: 
Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên và thì 
Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên và thì
Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên và thì
Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên thì
Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên và k là một hằng số thì
Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên và c là một hằng số thì
Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là : 
1, Ph­¬ng ph¸p 1: BiÕn ®ỉi c¸c biĨu thøc.
VÝ dơ1: tÝnh dïng ct h¹ bËc 
	 	dïng ct = 1+ tan2 α 
	 ; dïng c¸ch nh©n liªn hỵp
	 ; dïng ct biÕn tÝch thµnh tỉng
	 ; chia kho¶ng ®Ĩ bá dÊu gtt®
	 cã 
	 t×m A,B sao cho 
 t×m A,B sao cho 
	 cã 
VÝ dơ2: : Tính các tích phân sau:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12). 
13) 14) 15) 
 16) 17) 18) 
VÝ dơ3: 
1) 	2) 3) 4) 
5) 6) 	 7) 8) 
VÝ dơ4:
 1) Tìm các hằng số A,B để hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện
	 và 
2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức : 
2, Ph­¬ng ph¸p 2: §ỉi biÕn lo¹i I
D¹ng 1: 
 	§Ỉt x = a.sint ( hoỈc x = a.cost )
 	Ydx = a.cost.dt , ®ỉi cËn råi thay vµo tÝch ph©n ban ®Çu ®Ĩ tÝnh
VÝ dơ: tÝnh c¸c tÝch ph©n sau
a, b, c, d, 
D¹ng 2: 	 
§Ỉt x = a.tant Ydx = a(1+ tan2t ).dt , ®ỉi cËn råi thay vµo tÝch ph©n ban ®Çu ®Ĩ tÝnh 
VÝ dơ: tÝnh c¸c tÝch ph©n sau 
a, b, c, ( hoỈc mÉu lµ bËc 2 v« nghiƯm)
Tính các tích phân sau:
1) 	 2) 	 3)	 4)
5) 6) 7) 	 8) 
9) 10) 11) 12) 
13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 
3, Ph­¬ng ph¸p 3: §ỉi biÕn lo¹i II.
 §Ỉt t = U(x) ( U(x) th­êng lµ c¸c biĨu thøc trong c¨n, trong luü thõa)
 Y dt = U’.dx 	®ỉi cËn råi thay vµo tÝch ph©n ban ®Çu ®Ĩ tÝnh.
VÝ dơ: tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
 a, ®Ỉt t = ln ()Y dt =
 b, hoỈc ®Ỉt t = 
 c, ®Ỉt t = 
 d, ®Ỉt t = 
 e, hoỈc ta cã ®Ỉt t = 
 f, ®Ỉt t = 
 g, cã 
 h, ®Ỉt t = sinx
 k, hoỈc ®Ỉt t = tanx
 l, hoỈc ®Ỉt t = 
 ®Ỉt t = 
 m, cã ®Ỉt t = 
 n, 
 0, ; ; ®Ỉt t = tanx
 p, ®Ỉt t = ex
 q, ®Ỉt t = 1+e2x
 t, ®Ỉt t = 
Tính các tích phân sau:
1) 	 2) 	 3)	 4)
5) 6) 7) 	 8) 
9) 10) 11) 12) 
13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 
4, Ph­¬ng ph¸p 4: TÝch ph©n tõng phÇn
D¹ng 1: hoỈc 
 §Ỉt 
 VÝ dơ: tÝnh c¸c tich ph©n sau. 
D¹ng 2: hoỈc 
 §Ỉt 
 VÝ dơ: tÝnh c¸c tich ph©n sau. 
D¹ng 3: hoỈc 
 §Ỉt ph¶i ®Ỉt 2 lÇn tÝch ph©n tõng phÇn
 VÝ dơ: tÝnh c¸c tich ph©n sau. 
D¹ng 4: hoỈc 
 §Ỉt 
 VÝ dơ: tÝnh c¸c tÝch ph©n sau. 
Bµi tËp:
Tính các tích phân sau:
1) 	 2) 	 3)	 4)
5) 6) 7) 	 8) 
9) 10) 11) 12) 
13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 
5, Mét sè tÝch ph©n ®Ỉc biƯt kh¸c.
VD1: TÝnh . a, b, c, 
 HD: 
®Ỉt t = -x YI1= Y I= 
VD2: TÝnh . ®Ỉt t = 
VD3: TÝnh a, b, 
VD4:TÝch ph©n hµm sè lỴ. ( )
TÝnh . a, b, c, 
VD5: C/m. 
¸p dơng tÝnh 
VD6: Gi¶i a, b, 
6/ C¸c øng dơng cđa tÝch ph©n: TÝnh diƯn tÝch- ThĨ tÝch- C/m ®¼ng thøc niwt¬n. 
A: TÝnh diƯn tÝch.
	 NÕu S ={y=f(x), y=0}
	 NÕu S ={y=f(x), y=g(x)}
Note: - ph¶i gi¶i PT g(x)=f(x) hoỈc f(x)=0 t×m cËn x=a,x=b
 - nÕu S ={y=f(x), y=g(x), y=h(x)} ta ph¶i t×m giao cđa c¸c h/s trªn t×m cËn, 
 sau ®ã tÝnh S=S1+S2+S3.
VÝ dơ: tÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi.
( gåm 2 phÇn)
B: TÝnh thĨ tÝch.
	 ; NÕu V ={y=f(x), y=0}
	 ; NÕu V ={y=f(x), y=g(x)}
Note: - ph¶i gi¶i PT g(x)=f(x) hoỈc f(x)=0 t×m cËn x=a,x=b
 - nÕu V ={y=f(x), y=g(x)} ta ph¶i t×m giao cđa c¸c h/s trªn t×m cËn, 
 sau ®ã tÝnh V=V1- V2
VÝ dơ: tÝnh thĨ tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi.
C: c/m ®¼ng thøc Niwt¬n.
C«ng thøc Niwt¬n: (a±b)n = 
VÝ dơ: chøng minh c¸c ®¼ng thøc hoỈc tÝnh c¸c tỉng sau.
HD: Sư dơng hoỈc hoỈc ®Ĩ c/m