Tài liệu bồi dưỡng Toán 6

Số nguyên tố – Hợp số
(Kí hiệu P là tập hợp các số nguyên tố)
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2, p + 4 đều là các số nguyên tố.
Hướng dẫn: + Nếu p = 2 => p + 2 = 4 P (loại)	
+ Nếu p = 3 => p + 2 = 5 P , p + 4 = 7 P	
+ Nếu p > 3 => vì p nguyên tố nên p 3 => p = 3k + 1; p = 3k + 2(k N)
Trường hợp: p = 3k + 1 => p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) 3
 mà p > 3 nên p là hợp số 
Trường hợp: p = 3k + 2 => p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) 3 
 mà p > 3 nên p là hợp số 
=>không có giá trị nguyên tố p lơn hơn 3 nào thoả mãn.
Vậy p = 3 là giá trị duy nhất cần tìm.
Bài tập tương tự: Tìm số nguyên tố p sao cho
a) p + 10 và p + 14 cũng là số nguyên tố
a) p + 2, p + 6, p + 8,p + 12 và p + 14 cũng là số nguyên tố.
Bài 2: Chứng minh rằng:
a) Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều viết dưới dạng 4n +1; 4n – 1 (nN*)
có phải mọi số tự nhiên có dạng 4n +1; 4n – 1 (nN*) đều là số nguyên tố?
HD: a) Mọi số tự nhiên lớn hơn 2 đều có thể viêt được dưới 1 trong các dạng:
 4n – 1, 4n, 4n + 1;4n + 2 (vì nN*)
 vì 4n 2 ; 4n > 2 (vì nN*), vì 4n + 2 2 ; 4n + 2 > 2 (vì nN*)
Nên các số có dạng 4n hoặc 4n + 2 vì 4n 2 ; 4n > 2 (vì nN*) là hợp số.
Do đó mọi số nguyên lớn hơn 2 đều viết dưới dạng 4n + 1 hoặc 4n - 1 (nN*)
Ngược lại: Không phải mọi số tự nhiên có dạng 4n +1; 4n – 1 (nN*)
đều là số nguyên tố. chẳng hạn: 21 = 4 . 5 + 1; 15 = 4 . 4 – 1 đều là hợp số.
Bài 3: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: (p - 1)(p + 4) 6
Hướng dẫn: + CM: (p - 1)(p + 4) chia hết cho 2, 3.
 + p là số nguyên tố lớn hơn 3=> p có dạng 3k + 1, 3k + 2
Bài 4: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3
a) và 2p + 1 cũng là số nguyên tố c/m 4p + 1 là hợp số.
b) và p + 4 cũng là số nguyên tố c/m p + 8 là hợp số. /c) C/m p2 + 98 là hợp số.
d) và p + 2 cũng là số nguyên tố c/m p + 1 6
e) và 8p - 1 cũng là số nguyên tố c/m 8p + 1 là hợp số.
HD: a) p P, p > 3 =>3k + 1, 3k + 2 (kN*)
T.Hợp: p = 3k + 1 => 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1= 6k + 3 3 (loại)
Và 2p + 1 > 3 => 2p + 1 là hợp số.
T.Hợp: p = 3k + 2 => 4p + 1 = 4(3k + 1) + 1 = 12k + 9 3 (loại)
Và 4p + 1 > 3 => 4p + 1 là hợp số.
Bài 5* Cho n N , n > 1 CMR n4 + 4 và n4 + n2 + 1 là hợp số.
Bổ sung bài 4: g) cm: (p - 1)(p + 1) 24
Bài 6: Cho p1, p2 là 2 số nguyên tố lẻ liên tiếp, p1 > p2
c/m là hợp số. HD: c/m 
===========================
ưc, bc, ưcln, bcnn
Bài 1: tìm số tự nhiên a biết rằng 264 chia a dư 24, còn 363 chia a dư 43
HD: 240 a (a > 24); 320 a (a > 43)
=> a ƯC(240,320) và a > 43 => a = 80
Bài tập tương tự:
1) Tìm a N, biết: 398 chia cho a dư 38, 450 chia cho a dư 18
2) Tìm a N, biết: 350 chia cho a dư 14, 32 chia cho a dư 26
Bài 2:Một số tự nhiên chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2,chia 5 dư 3, chia 6 dư 4, chia hết cho 13.
a) tìm số nhỏ nhất có tính chất trên?
b) Tìm dạng chung của tất cả các số có tính chất trên?
HD: a) gọi x là số phải tìm =>x + 2 BC(3,4,5,6) = B(60) =>x + 2 = 60n (n N*)
Lần lượt cho n = 1; n = 2;.........n = 10 thì 598 13. số cần tìm là 598
b) các số có tính chất trên thoả mãn 2 điều kiện:(x + 2) 60 và x 13
=> x + 182 60, x + 182 13=>x + 182 60.13 = 780 (vì (13, 60) = 1)
=> x + 182 = 60.k => x = 780k -182 (k N*)
Bài tập tương tự
1) Một số tự nhiên chia cho 2, 3, 4, 5, 6 đều dư 1 và chia hết cho 7.
a) Tìm số nhỏ nhất có tính chất trên?(Đs: 301)
b) Tìm dạng chung của các số có tính chất trên?(Đs: x = 420k - 110, k N*)
2) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5, 7, 9 có số dư theo thứ tự là 3, 4, 5(Đs 158)
3) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 3, 4, 5 có số dư theo thứ tự là 1; 3; 1(đs: 31) 
Bài 3 Tìm 2 số tự nhiên có tổng bằng 432 và ƯCLN của chúng là 36 
HD: gọi 2 số tự nhiên cần tìm là a và b.
=> a + b = 432, (a, b) = 36; a = 36.a1, b = 36.b1, (a, b) = 1
=> 36(a1 + b1) = 432 => a1 + b1 = 12
 Vì (a1, b1) = 1, a1 + b1 = 12, ta có bảng giá trị sau:
a1
1
5
7
11
b1
11
7
5
1
Từ đó tìm được a, b => kết luận bài tập
Bài tập tương tự: 1. tìm hai số tự nhiên biết:
a) Tổng của chúng bằng 66, ƯCLN của chúng bằng 6 đồng thời có số chia hết cho 5.
b) Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 12
c) Tích của chúng bằng 864, ƯCLN của chúng bằng 6.
ĐS: a) 30 và 36; 60 và 6; b) Hai số phải tìm có dạng 12k và 12m(k - m=7,(k, m) = 1)
c) 6 và 144; 18 và 48.
Bài 4: Biết BCNN(a, b).ƯCLN(a,b) = a.b
a) BCNN của 2 số là 600, ƯCLN của chúng bằng BCNN. Số thứ nhất là 120.
Tìm số thứ hai.
b) ƯCLN của 2 số là 12. BCNN gấp 6 lần ƯCLN. Số thứ 1 là 24. tìm số thứ 2.
c)Tổng 2 số bằng 60. tổng của ƯCLN là BCNN của chúng là 84. tìm 2 số đó.
ĐS: a)300, b) 36, c) 24 và 36.
Ghi số, đếm số
Bài 1: Để đánh số trang một cuốn sách người ta dùng tất cả 1992 chữ số. Hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu bao nhiêu trang? Chữ số thứ 1000 ở trang nào, là chữ số là gì?
HD: a) từ 1 - 9 cần 9 chữ số.
 10 - 99 cần 90 x 2 = 180 c/s
 100 - 999 cần 900 x 3 = 2700 c/s
Ta có 189 Số trang sách là số có 3 c/s. Số các c/s còn lại để viết các số có 3 c/s là:1992 - 189 = 1803
1803 : 3 = 601 => với 1803 c/s này ta viết được 601 số có 3 c/s đầu tiên.
=>Cuốn sách có 99 + 601 = 700(trang)
b) Vì 189 < 1000 < 1992. nên chữ số thứ 1000 thuộc trang có 3 chữ số.
Ta có 1000 - 189 = 811 = 3 . 270 + 1. nên với 811 chữ số này viết được 270 số có 3 chữ số đầu tiên còn dư 1 chữ số, viết tiếp sang số có 3 chữ số thứ 271. vậy chữ số thứ 1000 nằm ở trang thứ 99 + 271 = 370 và là chữ số 3.
Bài tập tương tự: Bài 1:(Bài 238/52(NCPT tập 1))
Xem các ví dụ: 43/49, 44/9, 45-> 47/50,51.(NCPT tập 1).
Bài 2: Viết các số từ 1 đến 9999 cần dùng bao nhiêu chữ số 1
HD: Để chữ số 0 có vai trò bình đẳng với các chữ số khác ta coi các số 00000,00001,00002,.....cũng là các số có 5 chữ số.
Do đó từ 00000 đến 99999 có 100 000 số gồm 5.100 000 = 500 000
Trong đó chữ số 1 chiếm 1/10 =>1/10 . 500 000 = 50 000(c/s)
Bài tập:234,235,236/52(NCPT tập 1)
====================
dãy số
 Bài 1: Cho dãy số:1; 5; 9; ..... (1)
a) Tìm số hạng thứ 2006 của dãy trên
b) Số 392 541; 9 869 715; 86 743 266 có thuộc dãy trên không?
HD: 
a) 1 = 4.0 + 1; 5 = 4.1 + 1; 9 = 4.2 + 1; 13 = 4.3 + 1; 17 = 4.4 + 1; 
=> số hạng thứ n: 4n + 1;
Số hạng thứ 2006 là: 4.2006 + 1 = 8025
b) 392 541 chia cho 4 dư 1=> 392 541 thuộc dãy (1)
 9 869 715 chia cho 4 dư 3=> 9 869 715 không thuộc dãy (1)
 86 743 266 chia cho 4 dư 2=>86 743 266 không thuộc dãy (1)
Bài tập tương tự:230/49; 229/48; 231, 232, 233/49(NCPT tập 1)
========================
Chứng minh bằng qui nạp
Bài 1:CMR: 32n + 2 – 2n + 1 7 , mọi n N*
HD: Với n = 1 ta có: 32.1 + 2 – 21 + 1 = 81 – 4 = 77 , 77 7
Vậy mệnh đề đúng với n = 1
+ Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k>1) nghĩa là ta có:
 32k + 2 – 2k + 1 7 (2)
+ Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 nghĩa là ta phải chứng minh:
 32(k + 1) + 2 – 2(k + 1) + 1 7
Ta có: 32(k + 1) + 2 – 2(k + 1) + 1 = 9.32k + 2 –2. 2k + 1 = 7. 32k + 2 + 2(32k + 2 – 2k + 1 )
Vì 7. 32k + 2 7; (32k + 2 – 2k + 1 ) 7 (theo 1)
=> ta có điều phải chứng minh là (2)
Vậy 32n + 2 – 2n + 1 7 , mọi n N*
Bài tập tương tự: chứng minh rằng
1. 9.10n + 18 27; 
2.62n + 19n – 2n+1 17
3. 92n + 14 5(n N)