Tài liệu bồi dưỡng Số học Lớp 6 - Chuyên đề: Ước và bội

Chuyên đề : ước và bội
A . Lí thuyết
I. Kiến thức cơ bản
1. a b (a, b , b 0) a là bội của b; b là ước của a.
2. Cách tìm bội và ước.
B(a) = 
Ư(a) là các số tự nhiên mà a chia hết cho số đó.
3. Ư(1) = 1; B1 = N; Ư(0)= N*; số 0 không có bội.
II. Kiến thức mở rộng
	B(a) có dạng a . k ( k ) 
	Ước thực sự là các ước khác 1 và chính nó.
B. Bài tập.
Bài 1. Tìm tập M 
	a) Các số x là Ư(65) và 12 < x< 65
	b) Các số y là B(13) và 26 
	c) Các số z vừa là ước của 65 vừa là bội của 13.
Giải
a) Ta có Ư(65) = 
Vì x Ư(65) và 12 < x < 65 x = 13.
Vậy tập M các số x là Ư(65) và 12 < x< 65 là : M = 
b) Ta có B(13) = 
Vì y B(13) và 26 y 
Vậy tập M các số y là B(13) và 26 là : 
c) Ta có Ư(65) = 
 Vì z là bội của 13 nên z 13 mà z Ư(65) nên z 
Vây tập hợp các số z vừa là ước của 65 vừa là bội của 13 là : 
	M = 
Bài 2. Tìm số tự nhiên a để các biểu thức sau là số tự nhiên.
	a) ;	b) ;	c) 	
Giải
a) Để biểu thức : là số tự nhiên thì 12 2a + 1 => 2a + 1 Ư(12).
Ta có : Ư(12) = mà 2a + 1 là số lẻ nên: 2a + 1 
Nếu 2a + 1 = 1 a = 0
Nếu 2a + 1 = 3 a = 1
Vậy a thì biểu thức là số tự nhiên.
b) Để biểu thức : là số tự nhiên thì a + 3 a + 1 a+ 1 + 2 a + 1
Vì a + 1 a + 1 nên 2 a + 1
Ta có : Ư(2) = a + 1 
Nếu a + 1 = 1 a = 0
Nếu a + 1 = 2 a = 1
Vậy a thì biểu thức là số tự nhiên.
c) Cách 1: 
Để là số tự nhiên thì a + 15 5 mà 15 5 nên a 5 hay a là bội của 5
Do đó a 
Vậy a thì biểu thức là số tự nhiên.
Cách 2. Để là số tự nhiên thì a + 15 5 hay a + 15 là bội của 5 
Ta có B(5) = mà a + 15 a 
hay a = 5k ( k N)
Vậy a thì biểu thức là số tự nhiên.
Bài 3. Tìm x, y thuộc N biết:
	a) (2x + 1) . ( y - 3) = 10	b) (x + 6) = y ( x - 1) 	c) x . y = 30
Giải
a) (2x + 1) . ( y - 3) = 10
Vì x; y thuộc N 2x + 1 ; y - 3 thuộc N* 
 Ta có (2x + 1) . ( y - 3) = 10 nên 2x + 1 Ư(10) và y - 3 Ư(10)
 mà Ư(10) . Do 2x + 1 là một số lẻ nên ta có bảng giá trị sau : 
2x +1
1
2
5
10
y - 3
10
5
2
1
2x
0
1
4
9
x
0
loại
2
loại
y
13
8
5
4
Vậy x = 0 và y = 13 hoặc x = 2; y = 5 thì (2x + 1) . ( y - 3) = 10
b) (x + 6) = y ( x - 1) (x + 6) (x - 1) 
Ta có : x - 1 x - 1
 x + 6 - (x - 1) x - 1
 x + 6 - x + 1 x - 1
7 x - 1
 x -1 là ước của 7 mà Ư(7) . Do đó:
+) Nếu x - 1 = 1 x = 2 (2 + 6) = y(2 - 1) 8 = y
+) Nếu x - 1 = 7 x = 8 (8+6) = y(8 - 1) 14 = y . 7 y = 14 : 7 = 2
Vậy x = 2 và y = 8 hoặc x = 8 và y = 2 thì (x + 6) = y ( x - 1)
 c) x . y = 30
Vì x . y = 30 và x, y thuộc N x, y là cặp ước của 30 
mà Ư(30) ) .
Ta có bảng giá trị sau: 
x
1
2
3
5
6
10
15
30
y
30
15
10
6
5
3
2
1
Vậy (x,y) 
Bài 4. Tìm số tự nhiên n sao cho :
	a) n + 4 n + 1	b) n2 + 4 n + 2
Giải
a) n + 4 n + 1 n + 1 + 3 n + 1
Vì n + 1 n + 1 nên 3 n + 1 n + 1 3
Ta có : Ư(3) = n + 1 
Nếu n + 1 = 1 n = 0
Nếu n + 1 = 3 n = 2
Vậy n thì n + 4 n + 1	
b) n2 + 4 n + 2
 n2 + 8 - 4 + 2n - 2n n + 2
 (n. n - 2n) + (2n - 4) + 8 n + 2
n (n - 2) + 2 ( n - 2) + 8 n + 2
 (n - 2) (n + 2) + 8 n + 2
Vì n + 2 n + 2 (n - 2) (n + 2) n + 2 8 n + 2 n + 2 8 
Ta có : Ư(8) = n + 1 
Nếu n + 2 = 1 n = 1 - 2 (loại)
Nếu n + 2 = 2 n = 0
Nếu n + 2 = 4 n = 2
Nếu n + 2 = 8 n = 6
Vậy n thì n2 + 4 n + 2
Bài 5 Tìm x, y thuộc N biết:
	a) (3x - 2) . ( y - 3) = 10	(y > 3)	b) (x - 3) = y ( x - 2) 	
Giải
a) (3x - 2) . ( y - 3) = 10
Vì x; y thuộc N và y > 3 3x - 2 ; y - 3 thuộc N* 
 Ta có (3x - 2) . ( y - 3) = 10 nên 3x - 2 Ư(10) và y - 3 Ư(10)
 mà Ư(10) . ta có bảng giá trị sau : 
3x - 2
1
2
5
10
y - 3
10
5
2
1
3x
3
4
7
12
x
1
loại
loại
4
y
13
8
5
4
Vậy x = 1 và y = 13 hoặc x = 10; y = 4 thì (2x + 1) . ( y - 3) = 10
b) (x - 3) = y ( x - 2) (x - 3) (x - 2) 
Ta có : x - 2 x - 2
 x - 2 - (x - 3) x - 2
 x - 2 - x + 3 x - 2
1 x - 2
 x - 2 là ước của 1 mà Ư(1) . Do đó:
 x - 2 = 1 x = 3 (3 - 3) = y (3 - 2) y = 0
Vậy x = 3 và y = 0 thì (x - 3) = y ( x - 2)
Bài 6. Tìm n thuộc N biết:
a) 13n n - 1	b) 2n + 3 n - 2	c) 3n + 1 11 - 2n
Giải
a) 13n n - 1
V ì n - 1 n - 1 13 ( n - 1) n - 1 
 13n - 13 ( n - 1) n - 1
13n - 13 n + 13 n - 1
13 n -1
 n - 1 Ư(13) mà Ư(13) n - 1 Do đó:
Nếu n - 1 = 1 n = 2
Nếu n - 1 = 13 n = 14
Vậy n thì 13n n - 1
b) 2n + 3 n - 2 
Ta có n - 2 n - 2 
 2(n - 2) n - 2 mà 2n + 3 n - 2 
 2n + 3 – 2(n -2) n - 2 
 2n + 3 – 2n + 4 n - 2
 7 n - 2
 n - 2 Ư(7) mà Ư(7) n - 2 Do đó:
n - 2 = 1 n = 1 + 2 = 3
n - 2 = 7 n = 7 + 2 = 9
Vậy n thì 2n + 7 n + 1.
c) 3n + 1 11 - 2n
Ta có 11 - 2n 11- 2n 
 3 (11 - 2n) 11- 2n 
 33 - 6n 11 - 2n
Ta có : 3n + 1 11 - 2n
 2. ( 3n + 1 ) 11 - 2n 
 6n + 2 11 - 2n
 6n + 2 + 33 - 6n 11 - 2n
 35 11 - 2n 
 11- 2n Ư(35) mà Ư(35) n - 2 Do đó:
11- 2n = 1 2n = 11- 1 2n = 10 n = 5 
11- 2n = 5 2n = 11 - 5 2n = 6 n = 3 
11- 2n = 72n = 11 - 7 2n = 4 n = 2
11- 2n = 352n = 11 - 35 (loại)
Vậy n thì ) 3n + 1 11 - 2n
Bài tập về chuyên đề ước và bội
Bài 1. Tìm tập M 
	a) Các số x là Ư(65) và 12 < x< 65
	b) Các số y là B(13) và 26 
	c) Các số z vừa là ước của 65 vừa là bội của 13.
Bài 2. Tìm số tự nhiên a để các biểu thức sau là số tự nhiên.
	a) ;	b) ;	c) 	
Bài 3. Tìm x, y thuộc N biết:
	a) (2x + 1) . ( y - 3) = 10	b) (x + 6) = y ( x - 1) 	c) x . y = 30
Bài 4. Tìm số tự nhiên n sao cho :
	a) n + 4 n + 1	b) n2 + 4 n + 2
Bài 5 Tìm x, y thuộc N biết:
	a) (3x - 2) . ( y - 3) = 10	(y > 3)	b) (x - 3) = y ( x - 2) 	
Bài 6. Tìm n thuộc N biết:
a) 13n n - 1	b) 2n + 3 n - 2	c) 3n + 1 11 - 2n
===***==
Bài tập về chuyên đề ước và bội
Bài 1. Tìm tập M 
	a) Các số x là Ư(65) và 12 < x< 65
	b) Các số y là B(13) và 26 
	c) Các số z vừa là ước của 65 vừa là bội của 13.
Bài 2. Tìm số tự nhiên a để các biểu thức sau là số tự nhiên.
	a) ;	b) ;	c) 	
Bài 3. Tìm x, y thuộc N biết:
	a) (2x + 1) . ( y - 3) = 10	b) (x + 6) = y ( x - 1) 	c) x . y = 30
Bài 4. Tìm số tự nhiên n sao cho :
	a) n + 4 n + 1	b) n2 + 4 n + 2
Bài 5 Tìm x, y thuộc N biết:
	a) (3x - 2) . ( y - 3) = 10	(y > 3)	b) (x - 3) = y ( x - 2) 	
Bài 6. Tìm n thuộc N biết:
a) 13n n - 1	b) 2n + 3 n - 2	c) 3n + 1 11 - 2n
===***===