Tài liệu bồi dưỡng ôn tập hè Toán học Lớp 8 - Năm học 2004-2005

Các chuyên Đề ôn tập hè - Toán 8
Năm học 2004 - 2005
Buổi 1
Chuyên đề I : Phân thức đại số
	A – Kiến thức cơ bản
1, Phân thức đại số, tính chất cơ bản của phân thức đại số :
* Định nghĩa : Phân thức đại số là biểu thức có dạng , trong đó A và B là các đa thức và B ạ 0. 
( A được gọi là tử thức ; B được gọi là mẫu thức). 
Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.
* Hai phân thức bằng nhau : Hai phân thức = nếu A. D = B . C
* Tính chất cơ bản của phân thức : 
 = ( M là một đa thức khác 0) ; = ( N là một nhân tử chung khác 0)
áp dụng tính chất : - rút gọn phân thức
Qui tắc đổi dấu : = hoặc - = =
Qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức : 
 Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung, tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức. Nhân cả tử thức và mẫu thức với nhân tử phụ của nó.
2, Phép cộng, trừ, nhân và chia các phân thức đại số 
3, Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức đại số : Thực hiện các qui tắc tính cộng, trừ, nhân, chia các phân thức thì mọi biểu thức hữu tỉ đều đưa được về dạng một phân thức đại số
- Khi giải toán liên quan đến giá trị của một biểu thức phân ta phải đặt điều kiện : “Biến chỉ được nhận các giá trị sao cho giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0”
 B – Một số bàI luyện tập
Bài 1 : Cho biểu thức 
a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định.
b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1 .
c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng -.
d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng -3.
Bài 2 – Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến:
 a) b) c) 
 Bài 3 : Cho biểu thức : M = 
Rút gọn M b) Tính giá trị của x để M = x + 1
c) Tìm số nguyên x để giá trị tương ứng của M là số nguyên.
Bài 4 : Cho biểu thức : A = 
Rút gọn A b) Tìm x để A > 0 c)Tìm x ẻ Z để A nguyên dương.
Bài 5 : Cho biểu thức : B = 
Rút gọn B b) Tìm x để B = c) Tìm x để B > 0
Buổi 2
Chuyên đề 2 : Tứ giác
A – Kiến thức cơ bản
1, Tứ giác.
* Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng
* Tổng bốn góc của một tứ giác bằng 3600
2, Hình thang, hình thang cân.
* Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
* Hình thang cân :
	- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
	- Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau
	- Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau
	- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân
3, Hình bình hành và các dạng đặc biệt của nó ( hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông)
* Hình bình hành : 
- Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi thoả mãn một trong các điều kiện sau
1. Có các cạnh đối song song.
2. Có các cạnh đối bằng nhau
3. Có các góc đối bằng nhau
4. Có hai cạnh đối song song và bằng nhau
5. Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
* Hình chữ nhật : 
Hình bình hành là hình chữ nhật khi và chỉ khi hình bình hành có:
 - Hai đường chéo bằng 
 	 - Một góc vuông.
áp dụng vào tam giác : Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.
* Hình thoi :
Hình bình hành là hình thoi khi và chỉ khi hình bình hành có : 
- Hai đường chéo vuông góc
	 - Mỗi đường chéo là đường phân giác của các góc hình thoi
* Hình vuông vừa là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi nên nó có tất cả các tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi.
 B – Một số bàI luyện tập
Bài 1 : Điền các điều kiện theo mũi tên để được sơ đồ nhận biết các loại tứ giác : 
Sơ đồ nhận biết các loại tứ giác
Tứ giác
Hình bình hành
Hình thoi
Hình chữ nhật
Hình vuông
Hình thang
 vuông
Hình thang
Hình thang
 cân
Bài 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Cho Q là điểm đối xứng của P qua N. Chứng minh :
a. PMAQ là hình thang. b. BMNC là hình thang cân.
c. ABPQ là hình bình hành	 	 d. AMPN là hình thoi
e. APCQ là hình chữ nhật
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D.
a.Chứng minh điểm E đối xứng với điểm M qua AB.
b. Các tứ giác AEMC; AEBM là hình gì? Vì sao?
c. Cho BC = 4cm. Tính chu vi tứ giác AEBM?
d. Tam giác vuông ABC cần có điều kiện gì để AEBM là hình vuông?
Bài 4 : Hình bình hành ABCD có AB = 2 AD ; E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
a. Các tứ giác AEFD ; AECF	là hình gì? Vì sao?
b. Gọi M là giao điểm của AF và DE , N là giao điểm của BF và CE . Chứng minh tứ giác EMFN là hình chữ nhật.
c. Chứng minh các đường thẳng AC, BD, EF, MN đồng qui.
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM.
So sánh các góc BAH và MAC
Trên đường trung trực Mx của đoạn thẳng BC, lấy điểm D sao cho MD = MA ( D và A ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ BC). Chứng minh rằng AD là phân giác chung của các góc MAH và CAB.
Từ D kẻ DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC. Tứ giác AEDF là hình gì ?
Chứng minh : DDBE = DDCF
Buổi 3
Chuyên đề 3 : Phương trình bậc nhất
A – Kiến thức cơ bản
1- Phương trình một ẩn : Một phương trình ẩn x luôn có dạng A(x) = B (x), trong đó vế trái A (x) và vế phải B (x) là hai biểu thức của cùng một biến x. Giá trị của ẩn x làm cho hai vế của phương trình nhận cùng một giá trị được gọi à nghiệm của phương trình.
2 – Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải
* Qui tắc chuyển vế : Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
* Qui tắc nhân : Trong một phương trình ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế cho cùng một số khác 0.
* Giải phương trình bậc nhất một ẩn :
Định nghĩa : Phương trình có dạng ax + b = 0 với a,b là hai số tuỳ ý và a ạ 0
Các bước giải phương trình :
- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc hay qui đồng mẫu thức hai vế, dùng qui tắc nhân để khử mẫu thức
- Dùng qui tắc chuyển vế để chuyển hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế bên kia
- Thu gọn được phương trình có dạng ax = c
 + Nếu a ạ 0, dùng qui tắc nhân tìm được nghiệm duy nhất của phương trình x = 
 + Nếu a = 0, c ạ 0 , phương trình vô nghiệm.
 + Nếu a = 0, c = 0, phương trình vô số nghiệm
3 – Phương trình tích 
 Định nghĩa : Phương trình có dạng : A (x) . B (x) = 0
 Cách giải phương trình tích dựa vào công thức : A (x) . B (x) = 0 Û A (x) = 0 hoặc B (x) = 0 
4 – Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức 
Các bước giải : B1 - Tìm điều kiện xác định của phương trình.
 B2 - Qui đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu thức
 B3 - Giải phương trình vừa nhận được
 B4 - Kết luận : Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.
5 – Giải bài toán bằng cách lập phương trình 
Các bước giải : B1 : Lập phương trình :
Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
B2 : Giải phương trình
 B3 : Trả lời : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
 B – Một số bàI luyện tập
Bài 1: Cho phương trình (ẩn x) : 4x2 – 25 + k2 + 4kx = 0
Giải phương trình với k = 0
Giải phương trình với k = - 3
Tìm các giá trị của k sao cho phương trình nhận x = - 2 làm nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình :
2x + 5 = 20 – 3x b) (2x – 1)2 – (x + 3)2 = 0
c) d) 
e) g) 
Bài 3 : Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Một giờ sau, một người đi xe máy từ A và đến B trước người đi xe đạp 20 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc của xe máy gấp 3 lần vận tốc xe đạp.
Bài 4 : Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Tổ đã may mỗi ngày 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn may thêm được 20 chiếc áo nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch.
Bài 5 : Hai công nhân nếu làm chung thì trong 12 giờ sẽ hoàn thành song một công việc. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm nốt công việc trong 10 giờ. Hỏi người thứ hai làm một mình thì bao lâu hoàn thành song công việc.
Buổi 4
Chuyên đề 4 : Tam giác đồng dạng
A – Kiến thức cơ bản
1 - Định lí Ta – lét trong tam giác
* Định lí Ta – lét : Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
* Định lí đảo Ta – lét : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
* Hệ quả của định lí Ta – lét : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
2 – Tính chất đường phân giác của một tam giác
Định lí : Đường phân giác trong (hay ngoài) của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. 
3 – Tam giác đồng dạng 
* Định nghĩa : Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu :
	Â = Â’ ; B = B’ ; C = C’ ; 
* Định lí : Một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại sẽ tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.
* Các trường hợp đồng dạng của tam giác :
TH 1 : Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng
TH 2 : Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng
TH 3 : Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
* Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông :
Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu :
Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia
Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.
áp dụng : - Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
 - Tỉ số hai diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng
 B – Một số bàI luyện tập
Bài 1 : Tam giác vuông ABC có Â = 900 ; AB = 12 cm; AC = 16 cm ; đường phân giác góc A cắt BC tại D
Tính BC, BD và CD
Vẽ đường cao AH. Tính AH, HD và AD.
Bài 2 : Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, góc ABD = ACD . Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC . Chứng minh rằng :
 D AOB và D DOC đồng dạng
D AOD và D BOC đồng dạng.
EA . ED = EB . EC
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến BD. Phân giác của góc BDA và góc BDC lần lượt cắt AB, BC ở M và N. Biết AB = 8 cm; AD = 6 cm
Tính độ dài BD, BM
Chứng minh MN // AC
Chứng minh BM . BC = AB . BN
Tính diện tích tứ giác AMNC.	
Bài 4 : Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF gặp nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh
a) D ABE ∾ D ACF
b) AE . CB = AC . EF
c) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh H, I, D thẳng hàng. 
Bài 5 : Cho hình bình hành ABCD , trên tia đối của tia DA lấy DM = AB, trên tia đối của tia BA lấy BN = AD. Chứng minh :
a) D CBN và D CDM cân.
b) D CBN và D MDC đồng dạng.
Chứng minh M, C, N thẳng hàng. 
Buổi 5
Chuyên đề 5 : Bất phương trình bậc nhất một ẩn
A – Kiến thức cơ bản
1 – Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng (phép nhân).
* Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. 
- Có thể xoá hai hạng tử bằng nhau ở hai vế của bất đẳng thức : a + c < b + c ị a < b
- Có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của nó : a + c < b ị a < b – c
* Chiều của bất đẳng thức không đổi khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương 
Chiều của bất đẳng thức thay đổi khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm.
2 – Bất phương trình bậc nhất một ẩn
* Định nghĩa : Bất phương trình dạng ax + b < 0 ( hoặc ax + b < 0 ; ax + b ³ 0 ; ax + b Ê 0) trong đó a và b là hai số đã cho, a ạ 0 , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
* Các phép biến đổi tương đương bất phương trình:
	- Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất phương trình ta được bất phương trình mới cùng chiều, tương đương với bất phương trình đã cho.
	- Khi nhân cả hai vế của một bất phương trình với cùng một số dương ta được bất phương trình mới cùng chiều, tương đương với bất phương trình đã cho.
	- Khi nhân cả hai vế của một bất phương trình với cùng một số âm ta được bất phương trình mới ngược chiều, tương đương với bất phương trình đã cho
	- Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó, thì được bất phương trình mới tương đương với bất phương trình đã cho.
3 – Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
* Định nghĩa : Giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu ờa ờlà số được xác định như sau :
	 ờa ờ= a khi a ³ 0 ; ờa ờ= - a khi a < 0 
Phương trình hay bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối được giải bằng cách sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để chuyển về phương trình hay bất phương trình không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 B – Một số bàI luyện tập
Bài 1 : Với giá trị nào của m thì phương trình ẩn x : 
x – 3 = 2m + 4 có nghiệm dương ?
2x – 5 = m + 8 có nghiệm âm ?
Bài 2 : Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số :
 a) (x + 2)2 (x – 2)(x + 8) + 26
c) < 2 d) 
 e) g) < 
 h) x2 – 4x + 3 > 0 i) x3 – 2x2 + 3x – 2 ³ 0 
 k) ẵ2 – 3xẵ < 7 l ) ẵ2x - 3ẵ³ 5
Bài 3 : Giải các phương trình :
ẵ9 + xẵ= 2x 	b) ẵx - 1ẵ= 3x + 2
c) ẵ2x - 3ẵ= - x + 21	d) 2ẵxẵ - ẵx - 1ẵ= 2
Bài 4 : Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm :
	a) x2 + 2x + 2 Ê 0	b) 4x2 – 4x + 5 Ê 0
Bài 5 : Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có giá trị âm :
	 A = 
Buổi 6 : Làm đề khảo sát chất lượng đầu năm
Đề bài : 
Bài 1 : Cho biểu thức P = 
Rút gọn P.
Tìm các giá trị của x để P > 0
Bài 2 : Cho DABC ~ D A’B’C’ với tỉ số đồng dạng là k = . Phát biểu nào sau đây là đúng :
Nếu đường cao A’H’ = 5 thì đường cao AH là .
Nếu đường trung tuyến A’M’ = 12 thì đường trung tuyến AM = 36.
Nếu đường cao A’H’ = 9 thì đường cao AH = 3.
Nếu chu vi DABC là 12 thì chu vi D A’B’C’ là 48.
Bài 3 : Cho tam giác ABC có AB = AC, góc BAC < 900, đường cao AH ( HẻBC ). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA, M là trung điểm của AD.
Chứng minh : DHAD và DMBD đồng dạng
Chứng minh : DB. DH = 
Tia MH cắt tia AC tại N . Chứng minh : CH = CN.
DABC cần điều kiện gì để H là trung điểm của MN ?
Bài 4 : Một sà lan xuôi dòng từ A đến B mất 2,5 giờ và ngược dòng từ B về A mất 4 giờ. Biết vận tốc dòng nước là 3 km/h. Tính khoảng cách AB.
Bài 5 : Giải các phương trình sau : ùx + 5ù - ù1- 2xù = x