Tài liệu bồi dưỡng môn Toán - Tìm lời giải các bài Toán bất đẳng thức, GTLN - GTNN nhờ dấu bằng - Lê Anh Dũng

Phú Khánh và  Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên Giang 
 . 
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 1 
 TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ðẲNG THỨC, GTLN – GTNN NHỜ DỰ ðOÁN 
DẤU BẰNG 
Lê Anh Dũng 
(G/v THPT chuyên Huỳnh Mẫn ðạt – Kiên Giang) 
 Các em h/s và các bạn thân mến, trong các ñề thi TSðH thường có một câu V là câu 
khó (ñể chọn các cao thủ võ lâm) câu này những năm gần ñây thường cho dưới dạng các 
bài toán BðT. Và thường thì các sĩ tử không biết bắt ñầu từ ñâu ñể giải quyết nó. Bài viết 
này tôi sẽ truyền ñạt cho các bạn một “tuyệt chiêu” võ công ñộc ñáo (chỉ cần một chiêu thôi). 
Sau khi học ñược “tuyệt chiêu” này các bạn sẽ thấy các vấn ñề trở nên rất ñơn giản. 
 ðể lĩnh hội ñược “tuyệt chiêu” mà tôi tổng hợp từ vô số các chiêu thức của các môn 
phái khác thì trước tiên các bạn phải nắm ñược một số “chiêu thức” bản ñã. 
1. Bất ðẳng thức Côsi (các chiêu này xem trong “ðại số 10”) 
a. Bất ðẳng thức Cauchy cho 2 số : 
Cho 2 số a, b ≥ 0 .Khi ñó: a + b≥ 2 ab . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b. 
b. Bất ðẳng thức Cauchy cho 3 số : 
 Cho 3 số a, b, c ≥ 0 . Khi ñó ta có: a + b + c ≥ 3 3 abc . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c. 
Nhận dạng: 
+ Tìm nhỏ nhất của tổng khi biết tích. 
+ Tìm lớn nhất của tích khi biết tổng, tổng bình phương. 
+ Chứng minh tổng lớn hơn tích, tích chia tổng (tổng bình phương, . . .) 
+ Dùng nhập các tổng, tổng nghịch ñảo, . . . thành một. 
Các BðT cơ bản liên quan hay dùng : 
1. a2 + b2 ≥ 2ab. 
2. a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc .Dấu ‘=’ khi a = b = c. 
3. a2 + b2 + c2 ≥
3
1 (a + b + c)2 ≥ ab + ac + bc . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c. 
4. Với a, b > 0. Ta có : (a + b)(
ba
11
+ ) ≥ 4 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b (hay : 
ba
11
+ ≥
ba+
4 ) 
5. Với a, b, c > 0. Ta có : (a + b + c)(
cba
111
++ ) ≥ 9 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c (hay : 
cbacba ++
≥++
9111 ) . 
 Ý nghĩa của các bất ñẳng thức 4, 5 là cho phép ta nhập các phân số thành một do ñó rất 
thuận lợi cho việc xét hàm với một ẩn. 
2. Bất ðẳng Thức Bunhiacopxki –BðT Trị Tuyệt ðối : 
 Trong chương trình thi ðại Học chúng ta chỉ ñược áp dụng BðT Cauchy cho 2 và 3 số không 
âm và bất ñẳng thức Bunhiacopxki cho 2 cặp số. 
 2211 b.ab.a + ≤ )bb)(aa(
2
2
2
1
2
2
2
1 ++ 
 Dấu ‘=’ xảy ra khi 
2
2
1
1
b
a
b
a
= (Nếu bỏ dấu thì cần thêm ≥ 0 nữa) 
Phú Khánh và  Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên Giang 
 . 
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 2 
 b. Nhận dạng: 
 + Tổng các cặp số có tích không ñổi. 
 + Tổng bình phương bằng một số không ñổi. 
 c. Ứng dụng 
 + Nhập các tổng bình phương thành một. 
 3. Khảo sát hàm số 
 Trên ñây là các vấn ñề mà ðại Hội Anh Hùng thường ra ñể chọn cao thủ. Hi vọng các sĩ tử nắm 
ñược các chiêu thức cơ bản này ñể lĩnh hội cho tốt. 
 Khi tìm GTNN, GTLN các em thường mắc phải sai lầm phổ biến trong việc tìm giá trị 
của biến tại các ñiểm ñạt max, min ñó là : thực hiện liên tiếp nhiều bước ñánh giá nhưng dấu 
‘=’ tại mỗi bước là không như nhau do ñó không có dấu ‘=’ ñể xảy ra ñẳng thức cuối. Xét 
bài toán: 
 Tìm GTLN của f(x) = sin5x + 3 cosx, có bạn ñã giải như sau: 
 Chỉ cần xét trong x∈[0 ;
2
π ].Ta có:sin5x ≤ sinx suy ra : f(x) ≤ sinx + 3 cosx 
 Mặt khác : sinx + 3 cosx = 2sin(x + 
3
π ) 2≤ . 
 Vậy f(x)max = 2. 
 Nhận xét : bài giải trên sai (bài giải ñúng xem ở dưới) do ñã vướng sai lầm trong tìm dấu 
‘=’. f(x) không thể ñạt giá trị bằng 2 ñược vì ñể tới BðT cuối chúng ta ñã thực hiện 2 phép 
biến ñổi : 
 + lần 1: sin5x ≤ sinx ; dấu ‘=’ khi x = 0, π /2. 
 + lần 2: 2sin(x + 6/π ) 2≤ ; dấu ‘=’ khi x= 6/π 
 Như vậy, khi thực hiện mỗi bước biến ñổi ta thường tự ñặt ra câu hỏi: 
 + Khi thực hiện các bước biến ñổi như vậy thì liệu dấu ‘=’ có ñạt ñược ở bước cuối 
cùng không ? 
 + ðánh giá như thế nào ñể có thể ñưa về vế còn lại ñược hay không ? 
 Mặc dù bài toán có thể thực hiện liên tiếp nhiều bước biến ñổi nhưng ñể dấu ‘=’ ñạt ñược 
thì ở mỗi bước dấu ‘=’ cũng phải giống như dấu ‘=’ ở ñẳng thức cuối cùng. Vậy thì tại sao 
ta không dự ñoán trước dấu ‘=’ của BðT (hoặc giá trị mà tại ñó biểu thức ñạt max, min) 
rồi từ ñó mới ñịnh hướng phương pháp ñánh giá ?. ðây là một cách phân tích tìm lời giải 
mà tôi muốn giới thiệu. ðể có hướng suy nghĩ ñúng chúng ta thực hiện các bước phân tích 
sau: 
 I.Phân tích –tìm lời giải: 
1.Dự ñoán dấu ‘=’ của BðT hay các ñiểm mà tại ñó ñạt GTLN, GTNN. 
2.Từ dự ñoán dấu “=”, kết hợp với các BðT quen thuộc dự ñoán phép ñánh giá. Mỗi phép 
ñánh giá phải ñảm bảo nguyên tắc “dấu ‘=’ xảy ra ở mỗi bước này phải giống như dấu ‘=’ 
dự ñoán ban ñầu”. 
 ðể làm rõ, tôi xin phân tích cách suy nghĩ tìm lời giải trong một vài ví dụ sau: 
II. Các thí dụ: 
Phú Khánh và  Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên 
Giang 
 . 
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 3 
 Thí dụ 1: (ðH 2003-A) 
 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn : x + y + z ≤ 1. Cmr: 
P = 
2
2
2
2
2
2 111
z
z
y
y
x
x +++++ 82≥ 
 Phân tích: 
 B1. Dự ñoán dấu ‘=’: x = y = z = 1/3 
 B2. ðể làm mất dấu căn, ta có thể suy nghĩ theo 2 hướng: mất dấu căn ở từng số hạng 
hoặc nhập dấu căn ở mỗi số hạng thành một. 
1. Nếu suy nghĩ theo hướng mất dấu căn ở từng số hạng ta dùng BðT Bunhiacopxki: 
+ 
2
2 1
x
x + ở dạng tổng hai bình phương → BðT BCS→ ta cần tìm: [ ] [ ] ≥++ )??)(
x
x(
2
2 1 . . Dấu 
‘=’ của dự ñoán ban ñầu là x = 
3
1 và dấu ‘=’ của ñánh giá BðT BCS là 
?
?
x
x/
=
1 .Như vậy 2 số 
còn lại cần ñiền sẽ có tỉ lệ 3 : 
3
1 = 9 : 1. Ta ñược :
x
x))(
x
x(
9
91
1 22
2
2 +≥++ . Tương tự với y, z 
và cộng lại, ta ñược: P.
zyx
999
82 ++≥ + x+ y+ z. 
 + Vế phải là tổng các phân sốquen (BðT Côsi ) 
→
zyxzyx ++
≥++
9111 . (Dấu ‘=’ vẫn ñảm bảo) → 82 P 
zyx
zyx
++
+++≥
81
t
t)t(f
81
+== 
(với t = x + y + x (0 < t 1≤ ). Khảo sát hàm ta ñược ñpcm. (Tới ñây có em dùng BðT Côsi 
18
81
≥+
t
t không thu ñược kết quả vì ñã vi phạm nguyên tắc dấu ‘=’) 
 2. Nếu suy nghĩ theo hướng nhập các dấu căn: 
 + Ở mỗi dấu căn là dạng bình phương → tổng 3 ñộ dài của ba vectơ . 
 + Dự ñoán dấu ‘=’ khi x = y = z = 
3
1 . Khi ñó 3 vectơ u= (x ; 
x
1 ), v= (y ; 
y
1 ) và w= (z ; 
z
1 ) 
cùng hướng ñược tức ñẳng thức sau xảy ra ñược : P = 
22 111 )
zyx
()xyx(wvuwvu +++++=++≥++ 
 + Tới ñây thực hiện các bước phân tích như 1. 
 Khi thay dữ kiện x + y + z 1≤ bằng dữ kiện khác, chẳng hạn: x + y + z 2≤ thì vế phải bài 
toán như thế nào ? 
 Thí dụ 2: (DBðH - 2003) 
 Tìm GTNN, GTLN của : P = sin5x + 3 cosx. 
 Phân tích: 
 Ta thấy P chứa một ẩn x suy nghĩ ñầu tiên của ta thường là dùng ñạo hàm. Thử ñạo hàm : 
f’(x) = 5sin4x.cosx – 3 x 
Phú Khánh và  Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên 
Giang 
 . 
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 4 
 + Chúng ta thấy có một nghiệm là sinx = 0 nhưng các nghiệm còn lại ta không thể tìm ñược. 
Như vậy hướng giải quyết khi ñạo hàm trực tiếp là không khả thi. Nhưng qua ñây cho ta có 
dự ñoán ñược các ñiểm mà tại ñó ñạt NN, LN sẽ là các ñiểm làm sinx = 0.(thường thì các 
ñiểm ñạt max, min là các ñiểm tới hạn của hàm số) 
 + Từ ñiều này, khi ta biến ñổi và sử dụng các bất ñẳng thức ñể ñánh giá phải luôn luôn có 
dấu ‘=’ tại các ñiểm làm sinx = 0. 
 + Muốn ñưa về một ẩn t, ta ñặt t = cosx, nhưng sin5x không chuyển về t ñược →ñánh giá 
sin5x ñể hạ một bậc (sin2x, sin4x, . . . thì ñưa về t = cosx ñược). Phải ñánh giá như thế nào 
ñể dấu ‘=’có ñược khi sinx = 0→ sin5x ≤ sin4x →Khi ñó : sin4x = (1 – t2)2 
f(x) ≤ g(t) = (1 – t2)2 + 3 t , t∈[-1 ; 1]. 
 + g’(t) = 3 - 4t(1 – t2) → hàm bậc 3 nhưng ta không nhẩm nghiệm ñược (thử bấm máy 
xem có nghiệm trong [-1 ; 1]→không có nghiệm →g’(t) chỉ mang dấu) ñánh giá g’(t) ñể 
chứng minh g’(t) có một dấu→dùng BðT hoặc ñạo hàm : 
 + g”(t) = 12t2 – 4, g’’(t) = 0 21/t ±=⇔ . Lập BBT hoặc ñể ý rằng g’( ±1), g’( 21/± ) > 0⇒ 
g’(t) > 0, ];[t 11−∈∀ . Suy ra : max g(t) = g(1) (vẫn ñảm bảo dấu ‘=’ như ở trên). 
 Thí dụ 3: (ðH 2004-A) 
 Cho tam giác không tù ABC, thỏa mãn ñiều kiện: cos2A + 22 cosB + 22 cosC = 3. 
 Tính các góc của tam giác ABC. 
 Phân tích: 
 Bài toán yêu cầu tính 3 góc trong khi ñó chỉ cho một ñẳng thức ràng buộc như vậy chỉ có 
cách dùng BðT ñể ñánh giá một vế lớn hơn hoặc bằng vế còn lại. 
 + Dự ñoán dấu ‘=’: B = C = 450 và A = 900. (B, C ñối xứng nên dự ñoán B = C, hệ số cosB 
là 2 từ ñây dự ñoán B = 450 thử vào thấy thỏa.) 
 + Ta thực hiện biến ñổi biểu thức quen thuộc : cosB + cosC = 2cos
2
CB − .cos
2
CB + , với dự 
ñoán B = C thì cos
2
CB − = 1, ta có thể ñánh giá cosB + cosC ñể chuyển về một ẩn : cosB + 
cosC = 2cos
2
CB − .sin
2
A
2
2
A
sin≤ 
 + Vậy : cos2A + 03
2
24 ≥−
A
sin . 
ðây là bài toán một ẩn ta có thể 
 H1: ðặt t = sin
2
A (t ];(
2
2
0∈ ) chuyển 
f(t)=(2(2t2 – 1)2–1) + 4 2 t –1= 8t4 –8t2 +4 2 t -1 
f’(t)=32t3–16t + 4 2 →không giải ñược nghiệm. (bấm máy tìm nghiệm t ];(
2
2
0∈ thấy không 
có nghiệm → f’(t) chỉ có một dấu )→ f”(t) lập BBT suy ra ñược f’(t) ≥ 0 , t∀ ⇒ f(t) 3
2
2
=≤ )(f ( 
bài toán thường gặp ở lớp 12) 
Phú Khánh và  Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên 
Giang 
 . 
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 5 
 H2: ðánh giá cos2A ñể giảm bớt bậc, có thể phân tích theo hướng : cos2A = 2cos2A – 
1.Với dự ñoán dấu ‘=’ khi A = 900 ở trên, ta có thể ñánh giá cos2A như thế nào?ðánh 
giá :cos2A ≤ cosA (ñể ñảm bảo dấu ‘=’ xảy ra khi A = 900) 
 + Thu ñược : cosA + 03
2
24 ≥−
A
sin 
hay: –2sin2
2
A + 04
2
sin24 ≥−
A . 
Suy ra: 0)2
2
sin2( 2 ≥−−
A
⇒sin
2
A =
2
2
→ 
 Thí dụ 4: (ðH Mỏ ðịa Chất - 99) 
Giả sử A, B, C là 3 góc một tam giác. Tìm GTNN : 
P = 
CcosBcosAcos 22
1
22
1
22
1
−
+
+
+
+
 Phân tích: 
+ Dự ñoán ñiểm ñạt GTNN: thử một số giá trị ñặc biệt và dự ñoán A = B (A, B ñối xứng) 
A , B 150 300 450 600 
P 
3
2
34
4
+
+
6/5 4/3 26/15
 Vậy dự ñoán A = B= 300, C = 1200 
+ Với giá trị dự ñoán ta ñể ý : 
 2 + cos2A = 2 + cos2B = 2 – cos2C, và cần ñánh giá ≥ . ðiều này trùng với cách nhập các 
phân số trongBðT Côsi : 
 + Vậy : P 
CcosBcosAcos 2226
9
−++
≥ = Q 
 + Mục tiêu bây giờ là ñi chứng minh: 
R = cos2A + cos2B – cos2C ≤ 3/2 (giá trị tại ñiểm dự ñoán, chiều ≤ ñể ñảm bảo Q ≥ 6/5) 
 + Biểu thức của R chứa tổng quen thuộc của tam giác : cos2A + cos2B = 2cos(A – B).cos(A 
+ B) = 
- 2cos(A – B). cosC và cos2C = 2cos2C – 1. Vậy : 
R = - 2cos(A – B).cosC – 2cos2C + 1 
 + Tới ñây, có 2 suy nghĩ : 
H1 : Khi A = B = 300 xảy ra thì cos(A – B) = 1 và cosC = =−
2
1
)BAcos( −−
2
1 . Tỉ lệ này giống 
tỉ lệ phân tích thành bình phương trong biểu thức của R. 
Ta thử phân tích: R = - 2(cosC + )BAcos( −
2
1 )2 + 1 +
2
1 cos2(A – B) 
2
3
≤ . ðây là mục tiêu cần ñi 
tới. 
H2 : ðánh giá R ñưa về một ẩn. Theo dự ñoán thì cos(A – B) = 1 xảy ra ñược. Vậy ta có 
ñánh giá quen thuộc : cos(A – B) 1≤ . Nếu nhân cosC vào 2 vế ta gặp sai lầm vì chưa biết dấu 
cosC. Ta tránh bằng cách : 
Phú Khánh và  Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên 
Giang 
 . 
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 6 
- cos(A – B).cosC ≤ Ccos)BAcos( − Ccos≤ (dấu ‘=’ ñạt ñược tại các ñiểm dự ñoán.). Vậy : 
R ≤ -2cos2C + 2 Ccos + 1= -(
2
1
−Ccos )2 +
2
3
2
3
≤ (hoặc xét hàm ) 
 Thí dụ 5: (ðHSP Hà Nội – 99) 
Cho x, y, z ∈[0 ; 1]. Chứng minh rằng : 
2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) 3≤ 
Phân tích: 
+ Dự ñoán dấu ‘=’: hai số bằng 1còn 1 số bằng 0 hoặc x = y = z = 1. 
+ Với dự ñoán trên làm thế nào ñể xuất hiện ñược vế trái ? ðể làm xuất hiện x2y ta thử xét 
tích : 
( 1- x2)(1 - y) ≥ 0 (ñảm bảo dấu ‘=’ như dự ñoán) hay : x2y + 1 – x2 – y 0≥ . Thực hiện tương 
tự trên ta có : 
 y2z + 1 – y2 – z 0≥ z2x + 1 – z2 – x 0≥ 
+ Nếu cộng 3 vế ta gần ñược bñt cần chứng minh, chỉ thay 2(x3 + y3 + z3) bằng tổng : x2 + y2 
+ z2 + x + y + z. Với giả thiết x, y, z ∈[0 ; 1] thì ta có thể so sánh các lũy thừa với bậc khác 
nhau, do ñó có thể so sánh hai tổng trên: x3 ≤ x2 ≤ x ; y3 ≤ y2 ≤ y và z3 ≤ z2 ≤ z. Cộng các bñt ta 
ñược ñích cần phải tới. 
Thí dụ 6: (ðH- A- 2005) 
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4
x y z
+ + = . Chứng minh rằng 
: 1 1 1 1
2 2 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
Phân tích: 
+ Dự ñoán dấu ‘=’ x = y = z = ¾ 
+ Với dự ñoán ñó thì 2x = y + z, x+ z = 2y, x + y = 2z ; mỗi phân số ở vế phải bây giờ giống 
vế phải của BðT nhập phân số quen thuộc ở thức thứ 4 của chiêu “Côsi”. 
+ ðánh giá: 1 1 1 1
2 4 2
.( )
x y z x y z
≤ +
+ + +
; 1 1 1 1
2 4 2
( )
x y z y x z
≤ +
+ + +
; 1 1 1 1
2 4 2
( )
x y z z y x
≤ +
+ + +
+ Với dự ñoán x = y =z ta có thể ñánh giá : 1 1 1 1
4
( );...
x y x y
≤ +
+
cộng các BðT này ta ñược ñpcm. 
Thí dụ 7: 
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
3 3 3 33 31 11
3 3
x y y zx z
xy xz yz
+ + + ++ +
+ + ≥ 
Phân tích: 
+ Dự ñoán dấu “=” : x = = = z = 1 
+ Với dự ñoán này thì 1 = x3= y3, ở mỗi phân số ta thấy ñều có dạng tổn chia tích, ta dùng 
Côsi ñể ñánh giá tổng ñưa về tích: 
3 3
3 3 3 33
1 3 3
1 3 3
x y xy
x y x y xy
xy xy xy
+ +
+ + ≥ = ⇒ ≥ = 
Phú Khánh và  Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên 
Giang 
 . 
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 7 
3 3 3 33 31 1y z ; z x
zy zx
+ + ≥ + + ≥ 
Suy ra : VT 3 3 3
xy yz zx
≥ + + 
+ Kết hợp với giả thiết và với dự ñoán dấu ‘=’thì xy yz zx= = . ðiều này trùng với dấu hiệu 
của BðT Côsi, do ñó dùng BðT Côsi ta ñược: VT 
3
33
3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
( )
. .
xyzxy yz zx xy yz zx
≥ + + ≥ = = 
 Qua các ví dụ trên chúng ta thấy ñược tầm quan trọng của việc ñánh giá, dự ñoán dấu 
‘=’xảy ra ở các BðT.Ngoài việc tránh cho ta những sai lầm thường gặp trong quá trình tìm 
GTNN, GTLN thì việc dự ñoán dấu ‘=’còn cho chúng ta ñịnh hướng ñược phương pháp 
chứng minh(các cách ñánh giá là hoàn toàn tự nhiên chứ không phải ‘từ trên trời rơi 
xuống’).Xin mời các em vận dụng vào các bài tập sau: 
 III.Bài tập ñề nghị: 
1> Tính các góc của tam giác ABC biết rằng : 
 a. sin2A + sin2B + 2sinAsinB = 
4
9 + 3cosC + cos2C 
 b. cosA+cosB – cosC= -
22
4
2
2
2
7 B
cos
A
cos
C
sin ++ 
 2>Tìm GTNN của : P = 3sinx + 8cos7x 
3> Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng : 3x + 2y + 4z zxyzxy 53 ++≥ 
 4> Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh:
2
33
222222
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
a 
5> Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh: 27111111 ≥





+





+





+
CcosBcosAcos
6> Cho 3 số x, y, z > 0 sao cho xy + yz + zx = xyz. 
 Chứng minh rằng : 32
22 222222
≥
+
+
+
+
+
zx
xz
yz
zy
xy
yx
7> (ðH – A- 2005) 
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn : 4111 =++
zyx
. Chứng minh rằng : 
1
2
1
2
1
2
1
≤
++
+
++
+
++ zyxzyxzyx
8> (ðH – D – 2005) 
Cho x, y, z > 0 thỏa : xyz=1. Cmr: 331
11 333333
≥
++
+
++
+
++
zx
xz
yz
zy
xy
yx
 Trên ñây cũng chỉ là một trong số rất nhiều cách suy nghĩ và dĩ nhiên nó cũng chỉ giải quyết 
ñược một vài dạng BðT cụ thể mà thôi. Nhân ñây tôi xin chân thành cảm ơn Th.S Nguyễn 
Phú Khánh và  Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên 
Giang 
 . 
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 8 
Quốc Luận ñã ñóng góp nhiều ý kiến quý báu giúp tôi hoàn thành bài viết này. Rất mong sự 
trao ñổi của các bạn. ðịa chỉ E-mail : rubidragon2005@yahoo.com 
Phú Khánh và  Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – 
Kiên Giang 
 . 
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 9