Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Số học Lớp 6 - So sánh phân số

PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH .
I/CÁCH 1: 
Quy ñoàng maãu döông roài so saùnh caùc töû :töû naøo lôùn hôn thì phaân soá ñoù lôùn hôn 
Ví dụ : So sánh ?
	Ta viết : ; 
Chú ý :Phải viết phân số dưới mẫu dương .
II/CÁCH 2: 
Quy ñoàng töû döông roài so saùnh caùc maãu coù cuøng daáu “+” hay cuøng daáu “-“: maãu naøo nhoû hôn thì phaân soá ñoù lôùn hôn .
Ví dụ 1 : 
Ví dụ 2: So sánh ?
Ta có : ; 	
Ví dụ 3: So sánh ? 
Ta có : ; 	
	Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương .
III/CÁCH 3: 
(Tích cheùo vôùi caùc maãu b vaø d ñeàu laø döông )
+Nếu a.d > b.c thì 
 + Nếu a.d < b.c thì ;
+ Nếu a.d = b.c thì 
Ví dụ 1: 
Ví dụ 2:
 Ví dụ 3:So sánh Ta viết ; Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên 
	Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương 
vì chẳng hạn do 3.5 < -4.(-4) là sai 
IV/CÁCH 4: Duøng soá hoaëc phaân soá laøm trung gian .
1. Dùng số 1 làm trung gian:
Nếu 
Nếu mà M > N thì 
M,N là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho .
Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Nếu mà M > N thì 
M,N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vị của 2 phân số đó.
Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
Bài tập áp dụng :
Bài 1: So sánh 
Giải: Ta có : ; 
Bài 2: So sánh 
Giải: Ta có : ; 	
 Bài 3 : So sánh 
Giải: Ta có 
2.Dùng 1 phân số làm trung gian:(Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất , có mẫu là mẫu của phân số thứ hai)
Ví dụ : Để so sánh ta xét phân số trung gian .
Vì 
*Nhận xét : Trong hai phân số , phân số nào vừa có tử lớn hơn , vừa có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn (điều kiện các tử và mẫu đều dương ).
*Tính bắc cầu : 
*Bài tập áp dụng :
Bài 1: So sánh 
Giải
-Xét phân số trung gian là , ta thấy 
-Hoặc xét số trung gian là , ta thấy 
Bài 2: So sánh 
Giải
Dùng phân số trung gian là
Ta có : 
Bài 3: (Tự giải) So sánh các phân số sau:
 e) 
 f) 
 g) 
 h) 
(Hướng dẫn : Từ câu ac :Xét phân số trung gian.
 	Từ câu dh :Xét phần bù đến đơn vị )
3.Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian.
Ví dụ : So sánh 
Giải:
Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là.
Ta có : 
Bài tập áp dụng :
Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh :
V/ CÁCH 5: Duøng tính chaát sau vôùi m0 : 
Bài 1: So sánh 
Ta có : (vì tử < mẫu) 
Vậy A < B .
Bài 2: So sánh 
Ta có : Cộng theo vế ta có kết quả M > N.
Bài 3: So sánh ?
Giải: (áp dụng )
VI/CÁCH 6: Đổi ra hỗn số:
Ñoåi phaân soá lôùn hôn ñôn vò ra hoãn soá ñeå so saùnh :
+Hoãn soá naøo coù phaàn nguyeân lôùn hôn thì hoãn soá ñoù lôùn hôn.
+Neáu phaàn nguyeân baèng nhau thì xeùt so saùnh caùc phaân soá keøm theo.
Bài 1:Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần.
Giải:
Đổi ra hỗn số : 
Ta thấy: nên .
Bài 2: So sánh 
Giải:
mà 
Bài 3: Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần.
Giải:
Xét các phân số nghịch đảo: 
 đổi ra hỗn số tương ứng là : 
Ta thấy: 
Bài 4: So sánh các phân số : ?
Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C ra hỗn số A<B<C.
Bài 5: So sánh 
Hướng dẫn giải:-Rút gọn 
( Chú ý: 690=138.5&548=137.4 )
PHẦN II: CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP .
Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý:
(Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét phần bù , chú ý :
	d)Chú ý: Xét phần bù đến đơn vị 
	e)Chú ý: phần bù đến đơn vị là:)
Bài 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu , hãy dùng tính chất của phân số để so sánh các phân số sau: 
Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac
+Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395
+Viết 423134.846267=(423133+1).846267=
+Kết quả A=B=1
(Gợi ý: làm như câu a ở trên ,kết quả M=N=1,P>1)
Bài 3: So sánh 
Gợi ý: 7000=7.103 ,rút gọn 
Bài 4: So sánh 
Gợi ý: Chỉ tính 
Từ đó kết luận dễ dàng : A < B
Bài 5:So sánh ?
Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Kết quả M>N
 Bài 6: So sánh 
	Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng ; chú ý : 
	 +Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101.
Bài 7: Cho a,m,n N* .Hãy so sánh : 
	 Giải: 	
	 Muốn so sánh A & B ,ta so sánh & bằng cách xét các trường hợp sau:
Với a=1 thì am = an A=B
Với a0:
Nếu m= n thì am = an A=B
Nếu m< n thì am < an A < B
Nếu m > n thì am > an A >B
Bài 8: So sánh P và Q, biết rằng:
 ?
	Vậy P = Q
Bài 9: So sánh 
Giải:
 Rút gọn 
	Vậy M = N
Bài 10: Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần ?
	 Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh .
 Bài 11: Tìm các số nguyên x,y biết: ?
Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được 2 < 3x < 4y < 9
	 Do đó x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2.
Bài 12: So sánh 
	 Giải: Áp dụng công thức: 
	 Chọn làm phân số trung gian ,so sánh > C > D.
	Bài tập 13: Cho 
	a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N c) Chứng minh: 
	 Giải: Nhận xét M và N đều có 45 thừa số
	a)Và	 nên M < N
	b) Tích M.N
	c)Vì M.N mà M < N nên ta suy ra được : M.M <<
	tức là M.M < . M < 
	Bài 14: Cho tổng : .Chứng minh: 
Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm .Giữ nguyên tử , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số sẽ giảm đi. Ngược lại , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị của phân số sẽ tăng lên.
	 Ta có : 
	hay từc là: Vậy (1)
	 Mặt khác: 
	 tức là : Vậy (2).
	 Từ (1) và (2) suy ra :đpcm.