Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phần Số học - Phan Doãn Cường

Buổi 1 :
 I> P2 chứng minh đẳng thức : A = B
 P2 1 : Biến đổi trực tiếp : B đổi vế này bằng vế kia : A = A1=A2=.=B 
 2 : So sánh : A=A1=A2==C ; B=B1=B2=.=C ; =>A =B
 3 :Dùng định nghĩa : A-B=0
 4 :Biến đổi tương đương : A=B ú A1=B1ú A2=B2ú . An=Bn là đúng =>A=B
 5 :sử dụng giả thiết để biến đổi ( Sd đẳng thức đúng )
 6 :P2 quy nạp toán học
 7 :Sử dụng biểu thức phụ
II> P2 chứng minh đẳng thức : A > B
 1.Dùng định nghĩa : A>B ú A – B > 0
 2. Biến đổi trực tiếp : A=A1=A2=.=B + m2 > B ( m0)
 3. Sử dụng giả thiết hoặc đẳng thức đã chứng minh
 4. So sánh : A>A1>A2>.>C ; B A >B
 5. Bắc cầu A > C ; C > B => A>B
 6. Biến đổi tương đương : A>B ú A1>B1ú A2>B2ú . An>Bn là đúng =>A>B
 7. P2 quy nạp toán học
 8. P2 phản chứng : gỉa sử A B các phép biến đổi đều tương đương là vô lý => A>B
 9.Sử dụng BĐT Cô Si : Với a,b .Dấu = xẩy ra khi a=b
 10. BĐT Bunhiacỗpki : Cho 2 cặp số ( a;b ) và ( x; y ) thì 
( ã + by )2 ( a2 + b2 )( x2 + y2 ) Dấu = xẩy ra khi với x; y 0
 11. Dấu = xẩy ra khi ab 
 Dấu = xẩy ra khi a hoặc a
 12. Sử dụng BĐT trong tam giác : a+b >c > a-b
 13. (a-b)2 ú a2 +b2 
 14. Dấu = xẩy ra khi a=b
 15. (a ; b > 0)
Bài tập về đẳng thức
B1: Cho a + b + c = 0 CMR
a3 + b3 + c3 = 3abc
a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0
( ab + bc + ac )2 = a2b2 + b2c2 + a2c2
a 4 + b4 + c4 =2( ab + bc + ac )2
a 4 + b4 + c4 = Với a2 + b2 + c2 =1
a 4 + b4 + c4 =( a2 + b2 + c2 )2
B2: Cho a + b + c + d =0 CMR a3 + b3 + c3 + d3 = 3( b + c )( ad – bc )
B3 :CMR nếu a 4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a,b,c,d > 0 Thì a = b = c = d
B4 : a > . CMR nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac Thì a = b= c 
 b > .Cho ( a + b + c )2 = 3( ab + bc + ac ) CMR a = b= c
 B5 : Cho 3 số a,b,c Thoả mãn : a + b + c = 1 ; = 0 CM a2 + b2 + c2 =1
 B6 : CMR nếu a = b +1 Thì ( a + b)( a2 + b2 )( a4 + b4 ) = a8 – b8
 B7 :Cho a,b,c và x,y,z Thoả mãn = 1 và = 0 CMR = 1
 B8 : Cho x,y,z > 0 CM ( x2 + 1)( y2 + 2)( z2 + 8) = 32xyz
 B9 : Cho 3 số a,b,c 0 Thoả mãn : a + b + c = và abc = 1 CM một trong 3 số a,b,c có ít nhất một số = 1
 B10 : a> Tìm a,b biết a+b = ab = ( b0)
 b>Tìm a,b,c Biết ab = 2 ; bc = 3 ; ac = 54
 B11: a> Cho 3 số a,b,c T/mãn a + b + c = 2008 và = thì 1 trong 3 số phảI có 1 số = 2008
 b> Cho 3 số a,b,c T/mãn a + b + c = 2009 và = thì 1 trong 3 số phảI có 1 số = 2009
 c> Cho 3 số a,b,c T/mãn a + b + c = n và = thì 1 trong 3 số phảI có 1 số = n
Buổi 2 + 3
bài tâp về bất đẳng thức
Bài 1: a> Cho : a + b =2 .CMR a2 + b2 2
 b> Cho : a + b + c + d = 2 . CMR a2 + b2 + c2 + d2 1
Bài 2 : CMR : a> a2 + b2 : b> a2 + b2 + c2 
Bài 3 : Cho a,b R , thoả mãn : a2 + b2 2 CMR : a + b 2
Bài 4 : Cho a,b,c R ; CMR : + b2 + c2 ab – ac + 2bc
Bài 5 : Cho a,b,c R và abc = 1 ; a3 > 36 CMR: a2/3 + b2 + c2 > ab + ac + bc
Bài 6 : CMR với mọi a,b,c R ta luôn có : a4 + b4 + c2 + 1 2a(ab2 –a +c +1)
Bài 7 : Cho a + 2b + 3c 14 CMR : a2 + b2 + c2 14
Bài 8 : CMR 
Bài 9 : a> CMR : a2 + b2 + c2 ab + ac + bc
 b>Cho a,b,c > 0 CMR ; 
 c> Cho abc = 1 CMR : a4 + b4 +c4 a + b + c
Bài 10 : Cho a,b,c > 0 CMR: ( a2 + b2 )c + (b2+ c2)a + (a2+c2 )b 6abc
Bài 11 : Cho a + b > 1 CMR : a4 + b4 > 
Bài 12 : Cho a,b R ; CMR : ( a + b )2 2( a2 + b2)
Bài 13 : Cho a,b R ; CMR : a3 + b3 + ab 
Bài 14 : a> Cho a,b > 0 CMR : a3 + b3 ab( a +b )
 b> Cho a,b,c R ; CMR : a2 + b2 + c2 a( b + c)
Bài 15 : Cho a,b,c,d > 0 CMR : 
Bài 16 : Cho a,b,c R ; CMR : ab 
Bài 17 : Cho a + b + c =1 CMR : a2 + b2 + c2 
Bài 18 : Cho a,b,c 0 và a + b + c =1 CMR : b + c 16abc
Bài 19 : Cho a,b R và a + b 1 CMR : a2 + b2 
Bài 20 : CMR nếu a,b,c > 0 thì 1 < < 2
Bài 21 : CMR không có 3 số dương a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT :
Bài 22 : Cho a,b,c R và abc > 0 thoả mãn : a2 + b2 + c2 = C/m: 
Bài 23 : Cho a,b > 0 và a + b = 1 CMR : 
Dùng BĐT Cô Si để C/m Các BĐT sau :
Bài 24 : Cho a,b,c 0 CMR : ( a + b)( b + c )( a + c ) 8abc
Bài 25 : Cho 2 số a,b 0 CMR : a2 + b2 + 1 ab + a + b
Bài 26 : a> Cho 2 số a,b 0 CMR : a2 + b2 a + b - 
 b> Cho a,b,c,d 0 CMR : a2 + b2 + c2 + d2 + 1 a + b + c + d
Bài 27 : Cho a,b,c > 0 CMR : ( a + b + c ) 9
Bài 28 : a > Cho a>b> 0 C/M : a + 
 b> Cho a,b > 0 C/m : 
 c> Cho a,b,c > 0 và a+ b+c = 1 C/m : 64
 d> Cho a,b,c > 0 C/m: 
Bài 29 :Cho a,b,c > 0 C/m: 2
Bài 30 : Cho a,b 1 C/m : 
Bài 31 : a> Cho a , b > 0 CMR : 
 b> Cho a,b > 0 và a+b= 1 C/m: 8
 c> Cho a,b > 0 và a+b= 1 C/m: 6
 d> Cho a,b,c > 0 T/m abc = ab + bc + ac C/m: 
 e> Cho a,b,c,d > 0 CMR :
Cho a,b,c,d > 0 và a+b+c+d=1 CMR : 
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ,P là nữa chu vi 
 CMR : 
Bài 32 : Cho a,b,c R T/m abc=1 C/m: 
Bài 33 : Cho a,b,c >0 T/m: a+b+c=1 C/m: (Bu-nhi-a-cốp-xki )
áp dụng BĐT tam giác
Bài 34 :Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác C/m:
ab + bc + ac a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
( a + b –c )( b + c – a )( a + c –b ) abc
Thì cũng là độ dài 3 cạnh của tam giác
 a3 + b3 + c3 + 3abc > ab(a+b) + bc( b+ c) + ac( a+ c)
 3
Thì cũng là độ dài 3 cạnh của tam giác 
a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 Với a + b + c =2 
Buổi 4 :
tìm GTLN ; GTNN của biểu thức
Bài 1 : Cho x + y = 1 . Tìm
 a> GTNN của : A = x2 + y2 ; B = 9x2 +4 y2 ; C = 8x2 +5 y2
 b> GTNN của : P = x3 + y3 + xy
 c> GTLN của : Q = x3 + y3 + 4x2y + 4xy2
Bài 2 : Cho x,y > 0 ; x + y = 1 .Tìm GTNN của 
 A = ; B = ; C = 
Bài 3 : a.> Cho x, y > 0 ; x + y = 5 Tìm GTNN của : A = 
 b> Cho x, y > 0 ; x + y = 10 Tìm GTNN của : A = 
 c> Cho x,y > 0 ; thoả mãn x+y 6 . Tìm GTNN của A= 3x+2y +
 d> Cho x,y > 0 ; thoả mãn x+y 1 . Tìm GTNN của A=
 e> Cho x > 0 Tìm GTNN của A = 2x + 
Bài 4 : a> Cho x, y thoả mãn : x + 2y = 3 Tìm GTNN của A = x2 + 2y2
 b> Cho x,y thoả mãn : x + 2y = 1 Tìm GTLN của A = xy
 c> Cho x,y thoả mãn : x + y = 8 Tìm GTLN của A =
 d> Cho x, y T/mãn : x2 + y2 = 1 Tìm GTLN của P = 2x + 3y
 e> Cho x,y T/m : 3x + y = 1 Tìm GTNN của A = 3x2 + y2
 f> Cho x,y T/m : 3x + y = 1 Tìm GTLN của A = xy
Bài 5 :a> Tìm GTNN của A = x2 + 2y2 – 2xy – 4y + 5
 b> Tìm GTNN của A = 5x2 + 5y2 + 8xy – 2x + 2y
 c> Tìm GTLN của A = - 5x2 – 5y2 + 8x – 6y -1
 d> Tìm GTNN của A = ( x – 2 )2 + ( x – 3 )2
 e> Tìm GTNN của A = 
Bài 6 : Tìm GTNN của A = 2x + 3y – 4z Biết x, y , z là nghiêm của HPT 2x + y + 3z = 6
 3x + 4y – 3z= 4
Bài 7 : a> Cho x,y R , x2 + y2=1 Tìm GTNN,GTLN của A = x + y
 b> Cho x,y R , x2 + 4y2=25 Tìm GTNN,GTLN của A = x + 2y
 c> Cho x + y = 4 Tìm GTNN, GTLN của A = 
 d> Tìm GTNN,GTLN của A = 2x + 
Bài 8 :Cho x,y R T/m:(x+y)2 + 7(x+y)2 + y2 +10 = 0 Tìm GTNN,GTLN của A=x+y+1
Bài 9 : Tìm GTNN ; GTLN của các BT 
 A= ; B = ; C = ; D = ; E = ; F = 
 G= ; H = ; M = ; N = 
Buổi 5 + 6
các bài toán về căn bậc hai
Bài 1 : Giải các PT :
x + 5 - 2 = 0 ; a, > = 3 a” > = x - 1 
 = 4 – 2x – x2
 = 6x – x2 – 5 
 = 5
 = x2 – 8x + 18 ;e, > = x2 – 6x + 13
 = x2 - 4x + 6 ; f, > = x2 – 4x + 8
( x + y + z) 
(x+y+z)-3000
( x2 + 1)( y2 + 2)(z2 + 8) = 32xyz 
 x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0 ( với x,y Z )
 x + y + z + 4 = 2 
 x + y + z + 8 = 2 ; 
 ; n, > 
 ; o, > 
3 + ; p, > 
x2 + 2x = ; q, > = x2 – 2x – 1 
 ; r, > 3x2 + 2x = 2 - x +1
 = x + 3 ; s, > 
 ; t, > x3 - 3x2 + 3x + = 0 
 x2 + = 2004 ; u, > x2 + = 2008
 = 2 ; w, > 
2008+ 2009 = 1 ; x, > 2004+ 2005 = 1
Bài 2 : Tính GT các biểu thức sau :
 A = ; B = 
 C = ; D = 
 E = ; F = 
 G = ; H = 
Bài 3 : Chứng minh biểu thức 
 A = là số nguyên ; C = là số tự nhiên 
 B = là số nguyên ; D = là SN
Bài 4 : Số sau là số hữu tỉ hay vô tỉ ?
A = ; B = 
C = ; D = 
E = 
Buổi 7
Các bài toán về rút gọn biểu thức
Cho Bt: P = 
 a> Tìm ĐKXĐ và RG P ; b> Tìm GTNN của P
Cho BT : P = 1- 
 a> Tìm ĐKXĐ và RG P ; b> Tìm GTNN của 2000- P khi x 4 ; c> Tìm x để P 
Cho BT : P = -1
Tìm ĐKXĐ và RG P ; b>Tìm x để P  ; c> Tìm x để PTìm x để 
Cho BT : P = 
 a>RG P  ; b> So sánh P với 5  ; c> CMR ĐKXĐ thì chỉ nhận 1 GT nguyên
Cho BT : P = 
 a> Rút gọn P ; b> Tìm GTLN của Q = 
Cho BT : P = 
 a> Rút gọn P ; b> Tìm x để 
7 > Cho BT : P = 
 a> Rút gọn P ; b> Tìm x để  ; c> Tính GTBT khi x = 4 - 
Cho BT : P = 
 a> Rút gọn P  ; b> Tính GTBT khi x = 33 - 8 ; c> C/m P < 
Cho BT : P = 
 a> Rút gọn P ; b> Trìm GTNN của P ; c> Tìm x để Q = 
9 > Cho BT : P = 
 a> Rút gọn P ; b> Tìm x để P Tính GTBT khi x = 19 - 
10 > Cho BT : P = x - 
 a> Rút gọn P ; b> Tìm GTNN của P