Sáng kiến kinh nghiệm - Trực quan hoá một số bài toán quỹ tích là đường tròn bằng lập trình mô phỏng nhằm phát triển tư duy trừu tượng

I. Đặt vấn đề.
1. Cơ sở lý luận.
ở trường THCS, Hình học là một môn học có tính trừu tượng cao, có những dạng toán khó trong đó phải kể đến dạng toán "Quỹ tích". Chính vì thế bên cạnh trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản cần phải hình thành cho các em những cách thức sơ khai cần thiết để tiếp cận và từng bước giải loại toán này. Là người dạy học chắc ai cũng biết V.I.Lênin khẳng định: "Con đường nhận thức là đi từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng". Cái trực quan mà Lênin nói ở đây không phải là trực quan thông thường mà phải là "trực quan sinh động".
2. Cơ sở thực tiễn.
Hiện nay, ở các trường (nhất là các trường ở nông thôn) tỉ lệ học sinh học kém toán rất cao. Trong đó phần lớn các em ngại học phân môn Hình học đặc biệt là dạng toán quỹ tích. Dạng toán này được đưa vào các lớp cuối cấp THCS với thời lượng không nhiều lắm. Nhưng nó lại có mặt khá nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các các cấp. Toán quỹ tích không những khó học đối với học sinh mà còn khó dạy đối với giáo viên vì các dụng cụ trực quan hỗ trợ giảng dạy hầu như không có mà các dụng cụ thủ công tự tạo của giáo viên thì lại thiếu chính xác, thiếu thẫm mỹ, thao tác khó khăn, thậm chí nhiều khi mâu thuẫn với lý thuyết làm mất lòng tin của học sinh. Do đó mà nhiều khi các em ngộ nhận trong giải toán.
Qua khảo sát thực tế ở trường tôi giảng dạy bằng hai bài toán sau đây:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. P là một điểm chuyển động trên đường tròn. Gọi M là một điểm thuộc đoạn AP sao cho AM = k.AP (với k >0). Tìm quỹ tích điểm M.
Kết quả thu được:
Tổng số
Số HS chỉ ra được quỹ tích ở bài 1
Số HS chỉ ra được quỹ tích ở bài 2
Lớp 9/3
39
5 (13%)
1 (2,5%)
Lớp 9/4
40
4 (10%)
0
Nhìn vào kết quả điều tra trên chắc bất cứ giáo viên dạy toán nào cũng trăn trở: tại sao HS lại không giải được toán quỹ tích.
Chỉ thị 40- CT của Ban bí thư có yêu cầu: "Tích cực áp dụng một cách sáng tạo các phương pháp tiên tiến hiện đại, ứng dụng công nghệ thông tin vào hoạt động dạy học". Hiện tại, một số trường THCS trong huyện đã được trang bị phòng máy vi tính nhưng hiệu quả sử dụng chưa cao. Chủ yếu các trường thường dùng để đánh văn bản hay rải rác dạy tin học văn phòng cho học sinh. Chưa thấy trường nào sử dụng công nghệ thông tin nói chung và máy tính nói riêng như một đồ dùng dạy học. Trước đây trong lúc dạy nghề tin học lớp 9, tôi đã thử giới thiệu một số bài toán quỹ tích và dựng hình cơ bản bằng phần mềm The Geometer's Sketchpad. Sau khi xem các em rất thích và hiểu bài toán rất nhanh. Gần đây tôi được tiếp xúc với phần mềm dạy học Violet của người việt có giao diện thân thiện, mang tính sư phạm cao và tương đối dễ sử dụng. Trong bộ phần mềm này có môđun lập trình mô phỏng cho phép trình bày các bài toán quỹ tích cũng như dựng hình giúp giáo viên dễ dàng trong quá trình giảng dạy và mang lại những hiệu quả không ngờ tới. Chính vì thế tôi mạo muội trao đổi với các thầy cô và các bạn đồng nghiệp sáng kiến nhỏ: "Trực quan hoá một số bài toán quỹ tích là đường tròn bằng lập trình mô phỏng nhằm phát triển tư duy trừu tượng".
3. Giới hạn đề tài.
Đề tài này chỉ giới thiệu cách mô phỏng trực quan một số bài toán quỹ tích là đường tròn (đặc biệt là bài: "Cung chứa góc" - Hình học 9 - Tiết 46, Bài 6) bằng cách dùng ngôn ngữ Violet Script nhằm hình thành cho học sinh những kiến thức và kỹ năng cơ bản khi làm toán quỹ tích. Nói cách khác là tạo cho học sinh những "lối mòn" trên con đường nhận thức để các em có thêm tự tin giải toán khi không có thầy cô bên cạnh.
Để bài viết được gọn hơn, tôi xin nêu cách hướng dẫn tìm ra quỹ tích và mô phỏng quỹ tích chứ không trình bày lời giải chi tiết.
II. Giải quyết vấn đề.
1. Kiến thức cơ bản.
1.1. Quỹ tích là gì?
Quỹ tích là tập hợp những điểm có một số tính chất chung nào đó và chỉ những điểm có tính chất đó mà thôi.
1.2. Cách giải bài toán quỹ tích:
Khi giải bài toán quỹ tích ta thường phải chứng minh cả hai phần: phần thuận và phần đảo.
Phần thuận:
Những điểm có tính chất T thì nằm trên hình H. (Nếu bài toán quỹ tích có xét giới hạn thì ở phần này có thêm phần Giới hạn quỹ tích).
Phần đảo:
Những điểm nằm trên hình H thì có tính chất T.
1.3. Hai yếu tố chính trong bài toán quỹ tích:
Trong bài toán quỹ tích có hai loại yếu tố chính đó là: yếu tố cố định và yếu tố chuyển động. Việc tìm ra mối liên hệ giữa hai loại yếu tố này là khâu cốt yếu để giải bài toán quỹ tích.
2. Một số bài toán minh hoạ.
Bài toán quỹ tích "cung chứa góc".
AMB
Cho đoạn thẳng AB và góc a (00 < a < 900). Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoã mãn = a.
Trước hết GV cho HS làm bài toán cụ thể sau:
Bài toán 1:
AMB
Cho đoạn thẳng AB cố định, tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M nằm trong mặt phẳng sao cho = 900.
Cách làm:
Đầu tiên GV hướng dẫn học sinh vẽ một số vị trí của điểm M. Chẳng hạn: M1, M2, M3... như bên.
Ta được hình vẽ như sau:
Sau đó đặt câu hỏi: 
a)
C1: Em có nhận xét gì về các vị trí của điểm M (chúng thẳng hàng hay không)?
TL: Chúng không thẳng hàng.
C2: Các vị trí của M có thể nằm trên đường thẳng hay đường tròn?
TL: M có thể nằm trên đường tròn.
C3: M cách đều điểm nào?
GV có thể gợi ý (nếu HS không trả lời được): M có cách đều trung điểm O của AB không?
b)
Rồi yêu cầu học sinh nối O với các vị trí của M.
c)
d)
e)
Hình 1
g)
C4: So sánh các đoạn thẳng vừa vẽ?
TL: Chúng bằng nhau vì đều bằng một nữa cạnh huyền AB.
Vậy điểm M nằm trên đường nào?
TL: M nằm trên đường tròn (Đường tròn đường kính AB).
AMB
Không những 3 điểm nói trên mà mọi điểm M thoả mãn = 900 đều thuộc đường tròn đường kính AB. Sau đó GV cho HS xem mô phỏng quỹ tích vừa tìm được để ghi nhớ lâu hơn (trên máy hình ảnh sẽ sinh động hơn).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Hình 2
Khi M º A hoặc M º B thì góc AMB là góc tạo bởi đường thẳng vuông góc với AB lần lượt tại A hoặc B.
*Lưu ý: trong bài toán trên nếu yêu cầu tìm quỹ tích những điểm M sao cho tam giác AMB vuông tại M thì phải trừ hai điểm A và B (vì khi M º A hoặc M º B thì không tồn tại tam giác AMB).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
 Sau khi học sinh nắm được quỹ tích ở bài toán trên thì GV cho HS quan sát sự mô phỏng trên máy (như một số hình chụp được dưới đây)
Hình 3
g)
h)
i)
C1: Theo quan sát, em có nhận xét gì về quỹ đạo chuyển động của điểm M?
TL: Điểm M chuyển động trên hai cung tròn.
GV hướng dẫn HS chứng minh nhận định trên.
* Phần thuận:
(Trước hết, xét một nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB).
AMB
GV (nói đồng thời trình diễn trên máy): Giả sử M thoã mãn = a và nằm trong nữa mặt phẳng đang xét. Hãy chứng minh cung tròn đi qua ba điểm A, M, B là cố định (không phụ thuộc vào M).
x
y
a
a
a
b)
a)
Trên nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB không chứa điểm M kẻ tia tiếp tuyến Ax của Đ.Tròn đi qua 3 điểm A, M, B 
Khi đó éBAx =a do đó tia Ax cố định
Tâm O phải nằm trên đường thẳng Ay vuông góc với Ax tại A
Vậy O cố định, không phụ thuộc vào M
Mặt khác O phải nằm trên đường trung trực d của AB
a
a
a
a
a
Hình 4
c)
d)
e)
n
m
y
x
y
x
x
a
d)
c)
y
O cố định vì
 Ay và d cố định.
e)
Hình 4
Chú ý: GV cần giải thích cho học sinh là tia Ay luôn cắt d (vì 00 < a < 900 nên Ax không thể trùng với đường thẳng AB do đó Ay không vuông góc với AB).
Vậy M thuộc cung tròn AmB cố định.
* Phần đảo:
AM'B
Lấy bất kì điểm M' thuộc cung AmB. Ta cần chứng minh = a.
m
(Phần này do HS tự chứng minh - sử dụng kiến thức về góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung).
a)
GV (nói và mô phỏng trên máy): trên nữa mặt phẳng đối của mặt phẳng đang xét, ta còn có cung Am'B đối xứng với cung AmB cũng có tính chất như cung AmB.
Mỗi cung như thế được gọi là cung chứa góc a dựng trên đoạn AB.
m'
Hình 5
b)
* Kết luận:
AMB
Với đoạn thẳng AB và góc a (00 < a < 900) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoã mãn = a là hai cung chứa góc a dựng trên đoạn AB.
Sau khi giải xong GV nêu một số chú ý:
Hai cung chứa góc nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB.
Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.
Khi a = 900 thì hai cung nói trên là hai nữa đường tròn (Bài toán 1).
ở hình 4e) AmB là cung chứa góc a thì AnB là cung chứa góc 180-a.
GV hướng dẫn dựng cung chứa góc a trên đoạn AB theo các bước dưới đây:
(Phần này cũng được mô phỏng trên máy)
Dựng đường trung trực d của AB
Hình 6
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Dựng đường thẳng Ay ^ Ax
Dựng tia Ax sao cho = a.
ABx
Dựng cung tròn tâm O bán kính OA (hoặc OB)
Gọi O là giao điểm của Ay và d
Bài toán 2: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. P là một điểm bất kì trên đường tròn. Tìm quỹ tích trung điểm M của AP khi P chuyển động trên đường tròn.
Tương tự bài toán 1, ở bài này GV cũng cho HS vẽ trước một số vị trí của điểm M. Chẳng hạn: M1, M2, M3... như hình dưới đây:
Sau đó cho HS nhận xét về các vị trí của M.
TL: M có thể nằm trên đường tròn nào đó (vì chúng - M1, M2, M3 không thẳng hàng).
Bây giờ yêu cầu HS chỉ ra các yếu tố cố định và yếu tố chuyển động và sự liên hệ giữa chúng.
Hình 7
TL: -Yếu tố cố định: Đường tròn (O; R) cố định nên O cố định và R không đổi; điểm A cố định.
-Yếu tố chuyển động: P chuyển động nên trung điểm M của AO cũng chuyển động.
Do M là trung điểm của AP nên ta nghĩ đến đường trung bình của tam giác AOP. Gọi N là trung điểm của AO - N cố định. Do MN là đường trung bình của tam giác AOP nên (không đổi)
Vậy M nằm trên đường tròn 
Lời giải:
.............
Sau khi giải xong GV cho HS xem lại mô phỏng quỹ tích trên máy:
Hình 8
Bài toán 2':
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm trong đường tròn. P là một điểm bất kì trên đường tròn. Tìm quỹ tích trung điểm M của AP khi P chuyển động trên đường tròn.
(Cách làm bài toán này hoàn toàn tương tự bài toán 2 ở trên)
2. Đề tài này có kèm theo một đĩa CD - Trình bày trên nền của phần mềm tạo bài giảng Violet.
Mục lục
I. Đặt vấn đề.	1
1. Cơ sở lý luận.	1
2. Cơ sở thực tiễn.	1
3. Giới hạn đề tài.	2
II. Giải quyết vấn đề.	3
1. Kiến thức cơ bản.	3
1.1. Quỹ tích là gì?	3
1.2. Cách giải bài toán quỹ tích:	3
1.3. Hai yếu tố chính trong bài toán quỹ tích:	3
2. Một số bài toán minh hoạ.	3
F	Bài toán 1:	3
F	Bài toán 2:	8
F	Bài toán 2':	10
F	Bài toán 2*:	10
F	Bài toán 3:	10
F	Bài toán 4:	11
3. Kết quả đạt được.	13
III. Kết luận - Kiến nghị.	13
1. Kết luận.	13
2. Kiến nghị.	13
Phụ lục	14
Mục lục	14