Sáng kiến kinh nghiệm - Rèn kĩ năng tìm UCLN và BCNN

 i-Đặt vấn đề
 1-Cơ sở lí luận 
 Trong chương trình số học 6, học sinh mới chỉ biết đến các khái niệm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN) , còn các ứng dụng của chúng học sinh mới chỉ biết một phần nhỏ trong việc giải các bài tập về rút gọn phân số hay quy đồng mãu nhiều phân sốTrong khi đó UCLN và BCNN có vai trò rất quan trọng trong việc giải các bài tập về tìm hai số nguyên dươngkhi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về UCLN và BCNN ,các bài tập về tìm số, các bài tập giải
 Do đó để học sinh hiểu sâu hơn về các ứng dụng của UCLN và BCNN trong việc giải toán đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh tôi đưa ra một số ứng dụng của UCLN và BCNN trong giải toán. Đó là tìm hai số nguyên dương khi biết một số yếu tố trong đó có UCLN và BCNN.
 2-Cơ sở thực tiễn.
 Trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy học sinh còn bỡ ngỡ khi gặp một số bài toán có liên quan đến việc tìm số chẳng hạn:
-Tìm hai số nguyên dương a,b biết: tích và UCLN (BCNN)
-Tìm hai số nguyên dương a,b biết:ka+lb=m và UCLN(BCNN)
-Tìm hai số nguyên dương a,b biết:UCLN và BCNN.
-Tìm hai số nguyên dương a,b biết:m.UCLN+n.BCNN=k và p.a+q.b=m.
 Cho nên để giúp các em làm quen , với dạng toán trên cũng như tạo hướng đi trong việc giải các bài tập toán liên quan đến UCLN và BCNN tôi xin đưa ra một số ví dụ và phương pháp giải.
 II-Nội dung.
1-Phương pháp chung:
 1.1-dựa vào định nghĩa UCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số.
 1.2-Trong một số trường hợp có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa UCLN ,BCNN và tích của hai số nguyên dương a,b ,đó là:
a.b=(a,b).[a,b], trong đó (a,b) là UCLN và [a,b] là BCNN của a và b
Ta chứng minh hệ thức này như sau :
Theo định nghĩa UCLN , gọi d=(a,b) a=a1.d; b=b1d với a1,b1 ọ Z+; (a1,b1)=1 (*)
Từ (*) suy ra ab=a1b1d2;[a,b]=a1b1d (a,b).[a,b]=d(a1b1d)=a1b1d2=ab
 ab= (a,b)[a,b] (**).
2-Một số ví dụ minh hoạ :
Bài toán 1:
Tìm hai số nguyên dương a,b biết :
[a,b]=900 và (a,b)=10
Lời giải:
Do vai trò của a,b là như nhau , không mất tính tổng quát ,giả sử aÊb.
Từ (*) , do (a,b)=10 nên a=10a1;b=10b1 ,a1Ê b1 (do aÊb ).
Với a1,b1ọ Z+ ; (a1,,b1)=1 .
Theo định nghĩa BCNN:
[a,b]=a1b1d=a1b110=900
a1b1= 90
Bài toán 2:
Tìm số nguyên dương a,b biết ab=24300 và (a,b)=45
Lời giải:
Lập luân như bài 1,giả sử aÊb;
Do (a,b)=45 a=45 a1,b=45b1 với a1,b1ọZ+,(a1,b1)=1;a1Êb1
Vì vậy ab=45a1.45b1=2025a1b1 ab=24300a1b1=12;
Bài toán 3 :Tìm hai số nguyên dương a,b biết ab =4320
Và BCNN(a,b)=360.
Lời giải:
Từ (**) (a,b)=12,bài toán được đưa về dạng bài toán 2:
Kết quả: 
Bài toán 4:
Tìm hai số nguyên dương a,b biết : =2.6 và (a,b)=5;
Lời giải:
Theo (*), (a,b)=5 a=5a1;b=5b1;với a1,b1ọ Z+,(a1,b1)=1;
Vì vậy : ==2.6 =
chú ý:Phân số tương ứng với 2.6 phải chọn là phân số tối giản do (a1,b1)=1;
Bài toán 5:
Tìm a,b biết : = và [a,b]=140
Lời giải :
Đặt (a,b)=d. vì =, mặt khác (4,5)=1 nên a=4d ;b=5d
Lưu ý :[a,b] = 4.5.d = 20d = 140
 d=7 a=28;b=35
Bài toán 6:
Tìm hai số nguyên dương a, b biết :a+b=84 và (a,b) = 6
Lời giải:
Giả sử a[b .Do (a,b) = 6 nên a=6a1;b=6b1; với a1,b1ọ Z+,(a1,b1)=1;a1[b1.
Vì vậy : a+b = 84 6(a1+b1) = 84 a1+b1=14
Bài toán 7:
Tìm a, b biết a+ b = 42 và [a,b] =72
Lời giải :
Gọi d=(a,b) a=a1d; b=b1d với a1,b1ọZ+,(a1,b1)=1.
Không mất tính tổng quát giả sử a[b a1[b1.
Do đó a+b =d (a1+b1) = 42 (1)
[a,b]=a1b1d=72 (2)
 d là UC(42,72)
 d ọ {1,2,3,6}.
Lầ lượt thay các giá trị của d vào (1) và(2) để tính a1, b1 ta thấy chỉ có trường hợp :
d = 6 
(thoả mãn điều kiện của a1,b1)
vậy d = 6 và 
Bài toán 8:
Tìm a, b biết a-b =7,[a,b]=140
Lời giải:
Gọi d=(a,b) a=a1d; b=b1d với a1,b1ọZ+,(a1,b1)=1.
Do đó a-b=d(a1-b1)=7 (1’)
[a,b]=a1b1d=140 (2’)
 d ọ {1,7}
thay lầnn lượt các gí trị của d vào (1’) và (2’) để tính a1, b1 ta được kết quả duy nhất :
d=7 
vậy d= 7 và 
 bài toán 9:
 Tìm hai số nguyên dương biết :
 a+2b=48 và ƯCLN(a,b)+3BCNN(a,b)=114
 lời giải:
gọi d=(a,b) a=a1d; b=b1d với a1,b1ọZ+,(a1,b1)=1.
 [a,b]=a1b1d 
từ a+2b=48 d(a1+2b1)=48 48Md (3)
Từ (a,b)+3[a,b]=114 d+3da1b1=114
d(1+3a1b1)=114
 114Md (4)
Từ (3) và (4) Suy ra d là ước chung của 48 và 114 hay d ọ (1,2,3,6).
Mặt khác do d(1+3a1b1)=114 d(1+3a1b1)=3.38 dM3 (theo tính chất chia hết của một tổng)
d=3 hoặc d=6.
Thay d=3 và d=6 lần lượt vào d(1+3a1b1)=114 và d(a1+2b1)=48
Ta tìm được a,b 
Đáp số
a
36 12
b
6 18
III –Kết luận
Trên đây là một số bài toán cũng như phương pháp giải toán mà bản thân tôi đã tích luỹ được qua việc bồi dưỡng học sinh giỏi, rất mong được góp ý chân thành của bạn đọc cũng như tất cả anh chị em giáo viên trong ngành để sáng kiến ngày một tốt hơn.
 Ngày 24 tháng 3 năm 2005