Sáng kiến kinh nghiệm - Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử - Năm học 2011-2012 - Lê Thị Hỷ

 Gi¶i ph¸p thùc hiÖn vÒ viÖc 
 “RÌn kÜ n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö”
 * *
 *
I . tãm t¾t ®Ò tµi:
 Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn luyện năng lực tư duy toán học. Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quan trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học được tốt.
 Trong chương trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề dặc biệt quan tâm. Vì nó được sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ,chứng minh đẳng thức, giải phương trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này của học sinh.
 Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp. Việc tìm ra phương pháp thích hợp cho lời giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán ...tất cả đều phụ thuộc vào việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh. Khi lựa chọn các phương pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển tư duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận dụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể. Không những thế khi phân tích đa thức thành nhân tử học sinh được ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan như : Hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt, tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức..Nói chung ,các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải tư duy nhiều, nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức đó.
 Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong quá trình giải, cũng như nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em học tốt môn toán và đồng thời phát huy được trí tuệ của học sinh. Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán 8 tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến và giải pháp thực hiện về việc “ Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử ” nhằm giúp các em nắm vững một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, một số bài tập nâng cao, một số bài tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy được đó là công cụ đắc lực trong giải một số loại toán. Và qua đó cũng nhằm phát huy trí lực của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
II.giíi thiÖu.
Thùc tr¹ng viÖc d¹y häc m«n to¸n ë c¸c tr­êng THCS nãi chung hiÖn nay cã chÊt l­îng ch­a cao. Nguyªn nh©n th× cã nhiÒu nh­ng nguyªn nh©n chÝnh lµ c¸ch d¹y cña thÇy vµ c¸ch häc cña trß ch­a phï hîp, ch­a cã hiÖu qu¶ cao, nhiÒu häc sinh kh«ng n¾m v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n,kÜ n¨ng vËn dông kiÕn thøc vµo gi¶i to¸n cßn yÕu.
 D¹y to¸n kh«ng chØ lµ ®¬n thuÇn d¹y cho häc sinh n¾m ®­îc nh÷ng ®Þnh nghÜa ,®Þnh lÝ,quy t¾c,..mµ ®iÒu quan träng h¬n c¶ lµ d¹y cho häc sinh cã n¨ng lùc trÝ tuÖ,kÜ n¨ng thùc hµnh,cã kh¶ n¨ng vËn dông kiÕn thøc ®Ó gi¶i to¸n vµ ®­a to¸n häc vµo thùc tÕ. §Ó d¹y häc m«n to¸n cã hiÖu qu¶ th× ng­êi gi¸o viªn ph¶i d¹y tèt c¸c giê d¹y trªn líp gióp c¸c em cñng cè kiÕn thøc cò,n¾m ®­îc kiÕn thøc míi,hoµn thiÖn kÜ n¨ng,kÜ x¶o cho häc sinh mµ kÜ n¨ng lµm to¸n cña häc sinh lµ mét vÊn ®Ò quan träng hµng ®Çu cña viÖc häc to¸n. Do ®ã t«i ®· tiÕn hµnh mét sè gi¶i ph¸p nh»m môc ®Ých sau :
1/ Nhằm đào sâu nội dung về phân tích đa thức thành nhân tử , giúp học sinh nắm được các phương pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ năng giải toán loại này và nhằm phát tiển năng lực tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh.
2/ Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, có hệ thống về phân tích đa thức thành nhân tử.
a/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử góp phần rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, sáng tạo của người nghiên cứu khoa học.
b/ Bài tập có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử nhằm củng cố kiến thức và phân tích đa thức của học sinh thấy được tác dụng rất nhiều của kiến thức này trong giải một số dạng bài tập, đồng thời qua đó phát triển trí tuệ của học sinh, kĩ năng vận dụng của kiến thức đã học và những kiến thức tiếp theo, tư duy logic toán học, tính sáng tạo.
 Trong dạy học hiện nay phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh phù hợp với từng lớp học , môn học, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú khi học môn toán.
 Mặt khác việc phụ đạo cho học sinh yếu kém bộ môn là một trong những vấn đề quan trọng, cấp bách, cần thiết và không thể thiếu trong các môn học ở các cấp học nói chung và THCS nói riêng . Học sinh phải nhanh chóng tiếp cận với phương pháp dạy học mới đang được tiến hành “ Học sinh tích cực, chủ động, nghiên cứu tìm tòi, sáng tạo để lĩnh hội và vận dung kiến thức vào cuộc sống”.
III.PHƯƠNG PHÁP
a. Khách thể nghiên cứu.
* Giáo viên: Lª thÞ Hû là người giảng dạy trực tiếp ở 2 lớp to¸n 8A vµ 8D
* Học sinh: 
 - Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu có nhiều tương đồng về tỉ lệ giới tính, dân tộc. Cụ thể như sau:
 - Về ý thực học tập, tất cả các em trong 2 lớp này đều tích cực chủ động.
 - Về thành tích học tập năm trước, hai lớp tương đương nhau về điểm số. 
b. Thiết kế nghiên cứu.
	Chọn 2 lớp nguyên vẹn tôi thiết kế một bài kiểm tra kiến thức, kĩ năng cơ bản môn học làm bài kiểm tra trước tác động. Kết quả cho thấy điểm trung bình giữa 2 nhóm gần tương đương.
c. Quy trình nghiên cứu.
	* Chuẩn bị bài của giáo viên
 Cã thÓ nãi r»ng “ mét giê d¹y tèt ph¶i lµ kÕt qu¶ cña mét qu¸ tr×nh chuÈn bÞ tèt”.Muèn chuÈn bÞ bµi tèt gi¸o viªn cÇn thùc hiÖn nh÷ng yªu cÇu sau:
 1) X¸c ®Þnh râ néi dung kiÕn thøc, kÜ n¨ng cÇn hoµn thiÖn, ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y cña tõng bµi tËp m×nh ®­a ra.Nh÷ng dù kiÕn xö lÝ c¸c t×nh huèng tr­íc häc sinh.
 2) Khi so¹n bµi gi¸o viªn cÇn x¸c ®Þnh râ vai trß chñ thÓ nhËn thøc cña häc sinh.
 3) Khi so¹n bµi gi¸o viªn cÇn x¸c ®Þnh râ vai trß cña m×nh lµ ng­êi h­íng dÉn tæ chøc qu¸ tr×nh tiÕp nhËn chiÕm lÜnh kiÕn thøc cña häc sinh.
Giáo viên soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống câu hỏi phù hợp.
Phân tích bài tập mẫu cho học sinh qua các giờ học trên lớp hay phụ đạo do trường tổ chức.
Sử dung phương pháp hoạt động nhóm cùng giải một bài toán do giáo viên đưa ra, nhóm trưởng trình bày lời giải của nhóm mình. Các thành viên khác có thể đưa ra câu hỏi chất vấn.
Giáo viên đưa ra một số bài tập tương tự cho các em về nhà làm.
 * Tiến hành dạy thực nghiệm: 
 - T¹o mét kh«ng khÝ tèt cho giê häc.
 - Tæ chøc tèt c¸c kh©u lªn líp	
 - Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường và theo TKB để đảm bảo tính khách quan. 
IV. Ph©n tÝch d÷ liÖu vµ kÕt qu¶
1.Ph©n tÝch d÷ liÖu.
 -Một số học sinh nhận thức được môn toán rất quan trọng và có tính thực tế cao , nhiều em có biểu hiện hứng thú học bộ môn toán, chuẩn bị bài không những tốt mà còn rất sôi nổi trong tiết học.
-đại đa số học sinh chưa xác định đúng mục đích của việc học, chất lượng đầu vào thấp, học sinh lười học bài.
-Giáo viên chưa có nhiều thời gian và biện pháp hữu hiệu để phụ đạo học sinh yếu kém.
-Phụ huynh học sinh chưa thực sự quan tâm đến việc học của con em mình.
2. Kết quả.
-Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường THCS Cao Nh©n trong năm học 2010-2011 vµ häc k× 1 n¨m häc 2011 -2012 đã thu được kết quả khả quan.
-Kết quả học tập của học sinh được nâng lên theo giờ học, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để giải các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức thành nhân tử đạt kết quả tốt . Một số em đã sử dụng thành thạo một số phương pháp thông thường
Năm học
Tổng số học sinh
Giỏi
Khá
T.Bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2010-2011
63
15
24
22
35
17
27
6
9
3
5
2011-2012
63
18
28,5
20
32
19
30
5
8
1
1,5
V.BÀN LUẬN
Sau mçi bµi d¹y gi¸o viªn cÇn tù tiÕn hµnh ®¸nh gi¸ rót kinh nghiÖm ®Òu ®Æn,ghi chÐp cÈn thËn nh÷ng ®¸nh gi¸ vÒ: Yªu cÇu ®èi víi bµi häc cã ®¹t hay kh«ng? ®Õn møc ®é nµo? .Häc sinh cã høng thó häc tËp hay kh«ng?nÕu kh«ng th× v× sao? Häc sinh gÆp khã kh¨n g× khi häc bµi nµy? Cã thÓ kh¾c phôc b»ng c¸ch nµo? Häc sinh th­êng m¾c sai lÇm nµo? Cã ý kiÕn g× hay ,s¸ng t¹o? C¸c c©u hái ,c¸c vÝ dô ,bµi tËp ®­a ra cã phï hîp hay kh«ng?...
 ViÖc lµm nµy ®­îc tiÕn hµnh th­êng xuyªn th× ch¾c ch¾n sau mét vµi n¨m gi¸o viªn cã thÓ tÝch luü ®­îc nhiÒu ®iÒu bæ Ých cho m×nh.Nhê ®ã mµ gi¸o viªn cã thÓ dù kiÕn ®­îc nhiÒu t×nh huèng khi lªn líp,chñ ®éng khi lªn líp,gi¸o viªn sÏ v÷ng vµng h¬n vÒ chuyªn m«n vµ viÖc d¹y häc sÏ mang l¹i kÕt qu¶ tèt h¬n.
VI : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
 Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định hướng phương pháp làm khi chưa có sự hướng dẫn của giáo viên, mang lại kết quả tốt.
 Do điều kiện và năng lực còn của bản thân còn hạn chế, các tài liệu tham khảo chưa đầy đủ nên đề tài có nhiều thiếu xót. Nhưng tôi mong răng đề tài này ít nhiều giúp các em hiểu kĩ hơn về việc phân tích đa thức thành nhân tử.
 Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng chí trong ban giám hiệu nhà trường, cảm ơn các đồng chí trong tổ chuyên môn trường THCS Cao Nh©n đã giúp tôi hoàn thành đề tài này.
2.KIẾN NGHỊ.
 Trong khi thực hiện đề tài này tôi có gặp một số khó khăn vì vậy tôi có một số kiến nghị sau:
-Cần phối hợp giữa GVBM , GVCN, nhà trường ,hội cha mẹ học sinh để kịp thời nắm bắt tình hình học tập của học sinh.
-Không chỉ bộ môn toán mà các môn học khác các giáo viên nên chú trọng sâu hơn vấn đề nội dung ,phương pháp và hình thức phụ đạo cho học sinh khơi gợi cho học sinh sự hứng thú học tập.
-Đề nghị Phòng giáo dục và Đào tạo mở các chuyên đề để chúng tôi có điều kiện trao đổi và học hỏi thêm.
VII.Phô lôc
* NHỮNG KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
1.Những kĩ năng chung để phân tích đa thức thành nhân tử
 Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình những kiến thức cơ bản như: làm thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp, các quy tắc đổi dấu của đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ.
 Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử. 
2. Phân loại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
2.1.Phương pháp cơ bản.
* Phương pháp đặt nhân tử chung.
	Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp này thường làm như sau:
Tìm nhân tử chung
Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chungvới các nhân tử khác.
Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc ... ố bất định
Ví dụ 15: Phân tích đa thức x3+11x+30 thành nhân tử 
	Giải : 	Nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
	(x+a)(x2+bx+c)
Vì (x+a)(x2+bx+c) = x3+(a+b)x2+(ab+c)x+ac
Nên x3+11x+30 = x3+(a+b)x2+(ab+c)x+ac
Ta có 
Có thể chọn a = 2; c = 15; b = -2 là một bộ thoả mãn suy ra từ ac = 30
Vậy x3+11x+30 = (x + 2)( x2 – 2x +15) 
* Phương pháp xét giá trị riêng.
Ví dụ 16 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thành nhân tử
 Giải Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi -b thì 
Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0. Vậy Q chia hết cho (a+b). vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thương là hằng số k
(a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a)
	Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 . ta có :
	(0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0)
	18 = 6 k => k=3
 Vậy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)
*Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số và vai trò các biến như nhau trong đa thức thì ta sử dụng phương pháp xét giá trị riêng như trên.
III. PHÁT HUY TRÍ LỰC CỦA HỌC SINH QUA VIỆC PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
1. Bài toán chứng minh sự chia hết
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : x3 - x chia hết cho 3 với mọi số nguyên x.
 Giải : Ta có P = x3 - x =x(x2 -1) = x(x+1)(x-1)
 Vì x nguyên nên x+1,x-1 là số nguyên . Do đó:
 P = (x - 1). x .(x+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 3 
Ví dụ 2 : Chứng minh đa thức x3- x2+x -1 chia hết cho đa thức x-1
Giải : Ta có P = x3- x2 +x -1= x2(x-1)+(x-1) = (x-1)(x2 +1)
Đa thức P chứa nhân tử x-1 nên Pchia hết cho (x-1)
 Để giải các bài toán trên tôi đã đi phân tích các đa thức bị chia thành nhân tử ( sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử ) để biến đa thức chia thành tích sau đó tiếp tục sử dụng các kiến thức về tính chia hết suy ra điều phải chứng minh.
 Khi chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác ta có nhiều cách chứng minh. ở ví dụ 2 ta có thể chứng minh bằng cách thực hiện phép chia, số dư bằng 0 có thể dùng lược đồ Hoocne tìm số dư ( dư 0 ). Hoặc chứng minh nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia. Nhưng cách làm đó dài, hoặc đơn điệu hoặc phức tạp hơn so với cách làm trên ( áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ) biến đổi đa thức thành tích khi đó biểu thức đã cho chia hết cho nhân tử cho tích đó đã làm cho phép giải của bài toán nhanh hơn và lời giải thông minh hơn.
 2. Bài toán chứng minh biểu thức luôn dương , luôn âm hoặc không âm
 Bài toán này kích thích tư duy của học sinh phải đi tìm đường lối giải và khi giải phải nắm được kiến thức:
 - Biểu thức luôn dương ( lớn hơn 0 ) khi tử thức và mẫu thức cùng dấu. 
 - Biểu thức không âm ( lớn hơn 0 ) khi biểu thức cho bằng luỹ thừa bậc chẵn của biểu thức khác.
 - Bên cạnh đó cần chú ý với trường hợp biểu thức nguyên ta xét sự luôn luôn dương hoặc luôn âm của biểu thức dựa vào dấu của các nhân tử kết hợp với qui tắc nhân dấu trong dấu nguyên.
Ví dụ 1 : Cho biểu thức P = 4x2 - 12x + 9 . Chứng minh rằng P không âm với mọi x
Giải : Ta có P = 4x2 -12x + 9 = (2x)2-2.2x.3 +32 = (2x-3)2 0
Vậy P 0 với mọi x . Hay biểu thức P không âm với mọi x.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng biểu thức M = 
không âm với mọi x
Giải
Ta có : M = =	
Ta có x2+2 >0 và (x-1)2 0 
Vậy M 0 . Hay M không âm với mọi x.
 Với những bài toán này các em phải phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút gọn biểu thức. Qua đó kỹ năng phân tích của các em được rèn luyện và phát triển cùng với những kỹ năng giải toán khác
 3.Bài toán rút gọn và tính số giá trị của biểu thức.
 Đây là bài toán áp dụng gần gũi nhất đối với việc phân tích đa thức thành nhân tử. Đường lối giải là vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để phân tích đa thức thành nhân tử sau đó rút gọn . Ở đây cơ bản là rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử bên cạnh đó sử dụng một số tính chất toán học khác để giải. Sự kết hợp đó có tác dụng rèn trí tuệ cho học sinh giúp các em thấy sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức toán học phát triển trí tuệ thông minh và tư duy logic khoa học ở các em.
Ví dụ : Cho P=
a/ Rút gọn P
b/ Tính giá trị của P với x=2001
Giải
a/ Rút gọn P
P=== 
b/ Tính giá trị của P với x=2001
 P=
 4.Bài toán chứng minh đẳng thức.
 Loại toán này đường lối giải là ta phải đi bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp ở vế này đến kết quả là biểu thức đơn giản hơn ở vế kia nhưng cũng có bài ta phải biến đổi rút gọn ở cả hai vế để đi đến một kết quả giống nhau.
 Thực chất của bài toán này là bài toán rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
(Với)
Giải:
Đặt P bằng biểu thức ở vế trái. Thực hiện các phép tính ở vế trái ta được
P=
P=
Với thì P xác định và ta có thể biểu diễn P dưới dạng:
P=
P=
VT =VP Vậy đẳng thức được chứng minh.
Với học sinh các em rất thích thú với dạng bài tập này vì các em cho rằng đây là dạng toán đã cho sẵn kết quả.
Trªn ®©y lµ mét s¸ng kiÕn kinh nghiÖm cña t«i trong ch­¬ng tr×nh To¸n 8 mµ t«i ®· lµm vµ thu ®­îc kÕt qu¶ t«t.Ch¾c r»ng ý t­ëng cña t«i ®­a ra trªn ®©y cßn nhiÒu h¹n chÕ rÊt mong ®­îc sù tham kh¶o vµ gãp ý cña c¸c ®ång nghiÖp ®Ó gióp t«i gi¶ng d¹y bµi nµy ®­îc tèt h¬n trong n¨m häc sau.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Cao Nh©n, ngày 25 tháng 2 năm 2012
 Người viết đề tài 
 Lª ThÞ Hû
 NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN:
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TÀI LIỆU THAM KHẢO- 
STT
TÊN TÁC GIẢ
NĂM XUẤT BẢN
TÊN TÀI LIỆU
NHÀ XUẤT BẢN
1
Phan Đức Chính
2011
SGK ,SGV Toán 8
NXB Giáo dục
2
Tôn Thân
2011
SBT Toán 8
NXB Giáo dục
3
Nguyễn Ngọc Đạm
1996
Toán phát triển đại số 8
NXB Giáo dục
4
Nguyễn Đức Tấn-Nguyễn Đức Hoà- Tạ Hoàn
2007
500 Bài toán cơ bản và nâng cao
NXB Đại học quốc gia TPHCM
5
TS Lê Văn Hồng
2004
 Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn toán
NXB Giáo dục
6
Nguyễn Văn Nho
2004
 Phương pháp giải các dạng toán 8 (tâp1)
NXB Giáo dục
7
2010
Hướng dẫn thực hiện chuẩn KTKN môn toán
NXB Giáo dục
 MỤC LỤC Trang 
 I. Tãm t¾t ®Ò tµi
 II.Giíi thiÖu.
III.Ph­¬ng ph¸p.
Ph©n tÝch d÷ liÖu vµ kÕt qu¶.
V.bµn luËn.
VI. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ. 
 VII.Phô lôc.
 VIII.Tµi liÖu tham kh¶o.