Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp tính tổng của dãy số - Nguyễn Văn Tú

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ
I. PHẦN MỞ ĐẦU
 1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình giáo dục hiện nay của nước ta hầu hết các môn học đều cho chúng ta tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa học ứng dụng. Đặc biệt bộ môn toán, các em được tiếp thu kiến thức xây dựng trên tinh thần toán học hiện đại. Trong đó việc tính tổng của dãy số các em đã được làm quen từ rất sớm nhưng việc vận dụng vào thực tế còn gặp không ít khó khăn. 
Do đó người thầy giáo phải chuyển giao hệ thống kiến thức và những cơ sở khoa học mà nhân loại đã dày công nghiên cứu, đồng thời giúp học sinh sáng tạo, tìm tòi phát huy tri thức mới tạo cho các em có một hệ thống kiến thức đầy đủ khoa học trở thành con người có năng lực làm chủ thiên nhiên, làm chủ xã hội” .
Hơn nữa muốn đạt kết quả cao trong giảng dạy, người thầy phải tự trang bị cho mình vốn kiến thức hoàn chỉnh, khoa học, những kĩ năng, kinh nghiệm vào trong giảng dạy bộ môn toán. Người thầy phải có kĩ năng khai thác và phân loại, cụ thể hoá trừu tượng hoá và không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy sao cho phù hợp với kiến thức và từng đối tượng học sinh để phát huy tính độc lập chủ động sáng tạo của học trong học tập, không chỉ riêng môn toán mà còn trong các môn khoa học khác, đảm bảo mục tiêu “ Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Góp phần không nhỏ cho giai đoạn “ Công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước”
Qua giảng dạy trên lớp, bồi dưỡng học sinh khá - giỏi, qua dự giờ thăm lớp, học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp tôi thấy: Đối với học sinh THCS việc nhận dạng, phát hiện quy luật một tổng, và tính tổng các số hạng của dãy số còn gặp nhiều khó khăn, thường không dám bắt tay vào việc giải toán khi gặp dạng toán này .
Để phát huy tính độc lập chủ động sáng tạo và phục vụ cho học tập của học sinh người thầy cần trang bị cho các em vốn kiến thức khả năng tư duy khai thác bài toán tính tổng và giải được các dạng bài toán tính tổng . Tôi đã rút ra một số kinh nghiệm về phương pháp tính tổng các dãy số.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
a) Mục đích 
Trong giảng dạy một số giáo viên chưa chú ý phát huy tác dụng giáo dục, tác dụng phát triển của bài toán, mà chỉ chú trọng đến việc học sinh làm được nhiều bài, đôi lúc biến việc làm thành gánh nặng, một công việc buồn tẻ đối với học sinh. Xuất phát từ đặc điểm tâm lý của học sinh giáo viên cần dạy và rèn cho học sinh các phương pháp tìm lời giải các bài toán. 
Qua quá trình giảng dạy bản thân tôi có những cơ sở khoa học cho việc xây dựng phương pháp giảng dạy một cách phù hợp, kích thích được hứng thú, tính độc lập sáng tạo của học sinh . Rèn cho các em có khả năng tư duy lôgíc và vận dụng sáng tạo vào các trường hợp cụ thể 
 b) Nhiệm vụ 
- Giải quyết khó khăn của học sinh khi giải các loại bài toán tính tổng của dãy số.
- Trang bị cho học sinh con đường tìm lời giải bài toán tính tổng từ dạng tổng quát đến bài toán cụ thể, từ bài toán cơ bản sang bài toán ở dạng tương tự.
3. Đối tượng và cơ sở nghiên cứu 
a) Đối tượng: 
Nhóm học sinh khá - giỏi THCS
b) Cơ sở nghiên cứu 
Cách tính tổng ở mức độ thấp học sinh đã được học ngay từ lớp đầu ở cấp tiểu học . Nhưng việc tính tổng của một dãy số còn gặp nhiều khó khăn như:
Việc tìm hiểu đề, xây dựng chương trình và giải.
Chưa vận dụng một cách linh hoạt từ bài toán cụ thể sang bài toán tương tự.
Do vậy để trang bị thêm cho học sinh kĩ năng cần thiết phục vụ việc giải bài toán tính tổng của dãy số tôi xin đưa ra một vài phương pháp tính tổng để các đồng chí, đồng nghiệp tham khảo vận dụng quá trình giảng dạy của mình.
II. NỘI DUNG
Việc tính tổng của các biểu thức thông thường ( hữu hạn số hạng) ta chỉ áp dụng đúng thứ tự và quy tắc phép toán là có thể giải được bài toán. Vấn đề đặt ra là cách khai thác để giải bài toán tính tổng có dạng: Sn= a1+a2+a3+...+an (n=1,2,3) thì chúng ta phải làm như thế nào ? 
Sau đây tôi đưa ra một số dạng bài cơ bản và phương pháp khai thác để giải các dạng bài toán đó.
II.1. Phương pháp tách số hạng:
1. Dạng 1:Số hạng tổng quát của dãy số có dạng tử là 1 và mẫu là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
1.1. Ví dụ 1: Tính
Học sinh phải nhận dạng được mỗi số hạng của tổng có thể tách được như sau.
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được.
1.2. Ví dụ 2:
	Tính tổng 
Nhận xét: Ta thấy tổng này giống hệt như tổng ở ví dụ 1 ta dùng cách tách các số hạng như ở ví dụ 1:
Nhận xét tổng quát: Nếu số hạng tổng quát có dạng: 
Thì ta tách như sau:	
Từ đó ta có công thức tổng quát để tính tổng như sau:
2. Dạng 2: Số hạng tổng quát của dãy số có dạng tử số là 1, mẫu là tích hai thừa số hơn kém nhau “k” đơn vị.
2.1. Ví dụ 1:
Cách 1
Học sinh phải nhận dạng được các số hạng đều có dạng
Tử số của các số hạng đó là 1
Mẫu là tích của hai số tự nhiên hơn kém nhau hai đơn vị.
Ta có thể tách như sau:
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:
Nhận xét kết quả: 
Thừa số nhỏ nhất, lớn nhất của mẫu các số hạng là 1; 2005
Kết quả bằng tích của hiệu các nghịch đảo thừa số nhỏ nhất và thừa số lớn nhất với nghịch đảo đơn vị kém hơn.
Cách 2
Ta thấy: 	(a,bÎN, a>b )
Ta phải biến đổi sao cho tử số của tất cả các số hạng phải là khoảng cách hai thừa số dưới mẫu thì tất cả các hạng tử đều tách ra được:
Chú ý: Thông qua ví dụ trên cần phải khắc phục cho học sinh sai hay gặp:
	là sai
Nhận xét tổng quát: với a-b=M
Bài toán tổng quát.
	 với m=1;2;3..	n=1;2;3.
	3. Dạng 3: Mẫu các số tự nhiên liên tiếp.
	3.1. Ví dụ 1: Tính tổng sau:
Nhận xét đề bài:
Tử các số đều là 1
Mẫu các số hạng đều là 3 tích số tự nhiên liên tiếp.
Số hạng tổng quát có dạng 
Ta có
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được.
	Nhận xét kết quả
Nếu mẫu có 3 thừa số thì tổng bằng tích nghịch đảo của( 3-1) với hiệu nghịch đảo của tích 2 thừa số có giá trị nhỏ nhất và tích 2 thừa số có giá trị lớn nhất
3.2 Ví dụ 2. Tính tổng sau.
Nhận xét đề bài 
Tử các số hạng là 1
Mẫu các số hạng đều là 4 tích số tự nhiên liên tiếp.
Số hạng tổng quát có dạng 
Ta có 
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được
 =
Bài toán tổng quát
Ta có ngay	
với m=2;3;4... 	n=1; 2; 3
Chú ý: Ví dụ 1: Có thể khai thác cho học sinh thấy trong tổng
Thì 3-1=4-2=..=n+2-n=2
 =>
Như vậy:
Một số bài tập áp dụng
Tính các tổng sau:
II.2. Tính tổng bằng phương pháp giải phương trình ( làm trôi)
Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng của một dãy số viết theo thứ tự tăng (giảm) mà các số hạng của tổng quan hệ với nhau là: 
Mỗi số hạng liền trước( liến sau) đều hơn (kém) nhau “q” lần thì ta có thể nhân hoặc chia từng số hạng của tổng cho “q” để xuất hiện một tổng dãy số có quan hệ tường minh với tổng ban đầu 
1. Dạng 1: các số hạng của tổng luôn nhỏ hơn hoặc băng 1
1.1 Ví dụ 1. Tính tổng sau
	 (1)
Ta thấy mỗi số hạng liền sau của tổng đều kém số hạng liền trước của nó “2” lần 
	(2)
Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta được
1.2 Ví dụ 2. Tính tổng
Ta thấy: 	(a,bÎN, a>b )
Ta phải biến đổi sao cho tử số của tất cả các số hạng phải là khoảng cách hai thừa số dưới mẫu thì tất cả các hạng tử đều tách ra được:
2. Dạng 2:Các số hạng của tổng lớn hơn hoặc bằng 1
2.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau 
Ta thấy mỗi số hạng sau gấp số hạng liền trước nó “2” lần .
Cách làm tương tự như bài toán ở dạng 1
Ta có :
2.2 Ví dụ 2: Tính tổng sau
Sn=1.2+2.3+3.4++n.(n+1) với nÎN*
Để tách mỗi số hạng thành hiệu của 2 số nhằm triệt tiêu từng cặp 2 số ta nhân mỗi số hạng của tổng với 3. Thừa số 3 này được viết dưới dạng: 
3-0 ở số hạng thứ nhất
4-1 ở số hạng thứ hai
5-2 ở số hạng thứ ba
(n+2)-(n-1) ở số hạng thứ cuối cùng
Ta có
 3Sn=1.2.(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)++n(n+1){(n+2)-(n-1)} =(1.2.3+2.3.4+3.4.5++ n(n+1)(n+2))-(0.1.2+1.2.3+2.3.4++(n-1)n(n+1))
 =n(n+1)(n+2)
 =>Sn=
Tổng quát cho 2 trường hợp trên ta có
	 với nÎN ; 1<aÎN
II.3. Tính tổng bằng phương pháp qui nạp toán học
 Trong một số trường hợp tính tổng của một dãy số, ta chỉ thông qua một số phép tính một vài số hạng đầu tiên ta có thể dự đoán kết quả. Phương pháp này dễ dàng thực hiện được phép tính tổng, tuy nhiên việc vân dụng phương pháp này chỉ giải quyết một số ít bài toán ở dạng tính tổng của dãy số. Lí do là một số bài toán việc tìm ra giả thiết quy nạp còn gặp nhiều khó khăn.
 Ví dụ: Muốn tính hay chứng minh một mệnh đề Sk(k=1;2;3) nào đó mà ta thấy mệnh đề đó đúng với 1; 2; 3 giá trị đầu tiên của k thì ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học để tính hoặc chứng minh mệnh đề đó.
Các bước giải bài toán này như sau:
Bước 1: Thử một vài giá trị đầu tiên xem tính đúng đắn của mệnh đề
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k. Nghĩa là Sk đúng .
Bước 3: Ta phải chứng minh mệnh đề đó đúng với n=k+1, tức là Sk+1 đúng
Bước 4: Kết luận bài toán.
Ví dụ: Tính tổng 
	Sn =1 + 2 + 3 + + n với nÎN
Dự đoán kết quả: Sn=
 	Với n= 1thì S1= 1	(đúng)
Với n=2 thì S2=1+2= 	(đúng)
Với n=3 thì S3=1+2+3=	(đúng)
Giả sử kết quả trên đúng với n=k tức là 
	Sk=1+2+3++k=
Ta phải chứng minh kết quả trên đúng với n=k+1
Tức là phải chứng minh Sk+1=
Thật vậy Sk+1= 1+2+3+...+k+ (k+1)
	= + (k+1)
	= (ĐPCM)
Suy ra dự đoán trên là đúng
Vậy Sn=1+2+3++n=
Sau đây là một số bài tập tương tự
Tính các tổng sau:
1. Sn=1 + 3 + 5 ++ (2n-1) 	 	với nÎN* 	ĐS : Sn=n2
2. Sn=12+22+32++n2 	 	với nÎN* 	ĐS: Sn=
3. Sn=13+23+33++n3 	với nÎN* 	ĐS: Sn=
4. Sn=13+33+53+(2n-1)3 	với nÎN* 	ĐS: Sn= n2(2n2-1)
II.4. Phương pháp tính tổng thông qua tổng đã biết.
 Qua thực tế giải toán ta gặp những tổng của dãy số cần tính có thể biểu diễn qua tổng hữu hạn của tổng khác mà ta đã biết khi đó ta có thể biến đổi tổng cần tính làm xuất hiện các tổng mà ta đã biết kết quả. Việc làm như vậy có thể tính được tổng phức tạp thông qua tổng đã biết
1. Dạng 1: Tách tổng đã cho thành các tổng đã biết (tổng đã tính được)
1.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau 
	Sn=1.2+2.3+3.4++n.(n+1) với nÎN* 
Ta thấy n.(n+1)=n2+n
Nên ta có Sn	=12+22+32++n2+1+2++n
Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên băng cách khác như sau:
Sn=1.2+2.3+3.4++n.(n+1) với nÎN*
3Sn =1.2.(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)++n(n+1){(n+2)-(n-1)} =(1.2.3+2.3.4+3.4.5++ n(n+1)(n+2))-(0.1.2+1.2.3+2.3.4++(n-1)n(n+1))
=n(n+1)(n+2)
=>Sn=
1.2 Ví dụ 2: Tính tổng sau:
	Sn=1.3+3.5+5.7++(2n-1)(2n+1)
Nhận xét đề bài :
- Khai thác từ số hạng tổng quát ta có 
	(2n-1)(2n+1)=4n2-1
2. Dạng 2:Tính tổng thông qua việc lập hiệu hai tổng trung gian
Ví dụ: Tính tổng sau.
	Sn=13+33+53++(2n+1)3
 Nhận xét đề bài: Đây là tổng lập phương của các số lẻ liên tiếp.
 Muốn tính tổng trên ta lập một tổng là tổng lập phương của các số tự nhiên liên tiếp rồi bới đi phần cộng thêm.
Giải 
	Sn=13+23+33++(2n)3+(2n+1)3-{23+43+63++(2n)3}
	 =13+23+33++(2n)3+(2n+1)3-23{13+23+33++(2n)3}
 =
 ={n(2n+1)}2-2{n(n+1)}2
 =n2(4n2+4n+1-2n2-4n-2)
 =n2(2n2-1)
III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
 Qua thực tế giảng dạy áp dụng các phương pháp tính tổng vào các bài toán cụ thể tôi thấy: Vấn đề then chốt trong việc giúp học sinh tự mình khai thác tự mình tìm ra lời giải và giải các dạng bài toán tính tổng nói trên là:
Trang bị cho các em cách nhìn nhận, phân loại dạng bài, dự đoán kết quả.
Lập chương trình giải và giải bài toán đó.
Tổng quát hoá bài toán và tự lập cho mình một bài toán thông qua việc giải bài toán khác.
Ví dụ như giải bài toán sau:
	Tính tổng : S=
 Ngay từ đề bài đa số các em nhận ra ngay bài toán này thuộc vào dạng 1 của phương pháp tách số hạng, nhưng chưa phản ứng nhanh để giải bài tóan này vì tử số của các số hạng lại không bằng 1 do đó không thể tách số hạng ngay được. Có một vài em phát hiện ngay lập tức đó là đặt thừa số “3” chung cho tất cả các số hạng như sau:
	S=
Theo bài toán đã biết
	S=
Căn cứ vào bài toán trên yêu cầu các em làm bài toán khác với tử số các số hạng là: 2; 4; 5; 6; ; k
Do đó ta có bài toán tổng quát	
	S=
 Cũng tương tự cách khai thác để tổng quảt bài toán có 1 em trong nhóm 5 đã có thể tổng quát được bài toán
 Trong thực tế dạy thực nghiêm, yêu cầu học sinh tính tổng của dãy số nhưng không viết theo thứ tự của dãy mà viết theo thứ tự khác nhằm kiểm nghiệm sự hiểu biết về dãy số cũng như về khả năng quan sát của học sinh.
 Ví dụ. Tính tổng sau
	S= 12+32+22+52+42++20042+20032+20052
 Trong ví dụ này ta có thể đánh giá được nhóm học sinh, học sinh nào có thể giải được bài toán nhanh gọn dễ hiểu, học sinh nào hiểu đề bài nhưng cách giải còn rườm rà, học sinh không thể hiểu bài và không giải được. Đó là bước quan trọng để chon ra học sinh khá, giỏi, chon học sinh có năng lực nhận thức về bộ môn toán khi đi thi đạt kết quả cao. 
Cách 1: Xắp sếp lại tổng 
S= 12+32+22+52+42++20042+20032+20052
S= 12+22+32+42+52++20032+20042+20052
 =
Cách 2: S= 12+32+22+52+42++20042+20032+20052
	S= (12+32+52++20052)+(22+42++20042)
	=(12+32+52++20052)+22(1+22++10022)
	Từ đó học sinh tính được kết quả dựa vào công thức tính tổng ở trên.
 Qua quá giảng dạy và công tác tôi đã áp dụng bước đầu có kết quả, hầu hết học sinh được trang bị phương pháp tính tổng trên đều tự tin hơn khi gặp bài toán tính tổng, từng bước các em nắm bắt được quy luật, phân loại và áp dụng bài toán một cách sáng tạo, có em đã đưa ra được lời giải hay, phương pháp giải mới, bước đầu đã phát huy trí tuệ say mê sáng tạo. 
 Vậy trong thực tế giảng dạy bộ môn toán nhất là tính tổng của một dãy số. Để đạt được kết quả như mong muốn người thầy giáo phải trang bị cho các em các kiến thức cơ bản đồng thời đổi mới cách ra đề bài tập, nhận xét đánh giá thông qua phương pháp giải và kết quả. Người thầy phải biết khơi dậy đức tính tò mò khi nghiên cứu, phát triển cho các em có tư duy sáng tạo “ Từ đơn giản đến phức tạp” Phát triển tư duy “tổng hợp hoá, khái quát hoá” có như vậy người thầy chúng ta mới thực sự thành công trong giảng dạy. 
	Do điều kiện và năng lực của bản thân tôi còn hạn chế, các tài liệu tham khảo chưa đầy đủ nên chắc chắn còn những điều chưa chuẩn, những lời giải chưa phải là hay và ngắn gọn nhất. Nhưng tôi mong rằng đề tài này ít nhiều cũng giúp học sinh hiểu kỹ hơn về loại tính tổng của dãy số.
	 Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường THCS, nhất là những bài học rút ra từ việc dự giờ thăm lớp của các đồng chí cùng trường cũng như dự giờ các đồng chí trường bạn. Cùng với sự giúp đỡ tận tình của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn tôi đã hoàn thành đề tài này. Tôi rất mong được sự chỉ bảo của các đồng chí chuyên môn, ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để vốn kinh nghiệm giảng dạy của tôi được phong phú hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Thanh Mỹ, ngày 10 tháng 04 năm 2012
 NGƯỜI VIẾT ĐỀ TÀI
 Nguyễn Văn Tú 
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA BGH