Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên dưới dạng lũy thừa và một số dạng toán về lũy thừa trong chương trình Toán 6

A/. Đặt Vấn Đề:
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
	Là Giáo Viên dạy học môn toán, chúng ta mới thật sự thấy được tầm quan trọng toán học, nó rất đa dạng và phong phú, thuộc nhiều lĩnh vực nghiên cứu khoa học cho các ngành nghề. Bất cứ ngành nào nghề nào cũng đòi hỏi phải có sự tính toán. Muốn tính toán giỏi ta phải học tốt môn toán, từ những con số, rồi thực hiện các phép tính đơn giản cho đến các phép tính khó.v.v. Vì vậy ta phải xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện. Bên cạnh phải giáo dục cho học sinh có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Muốn giải quyết nhiệm vụ quan trọng này, trước hết Thầy, Cô giáo chúng ta ai cũng phải xây dựng cho mình một phương pháp dạy thật tốt và thường xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp với từng nội dung, điều kiện giảng dạy vào các đối tượng tham gia học tập, nhằm tạo tiền đề vững chắc, lâu bền trong việc tiếp nhận tri thức, nề nếp và thái độ học tập của các em ở nhà trường.
	Để giúp học sinh học tốt môn toán, ngoài việc truyền thụ kiến thức cơ bản theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục & đào tạo ban hành cho các trường học phổ thông ( Kể cả ba cấp ), giáo viên cũng như học sinh cần phải nghiên cứu thật nhiều các tài liệu, sách báo, băng hình,.... có liên quan đến môn toán để bổ sung các dạng kiến thức mới, phương pháp giải mới, Giúp học sinh học dễ hiểu, dễ tiếp thu bài nhằm tạo được sân chơi thân thiện, từ đó các em mới tích cực tham gia các hoạt động học tập, rồi có ý tưởng tự nghiên cứu sáng tạo cho việc học và giải toán được thuận lợi hơn. Theo nhà khoa học Lep-Nitx đã nói: “Một phương pháp được coi là tốt, nếu như ngay từ đầu ta có thể thấy trước và sau đó có thể khẳng định được rằng theo phương pháp đó ta sẽ đạt tới đích”. Với mỗi bài toán ta cũng có thể giải được, chỉ cần bắt chước theo những chuẩn mực đúng đắn và thường xuyên thực hành.
Là người giáo viên, chúng ta cần phải nghiên cứu, tham khảo thật nhiều các loại sách, báo, đề tài nghiệp vụ sư phạm, phương pháp giải một số dạng toán.v.v...có liên quan đến lĩnh vực toán học để kịp thời nắm bắt và vận dụng vào trong thực tế giảng dạy. Tuy nhiên trong suốt qúa trình giảng dạy cho thấy việc vận dụng kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, sách nâng cao đối với những bài toán như “Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên viết dưới dạng lũy thừa” có bậc thấp thì học sinh dễ tìm ra, còn những lũy thừa ở dạng bậc cao thì học sinh vô cùng lúng túng, khó giải. Chính vì vậy mà Tôi cố nghiên cứu và tìm ra được phương pháp giải đơn giản đối với số tự nhiên dạng an. Ngoài ra Tôi mạnh dạng đưa ra “ Một số dạng toán về lũy thừa trong chương trình toán 6 ” và phương pháp giải, chúng được đúc kết qua kinh nghiệm thực tế giảng dạy về môn số học của Tôi. Các bài toán về lũy thừa thật là đa dạng, phong phú và hấp dẫn, thế nhưng không ít Học sinh khi làm loại toán này thường chưa phân được dạng nên chưa có phương pháp giải phù hợp, dẫn đến bế tắc hoặc có những cách giải còn phức tạp, chưa tối ưu. Chính vì vậy mà vấn đề Tôi đưa ra là đề giúp cho các em giải quyết được phần nào khó khăn mà các em vấp phải.
B. NỘI DUNG
KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ VÍ DỤ
Phần 1: Phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
 dạng: an với: a 0 và a1, nN.
( Gọi tắt là phương pháp H )
1.	Theo định nghĩa về lũy thừa ở số học lớp 6 ta được:
an= a . a . ........ . a
	 n thừa số
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 2
	Trong dãy các lũy thừa 21, 22, 23, . . . 2n luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa. Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau. 
Ta ký hiệu: 
D2-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 21; 25; 29;  và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 2. 
D2-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 22; 26; 210; và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 4. 
D2-3 là tập hợp các lũy thừa có dạng 23; 27; 211;  và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 8.
D2-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 24; 28; 212; và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 6.
	Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy D2 = 21, 22, 23, . . . 2n có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4.
	Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của dãy D2 = 21, 22, 23, . . . 2n như sau:
D2-1 = 21; 25; 29;  Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 2
D2-2 = 22; 26; 210; Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4 
D2-3 = 23; 27; 211;  Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 8 
D2-4 = 24; 28; 212;  Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6 
Những số có nhiều chữ số như 12n; 22n; 32n; ... đều áp dụng như trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
Nếu số dư là 1 thì thuộc D2-1 . nên có chữ số tận cùng là 2
Nếu số dư là 2 thì thuộc D2-2 . Nên có chữ số tận cùng là 4
Nếu số dư là 3 thì thuộc D2-3 . Nên có chữ số tận cùng là 8
Nếu số dư là 0 thì thuộc D2-4 . Nên có chữ số tận cùng là 6
Ví dụ1: Tìm chữ số tận cùng của A = 265 ; B = 22003
Giải: 
Vì 265 2n nên khi ta chia số mũ 65 cho 4 ta được số dư là 1 D2-1
Vậy số 265 có chữ số tận cùng là 2
Hay A có chữ số tận cùng là 2
 2. Vì 22003 2n Nên khi ta chia số mũ 2003 cho 4 ta được số dư là 3 D2-3
	Vậy B có chữ số tận cùng là 8.
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của số: 3244 ; 109214; 3521001; 1228051.
Giải: 
1. Vì 32 = 30 + 2 nên muốn tìm chữ số tận cùng của 3244 ta chỉ việc tìm chữ số tận cùng của 244 là thỏa mãn ( do những số chẳn chục khi lũy thừa n 
lên luôn có chữ số tận cùng bằng 0 ). Do đó khi ta chia 44 cho 4 thì dư bằng 0, mà số dư vừa tìm được lại thuộc D2-4.
	Vậy Số 3244 có chữ số tận cùng là 6.
2. Vì 1092 = 1090 + 2. cách tìm tương tự như bài toán trên.
Muốn tìm chữ số tận cùng của số 109214 ta đi tìm chữ số tận cùng của 214
Do 14 chia cho 4 còn dư là 2, mà số dư này thuộc vào D2-2 nên có chữ số tận cùng 4.
	Vậy số 109214 có chữ số tận cùng là 4.
3. Vì số 352 có chữ số tận cùng bằng 2. Nên 3521001 và 21001 có chữ số tận cùng giống nhau.
	Cách tìm: ta tìm số dư của phép chia 1001 cho 4, ta được số dư là 1. Ứng với số dư này ta có chữ số tận cùng là 2.
	Vậy: 3521001 có chữ số tận cùng là 2.
4. Ta thấy số 122 có chữ số tận cùng là 2. nên 1228051 và 28051 có chữ số tận cùng bằng nhau.
	Dựa vào cách tìm ta có số dư của phép chia 8051 cho 4 là 3. Mà ứng với số dư 3 ta có chữ số tận cùng là 8.
	Vậy: 1228051 có chữ số tận cùng là 8.
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 3
Trong dãy các lũy thừa 31, 32, 33, . . . 3n luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa. Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau. 
Ta ký hiệu: 
D3-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 31; 35; 39;  và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 3. 
D3-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 32; 36; 310; và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 9. 
D3-3 là tập hợp các lũy thừa có dạng 33; 37; 311;  và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 7.
D3-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 34; 38; 312; và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 1.
	Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy D3 = 31, 32, 33, . . . 3n có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4.
	Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của dãy D3 = 31, 32, 33, . . . 3n như sau:
D3-1 = 31; 35; 39;  Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 3
D3-2 = 32; 36; 310; Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 9 
D3-3 = 33; 37; 311;  Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 7 
D3-4 = 34; 38; 312;  Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 1 
Những số có nhiều chữ số như 13n; 23n; 33n; ... đều áp dụng như trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
Nếu số dư là 1 thì thuộc D3-1 . nên có chữ số tận cùng là 3
Nếu số dư là 2 thì thuộc D3-2 . Nên có chữ số tận cùng là 9
Nếu số dư là 3 thì thuộc D3-3 . Nên có chữ số tận cùng là 7
Nếu số dư là 0 thì thuộc D3-4 . Nên có chữ số tận cùng là 1
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của: 3999 ; 43126; 21535717.
Giải: 
* Ta chia số mũ 999 cho 4 ta được số dư là 3, do số dư này thuộc D3-3.
Nên chữ số tận cùng của số 3999 là: 7.
* Vì 43 = 40 + 3, nên chữ số tận cùng của số 43126 lại bằng chữ số tận cùng của số 3126. Dựa vào cách tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa với cơ số 3
( 126 : 4 = 31 dư 2 ), mà số dư thuộc D3-2.
	Vậy: Số 43126 có chữ số tận cùng là 9.
* Ta thấy: số 2153 có chữ số tận cùng là 3, nên số 21535717 và số 35717 có chữ số tận cùng bằng nhau. Do đó ta có cách tìm chữ số tận cùng như sau:
	Ta chia số mũ 5717 cho 4 ta được số dư là 1, ứng với số dư này ta có chữ số tận cùng là 3.
	Vậy: 21535717 có chữ số tận cùng là 3
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 4
Trong dãy các lũy thừa 41, 42, 43, . . . 4n luôn tồn tại hai dãy lũy thừa. Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau. 
Ta ký hiệu: 
D4-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 41; 43; 45;  và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 4. 
D4-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 42; 44; 46; và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 6. 
	Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy D4 = 41, 42, 43, . . . 4n có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 2.
	Điều này cho thấy D4 chỉ tồn tại hai dãy lũy thừa, đó là dãy lũy thừa với số mũ lẽ và dãy lũy thừa với số mũ chẳn
	Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của dãy D4 = 41, 42, 43, . . . 4n như sau: 
D4-1 = 41; 43; 43;  Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4
D4-2 = 42; 44; 46; Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6 
Những số có nhiều chữ số như 14n; 24n; 34n; ... đều áp dụng như trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 2
Nếu số dư là 1 thì thuộc D4-1 . nên có chữ số tận cùng là 4
Nếu số dư là 2 thì thuộc D4-2 . Nên có chữ số tận cùng là 6
Hoặc cũng có thể xác định chữ số tận cùng bằng nhận xét trên số mũ; Nếu số mũ của lũy thừa mà chẳn thì chữ số tận cùng của số đó là 6, còn nếu số mũ của lũy thừa là số lẻ thì chữ số tận cùng của số đó là 4.
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 418 , 487 , 18942n
Giải: Do Lũy thừa với cơ số 4 cho ta các chữ số tận cùng hoặc 4 hoặc 6. Nếu số mũ lẻ thì có chữ số tận cùng là 4; còn số mũ chẳn thì cóa chữ số tận cùng là 6. Vậy:
	* Số 418 có chữ số tận cùng là 6 ( vì số mũ là chẳn )
	* Số 487 có chữ số tận cùng là 4 ( vì số mũ là lẻ )
	* Số 18942n = ( 1890 + 4 )2n 	42n có c ... ó 3 cách viết là: 
	82 . 253 	= 106
	82 . 253 	= 1003
82 . 253 	= 10002
	b) Nhãm c¸c thõa sè mét c¸ch thÝch hîp.
	 Bµi 2: Viết biểu thức dưới dạng một lũy thừa. 
	( 2a3x2y) . ( 8a2x3y4) . ( 16a3x3y3) 
Bài giải:
	 	( 2a3.x3y ) . (8a2x3y4) . ( 16a3x3y3) 
	= (2.8.16) (a3. a2. a3) . ( x2x3 x3) . (y.y4.y3) 
	= 28 .a8. x8. y8 = (2axy)8
	Bµi 3: Chứng tỏ rằng mỗi tổng ( hiệu ) sau đây là một số chính phương. 
	a) 32 + 42
	b) 132 -52 
	c) 13 + 23 + 33 + 43
Bµi gi¶i:
	 a) 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52
	b) 132 - 52 = 169 - 25 = 144 = 122
	c) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2 = 102
	2- Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên. 
	* Luü thõa cã c¬ sè tËn cïng ®Æc biÖt ( x, y, ÎN) 
	 = (n ÎN *)
	 = 
	 = 	(n ÎN *)
	 	(n ÎN *)
Bµi 1: Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa sau:
	a) 42k ; 42k + 1.
	b) 92k ; 92k + 1 ( k Î N*) 
Bµi gi¶i:	
	a) Ta cã: 	42k = (42)k = 
	42k + 1 = (42)k .4 = 
	b) T­¬ng tù ta cã: 	92k = 
	92k + 1 = 
	Bµi 2: Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa sau.
	a) 22005; 32006
	b) 72007 ; 82007 
Bµi gi¶i:
a) Ta cã:	22005 = (24)501 . 2 = 
	32006 = (34)501 . 32 = 
	b) Ta cã:	 72007 = (74)501 . 73 = ()501.3 = 
	82007 = (84)501 . 83 = (501 . 2 = 
	3. Tính giá trị của biểu thức:
	 a) TÝnh theo quy t¾c thùc hiÖn phÐp tÝnh:
	 Bµi 1: Tính giá trị của biểu thức sau: 
	33 . 9 - 34 . 3 + 58. 50 - 512 : 252 
Bµi gi¶i:
	 33 . 9 - 34. 3 + 58 . 50 - 512 : 252
	= 35 - 35 + 58- 58 = 0 
	b) Sö dông tÝnh chÊt phÐp tÝnh.
	Bµi 1: Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lí nhất.
	A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56
	B = 9 ! - 8 ! - 7 ! . 82
Bµi gi¶i:
 A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56
 = ( 25: 5 )6 + ( 15 : 5)6 - (10:5) 6
	= 56 + 36 - 26
	= 15625 + 729 - 64 = 16290 
 B = 9 ! -8 ! - 7! .82
	= 8 ! ( 9-1) - 8 ! 8 
	= 8 ! . 8 - 8! .8 = 0 
	c) BiÓu thøc cã tÝnh quy luËt.
	Bµi 1: TÝnh tæng. 
	A = 1 + 2 + 22+...+ 2100
	B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100
Bµi gi¶i:
	 A = 1 + 2 + 22 + ...+ 2 100
	=> 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101 
	=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) – (1 +2 + 22+ ...+2100) 
VËy	A = 2101 - 1 
	B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100
	=> 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101 
	B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101)
	4B = 3 - 3101
VËy	B = ( 3- 3101) : 4
	Bµi 2: Tính tổng. 
	a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200 
	b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301 
Bµi gi¶i:
	a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
	25 A = 52 + 54+ ...+ 5202 
	25 A - A = 5202 - 1 
VËy	A = ( 5202 -1) : 24 
	b) Tương tự:	B = 
	Bµi 3: Tính 
	A = + + + ... + 
	B = + - + ...+ 
Bµi gi¶i:
A = 	 + + + ... + 
7A = 1 + + + ... + 
=> 7A - A = 1 - 	
A = : 6 
B = + - + ...+ 
5B = -4 + + +...+ 
B+5B = -4 +
B = : 6 
Bµi 3: TÝnh 
A = 
Bµi gi¶i:
BiÕn ®æi mÉu sè ta cã: 
2530 + 2528 + 2526 +...+252 + 1 
= (2528 + 2524 + 2520 + ...+1)+ ( 2530 + 2526 +2522+...+252) 
= (2528 + 2524+ 2520+...1) +252. (2528+ 2526+ 2522+ ...+ 1) 
= (2528+ 2524 + 2520+ ...+1) . (1 + 252) 
VËy A = = 
d) Sö dông hÖ thèng ghi sæ - c¬ sè g. 
Bµi 1: Tính 
A = 6 107 + 5.105+ 4.103+2.10 
B = 12. 108 + 17.107 + 5.104 + 3 
Bµi gi¶i:
A = 6.107 + 5.105 + 4.103 + 2.10
 = 6.107 + 0.106 + 5.105 + 0.104 + 4.103+ 0.102+ 2.10 + 0.100
 = 60504020
B = 12.108 + 17 .107 + 5.104 + 3 
 = (10+2) .108+ ( 10 +7).107+5.104 + 3 
 = 109 + 2.108 + 108 + 7.107 + 5.104 + 3 
 = 109 + 3.108 + 7.107+ 0.106+ 0.105 + 5.104 +0.103 + 0.102 + 0.101+3.100
 = 1370050003. 
4. Tìm x. 
a) §­a vÒ cïng c¬ sè ( sè mò)
bài 1: T×m xN biÕt
a) 4x = 2x+1 
b) 16 = (x -1)4
Bµi gi¶i:
a) 4x = 2x + 1 
 (22)x = 2 x + 1 
 22x = 2x+ 1 
 2x = x +1 
 2x- x = 1 
	x = 1 
b) 16 = ( x -1)4
 24 = (x -1)4
 2 = x - 1 
 X = 2+1 
x = 3 
	Bµi 2: T×m xN biÕt 
	a) x10 = 1x
	b) x10 = x 
	c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3
	d) x2 < 5
Bµi gi¶i:
	a) x10 = 1x
	x10 = 110
	 x = 1 
	b) x10 = x 
	x10 - x = 0 
 x.( x9 - 1) = 0 
Ta cã: x = 0 hoÆc x9 -1 = 0 
	Mµ: x9 -1 = 0 
	 x9 = 19
	 x = 1 
	VËy x = 0 hoÆc x =1 
	 c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3
Vì hai lũy thừa bằng nhau, có cơ số bằng nhau, số mũ khác nhau ( ¹0) 
	Suy ra: 2x - 15 = 0 hoÆc 2x - 15 = 1 
	+ Nếu: 2x - 15 = 0 
	x = 15 : 2 N ( lo¹i) 
	+ Nếu: 2x - 15 = 1 
	2x = 15 + 1 
	 x = 8 
	d) Ta cã x2 < 5 
	vµ x2³ 0 => x2 Î 0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 
	Mặt khác: x2 là một số chính phương nên: 
	x2 Î 0 ; 1; 4 hay x2 Î 02 ; 12 ; 22 
	x Î 0; 1 ; 2 
 Dựa vào bài tập SGK lớp 6 
Bµi 4: T×m x Î N biÕt 
 a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2
b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2
Bµi gi¶i:
a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = (x +1)2
( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2
	552 = ( x +1) 2
	 55 = x +1 
	 x = 55- 1 
	 x = 54 
b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2 
 = ( x - 2)2
	502 = ( x -2 )2
	 50 = x -2 
	 x = 50 + 2 
	 x = 52 
	( Ta cã: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2) 
Bµi 5: T×m 1 cÆp	 x ; y Î N tho¶ m·n 
	73 = x2 - y2
	Ta thÊy: 	73 = x2 - y2
	( 13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2
	(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2
	282 - 212 = x2 - y2
	VËy 1 cÆp x; y tho¶ m·n lµ: 
	x = 28; y = 21 
	b) Sö dông ch÷ sè tËn cïng cña mét luü thõa.
	Bµi 1: T×m x ; y Î N* biÕt. 
	x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + ...+ y! 
Bµi gi¶i:
	Ta thÊy x2 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng 
	Cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1 trong c¸c ch÷ sè 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 
	Mµ: 
	+ NÕu y = 1 
	Ta cã x = 1 ! = 12 ( TM) 
	+ NÕu y = 2 
	Ta cã: x2 = 1 ! + 2! = 3 ( Lo¹i) 
	+ Với: y = 3 
	Ta cã: x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! = 9 = 32 ( TM) 
	x = 3 
	+ NÕu y = 4 
	Ta cã: x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! = 33 ( lo¹i ) 
	+ NÕu y ³ 5 
	Ta cã: 
	x2 = ( 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! ) + ( 5! + 6! + ...y! ) 
	=	 + = ( lo¹i) 
	VËy x = 1 vµ y = 1 
 x = 3 vµ y = 3 
Bµi 2: T×m x Î N* biÕt. 
A = 111.......1 	 -	 777 .......7 lµ sè chÝnh ph­¬ng 
 2 x ch÷ sè 1 x ch÷ sè 7 
Bµi gi¶i:
+ NÕu x = 1 
Ta cã: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM) 
+ NÕu x > 1 
Ta cã A = 111...1 	- 777...7 	= M 2 
	 2x ch÷ sè 1 x ch÷ sè 7 mµ M 4	
	Suy ra A kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng ( lo¹i) 
	VËy x = 1 
Dïng tÝnh chÊt chia hÕt
	Bµi 1: T×m x; y ÎN biÕt: 
	35x + 9 = 2. 5y
	*)NÕu x = 0 ta cã: 
350 + 9 = 2.5y 
	 10 = 2.5y 
 	 5y = 5 
	 y =1 
*) NÕu x >0 
	+ NÕu y = 0 ta cã: 35x + 9 = 2.50
	35x + 9 = 2 ( v« lý) 
	+ NÕu y > 0 ta thÊy: 
	35x + 9 M 5 v× ( 35x M 5 ; 9 M 5 ) 
	Mµ 2. 5y M 5 	( v« lý v× 35x + 9 = 2.5y) 
	VËy x = 0 vµ y = 1 
	Bµi 2: T×m a; b Î Z biÕt. 
	( 2a + 5b + 1 ) (2ôaô + a2 + a + b ) = 105 
Bµi gi¶i:
	*) NÕu a = 0 ta cã: 
	( 2.0 + 5b + 1) . (2101 + 02 + 0 + b) = 105 
	(5b + 1) . ( b + 1) = 105 
	Suy ra 5b + 1 ; b + 1 Î ¦ (105) mµ ( 5b + 1)M 5 d­ 1 
	Ta ®­îc 5b + 1 = 21 
	 b = 4 ( TM) 
	* NÕu a ¹ 0 
	Ta thÊy ( 2a + 5b + 1) . ( 2½a½ + a2 + a + b) = 105 
	Lµ lÎ 
	Suy ra 2a + 5b + 1 vµ 2½a½ + a2 + a + b ®Òu lÏ (*) 
	+ NÕu a ch½n ( a ¹0 ) vµ 2½a½ + a2 +a + b lÎ 
	Suy ra b lÎ.Ta cã: 2a + 5b + 1 ch½n ( v« lý) 
	+ NÕu a lÎ 
	T­¬ng tù ta thÊy v« lý
	VËy a = 0 vµ b = 4 
	5. So s¸nh c¸c sè.
	1) TÝnh: 
	Bµi 1: So s¸nh 2 luü thõa sau: 27 vµ 72
Bµi gi¶i:
	 Ta cã: 27 = 128 ; 72 = 49 
	V× 128 > 49 
	nªn 27 > 72 
	 2) §­a vÒ cïng c¬ sè ( hoÆc sè mò) 
	Bµi 1: So s¸nh c¸c luü thõa sau. 
	 a) 95 vµ 273
	 b) 3200 vµ 2300
Bµi gi¶i:
	 a) Ta cã: 	95 = (32)5 = 310
	273 = (33 )3 = 39
	V× 310 > 39
	nªn 95 > 273
	b) Ta cã: 3200 = (32)100 = 9100
	2300 = (23) 100 = 8100
	V× 9100 > 8100
	nªn 3200 > 2300
	3) Dïng sè trung gian. 
	Bµi 1: So s¸nh hai luü thõa sau: 3111 vµ 1714
Bµi gi¶i:
	Ta thÊy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 
	 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) 
	Tõ (1) vµ (2) 311 < 255 < 256 < 1714
	nªn 3111 < 1714
	Bµi 2: T×m xem 2100 cã bao nhiªu ch÷ sè trong c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n 
Bµi gi¶i:
	Muèn biÕt 2100 cã bao nhiªu ch÷ sè trong c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n ta so s¸nh 2100 víi 1030 vµ 1031. 
	 * So s¸nh 2100 víi 1030
	Ta cã: 2100 = (210)10 = 1024 10
	1030 = (103)10 = 100010 
	V× 102410 > 100010
	nªn 2100 > 1030 (*) 
	* So s¸nh 2100 víi 1031
	Ta cã: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26
	 = 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1) 
	1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53
	 = 231 . 6257. 53 (2) 
	Tõ (1) vµ (2) ta cã: 
	231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53
Hay 2100 < 1031 ( **) 
Tõ (*),( **) ta cã: 
	1031 	< 	2100 	 	< 1032
 Sè cã 31 ch÷ sè nhá nhÊt Sè cã 32 ch÷ sè nhá nhÊt 
Nªn 2100 cã 31 ch÷ sè trong c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n. 
Bµi 3: So s¸nh A vµ B biÕt. 
a) A = 	 ; 	B = 
b) 	; 	B = 
c) A = ; 	B = 
Bµi gi¶i:
 A = 
Nªn: 19A = = = 1 + 
B = 
nªn: 19B = = = 1 + 
V×: > 
Suy ra: 1 + > 1 + 
Hay: 19A > 19B 
Nªn: A > B 
b) A = 
nªn: 22 . A = = = 1 - 
B = 
nªn: 22.B = = = 1- 
V× : > 
 Suy ra: 1 - < 1- 
Hay: 22 A < 22 B
Nªn: A < B 
c) Ta cã: 
A = = 
T­¬ng tù: B = 
Tõ (1) vµ (2) Ta cã:
A = + 5 > 5 > 4 > + 3 =B 
nªn: A > B 
6. Chøng minh: 
1) Nhãm c¸c sè mét c¸ch thÝch hîp.
Bµi 1: Cho A = 1 + 3 +32 +...+311
 Chøng minh: 
a) A ∶ 13
b) A ∶ 40
Bµi gi¶i:
a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311
= (1+3 + 32) + (33+ 34+ 35) + ...+ (39+ 310+ 311) 
= ( 1+ 3 +32) + 33 . (1 +3 + 32) + ...+39. (1 + 3 + 32) 
= 13 + 33 . 13 + ...+ 39 . 13 
= 13. ( 1+ 33 + ... + 39 ) ∶ 13 
Hay A ∶ 13 
b) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) 
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33) 
= 40 + 34 . 40 + 38 . 40 
= 40 . ( 1 + 34 + 38) ∶ 40 
Hay A ∶ 40 
2) Thªm bít mét l­îng thÝch hîp.
 Bµi 1: Cho 10k - 1 ∶ 19 ( k Î N) 
Chøng minh: 
a) 102k - 1 ∶ 19 
b) 103k - 1 ∶ 19 
Bµi gi¶i:
a) Ta cã: 
102k - 1 = ( 102k - 10k) + (10k - 1)
= 10k . ( 10k - 1) + ( 10k - 1) 
= (10k - 1). ( 10k + 1) ∶ 19 v× 10k -1 ∶ 19
 b) 103k - 1 = ( 103k - 102k ) + (102k - 1) 
V×: 10k - 1 ∶ 19 
102k - 1 ∶ 19 ( theo c©u a ) 
3) Dïng ch÷ sè tËn cïng cña luü thõa ®Æc biÖt: 
Bµi 1: Cho n ÎN ; n > 1 
Chøng minh: 	 + 1 cã tËn cïng lµ 7 
Bµi gi¶i:
V× n > 1 nªn 2n ∶ 4 
Suy ra: 2n = 4k ( k ÎN *) 
Ta cã: + 1 = 24k + 1 = (24)k + 1 
= 16 k + 1 = + 1 = 
V× : 16k = ( k ÎN (*)) 
Sau đây là điểm khảo sát chất lượng học sinh lớp 6
năm học: 
Khảo sát chất lượng học sinh:
§iÓm d­íi 5
§iÓm 57
§iÓm 810
§ît 1
§ît 2
C. KÕt luËn:
Bài viết này được rút ra từ trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu toán 6. với cách phân dạng này để giúp học sinh tiếp cận và hình thành kĩ năng giải một cách dễ hiểu, phù hợp với nội dung chương trình mới. Qua các dạng đó rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, sáng tạo, khái quát hóa, tương tự hóa...biết chuyển các dạng khác về dạng đã học.