Sáng kiến kinh nghiệm - Phát triển bài toán mới từ bài toán cơ bản để nâng cao năng lực tư duy của học sinh - Phạm Ngọc Toàn

Đề tài : Phát triển bài toán mới từ bài toán cơ bản để nâng cao năng lực tư duy của học sinh
áp dụng: dùng ôn tập chương I cho học sinh lớp 6.
Đặt vấn đề:
I- Lý do chọn đề tài
Mọi dòng sông lớn đều bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mọi bài toán khó đều bắt nguồn từ những bài toán đơn giản hơn. Đối với học sinh lớp 6, bước dầu làm quen với bộ môn hình học phẳng. việc tiếp thu môn hình học bước đầu còn tương đối khó khăn. Vì vậy để học sinh giỏi môn hình học không những phải yêu cầu học sinh nắm vững và biết vận dụng các bài toán cơ bản mà còn phải biết cách phát triển nó thành những bài toán mới có tầm suy luận cao hơn, nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh. Cách dạy và học như vậy mới đi đúng đổi mới giáo dục hiện nay. Có như vậy mới tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh. Khơi dậy khả năng tự lập, chủ động , sáng tạo của học sinh. Nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề. Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tế, tác động đến tình cảm, đem lại niềm say mê và hứng thú học tập cho học sinh.
II- Cơ sơ thực tiễn.
Từ trước đến nay việc dạy và học toán thường sa vào đọc chép áp đặt, bị động, người giáo viên thường chú trọng đến số lượng bài tập . Nhiều học sinh chỉ hiểu bài thầy chữa mà không tự giải được bài tập. Việc phát triển bài toán ít được học sinh quan tâm đúng mức. Phần nhiều học sinh cảm thấy sợ học môn hình học, giải bài tập hình học. Thực tiễn dạy học cho thấy: HS khá - giỏi thường tự đúc kết những tri thức, phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm; còn HS trung bình hoặc yếu kém, gặp nhiều lúng túng.
Để có kĩ năng giải bài tập hình phải qua quá trình luyện tập. Tuy rằng, không phải cứ giải bài tập nhiều là có kĩ năng. Việc luyện tập sẽ có hiệu quả, nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, nhằm rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó. 
Nếu thầy giáo biết hướng cho học sinh cách học chủ động thì học sinh không những không còn ái ngại học hình học mà còn hứng thú với việc học hình. Học sinh không còn cảm thấy học hình học nói riêng và học toán nói chung là gánh nặng, mà còn ham mê học toán có được như thế mới là thành công trong việc dạy toán.
Qua thực tế giảng dạy trên lớp bản thân tôi có sáng kiến kinh nghiệm nhỏ trong vấn đề: " Giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, vận dụng và đào sâu kiến thức qua khai thác Phát triển bài toán mới từ bài toán cơ bản để nâng cao năng lực tư duy của học sinh’’
III/ Thực trạng của vấn đề:
 1) Thực trạng:
	Qua công tác giảng dạy toán nói chung và môn hình học lớp 6 ở trường THCS Định Long nói riêng. Trong những năm qua tôi thấy rằng đa số học sinh:
	- Không chịu đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau, không sử dụng hết các dữ kiện của bài toán...
	- Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán giải hoặc áp dụng phương pháp giải một cách thụ động .
	- Không chịu suy nghĩ tìm cách giải khác nhau cho một bài toán hay mở rộng lời giải tìm được cho các bài toán khác, do đó hạn chế trong việc rèn luyện năng lực chứng minh hình học.
 2) Kết quả của thực trạng trên:
	Từ thực trạng của đa số học sinh lớp 6 trường THCS Định Long như thế đã dẫn tới kết quả đa số các em cảm thấy học môn hình khô khan, khó hiểu, không có hứng thú cao đối với môn hình nói riêng và môn toán nói chung, điều đó đã ảnh hưởng không nhỏ tới việc học tập của các em. Chính vì thế mà tôi đã mạnh dạn áp dụng và lồng ghép vào trong từng tiết luyện tập, các buổi bồi dưỡng một số phương pháp nhằm " phát triển tư duy " của các em, điều đó đã đem lại kết quả khả quan : Đa số các em trong những lớp mà tôi giảng dạy đã có sự chú ý và ham mê đối với môn hình nhiều hơn dẫn đến kết quả , chất lượng môn toán ở các lớp đã có sự chuyển biến tích cực hơn. Chính vì thế mà tôi đã quyết định nêu một số biện pháp của mình đã được thử nghiệm và có kết quả tốt, để các đồng nghiệp có thể tham khảo và góp ý thêm cho tôi. Trước khi tôi chưa áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy, thực tế điều tra ở học sinh lớp 6 năm trước nhận thấy như sau:
Lớp
Sĩ số
Số HS tự học( có phát huy được tính tư duy sáng tạo)
Số HS tự học( chưa phát huy được tính tư duy sáng tạo)
6A
28
10(32,1%)
18(67,9%)
	Tôi đem vấn đề mà mình tìm tòi phát hiện ra trao đổi với một số đồng nghiệp . Họ cũng nhất trí cho rằng tuy vấn đề mà tôi phát hiện chỉ là vấn đề nhỏ , song nó giúp cho học sinh rất lớn về mặt tư duy sáng tạo và hình thành cho học sinh thói quen luôn tự đặt câu hỏi và tìm cách giải quyết mỗi vấn đề khi giải bài tập hình cũng như là học toán. Hình thành cho học sinh thói quen nghiên cứu khoa học, tôi đã đem vấn đề này dạy cho một số học sinh trong tiết ôn tập chương I và trong giảng dạy đạt được một số kết quả nhất định.
Nội dung
I/ Các giải pháp thực hiện:
	Để phát triển " Tư duy của học sinh " thông qua việc dạy bài ôn tập chươngI ở lớp 6. Quán triệt quan điểm dạy học theo hướng " Phát huy tính tích cực, tự giác, thói quen nghiên cứu khoa học cho học sinh " thì việc hướng dẫn học sinh có thói quen khai thác, nhìn nhận một vấn đề trên nhiều khía cạnh khác nhau sẽ có tác dụng tốt trong việc phát triển tư duy lô gic, độc lập sáng tạo cho học sinh. Rèn luyện cho học sinh một số phương pháp luận khi giải bài toán hình học như: 
	- Phương pháp phân tích tổng hợp
	- Phương pháp so sánh
	- Phương pháp tổng quát hoá 
II/ Các biện pháp tổ chức thực hiện:
Do điều kiện không cho phép sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán hình học bắt đầu từ bài toán cơ bản, tôi thay đổi giả thiết của bài toán để được bài toán mới vẫn giữ nguyên bản chất của bài toán cũ nhưng phải có mức độ tư duy cao hơn; phải có tư duy tổng quát hoá mới giải quyết được vấn đề ,tôi thấy vận dụng vào quá trình ôn tập cho học sinhlớp 6 rất phù hợp.
Bài toán1: (bài tập 18 trang 109 sách giáo khoa toán 6 tập I)
 Cho 4 diểm M,N,P,Q trong đó ba điểm M,N,P thẳng hàng, Kẻ các đường thẳng đi qua các điểm. Có bao nhiêu đường thẳng phân biệt.
Nhận xét: Đối với bài toán này. đối tượng học sinh trung bình, thậm chí một số học sinh yếu cũng có thể vẽ hình và làm một cách dễ dàng sau khi đã học xong chương I( chương Đoạn thẳng) .Tôi thu được kết quả như sau:
Lớp
Sĩ số
Số HS làm được
Số HS chưalàm được
6A
28
27
1
Lược giải: (Hình 1)
 Q
 a
 M N P 
Hình vẽ bên có 4 đường thẳng phân biệt là: MQ, NQ, PQ, MN
Chú ý: Ta chỉ tính đến các đường thẳng phân biệt, các đường thẳng trùng nhau ta coi như một đường thẳng.
Từ bài toán 1, lợi dụng luôn hình vẽ ta cho học sinh làm bài toán sau:
Bài toán 2: Cho hình 1
a) Có bao nhiêu đoạn thẳng nằm trên đường thẳng a.
b) Có bao nhiêu đoạn thẳng trong hình 1
c) Có bao nhiêu tam giác trong hình 1.
Lược giải:
Có 3 đoạn thẳng là: MN ,NP, MP nằm trên đường thẳng a.
Có 6 doạn thẳng trên hình vẽ 1, đó là: MN, NP, MP, MQ, NQ, PQ.
Có 3 tam giác trong hình 1, đó là: 
Nhận xét: Bài toán này so với bài toán trên cũng không có gì khác lắm, tương đối dễ đôi với học sinh trung bình, thậm chí yếu nếu chú ý thì cũng có thể quan sát “ bằng cách đếm” và trả lời yêu cầu của đề bài một cách hoàn hảo, số học sinh làm được bài tập này cũng khá cao (26 hs)
Xuất phát từ bài toán 2 không thay đổi bản chất bài toán Tôi giao cho học sinh làm bài toán sau nhưng khó hơn.
Bài toán3: Cho năm điểm A,B,C,D,P thuộc đường thẳng a và điểm Q không thuộc đường thẳng a. Hỏi:
Có bao nhiêu đoạn thẳng thuộc đường thẳng a.
Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo ra từ 6 điểm trên.
Có bao nhiêu tam giác được tạo ra từ 6 điểm trên.
Lược giải:	
 Q
 a
 A B C D P
Trên đường thẳng a có 10 đoạn thẳng, đó là: AB, AC, AD, AP, BC, BD, BP, CD, CP,DP.
Có tất cả 15 đoạn thẳng được tạo ra từ 6 điểm A,B,C,D,P,Q là:
 AB, AC, AD, AP, BC, BD, BP, CD, CP, DP, AQ, BQ, CQ, DQ, PQ.
c) Có 10 tam giác được tạo ra từ 6 điểm trên, đó là: 
 ,
Nhận xét:
Về bản chất bài toán: giống bài toán 2
Cái khác ở đây là: ở bài toán 2 có 4 điểm, trong đó có ba điểm thẳng hàng, còn ở bài toán 3 có 6 điểm, trong đó có 5 điểm thẳng hàng.
Nếu cứ sử dụng phương pháp đếm thì học sinh dễ bị nhầm lẫn, do đó bài toán này chỉ có một số học sinh trung bình và học sinh khá giỏi là làm được, còn một số học sinh trung bình và số học sinh yếu, kém chỉ ra không đủ được số đoạn thẳng, số tam giác, hoặc chỉ ra số đoạn thẳng , số tam giác trùng nhau. cụ thể tôi thu được kết quả như sau:
Lớp
Sĩ số
Số HS làm được
Số HS chưalàm được
6A
28
18
10
Vẫn giữ nguyên bản chất bài toán 3, nhưng ta tăng số điểm trên đường thẳng a lên 10 điểm ta có nội dung bài toán 4 như sau:
Bài toán4: Cho 10 điểm A1, A2,......,A10 nằm trên đường thẳng a và điểm M không nằm trên đường thẳng a.
a) Có bao nhiêu đoạn thẳng thuộc đường thẳng a.
b) Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo ra từ 11 điểm trên.
Có bao nhiêu tam giác được tạo ra từ 11 điểm trên.
( chú ý: không cần chỉ ra chi tiết tên từng đoạn thẳng, từng tam giác)
Nhận xét:
Về bản chất, bài toán không khác bài toán 3
Điểm khác ở đây là bài toán 3 có 5 điểm nằm trên đường thẳng a, còn bài toán 4 này có những 10 điểm thuộc đường thẳng a, do vậy:
+ Các em học sinh không thể sử dụng phương pháp “ đếm” để làm bài toán này vì rất dễ nhầm lẫn trong khi đếm do quá nhiều điểm. 
+ Do vậy trong lớp 6A mà tôi dạy chỉ có 3 học sinh làm được bài này,thế nhưng các em trình bày lời giải cũng chưa trình bày cho tôi thuyết phục được. còn các học sinh khác không biết làm thế nào. Vì vậy tôi đã đưa ra một số gợi ý cho các em như sau:
 M
 a
 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
Một số gợi ý
Xét trên đường thẳng a:
?- Điểm A1 kết hợp với 9 điểm còn lại tạo được bao nhiêu đoạn thẳng?
(H/S: tạo thành 9 đoạn thẳng)
?- Tương tự điểm A2 kết hợp với 8 điểm còn lại( trừ điểm A1 ) tạo thành bao nhiêu đoạn thẳng?
(H/S: tạo thành 8 đoạn thẳng)
?- Cũng tương tự như vậy các điểm A3, A4 ,A5 ,A6 ,A7 ,A8, A9 lần lượt kết hợp với các điểm (trừ những điểm đã kết hợp trước đó) tạo thành lần lượt bao nhiêu đoạn thẳng? 
(H/S:lần lượt tạo thành 7,6,5,4,3,2,1 đoạn thẳng)
?- Vậy tổng số đoạn thẳng thuộc đường thẳng a là bao nhiêu?
(H/S:số đoạn thẳng là 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45)
?- Vậy tổng số đoạn thẳng được tạo ra từ 11 điểm là bao nhiêu?
(H/S:số đoạn thẳng là 45+10=55 đoạn)
GV: nhận xét các tam giác tạo thành đều có trung đỉnh M và trong đó có một cạnh luôn nằm trên đường thẳng a, vậy:
?- Đoạn thẳng MA1 kết hợp với các đoạn thẳng MA2, MA3,.........,MA9 tạo nên bao nhiêu tam giác?
(H/S:số tam giác là 9)
?- Tương tự đoạn thẳng MA2 kết hợp với các đoạn thẳng MA3,MA4,.........,MA9( trừ đoạn thẳng MA1) tạo thành bao nhiêu tam giác?
(H/S : tạo thành 8 tam giác )
?- Cũng tương tự như vậy lần lượt các đoạn thẳng MA3,MA4,.........,MA9 kết hợp với các đoạn thẳng còn lại (trừ những đoạn thẳng đã kết hợp với nó trước đó) lần lượt được bao nhiêu đoạn thẳng ?
 (H/S : lần lượt tạo thành 7,6,5,4,3,2,1 tam giác )
?- Vậy tổng số tam giác được tạo thành từ 11 điểm trên hình vẽ là bao nhiêu tam giác?
H/S : tổng số tam giác được tạo thành là: 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 )
- Với cách vấn đáp gợi mở như trên, đa số học sinh của tôi đã làm được bài này, cụ thể tôi thu được kết quả bất ngờ như sau:
Lớp
Sĩ số
Số HS làm được
Số HS chưalàm được
6A
28
21
7
Qua bài tập này tôi đã giúp học sinh của tôi có hướng suy nghĩ để nhằm hình thành tư duy khái quát bài toán chứ không còn sử dụng cách đếm
để làm bài tập dạng này nữa, tôi cho một học sinh lên trình bày lời giải và em đã trình bày bài một cách tương đối hoàn chỉnh như sau:
Bài giải:
a) Xét trên đường thẳng a:
Điểm A1 kết hợp với 9 điểm còn lại tạo được 9 đoạn thẳng.
Tương tự điểm A2 kết hợp với 8 điểm còn lại( trừ điểm A1 ) tạođược8 đoạn thẳng.
Cũng tương tự như vậy các điểm A3, A4 ,A5 ,A6 ,A7 ,A8, A9 lần lượt kết hợp với các điểm (trừ những điểm đã kết hợp trước đó) tạo thành lần lượt 7,6,5,4,3,2,1 đoạn thẳng
Vậy tổng số đoạn thẳng thuộc đường thẳng a là :
 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 (đoạn thẳng)
b) Vậy tổng số đoạn thẳng được tạo ra từ 11 điểm là :
45+10=55 (đoạn thẳng)
c) Nhận xét: các tam giác tạo thành có đặc điểm có cùng chung một đỉnh M
có một cạnh luôn nằm trên đường thẳng a, các cạnh này đối diện với đỉnh M, do số đường thẳng nằm trên đường thẳng a là 45 nên số tam giác tạo thành là 45 tam giác.
Từ kết quả trên tôi cho học sinh làm nhanh một bài toán , thực chât là bài toán tổng quát hơn của các bài toán 1,2,3,4 như sau
Bài toán 5:
Cho 2009 điểm A1 ,A2 ,A3 ,.....,A2009 nằm trên đường thẳng a và điểm M không nằm trên đường thẳng a.
a) Có bao nhiêu đoạn thẳng thuộc đường thẳng a.
b) Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo ra từ 2010 điểm trên.
c) Có bao nhiêu tam giác được tạo ra từ 2010 điểm trên.
Về bản chất bài toán 5 không khác với 4 bài toán đã nêu trên, cách suy luận giống bài toán 4, tôi cho học sinh nháp, cho ra nhanh kết quả, và đa số học sinh trả lời được, tôi thu được kết quả sau:
Lớp
Sĩ số
Số HS làm được
Số HS chưalàm được
6A
28
20
8
a) Số đoạn thẳng thuộc đường thẳng a là:
 2008+2007+....+1=2009.1004=2017036 (đoạn thẳng)
b) Số đoạn thẳng được tạo nên từ 2010 điểm là:
2009+2017036 (đoạn thẳng)
 c) Số tam giác được tạo ra từ 2010 diểm là:2017036 (tam giác)
Kết thúc giờ ôn tập chương tôi giao cho học sinh về nhà làm bài tập tổng quát của 5 bài tập trên như sau:
Bài toán 6:
Cho n điểm A1 ,A2 ,A3 ,.....,An nằm trên đường thẳng a và điểm M không nằm trên đường thẳng a.
a) Có bao nhiêu đoạn thẳng thuộc đường thẳng a.
b) Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo ra từ n+1 điểm trên.
c) Có bao nhiêu tam giác được tạo ra từ n+1 điểm trên.
Giờ học sau đó tôi thu vở bài tập chấm; và tôi đã thu được kết quả mĩ mãn sau:
Lớp
Sĩ số
Số HS làm đúng
Số HS chưalàm đúng
6A
28
22
6
a)Số đoạn thẳng thuộc đường thẳng a là: (n+1).n:2
 b) Số đoạn thẳng được tạo nên từ n+1 điểm là: (n+1).n.n:2
c) Số tam giác được tạo ra từ n+1 điểm là:(n+1).n:2 (tam giác)
C- kết luận:
	Qua bài giảng này bản thân tôi thấy với cách chủ động tự nêu vấn đề và giải quyết vấn đề có sự giúp đỡ của giáo viên làm cho học sinh có hứng thú trong khi học và giúp học sinh có thói quen " suy nghĩ ", giải quyết bài toán ở nhiều góc độ khác nhau thông qua một bài toán đơn giản bằng tư duy khái quát hoá để làm được bài toán khó hơn, tổng quát hơn, từ đó các em học sinh hình thành tư duy của mình biết ỵư phàt triển tư duy khi học môn hình học nói chung, môn toán nói riêng. Vấn đề này giúp học sinh giải quyết một bài toán hình chắc chắn hơn, sáng tạo hơn
 1. Kết quả nghiên cứu: 
	Sau khi vận dụng sáng kiến này vào giảng dạy bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi, tôi điều tra và cho kết quả như sau:
Lớp
Sĩ số
Số HS tự học( có phát huy được tính tư duy sáng tạo)
Số HS tự học( chưa phát huy được tính tư duy sáng tạo)
6A
28
22
6
 2. Kiến nghị đề xuất:
Đây chỉ là vấn đề nhỏ mà tôi đưa vào bài dạy bồi dưỡng, nhằm phát huy và giúp học sinh nâng cao khả năng tự học, tự giải quyết vấn đề. Bài học đã cho kết quả rất tốt. Mong các đồng nghiệp góp ý và bổ sung, cho đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
	Định long, tháng 3 năm 2009
	 Người thực hiện
	 Phạm ngọc toàn
Mục lục 	 Trang
A- Đặt vấn đề ................................................................................................. 1
	I/ Lý do chọn đề tài.....................................................................................1
	II/Cơ sở thực tiễn .......................................................................................1
	III/ Thực trạng của vấn đề .......................................................................2
	 1. Thực trạng............................................................................................2
	 2. Kết quả của thực trạng........................................................................3
B – nội dung .....................................................................................................5
	I/ Các giải pháp thực hiện.........................................................................5
	II/ Các biện pháp tổ chức thực hiện.........................................................5
	Bài toán 1........................................................................................5
 	Bài toán 2....................................................................................... 6
 	Bài toán 3............................................................................................7
	Bài toán 4................................................................................................8
	Bài toán 5............................................................................................. 11
	Bài toán 6..............................................................................................12
C - Kết luận ..................................................................................................13
------------Tháng 03 năm 2009----------