Sáng kiến kinh nghiệm - Một vài phương pháp khai thác bài toán Lớp 6 nhằm pháp triển tư duy cho học sinh

Một vài phương pháp khai thác bài toán lớp 6
Nhằm pháp triển tư duy cho học sinh.
a. Đặt vấn đề :
I – Lý do viết sáng kiến kinh nghiệm
Trong nhiều năm qua, việc nghiên cứu tổng kết các kinh nghiệm giáo dục và các hội nghị điển hình tiên tiến đã đem lại kết quả cao cho công tác giảng dạy và giáo dục. Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy cho giáo viên. Trong việc giảng dạy các môn học theo quy định của Bộ GD & ĐT, môn học nào cũng quan trọng, nó có tác động và hỗ trợ lẫn nhau. Trong các môn học đó, môn Toán là một môn học có vị trí quan trọng. 
 Trong chương trình đổi mới sách giáo khoa và phương thức giảng dạy hiện nay, học sinh trong việc chủ động trong mọi hoạt động học tập và lĩnh hội tri thức, việc kích thích tính học tập chủ động của học sinh là rất cần thiết trong từng tiết dạy lý thuyết và đặc biệt là tiết luyện tập, ôn tập đòi hỏi người giáo viên luôn luôn sáng tạo trong từng bài dạy từng tiết dạy để tránh việc " thông báo kiến thức ", ''chữa bài tập'' qua đó học sinh thấy hứng thú và chủ động tìm tòi cái mới từ cái đã có.
 Để làm được điều này người giáo viên phải tạo ra được cái mới từ những cái đã có bằng việc đào sâu mở rộng khai thác một cách triệt để từ những cái ban đầu, có thể khó thì ta làm dễ đi để đơn giản hoặc từ dễ ta tổng hợp lên để nó thích ứng được với từng đối tượng, hoặc tạo ra những bài toán có nhiều tình huống gắn được với thực tế.
 Để đáp ứng những yêu cầu trên sau đây là một vài phương pháp, vài ví dụ nhằm dẫn đến những tình huống mới, những bài toán mới trong các tiết dạy lý thuyết đặc biệt là tiết luyện tập, ôn tập.
II. giới hạn viết sáng kiến kinh nghiệm
 Theo tôi với “ một vài phương pháp khai thác bài toán” tôi trình bày sau đây có thể được áp dụng dạy ở tất cả các khối lớp, dạy các đối tượng học sinh. Cho dù đối tượng học sinh nào khi đã được giáo viên dẫn dắt theo phương pháp này đều có thể chủ động giải toán, không những thế mà còn say mê môn toán, khi làm toán còn tự ra cho mình thêm nhiều bài toán mới với những tình huống mới, khiến các em gần và yêu toán hơn.
 Để đơn giản vấn đề dưới đây tôi chỉ đưa ra các ví dụ áp dụng giới hạn trong chương trình lớp 6.
b. Giải Quyết vấn đề:
i. Những con đường khai thác bài toán :
 Một vấn đề đặt ra là nên cấu tạo đề bài toán như thế nào ( với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kiểm tra năng lực toán học v.v..) để phù hợp phương pháp dạy học đổi mới theo định hướng tích cực độc lập sáng tạo.
Câu trả lời đã trở nên dễ dàng nếu chúng ta xét hệ thống bài tập trong sách giáo khoa mới. ở đây tôi chỉ xin trao đổi một số cách thức thông qua một vài ví dụ xây dựng bài toán mới từ các bài toán ban đầu theo sơ đồ sau:
Bài toán ban đầu
Bài toán mới
Lập bài toán tương tự
Lập bài toán ngược
Thêm một số yếu tố (Đặc biệt hóa)
Bớt một số yếu tố (Khái quát hóa)
Thay đổi một số yếu tố 
II. Nội dung cụ thể :
 ở phần này tôi xin giới thiệu một số bài toán được tạo ra từ bài toán ban đầu, với cách làm này việc học luyện tập và ôn tập giúp học sinh luôn thấy hứng thú tránh cho giáo viên việc dạy các tiết này chỉ là tiết chữa bài tập, học sinh thấy được sự đa dạng trong toán học.
1. Lập bài toán tương tự bài toán ban đầu 
 Đây là những bài toán có thể từ thực tế, có thể có nhiều tình huống nhằm tạo cho các em những hứng thú tốt trong việc tìm kiến thức và tư duy. Giáo viên sử dụng trong việc khai thác tiếp cận kiến thức bài mới hoặc trong tiết luyện tập.
Cơ sở: Tương tự :
- Có đường lối giải quyết giống nhau, phương pháp giống nhau.
- Có những nét giống nhau trong nội dung.
- Cùng đề cập đến một vấn đề.
Từ việc đối chiếu so sánh các đối tượng có thể đưa ra các giả thuyết tương tự và loại trừ.
Bài toán ban đầu : 
Cho A = 1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 +...+ 9.10 . Tính B = 3.A
Lời giải 1 :
 B = (1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 +...+ 9.10).3
= 1.2.3 +2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3 +...+ 9.10.3
= 1.2.(3- 0)+2.3.(4-1) + 3.4.(5- 2) + 4.5.(6 - 3) +...+ 9.10.(11 - 8)
=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+9.10.11-(1.2.3+2.3.4 +3.4.5+...+ 8.9.10 )
= 9.10.11
= 990
Lời giải 2 : 
B = (1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 +...+ 9.10 ).3
 = (0.1 +1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 +...+ 9.10).3
 =[1(0 +2) + 3 (2 +4) + 5(4 +6)+...+9(8 +10)].3
Từ đó cho ta cách tính tổng bình phương của các số lẻ :
Từ đó ta có các bài toán :
Bài 1: Tính : P 	= 12 + 32 + 52+...+ (2n+1)2
Bài 2 :Tính : Q	= 112 + 122 + 132 +...+ (2n+1)2
Bài 3: Tính : R 	= 22 + 42 +...+ (2n)2 
Chú ý: Từ cách giải 2 ta cũng có thể duy ra được công thức tính bình phương của tổng các số chẵn.
	C= (1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 +...+ 9.10 +10.11 ).3
	 =[2(1 +3) + 4 (3 +5) + 6(5 +7)+...+10(9 +11)].3
	 = (22 + 42 + 62+...+102).6
	Vậy:	
Bài 4: Tính : M = 12 +22 + 32 +...+ n2
Bài 5: Tính : N = -12 + 22 - 32 + 42 -...-992 + 1002
Bài toán 5 có thể tách làm hai chuỗi hoặc :
	N 	= (22 -12) + (42 - 32) + ...+( 1002 - 992)
	= 3 + 7 + ...+ 199
Nếu bạn để ý đến số 3 trong dãy 1.2 trong bài toán ban đầu thì bạn có thể dễ dàng giải quyết bài toán sau :
Bài 6: Cho A = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 +....+ 8.9.10 . Tính A ? 
2. Lập bài toán ngược bài toán ban đầu
	Cơ sở: Thiết lập mệnh đề đảo
Ví dụ 1:
 Bài toán ban đầu : 
 Để đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 cần viết tất cả bao nhiêu chữ số?
Bài giải:
Số trang có một chữ số là: 9 ( trang) 
Số trang có hai chữ số là: 49 – 10 + 1 = 40 ( trang)
Số chữ số cần viết là: 9.1 + 40.2 = 89 (chữ số)
Từ đó ta có các bài toán “ngược” như sau:
Bài 1: Để đánh số trang sách của một quyển sách dùng tất cả 282 chữ số. Hỏi quyển sách đố có bao nhiêu trang ?
Bài giải:
Để đánh số 9 trang đầu cần:
 9-1+1=9 (số có 1 chữ số).
Để đánh số các trang từ 10 đến 99 cần:
99 – 10 + 1 =90 (số có hai chữ số).
Do đó còn:
282 - (9.1 + 90.2) = 93 (chữ số) để đánh số các trang tiếp theo.
Các chữ số này dùng để đánh số các trang có ba chữ số.
Số các trang có 3 chữ số là: 93:3=31( số).
Cuốn sách đó có số trang là: 9 + 90 + 31 = 130(trang).
Vậy cuốn sách có 130 trang.
Bài 2: Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng các chữ số chẵn 2;4;6;8;... .Hỏi bạn Lâm cần viết tất cả bao nhiêu chữ số ?. Chữ số thứ 300 là chữ số nào ?
Bài 3: Viết liền nhau dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1. Hỏi chữ số thứ 2002 là chữ số nào?
Bài 4: Viết liền nhau các số tự nhiên lẻ bắt đầu từ 1. Hỏi chữ số thứ 123 là chữ số nào? 
Bài5:
Viết liền nhau liên tiếp:LÊQUYĐÔNLÊQUYĐÔNLÊQUYĐÔN... Hỏi chữ cái in hoa thứ 2011 là chữ cái nào ?
Ví dụ 2 :
Bài toán ban đầu
Cho biết a + 4b chia hết cho 13 với a, b là số nhiên. 
Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13.
Bài giải:
Đặt a + 4b = x và 10a + b = y. 
Ta biết x 13, cần chứng minh y13.
Cách 1: Xét biểu thức:
10x - y = 10(a + 4b) - (10a + b) = 39b
Như vậy 10x – y 13
Do x 13 nên 10x 13 (vì 10;13)=1)
Suy ra y13
Cách 2: Xét 4y – x = 4(10a + b) – ( a + 4b) = 39a
Như vậy 4y – x 13
Do x 13 
Nên 4y 13 
Mà (4, 13) = 1
Suy ra y 13
Cách 3: 
Xét biểu thức 3x + y = 3 (a + 4b) + 10a + b = 13a + 13b=13(a +b)
Như vậy 3x + y 13
Do x 13 và (3,13)=1
nên 3x 13
Suy ra y 13.
Cách 4: 
Xét biểu thức x + 9y = a+ 4b + 9 (10a + b)=91a + 13b = 13(7a + b)
Như vậy x + 9y 13
Mà x 13
Nên 9y 13 => y 13 ( vì (9,13) = 1)
Nhận xét: Trong các cách giải trên, ta đưa biểu thức sau khi rút gọn là bội của 13. Trong đó biểu thức ban đầu ( có hai số hạng ) có một số hạng chia hết cho 13. Từ đó ta kết luận số còn lại chia hết cho 13.
 Hệ số a ở x là 1, Hệ số a ở y là 10 nên ta xét 10x – y nhằm khử a (tức là làm cho hệ số ở a bằng 0), xét hệ số 3x + y nhằm tạo ra hệ số ở a bằng 13.
 Hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1 nên xét biểu thức
 4y – x nhằm khử b, xét biểu thức x + 9y nhăm tạo ra hệ số của b bằng 13. 
Từ đó ta lập được bài toán đảo lại liệu có đúng không?
Bài toán mới: 
Cho biết 10a + b chia hết cho 13 với a, b là số nhiên. 
Chứng minh rằng a + 4b chia hết cho 13.
(Dựa vào cách chứng minh tương tự ta dễ dàng chứng minh được bài toán ngược luôn đúng.)
3. Thêm vào bài toán ban đầu một số yếu tố (Đặc biệt hóa bài toán)
Cơ sở: 
Từ bài toán ban đầu thêm vào hoặc bớt đi một số yếu tố ở giả thiết , kết luận một số yếu tố để bài toán có thể dễ hơn hoặc khó hơn.
Ví dụ1:
 Bài toán ban đầu : Tính tổng : 
 Để giải bài toán này không khó ta sử dụng tách ra thành hiệu phân số với . Chúng ta có bài toán mới :
Bài1:Tính : 
Nhưng nếu ta thêm vào một yếu tố nữa thì bài toán trên sẽ khó hơn: 
Bài2:Tính : 
Bài3:Tính :
Bài4:Tính : 
Bài 5: Tính: 
Bài 6: Tính:
Bài 7: Tìm biết: 
Bài 8: Tìm biết: 
 Dựa vào cách làm đó thay đề bài dưới cách hỏi chứng minh để có thêm các bài toán mới đa dạng hơn, khó hơn. 
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có:
Bài 10: Chứng minh rằng:
Bài 11: Chứng minh rằng: 
Bài 12: Chứng minh rằng: 
Ví dụ 2: 
Bài toán ban đầu :
 Tìm cặp số nguyên x , y thỏa mãn : x.y = 7 và x>y.
Học sinh có thể giải bài này bằng cách tách như sau : 
x.y = 1.7 = (-1).(-7)
Hoặc bằng cách khác:
Ta có xy=7 =>x,yƯ(7)
Mà Ư(7) = {-7;-1;1;7}
Mặt khác x>y
=>Các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là:(7;1) ; (-1;-7)
Ta thêm vào bài toán một số yếu tố bài toán sẽ trở nên đa dạng hơn 
Bài 1:Tìm cặp số nguyên x , y để :
a)(x -1 ).(y+3) = 7
Bài 2: Tìm cặp số nguyên x , y để :
x(x+3)=0
(x-2)(5-x)=0
(x-1)(x+1)=0
Bài 3: Tìm cặp số nguyên x , y để :
(x-3)(2y+1)=7
(2x+1)(3y-2)=-55
Bài 4: Tìm số nguyên x để :
(x+3)(x-7)<0
(x+7)( x- 49)<0
(x-7)( x- 49)<0
Bài 5: Tìm cặp số nguyên x , y để :
xy+3x-7y=21
xy+3x-2y=11
(Bài này khó hơn một chút, cần đưa về dạng tích rồi làm tương tự như bài ban đầu) Hướng dẫn giải:
xy+3x-7y=21
(xy+3x)-(7y+21)=0
x(y+3)-7(y+3)=0
(x-7)(y+3)=0
x-7=0 hoặc y+3=0
Vậy x=7 hoặc y=-3
xy+3x-2y=11
(xy+3x) – 2y=11
x(y+3)-2y-6=11-6
x(y+3)-(2y+6)=5
x(y+3)-2(y+3)=5
(x-2)(y+3)=5
=>(x-2),(y+3) là ước của 5
Mà Ư(5)={-5;-1;1;5}
Ta có bảng sau:
x-2
-5
-1
1
5
y+3
-1
-5
5
1
x
-3
1
3
7
y
-4
-8
2
-2
Vậy các cặp số nguyên (x,) cần tìm là: (-3;-4), (1;-8), (3;2), (7,-2)
4. Bớt đi một số yếu tố của bài toán ban đầu ( Khái quát hóa bài toán)
	Cơ sở: Khi đề xuất bài toán mới bằng cách bớt đi một số yếu tố của bài toán ban đầu, ta có thể bỏ đi một vài dữ kiện đã cho, bỏ đi một vài điều kiện ràng buộc hoặc bỏ đi một vài đòi hỏi của kết luận. Khi đó ta đã mở rộng phạm vi của bài toán tăng độ phức tạp tức là ta đã khái quát bài toán .
	Bây giờ chúng ta sẽ đi từ bài toán đơn giản :
Ví dụ 1: 
Bài toán ban đầu :
Tìm x sao cho 2 x 5 và l x-2 l + 4.l x-5 l = 9 (1)
Ta có 2 x 5
nên: l x-2 l0 => l x-2 l=x-2
 l x-5 l0 => l x-5 l= 5-x
Do đó (1)x-2+4(5-x) = 9
 x-2+20-4x=9
 -3x=-9
 x=3 (thoả mãn)
Vậy x=3
Ta chỉ cần bỏ điều kiện '' 2< x< 5 '' thì bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn vì phải giải trong 3 khoảng.
Bài toán mới
Tìm x sao cho l x-2 l + 4.l x-5 l = 9 (2)
Thật vậy:
Từ đó ta có bảng
x
 2 5
 2-x 0 x-2
x-2
5-x
 5-x 0 x-5
+4
 22-5x -3x+18
 -5x-22
Nếu x<2 thì (2)22-5x=9
 5x=13
 (thoả mãn)
Nếu 2 x 5 thì (2) -3x+18=9
 x =3 (thoả mãn)
Nếu x > 5 thì (2) -5x-22 = 9
 -5x = 31
 (thoả mãn)
Vậy:
5. Thay đổi một số yếu tố của bài toán ban đầu :
	Khi thay đổi một số yếu tố của bài toán đã cho thì chắc chắn bài toán sẽ thay đổi. Nhưng mục đích để làm gì? Các bạn có thể trả lời ngay câu hỏi này, học sinh sẽ thấy dễ đi, có thể làm được bài toán ban đầu hoặc khó đi hoặc tổng hợp.
Bài toán ban đầu: Tìm số tự nhiên m để 7m là số nguyên tố.
Bài giải: 
Với m = 0 thì 7m = 0 không là số nguyên tố.
Với m = 1 thì 7m = 7 là số nguyên tố.
Với m 2 thì 7m là hợp số (vì ngoài các ước 1 và chính nó 7m còn có ước là 7 ).
Vậy với m = 1 thì 7m là số nguyên tố.
 Dễ thấy rằng thay số nguyên tố 7 bởi các số nguyên tố khác ta có các bài toán mới sau:
Bài 1:Tìm số tự nhiên a để 19a là số nguyên tố.
Bài 2: Tìm số tự nhiên b để 2.b + 3.b là số nguyên tố.
 Từ bài toán ban đầu ta còn nhận ra rằng :
 Nếu m = 0 hoặc m 2 thì 7m không phải là số nguyên tố.
 Nếu m 2 thì 7m là hợp số.
Ta có bài toán 3.
Bài 3: Tìm số tự nhiên m để 7m là:
a) Hợp số.
b) Không là số nguyên tố.
Thay m bởi b- 15 ta có bài toán 4.
Bài 4: Tìm số tự nhiên b để 7( b- 15 ) là số nguyên tố.
Bài 5: Tìm các số tự nhiên x, y để (7-x)(5-y) là một số nguyên tố.
Hướng dẫn:
Trường hợp 1: Nếu 7 –x =1 thì 5 – y là số nguyên tố.
Mà x, y là số tự nhiên
Ta có bảng: 
7 – x
1
1
1
5 - y
2
3
5
x
6
6
6
y
3
2
0
Vậy các cặp số tự nhiên (x,y) cần tìm là: (6; 3), (6; 2), (6; 0).
Trường hợp 2: Nếu 5 – y =1 thì 7 – x là số nguyên tố.
Mà x, y là số tự nhiên
Ta có bảng: 
7 – x
2
3
5
7
5 - y
1
1
1
1
x
5
4
2
0
y
4
4
4
4
Vậy các cặp số tự nhiên (x,y) cần tìm là:
 (5; 4), ( 4;4), (2; 4), (0; 4).
Trả lời: Các cặp số tự nhiên (x,y) cần tìm là: 
(6; 3), (6; 2), (6; 0); (5; 4), ( 4;4), (2; 4), (0; 4).
Bài 6: Thay các chữ số vào dấu * để là số nguyên tố.
Bài giải: 
Nếu thì lớn hơn 2 và chia hết cho 2
 nên là hợp số.
Nếu * = 5 thì =135 chia hết cho 5 và lớn hơn 5 
nên là hợp số.
Nếu * = 1 thì = 131 là số nguyên tố.
Nếu * = 9 thì = 139 là số nguyên tố.
Vậy với * = 1 hoặc * = 9 thì là số nguyên tố.
Bài 7: Tìm các số tự nhiên k để mỗi số 5k và 11k là số nguyên tố. Với giá trị nào của k thì 5k và 11k đồng thời là hai số nguyên tố?
Bài 8: 
Tìm các số tự nhiên a để các số:
 a, a + 4, a + 6, a + 22, a + 12, a + 24, a + 16 đêù là số nguyên tố.
( Hd a = 7).
Bài 9: 
Tìm tất cả các số tự nhiên n để mỗi số sau đều là số nguyên tố: 
n +1, n + 3, n + 7, n + 13, n + 9, n + 15.
Bài 10: Tìm số nguyên tố p sao cho:
p + 2 và p + 4 đều là số nguyên tố.
p + 10 và p + 14 đều là số nguyên tố.
p + 2, p + 6 và p + 8 đều là số nguyên tố.
C./ Kết thúc vấn đề :
	Trên đây tôi đã trình bày một số phương pháp nhằm kích thích sự hứng thú và tự chủ trong hoạt động học tập của học sinh bằng việc tạo bài toán tình huống cũng như khai thác kết quả hay hướng giải của một bài toán để tạo ra các bài toán mới làm cho việc học toán không đơn điệu mà luôn cần sự sáng tạo cho nó đa dạng. Đằng sau mỗi bài toán là những vấn đề mới mà mỗi giáo viên và học sinh cần phải khám phá ra, có như vậy thì chúng ta mới thấy cái hay cái phong phú của mỗi bài. Phương pháp này áp dụng trong khi giảng dạy đại trà đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi rất có hiệu quả, các em có thể tự phát hiện, tự giải quyết được nhiều bài toán hơn, khó hơn từ bài toán ban đầu .
Kết quả đối chứng
 Năm học 2008- 2009 khi tôi chưa áp dụng phương pháp này vào giảng dạy thì chất lượng đại trà đạt bình quân 50%.
 Năm học 2009- 2010 tôi đã áp dụng phương pháp trên vào dạy đại trà và bồi giỏi. Kết quả: Chất lượng đại trà vượt bình quân huyện khá cao 
 Vì thời gian và khuôn khổ không cho phép hẳn sáng kiến kinh nghiệm còn nhiều sai sót và chưa sâu sắc. Tôi mong các bạn đồng nghiệp và bạn đọc đóng góp ý kiến để bản sáng kiến kinh nghiệm của tôi hoàn thiện hơn!.
	Xin chân thành cảm ơn!