Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán - Phương pháo giải phương trình vô tỉ

Phần I: Những vấn đề chung
I. Lí do chọn đề tài
1. Cơ sở lí luận:
Thế hệ trẻ Việt Nam nói chung, giới học sinh nói riêng có may mắn là được sinh ra và lớn lên trong thời đại mà các cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật công nghệ đang trào dâng như vũ bão, thông tin bùng nổ từng phút từng giờ, cái mới này chưa kịp đăng quang đã phải nhường chỗ cho cái mới khác đến thay thế. Vậy thì mỗi thầy cô giáo, mỗi học sinh phải hành động như thế nào?
Việc học tập hiện nay đang có xu hướng đi vào chiều sâu “học phải đi đôi với hành”, do vậy phải có những phương pháp dạy và học có hiệu quả tối ưu nhất nhằm tìm ra những con đường ngắn nhất, hay nhất trong việc học tập để giúp chúng ta nắm vững được kiến thức và đi đào sâu lượng kiến thức đã học. Để đạt được điều đó thì mỗi người giáo viên, mỗi học sinh phải trau dồi kiến thức, sưu tầm và hệ thống cho chính mình những phương pháp học tập và nghiên cứu riêng.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, việc đi phân loại các phương pháp giải một dạng toán hay bất kì một lĩnh vực nào, nó giúp chúng ta có nhiều cách nhìn, cách lý giải cho cùng một vấn đề, nó giúp chúng ta nhìn nhận, xem xét một cách kĩ lưỡng hơn, dưới nhiều góc độ, để chúng ta tìm được cách giải quyết cho nhanh nhất, hiệu quả nhất.
2. Cơ sở thực tiễn:
Hiện nay, trong các trường THCS và ngay cả bậc phổ thông việc giải một phương trình vô tỉ vẫn là một vấn đề cần bàn, đa số các giáo viên đã truyền đạt hết cho học sinh những kiến thức, những phương pháp giải nhưng chưa có tính hệ thống cao, chưa đi sâu vào phân tích những ưu điểm, những tồn tại và khả năng ứng dụng của từng phương pháp chính, bởi lẽ đó mà những phương pháp giảng giải của giáo viên thường hay chồng chéo lên nhau khiến cho việc tiếp thu của học sinh thường bị động và chưa có tính quyết toán trong việc tìm cho mình một phương pháp tối ưu nhất khi đứng trước một bài toán giải phương trình vô tỉ.
Mặt khác, đa số các em học sinh không có khả năng hệ thống cho mình những phương pháp giải loại phương trình này, hay còn phần lớn các em không biết cách giải thế nào cho đúng, cho hay, nhất là với học sinh bậc THCS. Các em thường giải theo phương pháp lũy thừa và chọn ẩn nhưng đa số các em không phán đoán được phương trình sau có tương đương với phương trình đã cho hay không?
Chính bởi những lí do trên mà tôi chọn đề tài này để phần nào tháo gỡ những vướng mắc trên, giúp cho quá trình dạy và học được tốt hơn và đạt hiệu quả mong muốn.
II. Mục đích nghiên cứu đề tài:
Một là, giúp học sinh nắm được các phương pháp giải một bài giải phương trình vô tỉ. Trên cơ sở đó, tìm được những vướng mắc, khó khăn mà các em thường gặp phải trong quá trình giải loại bài tập này.
Hai là, hệ thống được các phương pháp giải phương trình vô tỉ, trên cơ sở đó phân tích những ưu việt hay hạn chế của từng phương pháp.
Ba là, thông qua hệ thống ví dụ, giúp các em thấy được cách lựa chọn một hoặc nhiều phương pháp khác nhau để giải một bài toán sao cho nhanh và đạt hiệu quả tối ưu nhất.
III. Đối tượng và khách thể nghiên cứu:
1. Đối tượng nghiên cứu:
Nghiên cứu những phương pháp giải phương trình vô tỉ.
Đánh giá tính ưu việt, hạn chế và khả năng ứng dụng của từng phương pháp giải.
2. Khách thể nghiên cứu :
Tập trung nghiên cứu trong chương trình đại số lớp 8, lớp 9 và trong chương trình toán phổ thông.
3. Phạm vi nghiên cứu:
Do yêu cầu của đề tài nên chỉ tập trung nghiên cứu phần đại số ở lớp 8 và lớp 9 còn lại là trong chương trình toán cấp III.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài:
Phải hệ thống được cách giải một phương trình vô tỉ.
Phải phân tích được những ưu việt và hạn chế của từng phương pháp, từ đó đưa ra khả năng ứng dụng của từng phương pháp đối với một bài giải phương trình vô tỉ.
Phải phân tích và tìm ra từng chỗ thiếu sót, chỗ sai mà học sinh thường hay mắc phải và đưa ra cho học sinh những cách khắc phục.
V. Phương pháp nghiên cứu đề tài:
1 - Phương pháp đọc và phân tích tài liệu.
2 - Phương pháp tổng hợp những kinh nghiệm sáng kiến của những giáo viên dạy giỏi.
3 - Phương pháp khảo sát thực tế.
Phần II: Nội dung chính của đề tài
Chương I: Những kiến thức cơ bản
I. Những vấn đề chung của phương trình:
1. Tập xác định của phương trình:
 	 a. Định nghĩa: Tập xác định của một phương trình là tập hợp các giá trị của một ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa. Tập xác định được viết tắt là TXĐ.
Ví dụ :
a. Phương trình x2 – 7x + 1 = 6x2 + 2 Có tập xác định là D = R
b. Phương trình 
 có tập xác định là: D = { ∀x ∊ R/x + 4 ≠ 0} = R - {- 4}
c. có tập xác định là: D = { ∀x ∊ R/x - 2 ≥ 0} = R – [- 4]
2. Hai phương trình tương đương:
2.1. Định nghĩa :
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng chung một tập nghiệm trong cùng một tập số.
2.2. Ví dụ :
a. Cho hai phương trình :
x2 - 7x + 6 = 0 và 2x2 – 14x + 12 = 0 là hai phương trình tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm S = {1; 6}.
b. Hai phương trình:
x + 1 = 0 và (x + 7).(x - 5) = 0 là hai phương trình không tương đương vì tập nghiệm của phương trình thứ nhất là S = {- 1} còn của phương trình thứ hai là S = {- 1; 5}.
c. Hai phương trình:
x2 + 1 = 0 và x2 + x + 6 = 0 là hai phương trình tương đương vì chúng có cùng chung một tập nghiệm là S = φ.
3. Nghiệm của phương trình:
Cho phương trình f(x) = g(x). Nghiệm của phương trình xét trên tập A là số α ∊ A sao cho f(α) = g(α).
II. Cách giải các bất phương trình, phương trình cơ bản:
1. Phương trình và bất phương trình bậc nhất:
 - ax + b = 0 ⇔ (với a ≠ 0)
 - ax + b > 0 ⇔ (với a > 0)
 (với a < 0)
2. Bất phương trình bậc hai:
a. Phương trình bậc hai có:
∆ = b2 – 4ac
∆’ = b’2 – ac.
∆ < 0 – phương trình vô nghiệm.
∆ = 0 – phương trình có nghiệm kép.
∆> 0 – phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b. Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai:
Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
* ∆ ≤ 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a.
* ∆ ≥ 0 thì f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2.
Nếu f(x) cùng dấu với hệ số a khi với ∀ x ∉ (x1; x2);
f(x) khác dấu với hệ số a với ∀ x ∉ (x1; x2);
3. Phương trình và bất phương trình tích:
f(x).g(x) = 0 ⇔ f(x) = 0 hoặc g(x) = 0
f(x). g(x) > 0 ⇔ f(x) > 0 hoặc f(x) < 0
 g(x) > 0 g(x) < 0
4. Các phép biến đổi tương đương:
a. f(x) = g(x) + h(x) ⇔ f(x) – g(x) = h(x)
b. f(x) = g(x) ⇔ f(x) ± c = g(x) ± c (với c ∊ R)
c. f(x) = g(x) ⇔ k.f(x) = k.g(x) ⇔ (với k ∊ R*)
d. f(x) = g(x) ⇔ (f(x))2k + 1 = (g(x))2k + 1 (với k ∊ N).
e. f(x) = g(x) (với f(x) ≥ 0; g(x) ≥ 0) ⇔ [f(x)]2k = [g(x)]2k (với k ∊ N)
III. Phương trình vô tỉ:
1. Định nghĩa:
Phương trình vô tỷ là phương trình có chứa dấu căn thức
2. Cách giải chung:
Bước 1: tìm tập xác định của phương trình.
Bước 2: tìm cách khử căn thức và tìm nghiệm.
Bước 3 : so sánh với tập xác định và kết luận nghiệm của phương trình.
3.Ví dụ :
Giải phương trình :
 (1)
Điều kiện để căn thức có nghĩa 2x + 3 ≥ 0 ⇔ (2)
với điều kiện x ≥ 0 (3)
phương trình (1) ⇔ (2x + 3) = x2 (4)
 ⇔ x2 – 2x – 3 = 0.
Vì a – b + c = 0 nên (4) có nghiệm là: x1 = - 1; x2 = 3
 x1 = - 1 không thoả mãn điều kiện (3)
 x2 = 3 thoả mãn các điều kiện (2) và (3)
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 3.
4. Một số kiến thức cần nhớ:
4.1. Điều kiện tồn tại một căn thức:
 tồn tại khi ∀ A ≥ 0 (k ∊ N)
 tồn tại khi ∀ A ∊ R (k ∊ N)
 = ∣A∣ = A khi A ≥ 0
 - A khi A ≤ 0 
4.2. Một số bất đẳng thức quan trọng:
a. Bất đẳng thức Côsi:
Nếu a1, a2..... an là các số không âm ta có:
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =.... = an.
b. Bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Nếu a1, a2..... an và b1, b2..... bn là các số tuỳ ý ta có:
(a12 + a22 +..........+ an2).(b12 + b22 +........+ bn2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ........ + anbn)2.
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
c. Bất đẳng thức Trêbưsep.
Nếu a1 ≥ a2 ≥.....≥ an và b1 ≥ b2 ≥......≥ bn, ta có:
(a1 + a2 + ........ + an).(b1 + b2 + .......... + bn) ≥ n.(a1b1 + a2b2 +.......+ anbn).
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ...... = an hoặc b1 = b2 = ....... = bn.
d. Lược đồ Hoocle.
Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ...... + a1x + a0 (với x = α), ta có:
	an	 an-1.....	 a1	 a0
	 +	 +
	 α x an	 α an + an-1	 α.∆ + a1	f(α)
Chương II: Phương pháp biến đổi tương đương
I. Phương pháp nâng lũy thừa:
1. Các dạng phương trình vô tỉ cơ bản:
a. = ⇔ A ≥ 0 hay B ≥ 0
 A = B
b. = B ⇔ B ≥ 0
 A = B2
c. = B ⇔ A = B3
d + = ⇔ A ≥ 0 ⇔ A + B + = C
 B ≥ 0 
Lưu ý: Với phương pháp lũy thừa hai vế. Muốn nâng hai vế phương trình lên lũy thừa bậc chẵn, ta phải biết chắc chắn hai vế cùng dấu, tốt nhất là cùng dương.
Để nắm được phương pháp này, chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ cụ thể:
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
 (1)
Giải:
Điều kiện để căn thức có nghĩa x – 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 (2)
Với điều kiện x – 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7 (3)
phương trình (1) tương đương với: x – 5 = (x – 7)2 ⇔ x2 – 15x + 54 = 0 (4)
Giải phương trình (4) ta được:
x1 = 6 không thỏa mãn điều kiện (3)
x2 = 9 thỏa mãn các điều kiện (2) và (3)
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 9.
Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đặt điều kiện (2) vì lý do sư phạm. Thực ra không cần điều kiện này. Thật vậy, khi bình phương hai vế của (1), biểu thức x – 5 bằng một bình phương, đương nhiên không âm, do đó các giá trị của x thỏa mãn (3) cũng sẽ thỏa mãn điều kiện (2).
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải:
Chuyển vế phương trình đã cho, ta có:
 (1)
phương trình (1) có nghĩa khi và chỉ khi: 2x + 3 ≥ 0 ⇔ (2)
 x + 2 ≥ 0 x ≥ - 2
 với điều kiện (2) thì phương trình (1) tương đương với:
2x + 3 = (x + 2)2 ⇔ x2 + 2x + 1 = 0 (3)
Giải phương trình (3) ta được nghiệm duy nhất là: x = - 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 1.
Lưu ý: Nhiều em khi gặp bài này thường giải theo cách quen thuộc:
 ⇔ x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 2.
 2x + 3 = (x + 2)2 ⇔ (x + 1)2 = 0
và cũng tìm được nghiệm x = - 1 thoả mãn (x ≥ - 2).
Nhưng với điều kiện (- 2 ≤ ) thì lại không tồn tại vì 2x + 3 < 0.
Ví dụ 3: Giải phương trình
 (1)
Giải:
Điều kiện để căn thức có nghĩa: 1 – x ≥ 0 x ≤ 1
 1 – 2x ≥ 0 ⇔ ⇔ (2) 
 x + 4 ≥ 0 x ≥ - 4
Với điều kiện (2) phương trình (1) tương đương với:
 ⇔ 1 – x + 1 – 2x + 
⇔
⇔ (3)
với điều kiện 2x + 1 ≥ 0 ⇔ (4) thì phương trình (3) tương đương với:
 ⇔ 2x2 – 3x + 1 = 4x2 + 4x + 1 
 ⇔ 2x2 + 7x = 0 (5)
Giải phương trình (5) ta được x = 0 (thỏa mãn điều kiện (2) và (4))
 không thỏa mãn điều kiện (4) 
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2. 
 Lưu ý: Với điều kiện (2) ta chỉ cần thì phương trình (1) đã tương đương với phương trình (3) vì khi bình phương thì (x + 4) bằng một bình phương, đương nhiên là dương.
Với , điều này chỉ đúng kh ... ch hợp để giải từng phương trình.
B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
- Giáo viên: Máy chiếu, giấy trong ghi đề bài tập và lời giải và một số kiến thức cần nhớ – Máy tính bỏ túi – Phiếu học tập.
- Học sinh: Giấy trong, bảng nhóm, bút viết bảng, giấy nháp, ôn tập các phương pháp giải phương trình vô tỉ. Máy tính bỏ túi.
C. Hoạt động dạy học:
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
Ghi bảng
I, Hoạt động 1 : Kiểm tra và nhắc lại một số kiến thức cơ bản.
HS 1: Thế nào là phương trình vô tỉ. Lấy ví dụ?
Hãy nêu một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.
HS 2: Hãy phân tích sai lầm trong lời giải sau:
* Giải phương trình:
Lời giải:
HS 1 lên bảng trả lời
- PTVT là phương trình chứa ẩn trong dấu căn.
VD: Phương trình
- Nêu vài phương pháp giải phương trình vô tỉ.
HS 2 lên bảng phân tích những sai lầm trong lời giải.
- Sai lầm thứ nhất là không 
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
Ghi bảng
Chuyển vế:
Bình phương hai vế:
Rút gọn:
Bình phương hai vế:
 4 – 14x + 49x2 =
 4(15x2 – 13x + 2)(5)
Rút gọn:
11x2 – 24x +4 = 0
(11x – 2)(x – 2) = 0
GV: Đưa đề bài và lời giải lên màn hình.
GV Gọi HS ở dưới lớp lần lượt nhận xét phần trả lời của HS 1 và HS 2.
GV đưa lời giải đúng trên màn hình để HS dưới lớp theo dõi và rút kinh nghiệm.
GV cho điểm 2 HS
II, Hoạt động 2:
Luyện tập
1. Phương pháp nâng lên lũy thừa.
GV : đưa bài tập 1 lên màn hình
chú ý đến điều kiện để căn thức có nghĩa. ở đây ta phải có điều 
kiện x ≥ 1. Do đó giá trị
 không là nghiệm của (1).
- Sai lầm thứ hai là không đặt điều kiện để biến đổi tương đương. Các phương trình (4) và (5) không tương đương. Phương trình (4) tương đương với hệ:
Vì vậy x = 2 cũng không là nghiệm của (1)
HS: Cả lớp theo dõi và nhận xét bài của từng bạn trên bảng.
HS: Cả lớp theo dõi lời giải đúng trên màn hình.
HS đọc to đề bài
HS: Cả lớp suy nghĩ tìm ra phương pháp giải.
Bài tập 1:
Giải phương trình:
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
Ghi bảng
Gọi 1 HS đọc đề bài
GV cho cả lớp suy nghĩ tìm
phương pháp giải. Nói rõ kiến thức cần áp dụng khi giải phương trình này.
GV cho HS hoạt động theo nhóm (Mỗi nhóm 2 bài).
GV gọi đại diện ba nhóm nêu phương pháp giải của nhóm mình.
GV gọi 1 nhóm cử đại diện đem bảng nhóm lên bảng trình bày (bằng phương pháp nâng lên lũy thừa).
GV : Tại sao trong phương trình này ta không đặt điều kiện cho sự tồn tại của căn thức và không đặt điều kiện trước khi bình phương hai vế.
GV tổng kết.
2. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
GV đưa đề bài tập 2 lên màn hình.
Gọi 1 HS đọc to đề bài
HS hoạt động nhóm theo yêu cầu của đề bài.
Đại diện ba nhóm nêu phương pháp làm. Nói rõ kiến thức được áp dụng.
HS : 1 em đại diện cho nhóm có lời giải bằng phương pháp nâng lên lũy thừa đem bảng nhóm lên bảng trình bày.
HS trả lời.
- 1 HS đọc đề bài tập 2.
HS nêu phương pháp giải bài tập 2.
- Cả lớp làm bài vào giấy trong
Giải :
Lập phương hai vế (áp dụng HĐT):
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Được:
Vậy phương trình có hai nghiệm:
x1= - 1; x2 = 7.
Bài tập 2: Giải phương trình
Giải:
Điều kiện xác định: x ≥ 1
Ta có: (1)
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
Ghi bảng
GV gọi HS nêu phương pháp giải bài tập này.
GV cho HS hoạt động cá nhân, làm BT vào giấy trong.
Gọi 1 HS lên bảng làm bài.
GV thu bài của vài em đưa lên màn hình để cả lớp nhận xét.
GV tiếp tục cho cả lớp nhận xét bài của HS làm trên bảng.
Nêu vấn đề: Ngoài phương pháp trên, ta còn có thể giải phương trình này theo cách nào khác?
GV chốt lại: Đối với bài tập 2 ta nên chọn phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là tốt hơn.
3. Phương pháp đặt ẩn phụ
GV đưa đề bài tập 3 lên màn hình
Gọi 1 HS đọc to đề bài.
GV cho HS suy nghĩ và hỏi phương pháp giải phương trình này. Theo em ta nên chọn phương pháp nào? Vì 
1 HS lên bảng làm bài.
Ba HS thu bài để GV cùng cả lớp nhận xét.
HS nhận xét bài của bạn trên bảng.
Một vài HS trả lời.
HS nghe để linh hoạt vận dụng.
HS 1 đọc to đề bài bài tập 3.
HS 2: Nêu phương pháp giải bài tập 3.
Nên chọn phương pháp đặt ẩn phụ, đưa phương trình vô tỉ về giải phương trình hữu tỉ.
+ Nếu x > 2
Thì có phương trình:
(không thuộc khoảng đang xét)
+ Nếu 1 ≤ x ≤ 2, ta có phương trình:
Phương trình có vô số nghiệm 
1 ≤ x ≤ 2
Vậy phương trình (1) có nghiệm:
1 ≤ x ≤ 2
 Bài tập 3: Giải phương trình
Giải:
Điều kiện x2 + 7x + 7 ≥ 0
Đặt
⇒ x2 + 7x + 7 = y2 (*)
(1) ⇔ 3y2 + 2y – 5 = 0
a + b + c = 3 + 2 – 5 = 0
- Thay y = 1 vào (*), ta có: 
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
Ghi bảng
sao?
GV gọi 1 HS lên bảng làm.
GV yêu cầu HS cả lớp hoạt động nhóm
- Một nửa lớp làm theo phương pháp đặt ẩn phụ.
- Một nửa lớp thực hiện chuyển vế và bình phương hai vế rồi giải bằng cách quy về phương trình bậc hai.
(Nhờ phương pháp nhẩm nghiệm).
GV gọi nhóm làm theo phương pháp đặt ẩn phụ nhận xét bài làm của bạn trên bảng (bổ sung cho hoàn thiện).
GV gọi nhóm làm theo phương pháp 2 đem bảng nhóm lên bảng trình bày.
Cho cả lớp nhận xét và rút ra phương pháp tối ưu cho cách giải bài tập này.
4. Phương pháp hệ phương trình.
GV đưa bài tập 4 lên màn hình.
Gọi 1 HS đọc to đề bài.
GV cho cả lớp suy nghĩ tìm phương pháp giải.
HS 3: Lên bảng giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
- Nửa lớp hoạt động nhóm theo phương pháp đặt ẩn phụ.
- Nửa lớp làm theo cách 2 như yêu cầu của GV (2 bàn 1 nhóm).
Nhóm I: Nhận xét bài của bạn trên bảng.
Nhóm II: Cử đại diện lên bảng trình bày cách 2
HS cả lớp nhận xét, rút ra phương pháp giải ngắn nhất.
Một HS đọc to đề bài
Một HS nêu vài phương pháp giải bài tập 4
x2 + 7x + 7 = 1
⇔ x2 + 7x + 6 = 0
 a – b + c = 1 – 7 + 6 = 0
nên x1 = - 1 ; x2 = - 6 (thỏa mãn điều kiện x2 + 7x + 7 ≥ 0).
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm : x1 = - 1 ; x2 = - 6.
Bài tập 4 : Giải phương trình
Giải:
ĐKXĐ: x ≥ - 1 (1)
Đặt
Khi đó x – 2 = y3
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
Ghi bảng
GV: ở bài tập này có một số cách giải khác nhau, song chúng ta cùng nhau giải theo phương pháp hệ phương trình.
GV gọi 1 HS nêu ĐKXĐ của phương trình.
GV yêu cầu HS đặt ẩn phụ và đưa đến việc giải hệ phương trình.
GV lần lượt gọi HS đứng tại chỗ làm miệng giải phương trình.
GV ghi trên bảng.
5. Phương pháp bất đẳng thức.
GV ghi và đưa đề bài tập 5 lên màn hình.
Gọi 1 HS đọc đề bài.
GV cho HS suy nghĩ 2 phút rồi nêu câu hỏi:
Để giải phương trình này ta có nên dùng phương pháp:
- Nâng lên lũy thừa.
- Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Đặt ẩn phụ.
được không?
Theo em, ta dùng phương 
Một HS nêu ĐKXĐ.
Ba HS trình bày hệ phương trình đã lập được.
HS trả lời theo yêu cầu của GV.
HS đọc to đề bài tập 5.
HS: Em nên sử dụng phương pháp bất đẳng thức (dùng tính đối nghịch ở hai vế).
Một HS lên bảng làm BT 5.
- 5 HS làm bài vào phiếu học tập.
 x + 1 = z2 (**)
Nên Z2 – Y3 = 3
Phương trình đã cho đưa được về hệ :
Rút Z từ (2) ta có Z = 3 – y (5). Thay vào (3) ta được :
y3 – y2 + 6y – 6 = 0
⇔ (y – 1)(y2 + 6) = 0
⇔ y = 1 (còn y2 + 6 ≥ 6).
Thay y = 1 vào (5) có Z = 2 (TM (4))
Thay z = 2 vào (**) ⇒ x = 3 (TM (1)).
Bài tập 5: Giải phương trình
Giải:
Vế trái:
Vậy vế trái có giá trị ≥ 5 (1)
Dấu “=” xảy ra ⇔ (x + 1)2 = 0
 ⇔ x = - 1
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
Ghi bảng
nào hay hơn để giải phương trình này?
Gọi 1 HS lên bảng làm.
Phát 5 phiếu học tập cho 5 học sinh làm.
Yêu cầu cả lớp làm sau đó nhận xét bài của bạn trên bảng.
GV gọi HS nhận xét bổ sung cho bài của bạn trên bảng
Thu 5 phiếu học tập để nhận xét và chấm điểm.
Cả lớp làm và nhận xét bài của bạn trên bảng.
Vế phải: 
 4 – 2x – x2 = -(x2 + 2x + 1) + 5
 = - (x + 1)2 + 5 ≤ 5 (2)
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = - 1.
Từ (1), (2) ⇒ VP có giá trị bằng VT thì chúng cũng bằng 5.
Tại x = - 1.
Vậy phương trình (*) có nghiệm 
x = - 1.
III. Hoạt động 3: Củng cố
Giáo viên chốt lại :
Chúng ta đã được học về phương trình vô tỉ và cách giải các phương trình vô tỉ. Mỗi phương trình có thể có nhiều cách giải khác nhau, song chúng ta thường gặp một số phương pháp giải cơ bản sau:
- Phương pháp nâng lên lũy thừa.
- Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
- Phương pháp đặt ẩn phụ.
- Phương pháp hệ phương trình.
- Phương pháp bất đẳng thức...
Các em cần nghiên cứu sâu sắc các phương pháp này và tùy từng bài tập cụ thể mà sử dụng phương pháp giải cho phù hợp để đạt hiệu quả tốt. Một điều vô cùng quan trọng là ĐKXĐ của phương trình.
IV. Hoạt động 4: Hướng dẫn về nhà.
Xem kĩ các bài tập vừa luyện.
Làm các bài tập sau:
Bài tập 1: Giải phương trình
Bài tập 2: Giải phương trình
Tài liệu tham khảo
1 – Phương pháp thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học trong sinh viên – NXB Khoa học và Kĩ thuật.
2 - Đại số lớp 8 và lớp 9 – NXB Giáo dục.
3 – Toán bồi dưỡng Đại số 8, 9, 10 – NXB Hà Nội.
4 – 630 bài toán Đại số – Giải tích – NXB Trẻ-TP Hồ Chí Minh.
5 – 45 đề thi toán lớp 9 – NXB Giáo dục.
6 – Bộ đề tuyển sinh môn Toán – NXB Giáo dục.
7 – Các dạng toán luyện thi đại học – NXB Hà Nội.
8 – Các phương pháp giải phương trình – NXB Hải Phòng.
9 – Chuyên đề Đại số – NXB Trẻ TP Hồ Chí Minh.
10 – Các phương pháp giải phương trình và bất phương trình – NXB Khoa học và Kĩ thuật.
11 – Tuyển tập giới thiệu đề thi môn toán vào các trường cao đẳng và đại học năm 1997, 1998, 1999, 2000, 2001 – NXB Giáo dục & NXB Trẻ TP Hồ Chí Minh.
mục lục
Trang
phần i: những vấn đề chung
1
I. Lý do chọn đề tài
1
1 – Cơ sở lý luận
1
2 - Cơ sở thực tiễn
1
II. Mục đích nghiên cứu của đề tài
2
III. Đối tượng nghiên cứu của đề tài
2
1 - Đối tượng nghiên cứu
2
2 – Khách thể nghiên cứu
2
3 – Phạm vi nghiên cứu
2
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
2
V. Phương pháp nghiên cứu của đề tài
2
phần ii: Nội dung chính của đề tài
3
Chương I: Những kiến thức cơ bản
3
I. Những vấn đề chung của phương trình
3
II. Cách giải các phương trình và bất phương trình cơ bản
4
III. Phương trình vô tỉ
4
Chương II: Phương pháp biến đổi tương đương
6
I. Phương pháp nâng lũy thừa
6
1 - Các dạng cơ bản
6
2 - Các ví dụ
6
II. Phương pháp đưa về hằng đẳng thức
9
III. Phương pháp dùng miền xác định
11
IV. Phương pháp dùng lượng liên hợp
12
Bài tập chương II
16
Chương III: Giải phương trình vô tỉ
17
I. Đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình hữu tỉ
17
II. Đặt ẩn phụ, chuyển phương trình vô tỉ về hệ phương trình hữu tỉ
21
Bài tập chương III
33
Chương IV: Phương pháp áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc
35
I. Bổ túc về kiến thức
35
II. Các ví dụ minh hoạ
35
Bài tập chương IV
39
phần iii: kết luận chung của đề tài
40