Sáng kiến kinh nghiệm môn Hình học Lớp 9 - Phương pháp vẽ thêm đường phụ để giải các bài toán hình - Nguyễn Thị Bình

A . Đặt vấn đề 
 Xét về phương diện phát triển tính tự lực của học sinh đặc biệt là rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức lĩnh hội dược thì vai trò của việc giải bài tập trong quá trình học có giá trị rất lớn .Giải bài tập giúp học sinh rèn luyện :ý chí ,tính kiên trì vượt khó ,phát triển tư duy lô gíc, sự nhanh trí .Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán nói chung và việc giải bài tập hình học nói riêng thì việc hướng dẫn các phương pháp suy luận, đặc biệt phương pháp vẽ thêm đường phụ để giải các bài toán hình học là điều rất cần thiết.Bởi vì ngoài việc nắm vững kiến thức đã học, HS còn phải biết huy động chúng một cách linh hoạt ,sáng tạo trong các tình huống mới. Nhiều khi việc vẽ thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng, thuận lợi hơn.Thậm chí có bài phải vẽ thêm các yếu tố phụ mới tìm ra được lời giải của bài toán.Tuy nhiên vẽ thêm như thế nào là điều mà chúng ta cần suy nghĩ.
 Thực tế cho thấy không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm đường phụ để giải các bài toán hình học. Tuỳ từng bài toán cụ thể chúng ta có cách vẽ thêm cho hợp lý.Song công việc sáng tạo này không thể tuỳ tiện. Việc vẽ thêm đường phụ luôn phải tuân theo những bài toán dựng hình cơ bản mà chúng ta biết.
 Đối vối các em HS thì khi gặp những bài toán phải vẽ thêm đường phụ thì các em cảm thấy rất ngại vì các em chưa có kinh nghiệm và luôn nghĩ rằng như thế là các em đã gặp một bài toán khó rồi và nhiều em đã dừng lại việc làm bài ngay.Để tạo niềm tin cho các em và giúp các em có nhiều kinh nghiệm, trong những giờ học tự chọn tôi đã lựa chọn vào những bài tập phù hợp với sức học của các em. Và sau một thời gian, việc làm bài của các em tiến bộ rõ rệt. Tôi xin mạnh dạn trình bày kinh nghiệm của mình để các đồng nghiệp cùng trao đổi, và xin được đóng góp ý kiến cho tôi , để tôi có thể giúp các em HS được nhiều hơn trong học tập đặc biệt với bộ môn Toán . 
 II - NộI DUNG 
 Để có thể tìm ra lời giải, cách vẽ thêm đường phụ hợp lý trước tiên các em HS cần phải học thuộc, hiểu các vấn đề liên quan đến lý thuyết.Ngoài ra các em còn phải biết tìm ra mối liên hệ giữa các nội dung với nhau, hoặc giữa các bài tập với nhau.Phải nắm được các bài toán dựng hình cơ bản.Chẳng hạn:
 Bài toán 1: 
Cho AB là dây cung của đường tròn (O;R) (AB2R).
 C là một điểm trên tia đối của tia AB
Chứng minh điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) 
Phân tích: 
Cần chứng minh:điểm C nằm ngoài đường tròn 
(O;R). Điều này cho ta nghĩ đến OC >OA.
Do đó ta kẻ đường phụ OH để vận dụng quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu mà có OC > OA. 
Lời giải:
Vẽ. Ta có HC > HA (vì C là điểm trên tia đối của tia AB,H thuộc đoạn
thẳng AB )( quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu ). 
Vậy OC > RC nằm ngoài đường tròn (O;R) 
Bài toán 2: 
Cho AB là dây cung của đường tròn (O;R) (AB2R). 
C là điểm trên đoạn AB ( C khác A và B)
Chứng minh điểm C nằm trong đường tròn (O;R)
Phân tích : từ bài toán 1dễ nhận ra rằng đường phụ 
 cần vẽ thêm là OH vuông góc với AB tại H
Giải: Vẽ OH AB tại H.Xét các trường hợp sau:
CH 
Ta có OH < OA (vì OH AH )nên OH < R
H nằm trong đường tròn ( O ;R)
 C nằm trong đường tròn ( O ;R) 
C nằm trên đoạn AH ( C khác A và H) ta có HC < HA( quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
 C nằm trong đường tròn ( O ;R) 
C nằm trên đoạn HB ( C khác B và H) .Tương tự như trên cũng có C nằm trong đường tròn ( O ;R) 
	Bài toán 3:
 Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O;R).H là trực tâm của tam giác ABC.Vẽ OK BC ( K BC). 
Chứng minh : AH = 2OK	
Phân tích : 
Phải chứng minh AH =2OK; và dễ thấy AH//OK. 
Dự đoán OK là đường trung bình tam giác AHD 
(D là giao điểm của AO và HK). 
Từ đó phát hiện ra rằng D là điểm đối xứng 
của A qua O. Điểm phụ d giúp ta tìm ra lời giải bài toán.
Lưu ý :
Kết quả trên vẫn đúng cho tam giác ABC bất kì.
Từ kết quả bài toán 3 ta giải được các bài toán sau.
	Bài toán 3.1: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn ( O ;R) ,H là trực tâm, G là trọng tâm của tam giác ABC.Chứng minh rằng H,G,O thẳng hàng.
	Bài toán 3.2 : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AN và CK (NBC, K AB).Đường tròn qua 3 điểm B,K,N cắt đường tròn ()tại điểm thứ hai M. Chứng minh OM MB,ở đây O là trung điểm của AC. 
	Bài toán 4: 
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, CD là một dây cung của nửa đường tròn (O).Các đường thẳng vuông góc với CD tại C và D lần lượt cắt AB tại E và F. Chứng minh AE = BF
	Phân tích: Vì OA =OB =R, dể có AE =BF 
cần chứng minh OE =O F.
Điểm phụ H với OH CD tại H giúp 
ta tìm ra lời giải bài toán. 
	Lời giải: 
	Vẽ OHCD, HCD, từ đó có CH =HD(định lý đường kính vuông góc với dây cung). Vì EC, OH, FD cùng vuông góc với CD nên : EC //OH // FD
Do đó OH là đường trung bình của hình thang CDFE OE = O F.
Mà OA = OB =R nên OA – OE = OB – O FAE =BF.
	Bài toán 5:
 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M,N sao cho OM = ON.Qua M và Nkẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt các nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh MC và ND vuông góc với CD.
	Phân tích : Từ bài toán 4 giúp ta chọn điểm phụ vẽ thêm cho bài toán này là điểm I là trung điểm của dây cung CD .Từ đó dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán. 
	Bài toán 6: 
 Cho đường tròn (O; R), hai bán kính OA 
và OB. C và D là các điểm trên cung AB 
sao cho AC = BD và hai dây AC, BD cắt nhau 
tại M. Chứng minh OM AB.
Phân tích : cân đỉnh O, AC=BD,những điều này gợi ta chứng minh OM là đường phân giác góc O của tam giác OAB.
Vẽ OIAC,OK BD (I AC,KBD) 
để có OI =OK từ đó 
ta tìm được lời giải của bài toán. 
	Lời giải: 
Vẽ OIAC,OK BD (I AC, KBD) Do AC =BD 
nên OI = OK 
Dễ chứng minh được nên .
 cân có OM AB.
 	Bài toán 7:
 Cho tam giác ABC cân ở a nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của cạnh AB , E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh OE ^CD 
Phân tích: 
 Bài toán có trọng tâm , trung điểm gợi ta nghĩ đến đường trung bình của tam giác .
Do đó lấy các điểm phụ M,N lần lượt là trung điểm của AD, AC sẽ giúp ta giải được bài toán.
Lời giải: 
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD,AC, 
G là giao điểm của CD và OA, 
E là giao điểm của DN và CM. 
Dễ thấy G là trọng tâm nên còn E là 
trọng tâm nên.
 Xét nên nên theo đ/l đảo Talét trong tam giác ta suy ra EG //MD . 
Mặt khác OD ^ AB (D là điểm giữa của dây cung AB của đường tròn (O) nên 
OD ^ EG cân tại A nội tiếp đường tròn (O) nên OA^ BC hay OG ^ BC.
Mà DN // BC ( DN là đường trung bình của do vậy OG ^ DN. Xét 
 Có GO và OD là 2 đường cao cắt nhau tại Oị O là trực tâm của . Từ đó 
OE^ DG hay OE ^ CD.
Bài toán 8: 
 Cho vuông tại A có AB =4cm, AC= 3 cm. Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC và đường tròn tâm A bán kính 2.5 cm.
Phân tích : 
 Để xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC với đường tròn tâm A ta cần tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC vì vậy cần vẽ thêm yếu tố phụ là đường cao AH của . 
Lời giải: 
Vẽ AH là đường cao của .
 vuông tại A, AH là đường cao 
nên theo hệ thức về cạnh và đường cao 
trong tam giác vuông có: 
ị ị 
Vì 2.4< 2.5 nên đường thẳng BC và đường tròn 
(A; 2.5 cm) cắt nhau.
Bài toán 9:
 Cho có . Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC và đường tròn tâm A bán kính 2 cm.
Phân tích : 
Cũng như bài tập 8 ta cũng cần kẻ đường phụ là 
đường cao AH để đi đến lời giải của bài toán.
Lời giải: 
 Vẽ đường cao AH của . Tam giác ABH vuông tại H
 có nên là nửa tam giác đều 
Do đó đường thẳng BC và đường tròn (A;2) tiếp xúc nhau.
Bài toán 10: 
 Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đường tròn (O;R) với A và B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ A đến đường kính BC của đường tròn .
Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm I của AH.
 Phân tích : 
Dễ thấy PB // AH, điều cần chứng minh PC 
đi qua trung điểm I của AH gợi ta nghĩ đến 
điểm D là giao điểm của CA và BP và tất 
nhiên phải có PB = PD . 
Điều này có được từ vuông và PA = PB.
Lời giải : 
 	Gọi điểm D là giao điểm của CA và BP .
Tam giác BAC vuông tại A ị Tam giác BAD vuông ở A 
Do PA và PB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) ị PA = PB (1) 
Mặt khác . Từ đó ị PD =PA (2)
Từ (1) và (2) ị PD =PB
Theo đ/l Ta lét : có AH // DB ( vì cùng vuông góc với BC) nên 
Mà PD = PB ị AI = IH hay I là trung điểm của AH.
Bài toán 11: 
 Một đường tròn nội tiếp tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D và E. Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AD; CM cắt DE tại I.
 Chứng minh 
 	Phân tích:
 Điều cần chứng minh gợi ta nghĩ đến
 định lý Talét do vậy ta làm xuất hiện
 “ hai đường thẳng song song”.
Cách 1: 
Vẽ CK // AB , KDE.Ta có . 
Và chứng minh được CE = CK.
Cách 2: Vẽ MH // DE, HAC.
Ta có ; 
do đó DM = HE, từ đó suy ra đpcm.
Cách 3: Vẽ ML // AC, LDE.
 Ta có , DM = ML 
Từ đó suy ra đpcm.
Bài toán 12: 
 Trên dây cung AB của đường tròn (O) lấy 
hai điểm C và D sao cho AC = CD = DB. 
Vẽ bán kính OE qua C và bán kính O F qua D. 
Chứng minh 
 	Phân tích: 
Ta có . 
Từ đó ta nghĩ đến tìm một tam giác có hai góc 
, mà quan hệ giữa các cạnh đối diện dễ thấy.
 Cách 1: Vẽ đường kính AM. 
 Ta có và có 
	OD < OM nên từ đó ta có lời giải bài toán.
Cách 2: Gọi I là trung điểm của OA. 
 IC là đường trung bình của nên IC // OD , 
có IC < OI. Từ đó tìm ra lời giải bài toán.
 	Cách 3: Gọi K là trung điểm của OD. 
CK là đường trung bình của .
 Ta có : 
 có OK < CK.Từ đó giúp ta có được đpcm.
Cách 4: 
 Trên tia đối của tia CO lấy H sao cho 
CH = CO . Tứ giác AHDO là hình bình hành,
suy ra AH = OD,
có AH < OA. Từ đó ta có lời giải của bài toán.
Bài toán 13: 
 Cho hai đường tròn (O) và tiếp xúc ngoài tại A.
 Vẽ một cát tuyến qua A cắt hai đường tròn tại B và C 
(B thuộc đường tròn (O) ; C thuộc )
 Chứng minh rằng tiếp tuyến tại B và C song song 
 với nhau.
Phân tích : Nếu kẻ thêm tiếp tuyến chung của 
hai đường tròn ta sẽ dễ dàng tìm ra được lời giải.
 Cần lưu ý rằng : những bài toán có hai đường tròn 
tiếp xúc nhau việc vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai 
đường tròn sẽ làm xuất hiện những yếu tố liên quan 
đến cả hai đường tròn, từ đó sẽ giải được bài toán.
*Bài tập: 
1) Cho hai đường tròn (O) và () tiếp xúc ngoài tại A. Hai điểm B, C lần lượt trên đường tròn (O) và () sao cho . Chứng minh rằng OB // C.
2) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R) (AB < AC). Đường tròn (I) qua B,C và tiếp xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D. Chứng minh 
3) Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) nội tiếp đường tròn (O).(AB<O). E,F lần lượt là trung điểm các cạnh AD,BC.I là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng è. Đường thẳng m vuông góc với OI tại I cắt các cạnh AD,BC lần lượt tại M,N.
Chứng minh cân.
III - Kết luận
1) Lời kết:
 Qua đây, chúng ta có thể khẳng định rằng: Việc vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài toán hình học là rất cần thiết, nó giúp các em HS không những giải được các bài toán mà còn giúp các em thấy hứng thú trong học bộ môn toán, phát triển được khả năng sáng tạo của các em.
Trong quá trình giảng dạy ,để phù hợp với khả năng không đồng đều của các đối tượng HS trong lớp , và trong điều kiện thời gian hạn hẹp của các giờ tự chọn nên tôi chỉ chọn những bài tập mang tính chất gợi mở, định hướng, đơn giản để các em thấy tự tin rằng nếu các em cố gắng các em hoàn toàn có thể làm được việc mà từ trước đến nay các em cảm thấy khó khăn đó là việc vẽ thêm các đường phụ trong các bài toán hình học. 
2) Kết quả đạt được và kiến nghị 
Với sự cố gắng, nỗ lực chung của cả giáo viên và các em HS, sau khi áp dung cách làm trên, rất nhiều em HS trong lớp đã thấy hứng thú, yêu thích bộ môn toán đặc biệt là phần hình học. Rất nhiều bài toán đã được các em giải bằng nhiều cách khác nhau, có những cách giải ngoài sự mong đợi của cả giáo viên.
 Mặc dù rất cố gắng song nội dung SKKN chắc chắn còn nhiều vấn đề hạn chế. Tôi rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để có thể tiếp tục hoàn thiện đề tài với nội dung phong phú hơn và áp dung được cho nhiều đối tượng học sinh hơn. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn. 	 
Sở giáo dục & đào tạo hải dương
&
Hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ để :
" Giải một số bài toán hình học 9"
Năm học: 2006 - 2007
úúúúú
Phòng giáo dục Huyện kim thành
Trường THCS Cổ Dũng
Hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ để:
" Giải một số bài toán hình học 9"
Tên tác giả: Nguyễn Thị Bình
Đánh giá của hội đồng khoa học nhà trường
(Nhận xét, xếp loại, ký, đóng dấu)
Số phách
(Do CT hội đồng ghi)
Số phách
(Do CT hội đồng ghi)
Hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ để :
" Giải một số bài toán hình học 9"
Đánh giá của hội đồng chấm SKKN cấp huyện
(Nhận xét, xếp loại, ký, đóng dấu)
Tên tác giả: ......................................................
Đơn vị công tác: ............................................