Sáng kiến kinh nghiệm - Hướng dẫn học sinh Lớp 6 biết so sánh hai phân số - Năm học 2009-2010

 Sáng kiến kinh nghiệm
 Hướng dẫn học sinh lớp 6 biết so sánh hai phân số 
Phần mở đầu 
 I : Đặt vấn đề
 Cùng với khoa học công nghệ , giáo dục đào tạo được Đảng và Nhà nước ta xem là quốc sách hàng đầu .Giáo dục đã thực sự cố gắng thực hiện nhiệm vụ chính yếu để góp phần tích cực vào việc “Nâng cao dân trí , đào tạo nhân lực , bồi dưỡng nhân tài”.
 Chiến lược phát triển giáo dục từ nay đến năm 2015 cũng đề ra ba nhiệm vụ chủ yếu , trong đó có nhiệm vụ “ tập trung nâng cao chất lượng và hiệu quả giáo dục”.Để thực hiện tốt nhiệm vụ này nói riêng và phát triển sự nghiệp giáo dục nói chung thì một trong các giải pháp là “Đổi mới phương pháp dạy học” nhằm nâng cao chất lượng đào tạo.
 Trong những năm gần đây ngành giáo dục đã có nhiêu biện pháp thiết thực để nâng cao chất lượng dạy và học : Phong trào đổi mới phương pháp dạy học phát huy tính tích cực chủ động của học sinh . Nhiều nhà trường ,nhiều giáo viên đã tìm ra các phương pháp thích ứng để áp dụng vào địa phương mình mong muốn đem lại hiệu quả cao nhất để nâng cao chất lượng giáo dục góp phần vào việc thực hiện mục tiêu của Giáo dục - Đào tạo .Trong những năm gần đây, đặc biệt là những năm thay sách giáo khoa , đại đa số giáo viên toán ở THCS đã hưởng ứng cuộc vận động đổi mới PPDH, đã chú trọng đến dạy học phân hoá, dạy sát đối tượng học sinh, phụ đạo cho học sinh yếu, kém khắc phục dần tình trạng HS lên lớp không đúng thực chất, quan tâm bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
 Tuy nhiên, các tiết dạy: khái niệm, định lý, quy tắc thường được giáo viên dạy tốt hơn, các tiết luyện tập thì còn nhiều vướng mắc. Thực tế cho thấy phần lớn các thầy cô giáo thường chỉ mới dừng lại ở tiết chữa bài tập, chưa đúng là tiết dạy luyện tập.
Trong việc dạy toán ở THCS, các tiết luyện tập chiếm một tỷ trọng khá lớn. Khả năng dạy các tiết luyện tập của giáo viên còn nhiều hạn chế do đó ảnh hưởng đến khả năng giải toán của học sinh, từ đó dẫn đến học sinh :
Học tập thụ động, kiến thức tiếp thu không vững chắc.
Học sinh gặp khó khăn trong hoạt động độc lập giải toán và vì thế hạn chế khả năng phát triển tư duy sáng tạo trong học toán.
Năng lực cá nhân của học sinh ít có điều kiện để bộc lộ và phát triển.
 - Khả năng phát hiện và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi còn nhiều hạn chế.
Hoà chung với phong trào đó trường chúng tôi cũng phát động thi đua “ Đổi mới phương pháp dạy học”.Trong phong trào đó đã có những kinh nghiệm được áp dụng ở trường và các trường bạn . Bản thân tôi qua nhiều năm giảng dạy ở khối 6 đã rút ra được một kinh nghiệm nhỏ trong quá trình dạy chương phân số đặc biệt là trong phần so sánh các phân số . Tôi cũng mạnh dạn nêu ra một kinh nghiệm nhỏ trong việc hướng dẫn học sinh lớp 6 biết so sánh hai phân số . 
 Mặc dầu việc so sánh hai phân số đã được học ở tiểu học . Nhưng do học sinh lớp 6 mới chuyển bậc học. Có thể nói học sinh lớp 6 còn bỡ ngỡ khi bước vào học trường lớp mới , cho nên các em còn lúng túng trong việc tìm tòi cách học , phương pháp học nói chung cho các môn và cho môn toán nói riêng .Vì thế học sinh gặp không ít khó khăn khi tiếp cận nó , đặc biệt là giải quyết những bài tập so sánh hai phân số ở mức độ cao hơn yêu cầu lời giải rõ ràng logic hơn chặt chẽ hơn ở bậc tiểu học .Việc định hướng , hướng dẫn cho các em trong tìm tòi lời giải là việc làm cần thiết và vô cùng quan trọng.Song đưa ra một phương án duy nhất để tranh luận nhằm tìm ra một hướng dẫn chuẩn mực , tối ưu không đơn giản chút nào,bởi hướng dẫn của mỗi giáo viên là đa dạng, phong phú không có khuôn mẫu nhất định.Do đó tuỳ vào đối tượng học sinh và yêu cầu của bài toán mà giáo viên đưa ra những phương pháp giải phù hợp đảm bảo tính khoa học, tính sư phạm và hiệu quả cho học sinh. Chính yêu cầu như thế mà tôi đã chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp 6 biết so sánh hai phân số “ . Với phạm vi đối tượng học sinh khối 6 , phạm vi chương trình chương phân số , hạn chế của đề tài nên tôi chỉ trình bày một số ví dụ minh hoạ cho đề tài này . Xin được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp .
 II. Mục đích của SKKN
 - Giúp học sinh tìm ra các lời giải các bài toán về so sanh các phân số , góp phần phát triển tư duy sáng tạo trong học tập.
 - Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.
 - Bồi dưỡng phương pháp tự học cho học sinh.
 - Học sinh có kỹ năng vận dụng những kiến thức đã học để giải quyết những vấn đề thường gặp trong cuộc sống bản thân và cộng đồng, bước đầu thể hiện tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo trong học tập và lao động.
 - Đúc rút kinh nghiệm cho bản thân để nâng cao nghiệp vụ, tay nghề.
 III.. Phạm vi đề tài
 - Các bài toán về so sánh các phân số ( Toán 6 )
 - Mở rộng cho các phần kiến thức khác trong chương trình toán 6.
 - Đề tài có thể được áp dụng cho học sinh từ bậc Tiểu học, Trung học cơ sở.
 - Đề tài áp dụng cho giáo viên để dạy học sinh đại trà và bồi dưỡng học sinh khá giỏi .
 B . Nội dung đề tài .
 I. Thực trạng:
 Bản thân tôi vào ngành đã lâu, giảng dạy qua các khối lớp với nhiều thế hệ học sinh.Tôi nhận thấy rằng, cùng với tình hình phát triển của xã hội, nhu cầu học tập ngày càng được chú trọng, quan tâm hơn. Tuy nhiên trong quá trình dạy toán, theo dõi tôi thấy học sinh thường lúng túng, khó khăn khi vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập. Do vậy ngoài việc định hướng, hướng dẫn cho học sinh tìm được cách giải, cần trang bị thêm cho các em nhiều cách giải cho một bài toán. Được như vậy các em sẽ có nhiều phương án lựa chọn để giải các bài toán cùng dạng, tránh được thói ỷ lại, phụ thuộc vào thầy cô, tài liệu.
 Vào đầu mỗi năm học, nhà trường thường tổ chức khảo sát để đánh giá chất lượng học sinh ở các khối lớp với hầu hết các môn học. Kết quả khảo sát đầu năm học 2008-2009 đối với môn Toán như sau:
Khối
Lớp
Tổng số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
6
6A
37
1
1.8
2
3.6
21
56.8
9
24.3
5
13.5
6B
36
0
0.0
3
8.3
17
47.2
10
27.8
6
16.7
6C
36
0
0.0
1
2.8
16
44.4
11
30.6
8
22.2
 Kết quả trên cho thấy tỷ lệ học sinh đạt yêu cầu trở lên chiếm tỷ lệ thấp so với yêu cầu chung hiện nay.
 II. Nguyên nhân:
 - Phần lớn học sinh là con gia đình thuần nông, đời sống kinh tế khó khăn, thời gian dành cho học tập còn ít.
 - Một số cha mẹ học sinh chưa ý thức đủ, đúng trách nhiệm đốivới việc học tập của con. Cá biệt một số còn "khoán trắng" con cho Nhà trường.
 - Một số bộ phận học sinh còn chây lười trong học tập, chưa ý thức được trách nhiệm, nhiệm vụ học tập của mình.
 - Tuy nhiên bên cạnh đó đã có nhiều gia đình tạo cho con mình mọi điều kiện tốt nhất cho học tập. Nhiều học sinh đã có cố gắng trong học hành, đã xác định được vai trò, trách nhiệm của mình đối với gia đình, nhà trường và xã hội.
 - Do số lượng và chất lượng một số giáo viên chưa thực sự đáp ứng được yêu cầu đổi mới nên ảnh hưởng tới chất lượng đào tạo nói chung, chất lượng môn toán nói riêng.
 - Học sinh chưa năm rõ các cách so sánh hai phân số , còn nhầm lẫn khi sử dụng các phương pháp so sánh hai phân số 
- Do yêu cầu của các kì thi kiểm định chất lượng , thi học sinh giỏi các cấp và đầu vào của các trường chất lượng cao ,,,
 III. Nội dung chính 
 III.1 . Các nội dung kiến thức cần ghi nhớ .
 Để học tốt và giải được các bài toán so sánh phân số ở lớp 6 thì các em học sinh cần nẵm được các kién thứ cơ bản về phân số như sau : 
Cách tìm BCNN của hai nhiều số lớn hơn 1 .
Tính chất cơ bản của phân số 
- ( m 0 ) 
- .
 3. Quy đồng mẫu số , tử số của hai hay nhiều phân số
 4. Phân số phần bù đến đơn vị : 
 5. Tích chéo : 
 - a.d = b.c 
 - a.d < b.c 
 - a.d > b.c 
 Các mệnh đề trên đã được trình bày trong sách giáo khoa toán 6 , sách bài tập , các tài liệu bồi dưỡng toán 6 hoặc các tài liệu được giới thiệu trong chương trình tiểu học ( Chương trình lớp 5) . Để củng cố các kiến thức trên và áp dụng , nâng cao giải các bài tập so sánh phân số giáo viên cần lấy các ví dụ minh hoạ để học sinh áp dụng linh hoạt vào giải các bài tập .
 6. Các phép toán : Cộng , trừ , nhân , chia , luỹ thừa .
 7. Các tính chất của bất đẳng thức số ...
 Học sinh cần nắm vững các kiến thức trên , có kỹ năng vận dụng linh hoạt các kiến thức đó vào các bài tập so sánh phân số ...
 III.2. Các ví dụ minh hoạ cho đề tài .
 Để giúp học sinh biết và vận dụng các phương pháp so sánh phân số tôi phân chia các phương pháp so sánh phân số một cách tương đối theo bốn cách sau đây :
 III.2.1 Phương pháp thứ nhất . 
 “So sánh phân số bằng cách qui đồng mẫu hay tử các phân số”
 - Nếu hai phân số có cùng mẫu , phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn .
 - Nếu hai phân số có cùng tử , phân số nào có mẫu lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn .
 Đây là dạng bài toán áp dụng ngay các kiến thức đã học ở lớp cũng có thể giải được ngay nên học sinh có thể áp dụng kiến thức trên là so sánh được hai phân số ở dạng này .
* Ví dụ 1.1 . so sánh A và B biết :
 A = ; B = 
 Nhận xét : Đối với bài dạng bài tập giáo viên hướng dẫn cho học sinh biết nhận xét các số hạng nào của A và B giống nhau . Từ đó chỉ cần so sánh các số hạng còn lại , như vậy ta đưa bài toán so sánh A và B về so sánh tổng các phân số sau đây : 
 A = và B = Đến đây chỉ hướng dẫn cho học thực hiện quy đồng các phân số của A và B là kết luận được .
 A = = và B = = . Vậy A < B .
 * Ví dụ 2.1 Cho 2 phân số và hẫy tìm : 
 a. Một phân số có dạng mà .
 b. Hai phân số có dạng mà .
 c. Năm phân số có dạng mà .
 + Nhận xét : Bài tập này nếu nhìn qua thì học sinh tưởng là rất khó nhưng nếu hướng dẫn học sinh áp dụng cách quy đồng mẫu số hoặc tử số các phân số thì bài toán trở nên dễ dàng . Ta tiến hành như sau :
 a.Quy đồng tử số các phan số bằng cách nhân 2 => = và giữa hai phân số này có phân số = thoả mãn mở rộng bài toán tìm 2 ; 5 phân số thoả mãn các điều kiện ở câu b,c .
 b. Quy đồng tử bằng cách nhân 3 => = và = giữa và có các phân số và . Đối với bài toán này giáo viên có thể hưỡng dẫn học sinh quy đồng mẫu số để tìm ra hai phân số thoả mãn yêu cầu của bài toán .
 c. Đối với bài tập này học sinh quy đồng mẫu các phân số với MC = 40 ta có và giữa hai phân số và có 5 phân số cần tìm là thoả mãn yêu cầu của bài toán .
 * Ví dụ 3.1 Cho phan số ( a<b) nếu thêm m vào tử sô và mẫu số củaphan số thì được phân số mới lớn hơn hay bé hơn phân số đã cho ?
 Đây là bài toán so sánh hai phân số và . áp dụng phương pháp quy đồng mẫu số các phan số ta có : MC = b.(b+m) =>
 == và 
= Từ đây học sinh chỉ cần so sánh hai phân số và mà do a < b nên < hay
 < 
 Lưu ý : Có những phân số lớn hơn 1 ta không nhất thiết phải quy đồng mẫu sô , quy đồng tử số mà chỉ cần đổi ra hỗn số thì bài toán trở thành dễ dàng 
*Ví dụ 4.1. So sánh các phân số và 
không quyđồng mẫu số hoặctử số ta cúng có thể so sánh được .
Giáo viên hướng dẫn học sinh hẫy đổi các phân số trên ra hỗn số :
 và ta thấy => > 
Từ ví dụ trên ta có ví dụ sau : 
 * Ví dụ 5.1 . So sánh hai phân số A = và B = 
Tương tự như ví dụ 4.1 giáo viên hướng dẫn học sinh đổi các phân số này ra hỗn số A = = 1 và B = = 1 đến đây chỉ cần so sánh hai phân số và ta có > .Vậy A > B 
 * Ví dụ 6.1 . So sánh hai phân số M = và N = giải tương tự ta có M >N .
III.2.2 Phương pháp thứ 2 
 “ So sánh hai phân số với phân số phần bù đén 1”
Hai phan số đều nhỏ hơn 1 phân số nào có phần bù đến 1 lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn 
Phân số ( a<b) có phần bù là và ngược lại.
 * Ví dụ 1.2 . So sánh các phân số 
 a. và b. và 
 Nhận xét : Nếu bài này học sinh quy đồng tử số và mẫu số thì chắc chắn có nhièu em sẽ bị nhầm lẫn trong trường hợp tử và mẫu là các số lớn . Do đó giáo viên hướng dẫn cho học sinh cách so sánh phân số phàn bù . Ta làm như sau :
 a. .Vậy < 
 b. => . Vậy < 
 * Ví dụ 2.2 . Từ ví dụ 3.1 ta có thể so sánh hai phân số theo phương pháp này . Giáo viên hướng dẫn học sinh so sánh như sau : 
 “ Cho phan số ( a . Vậy .
 III.2.3. Phương pháp thứ 3 .
 “So sánh hai phân số với phân số trung gian thứ ba” 
 So sánh hai phân số với phân số trung gian thường có hai cách sau đây :
Cách 1 : Chọn phân số trung gian thứ 3 có cùng tử số với một trong các phân số đã cho , cùng mẫu số với phan số còn lại .
Cách 2 . Chọn phân số trung gian thứ 3 thể hiện mối quan hệ giữa tử và mẫu của hai phân số .
 * Ví dụ 1.3. So sánh hai phan số và .
 Đối với ví dụ này có thể dùng phương pháp thứ 2 để so sánh nhưng chúng ta sử dụng dùng phan số trung gian thứ 3 để so sánh . Giáo viên hướng dẫn học sinh chọn phân số thứ 3 là : ta có . Vậy < .
 * Ví dụ 2.3. So sánh hai phân số và . 
 Nhận xét : Ta tháy 59 gấp gần 4 lần 15 và 97 gấp gần 4 lần 24 nên ta chọn phân số trung gian là (1) ; (2) . 
Từ (1) và (2) ta suy ra : > . 
 * Ví dụ 2.3. Cho A = ( 1) . Chứng minh A2 < 
 Hướng dẫn : Giáo viên cho học sinh nhận xét xem A gồm tích các phân số có tử số và mẫu số như thế nào ? Từ đó hướng dẫn học sinh chọn phân số trung gian để so sánh .
 Giải : A gồm tích 100 các phân số bé hơn 1 có tử số lẻ mẫu số chẵn nên ta chọn biểu thức trung gian là tích các phân số có tử số chẵn , mẫu số đều lẻ bằng cách áp dụng cách giải ở ví dụ 3.1 ta có :
 A < (2) . Nhân từng vế của (1) và (2) ta được :
 A2 < = =.
 Vậy A2 < .
* Ví dụ 3.3 . So sánh A và B biết : 
 A = và B = 
 Nhận xét: học sinh nhận xét thây tử số và mẫu số co số hạng tử bằng nhau , nhưng số hạng thứ nhất của chúng hơn kém nhau 10 lần . Ta chọn phân số trung gian có cùng mẫu số bằng mẫu số của phan số đã cho . Ta so sánh 10 A và 10B .
 Giải : 
 10A = = 1 + và 10B = = 1 + . Ta chỉ cần so sánh hai phân số và => > => 10A > 10B . Vậy A > B . Tương tự ta có bài tập sau : 
* Ví dụ 4.3 : So sánh A và B biết : A = và B = .
 Ta cũng có nhận xét như ví dụ 3.3 giáo viên hưỡng dãn học sinh so sánh và . 
 và Vì 
 => < . Vậy A < B 
 Lưu ý : các phân số trung gian được chọn không nhất thiết phải là các phân số có tử số , mẫu số khác nhau . Ta có thể chọn các phân số trung gian là 1 ( có tử và mẫu bằng nhau ) khi đó bài tập trở nên dễ dàng hơn 
 Ví dụ 5.3 
So sánh hai phân số sau : và 
 Ta thấy > 1 > vậy > 
So sánh hai phân số và . Ta thấy < 1 < . 
 Vậy < . Tổng quát lên ta có bài tập sau .
 Ví dụ 6.3 . So sánh hai phân số và ( a N , a 0 ) . Ta chọn phân số trung gian là 1 khi đó => < 
 III.2.4 Phương pháp thứ 4 .
 “ So sánh phan số bằng cách tính tích chéo “ 
 Hai phân số và với b,c,d 0 : - Nếu a.d > b.c > 
 - Nếu a.d < 
 Ví dụ 1.4 . So sánh các phan số sau : và 
 Ta xét tích chéo : 12.113 < 
 Ví dụ 2.4 . Cho phân số ( a<b) nếu cùng thêm hay bớt m đơn vị vào cả tử số và mẫu số của phân số đã cho ta được phân số mới lớn hơn hay bé hơn phân số đã cho ? 
 Giải : Đây là bài tập đã được giải ở ví dụ 3.1 và 2.2 nhưng giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tích chéo để rút ra kết luận .
 Từ bài ra ta có bài toán là : so sánh với hoặc .
Ta xét tích sau : a.( b+m) và b. ( a+m) . 
Do a a.m a.b + a.m < a.b + b.m 
 => a.( b+m) < b. ( a+m) . Vậy < 
 b. Cũng giải tương tự ta có > .
 IV. Một số bài tập tổng hợp
 V. Biện pháp thực hiện đề tài . 
 - Điều tra học lực của học sinh qua các bài kiểm tra.
	- Điều tra tâm lý của học sinh để biết em nào thích học toán.
	- Tổ chức ôn tập vào các buổi ngoại khoá nhằm tăng thời lượng luyện tập giải toán.
	- Ra các bài tập có cùng dạng như các bài đã được học.
	- Khi ra bài tập cho học sinh, giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện một số nội dung sau:
	+ Đọc kỹ nội dung bài ra.
	+ Nhận dạng bài toán thuộc dạng toán nào, thực hiện phép " Quy lạ về quen ".
	+ Xác định rõ yêu cầu của bài toán.
	+ Xác định đúng GT, KL của bài ra.( Có thể viết GT dưới dạng khác được không?).
	+ Tự mình tiến hành trình bày lời giải.
	+ Kiểm tra xem đã vận dụng hết giả thiết chưa, sử dụng những kiến thức nào ở trong bài? Vận dụng như thế nào ?
	+ Đối chiếu với cách giải của bạn, của thầy.
	+ Tìm thêm các lời giải khác cho bài toán ( nếu được ).
	+ Rút ra kinh nghiệm cho bản thân.
 - Đối với giáo viên cần đưa ra các dạng bài tập với mức độ từ thấp đến cao, nâng mức độ khó dần ( kể cả kiến thức lẫn kỹ năng).
 VI. Hiệu quả. 
 Năm học 2008-2009, tôi được Nhà trường giao nhiệm vụ dạy môn Toán ở các lớp 6A,6B,6C. Cuối năm học, nhà trường tổ chức khảo sát các môn ở các khối lớp theo đề chung. Kết quả môn Toán ở khối 6 như sau:
Khối
Lớp
Tổng số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
SL
TL(%)
6
6A
37
3
8.1
4
10.8
24
64.9
3
8.1
3
8.1
6B
36
2
5.6
4
11.1
23
63.9
4
11.1
3
8.3
6C
36
5
13.3
12
33.3
18
50.0
1
2.8
0
0.0
 So sánh với kết quả đầu năm, ta thấy chất lượng đã tăng lên rõ rệt. Có được kết quả đó là trong năm học vừa qua, tôi đã mạnh dạn đưa sáng kiến trên vào trong quá trình dạy học. Đó là niềm động viên lớn đối với cá nhân tôi và hi vọng rằng bạn bè, đồng nghiệp cũng tìm thấy được niềm vui khi áp dụng sáng kiến này.
C. Kết luận
 Trên đây là một số bài toán được nêu làm ví dụ minh hoạ cho đề tài và được giải với nhiều cách khác nhau trong chương trình Toán 6 về so sánh phân số mà tôi đã cố gắng lựa chọn để trình bày. Tôi không khẳng định phương pháp giải nào là tối ưu, là ưu việt. Nhưng với việc giải được các cách khác nhau cho một bài toán đã thực sự giúp ích rất lớn cho học sinh trong học tập. Với mỗi cách khác nhau, học sinh sẽ có thêm một sự khám phá mới. Và trong Toán học, việc tìm được nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán giúp người học trên cơ sở đó có thể thực hiện được phép " tương tự hoá ", " khái quát hoá " cho mỗi bài toán. Đó là một nét đẹp của dạy và học toán.
 Trong bài viết ngắn này, tôi đẫ nêu lên vai trò của việc tìm nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán. Hy vọng rằng qua bài viết này, các bạn đồng nghiệp sẽ có thêm một kinh nghiệm nhỏ trong vốn kinh nghiệm dạy học của mình. Bên cạnh đó cũng mong được sự góp ý và trao đổi của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để làm thế nào chúng ta ngày càng có nhiều kinh nghiệm dạy toán hơn, từ đó nâng cao chất lượng dạy, học môn toán nói riêng, chất lượng giáo dục nói chung, đáp ứng yêu cầu về đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn mới.
 Mong ban giám khảo, hội đồng khoa học các cấp xem xét, bổ cứu để tôi áp dụng sáng kiến một cách có hiệu quả, có tính sát thực hơn. Xin chân thành cảm ơn!