Sáng kiến kinh nghiệm Đại số Lớp 9 -Phương trình có ẩn số nằm dưới căn thức

A . Đặt vấn đề
I . Cơ sở lý luận 
 Xét về phương diện phát triển tính tự lực của học sinh đặc biệt là rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức lĩnh hội dược thì vai trò của việc giải bài tập trong quá trình học có giá trị rất lớn .Giải bài tập giúp học sinh rèn luyện : ý chí, tính kiên trì vượt khó, phát triển tư duy lô gíc, sự nhanh trí .Trong các yêu cầu củ việc giải bài tập toán nói chung và việc giải bài tập đại số nói riêng thì việc đưa ra các phương pháp ,từ đó học sinh tổng quát hoá được phương pháp giải cho từng dạng bài tập là mục tiêu lớn. Bởi vì tổng quát hoá càng cao làm cho học sinh nắm vững kiến thức đã học và biết huy động chúng một cách linh hoạt , sáng tạo, đồng thời phát triển năng lực nghiên cứu của các em. Qua đó các em nắm vững được vấn đề có tính khái quát hơn.
 Phương trình vô tỉ là một bộ phận quan trọng trong chương trình dạy toán ở trường phổ thông với định nghĩa là :" Phương trình có ẩn số nằm dưới dấu căn thức ". 
 Trong chương trình lớp 9 học sinh đã bắt đầu làm quen với những bài giải phương trình quy về phương trình bậc hai . Lên lớp 10 học sinh được học phương trình chứa căn thức bậc hai trong thời gian 1,5 tiết . Chính vì vậy việc trang bị cho học sinh kiến thức về các phép biên đổi để giải phương trình vô tỉ là hết sức quan trọng . Nó là cơ sở để giải các phương trình vô tỉ phức tạp hơn và đắc biệt là phương trinh vô tỉ siêu việt.
 Khi giải phương trình vô tỉ ta phải thực hiện các phép biến đổi tách căn thức và khử nó để đưa về phương trình đã biết cách giải do đó nó quan hệ mật thiết với nhiều loại phương trình cụ thể là : 
 +Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 +Phương trình bậc hai 
 +Phương trình bậc cao 
 +Phương trình : lượng giác ,mũ, lôgarit ( sau này) 
II . Cơ sở thực tiễn 
 Trong quá trình giải phương trình vô tỉ học sinh chưa phân biệt được khi nào là biến đổi tương đương khi nào là biến đổi hệ quả ,dẫn tới việc xuất hiện nghiệm ngoại lai 
 Đối với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc chẵn khi nâng luỹ thừa bậc chẵn hai vế muốn tương đương thì hai vế phải không âm .Do đó khi giải ra nghiệm ta chỉ cần kết hợp với ĐK rồi lấy nghiệm . Còn khi nâng luỹ thừa bậc lẻ khi nâng luỹ thừa bậc lẻ ta luôn được phương trình tương đương .
Với cơ sơ đó tôi xin được đưa ra "một số phương pháp giải phương trình vô tỉ"
B . Giải quyết vấn đề
I. Một số sai lầm của học sinh khi giải phương trình vô tỉ và biện pháp khắc phục 
 Trong quá trình giải phương trình bậc hai sai lầm mà học sinh vẫn thường mắc phải là phép biến đổi không tương đương dẫn tới làm mở rộng hoặc thu hẹp miền xác định của phương trình đó,và dẫn tới miền nghiệm không chính xác nó có thể mất nghiệm hoặc thêm nghiệm 
 Khi giải phương trình học sinh thường mắc những sai lầm sau :
Thứ nhất : Sai lầm điều kiện : 
Ví dụ : Giải phương trình : - = x+1 (1)
Có học sinh giải như sau:
ĐK : 
(1) - = x+1
Do x nên chia cả hai vế cho 
Ta có: -1 =
Với x -1< Phương trình vô nghiệm
Sai lầm học sinh là do học sinh lầm tưởng rằng :
 Cho nên học sinh đã giải sai điều kiện
Học sinh phải nhớ rằng
Lời giải đúng:
ĐK : 
* Với x=-1 là nghiệm đúng của phương trình 
*Với làm như lời giải trên
Vậy nghiệm của phương trình là x=-1 
Thứ hai :Sai lầm khi đặt điều kiện 
Trong khi giải PT dạng : = g(x) (1) Học sinh thường biến đổi như sau :
(1) 
Sau khi giải được nghiệm học sinh không thử lại với phương trình (1) mà khẳng định ngay nghiệm của (3) là nghiệm của (1) hoặc nếu kiểm tra thì chỉ kiểm tra điều kiện f(x) 
Để khắc phục sai lầm cho học sinh ta hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp sau : 
=g(x) (n N)
Ví dụ :Giải phương trình = 2-x (1) 
(1) 
* Đối với phương trình bậc lẻ (1)
Học sinh thường biến đổi như sau :
(1) 
 (2)
 Sau khi giải xong PT học sinh kết luận luôn nghiệm của (2) chính là nghiệm của (1) . Sai lầm của HS là coi rằng (1) và (2) là hai phương trình tương đương nhưng thực ra chúng không tương đương vì đã thay thế h(x) bởi 
 Để khắc phục sai lầm cho học sinh ta nhấn mạnh rằng (1) và (20 không tương đương .PT (2) là hệ quả của PT (1) nên khi giải xong phải thử lại nghiệm vào PT (1)
Ví dụ 2 : Giải (1)
(1) 
Thử lại (1) chỉ có x= là thoả mãn
Vậy nghiệm của phương trình là : x=
* Đối với phương trình dạng : (1) HS thường biến đổi như sau (1) 
Do đó để khắc phục sai lầm cho HS ta cần nhấn mạnh rằng muốn bình chương hai vế thì hai vế phải không âm thì mới có hai phương trình tương đương 
Thực chất (1)
Nhiều HS còn mắc sai lầm ngây thơ
Thứ ba : Sai lầm trong khi đặt ẩn phụ 
+Học sinh sau khi đặt ẩn phụ thường quên không đặt ĐK cho ẩn phụ 
Ví dụ 3: Tìm m để PT sau có nghiệm 
 m-x = 2 (1)
Giải : 
Đặt = t 
Vậy (1) (2)
HS mắc sai lầm :PT (1) có nghiệm PT (2) có nghiệm 
Mà thực chất PT (1) có nghiệm khi PT(2) có nghiệm t 
+ Học sinh có đặt ĐK cho ẩn phụ nhưng mới chỉ là ĐK cần chưa phải là ĐK đủ 
Ví dụ 4:
Tìm m để cho phương trình sau có nghiệm :
 2x- (1)
Giải : Đặt (2)
Học sinh thường mắc sai lầm 
PT(1) có nghiệm khi PT (2) có nghiệm t là đủ . Nhưng đó chỉ là ĐK cần 
Ta phải tìm ĐK của t 
Ta có : t = 
Vậy PT (1) có nghiệm khi PT (2) có nghiệm 
II. Hệ thống một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
 Khi giải PT vô tỉ trước hết ta phải đặt những ĐK cho bài toán có nghĩa rồi thông thường phải tìm cách tách căn thức và khử nó .Ta có một số phép biến đổi tương đương quan trọng áp dụng cho trường hợp có căn thức :
+
+
+
+
+
Tôi xin đưa ra một số phương pháp sau :
 Phương pháp sử dụng phép biến đổi tương đương 
Ví dụ 1: Giải PT 
 (1)
PT (1) 
Vậy nghiệm của PT là x=2/3
Ví dụ 2 : Giải PT (1)
ĐK : (2) 
Từ (1) suy ra (3)
Kiểm tra lại ĐK ta có x=5/3 là nghiệm của PT đã cho 
Chú ý do PT (1) và PT (3) không tương đương nên khi giải xong (3) ta phải kiểm tra lại ĐK và thử nghiệm với PT đã cho.
Ví dụ 3 : Giải phương trình: (1) 
Giải 
PT (1) (2)
ĐK: 
PT (2) 
Với x=-1 (loại)
 x=2 TM . Vậy nghiệm của PT là x= 2 
Kết luận 
 Phương pháp biến đổi tương đương là phương pháp quan trọng và đặt nền móng cho các phương pháp khác .Nó dễ hiểu ,dễ nhớ , học sinh ở các mức độ đều có thể vận dụng vào để giải PT .Mọi PT ở dạng phức tạp đều có thể đưa về dạng PT vô tỉ đơn giản hơn bằng phép biến đổi tương đương . Tuy nhiên nhiều bài toan nếu làm theo phương pháp náypẽ trở nên phức tạp ,thậm chí còn không giải được .
. Phương pháp đặt ẩn phụ 
 Mục đích chính của phương pháp dặt ẩn phụ là nhằm đưa PT đang xét về dạng đơn giải hơn và đã biết cách giải .Ta có thể gặp các trường hợp sau : 
Dạng 1: 
 ( Với g(x) = k.f(x) +b ) 
Cách giải : Đặt ĐK của t 
Ta đưa về PT 
Các ví dụ minh hoạ : 
Ví dụ 1 : Giải phương trình : 
 (1) 
Giải :
Đặt 
Vậy (1) 
 các trường hợp của dẫn tơi PT ẩn x có nghiệm . Trường hợp dẫn tới PT ẩn x vô nghiệm
Dạng 2 : (
 Với f(x) .g(x) = k = const 
Cách giải :
Vì f(x) .g(x) = k nên đặt 
Vậy PT (1) 
Ví dụ minh hoạ : Giải Phương trình : (1)
Ta thấy nên ta đặt 
+ Với t = 1/2 
+ Với t = 2 
Vậy tập nghiệm của phương trình là :S = 
Dạng 3: (1) 
Cách giải : Xét f(x) = 0 
 f(x) chia cả hai vế cho 
 (1) Đặt ta đưa về PT 
Ví dụ : Giải Phương trình : 
Giải : x = 3 không là nghiệm của PT nên chia cả hai vế cho ta được 
 Đặt 
- HS giải tiếp 
Dạng 4 : Với ( f(x) +a) ( g(x) +b) = a
Cách giải : Đặt 
Ta có hệ Giải hệ thay vào tính được x 
Ví dụ minh hoạ : Giải phương trình : 
Đặt 
Vậy nghiệm của phương trình là x = 12 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 
Đặt : : 
Ta có (1) 
Kết luận : Khi giải PT vô tỉ theo phương pháp đặt ẩn phụ chúng ta phải nhớ đặt ĐK của ẩn phụ , chuyển ĐK của ẩn số sang ẩn số phụ . Tuỳ theo từng bài toán và dạng toán mà ta có cách đặt ẩn phụ thích hợp với PT đang xét . Nhiều bài toán ta không thể nhìn thấy ngay cách đặt ẩn phụ mà phải qua một số phép biến đổi thì mới có thể làm được . Do đó việc đặt ẩn phụ đòi hỏi phải tư duy linh hoạt , khéo léo như nghệ thuật giải toán .
Ngoài hai phương pháp thường dùng tôi đã trình bày ở trên còn một số phương pháp khác cũng rất thuận lợi như : " Phương pháp đạo hàm ; Phương pháp đồ thị ; phương pháp hình học ; phương pháp đánh giá . Tuy nhiên với hạn chế của SK KN tôi xin chưa trình bày ở đây .
III . Một số bài toán với các cách giải khác nhau .
 Theo tôi khi giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau trước hết sẽ kích thích gợi động cơ , gây hưng phấn cho HS từ đó HS có niềm say mê tìm hiểu và đi sâu vào toán học . Thứ hai ,học sinh sẽ nhìn được một số vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau ,do đó kiến thức được sử dụng nhiều ,học sinh sẽ được mở mang trí tuệ ,ôn tập ,củng cố kiến thức rèn luyện óc tư duy sáng tạo linh hoạt . Cuối cùng học sinh chọn được cách giải hay nhất ,ngắn gọn nhất . Vì thế khi giảng dạy cho học sinh ta cần cho học sinh làm toán với nhiều cách khác nhau .
 	Bài toán 1 : 
Giải phương trình : (1) 
Cách 1: PT (1) 
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 
Cách 2 : Đặt ẩn phụ : Đặt 
 PT (1) 
Cách 3 : Đánh giá 
ĐK : x
Theo BĐT côsi ta có VP = x+2 . Dấu bằng xảy ra khi x = 2 
Vật nghiệm của phương trình là : x = 2 
Bài toán 2 : Giải phương trình : (1)
Cách 1: 
ĐK : 
PT (1) vì x
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2+ 
Cách 2 : Đặt 
 PT (1) 
 Ta thấy không thoả mãn 
Cách 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về hệ :..
IV. Các bài tập tham khảo 
Bài 1 : Giải các phương trình 
a) 
b)
c)
 Bài 2 : Giải các phương trình : 
a)
b)
c)
Bài 3 : Giải các phương trình : 
a)
b) 
c)
C . Kết luận
1>Lời kết
 Qua đây, chúng ta có thể khẳng định rằng: Toán học có mặt trong mọi công việc, mọi lĩnh vực của cuộc sống quanh ta, nó không thể tách rời và lãng quên được, nên chúng ta phải hiểu biết và nắm bắt được nó một cách tự giác và hiệu quả.
Trong chương trình toán học cơ sở, với đối tượng học sinh THCS, khả năng tư duy còn nhiều hạn chế nên tôi chỉ chọn những bài tập mang tính chất hệ thống không khó lắm.
 Mục đích là trang bị những kiến thức cơ bản có đào sâu có nâng cao và rèn luyện tư duy toán học cho học sinh, tạo ra nền tảng tin cậy để các em có vốn kiến thức nhất định làm hành trang cho những năm học tiếp theo.
2> Kết quả đạt được và kiến nghị 
Với những sai lầm mà HS thường mắc phải khi giải phương trình vô tỉ ở dạng đơn giản sau khi được trang bị cách giải chính xác HS đã tự tin hơn ,giải toán nhanh hơn và chính xác hơn ít mắc những sai sót cơ bản .
Một số dạng toán và phương pháp giải đối với phương trình vô tỉ đã kích thích học sinh hứng thú hơn và nhiều học sinh có lời giải hay ,ngắn gọn .Nhiều học sinh đã trở nên linh hoạt ,sang tạo hơn về trí tuệ .
Đối với học sinh khá ,giỏi đã vận dụng tốt phương pháp giải và thực hiện giải tốt các dạng phương trình vô tỉ ở dạng phức tạp .
Mặc dù vậy tôi rất mong muốn các đồng chí đóng góp ý kiến để SK này có tính thực tiễn và được sử dụng rộng rãi. Tôi xin trân thành cảm ơn.