Sáng kiến kinh nghiệm - Cách giải một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai - Năm học 2007-2008 - Nguyễn Thị Lan

Sáng kiến kinh nghiệm
Cách giảI Một số dạng phương trình
 quy về phương trình bậc hai
Họ và tên : Nguyễn Thị Lan
Chức vụ : Giáo viên 
Trình độ chuyên môn : CĐSP
Đơn vị công tác : Trường THCS Nam Trung
Năm học: 2007 - 2008
đặt vấn đề
	Trong nhà trường nói chung, trường THCS nói riêng, việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chương trình là một nhiệm vụ quan trọng của mỗi người giáo viên đứng lớp. Mặt khác, việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải được tiến hành thường xuyên . Việc bồi dưỡng không chỉ giúp cho học sinh nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp lôgíc tìm ra được cách giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thông minh sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn Toán.
Đối với môn toán lớp 9, phần “phương trình bậc hai”, “phương trình quy về phương trình bậc hai” là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, thi học sinh giỏi và thi vào trung học phổ thông. Do đó, học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về “phương trình quy về phương trình bậc hai”. 
Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy lớp 9, bồi dưỡng học sinh khá giỏi và dạy học sinh cuối cấp ôn thi vào THPT, tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống kiến thức về cách giải một số dạng “phương trình quy về phương trình bậc hai” với một mong ước là làm tài liệu ôn tập, nhằm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho người dạy và người học trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
“Một số phương trình đưa về phương trình bậc hai” là một hệ thống kiến thức có đặc thù riêng, được tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau về cách giải của một số loại phương trình đưa được về phương trình bậc hai như : Phương trình chứa ẩn ở mẫu; phương trình bậc ba; phương trình bậc bốn; phương trình vô tỷ. Với mỗi loại phương trình đều trình bày cách giải có kèm theo các ví dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng có các nhận xét và những lưu ý nhằm giúp người đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu.
Phần I: Những vấn đề chung
A. Mục tiêu nhiệm vụ của đề tài
+ Nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiến thức cơ bản nhất, chung nhất về các dạng phương trình đưa về phương trình bậc hai nhằm:
	+ Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi 
	+ Giúp cho học sinh có một cái nhìn tương đối đầy đủ về phương trình đưa được về phương trình bậc hai, từ đó có những thao tác tư duy nhanh nhạy, sáng tạo, có kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng phương trình này.
	+ Giúp học sinh tự tin trong khi giải toán hoặc trong thi cử.
B. phạm vi, Đối tượng nghiên cứu và áp dụng
	1. Phạm vi nghiên cứu:
 - Các dạng phương trình, các cách giải phương trình nói chung và phương trình bậc hai nói riêng.
- Các phương pháp dạy học toán ở trường THCS.
- Nội dung sách giáo khoa đại số 9, các tài liệu tham khảo và các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
- Qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp.
	2. Đối tượng áp dụng:
Trong năm học 2007 - 2008, tôi đã áp dụng đề tài vào giảng dạy bộ môn Toán cho đối tượng là học sinh của hai lớp 9C và 9D trường THCS Nam Trung.
Phần 2: Nội dung
A cơ sở thực tiễn của vấn đề 
Toán học là một môn khoa học trừu tượng, đóng vai trò quan trọng trong đời sống con người, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các em sẽ nắm bắt được nhiều phương pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tính toán, phân tích tổng hợp, giải quyết được nhiều bài toán thực trong cuộc sống.
	Việc bồi dưỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các nhà trường THCS. Để là học sinh giỏi, các em cần được rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức.
	Sự phân hoá đối tượng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất rõ. số học sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ tương đối lớn, do đó nhu cầu được nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn.
Thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về phương trình và phương trình đưa về phương trình bậc hai ở chương trình THCS chưa được đề cập đến nhiều. Đội ngũ giáo viên chưa được chuẩn bị chu đáo để bắt tay vào bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi, do đó đòi hỏi người giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng mình. Chính vì thế nội dung bồi dưỡng phần kiến thức này chưa có sự thống nhất, gây không ít khó khăn cho người học và người dạy .
	Nghiên cứu sách giáo khoa và chương trình hiện hành ta thấy: SGK đại số 9 đã đưa ra cho học sinh một số phương trình quy về phương trình bậc hai như: phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình vô tỷ, phương trình trùng phương, đưa vào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở các lớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì chưa đủ, vì vậy cũng cần hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến thức “phương trình quy về phương trình bậc hai.
B. yêu cầu:
	Để học tốt cách giải phương trình học sinh cần nắm được một số kiến thức và kỹ năng sau:
+ Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số (các phép tính cộng, trừ, nhân, chia)
+ Các hằng đẳng thức đáng nhớ
+ Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
+ Kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số
+ Điều kiện để cho một biểu thức có nghĩa (biết tìm điều kiện xác định của phương trình, điều kiện xác định của một biểu thức )
+ Kỹ năng biến đổi các biểu thức.
+ Kỹ năng giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn, phương trình chứa ẩn ở mẫu (dạng cơ bản)
C. Phương trình quy về phương trình bậc hai
I- Nhắc lại về phương trình bậc hai một ẩn số
1. Định nghĩa:
+ Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng tổng quát:
 ax2 + bx + c = 0 (trong đó x là ẩn; a, b, c là các hệ số thuộc tập R; a0)
+ Nghiệm của một phương trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khi thay vào vế trái của phương trình ta được giá trị của hai vế bằng 0.
2. Giải và biện luận phương trình bậc hai
* Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) theo công thức nghiệm:
 = b2 - 4ac
+ Nếu < 0: Phương trình bậc hai vô nghiệm.
+ Nếu = 0: Phương trình bậc hai có nghiệm kép: x1 = x2=
+ Nếu > 0: Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2=
- Khi b chẵn, hay b = 2b’ (b’ ) khi đó ta có công thức nghiệm thu gọn:
	’=b’2 - ac
+ Nếu ’ < 0: phương trình vô nghiệm
+ Nếu ’ = 0: phương trình có nghiệm kép: x1 = x2=
+ Nếu ’ > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2=
 Chú ý: Nếu a và c trái dấu (tức a.c 0).
* Hệ thức Vi-et
Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) thì : 
	* Đối với một số phương trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên) trong trường hợp phương trình có nghiệm ( ≥ 0) ta có thể nhẩm nghiệm của phương trình.
	Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) có:
+ a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là: x1 = 1; x2 = 
+ a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là: x1= -1; x2 = -
 * Từ hệ thức Vi-et ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của phương trình bậc hai
+ Phương trình bậc hai có cùng dấu khi:	 hay 
+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương khi hay	 	
+ Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi: hay 
+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi:	
+ Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi: hay 
+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số dương có trị tuyệt đối lớn hơn khi: 
+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số âm có trị tuyệt đối lớn hơn khi: 
+ Phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau: 
* Không cần giải phương trình ax2 + bx + c =, từ hệ thức Vi-et, ta có thể tính được nhiều biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bằng cách đưa về biểu thức của x1 + x2 và x1x2.
	Ví dụ: ;
II- Phương trình quy về phương trình bậc hai:
	Trong chương trình Toán THCS ta thường gặp một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai sau:
1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
	Phương trình chứa ẩn ở mẫu là những phương trình có ẩn số nằm ở mẫu thức của phương trình.
a) Cách giải:
	+ Tìm điều kiện xác định của phương trình
	+ Quy đồng, khử mẫu
	+ Biến đổi phương trình, đưa phương trình về dạng ax2 + bx + c = 0
	+ Giải phương trình dạng ax2 + bx + c = 0
	+ Nhận định kết quả và trả lời (loại bỏ những giá trị của ẩn vừa tìm được không thoả mãn ĐKXĐ của phương trình).
b) Ví dụ : 
 Ví dụ 1:
Giải và biện luận theo a và b phương trình: 	(1)
Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt:
Giải	Điều kiện:	 
Ta có: (1) 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là
* 
* 
Vậy với thì (1) có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 2:
 (**)
Phân tích mẫu thành nhân tử ta có:
(**) 
ĐKXĐ: 	
Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3)
Qui đồng, khử mẫu ta có: 4 - (2x + 3) - 4(x - 2) + (x - 2)(x + 2) = 0
Giải phương trình :	 x2 - 6x + 5 = 0 ta được 2 nghiệm: x1= 1, x2 = 5
Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy x1 = 1 và x2 = 5 là 2 nghiệm của pt (**)
c. Nhận xét:
Khi giải loại này cần lưu ý: Cần so sánh các giá trị tìm được của ẩn với TXĐ trước khi kết luận về nghiệm của phương trình.
2. Phương trình bậc ba
Phương trình bậc ba (một ẩn số) là phương trình có dạng tổng quát:	ax3+bx2+cx+d =0 Trong đó x là ẩn số, a, b, c, d là các hệ số: a 
a) Cách giải
Để giải một phương trình bậc ba (đối với học sinh THCS) ta thường phải biến đổi đưa về phương trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử bậc nhất với một nhân tử bậc hai, còn vế phải bằng 0. Muốn vậy HS cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
2x3+7x2+7x+2=0 (*)
Giải
(*)	 (2x3 + 2) + (7x2 + 7x) = 0
	2(x3 + 1) + 7x(x + 1) = 0
	2(x + 1)(x2 – x + 1) + 7x(x + 1) = 0
 (x + 1)(2x2 + 5x + 2) = 0
	x + 1 = 0	(1)
	2x2 + 5x + 2 = 0	(2)
Phương trình (1) cho nghiệm x = -1
Phương trình (2) cho nghiệm x = -2 và x = -
Vậy phương trình (*) có tập nghiệm là S = 
Ví dụ 2:
Cho phương trình x3 - (2a + 1)x2 + (a2 + 2a - b)x - (a2 - b) = 0	(1)
Giải và biện luận theo a,b số nghiệm của phương trình đã cho.
Giải:
(1) Có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x1 = 1. Do đó (1) có thể viết dưới dạng
(x - 1)(x2 - 2ax + a2 - b) = 0.
Xét phương trình bậc hai:
x2 - 2ax + a2 – b = 0	(2)
’ = b
* Nếu b < 0 (2) vô nghiệm
 ị (1) có nghiệm duy nhất x = 1
* Nếu b = 0 (2) có nghiệm kép: x = a
 ị (1) có hai nghiệm: x = 1; x = a
* Nếu b > 0 (2) có hai nghiệm phân biệt:
 ị (1) Có ba nghiệm phân biệt: x = 1; x = a + ; x= a - ;
c. Nhận xét:
Giải phương trình bậc ba ở THCS ta chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích m ...  vào (*) ta có: t(t + 3) = 4	hay	t2 + 3t – 4 = 0	(2)
Phương trình (2) có nghiệm t1 = 1; t2 = -4	(Vì a + b + c = 0)
+ Với t = 1 Ta có x2+12x +32 = 1	hay	x2+12x+31=0
	 x1= -6+;	x2= -6 -;
+ Với t= -4 Ta có x2+12x +32= -4	hay	x2+12x+36=0
	Phương trình có nghiệm kép	x3,4 = -6
Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm: S = 
Ví dụ 2:
Giải phương trình:
(x+1)(x+7)(x-2)(x+4)=19	(3)
Giải:
Ta thấy 1+ 4=7 – 2 = 5
Ta biến đổi phương trình (3) ta được:
	(*)
Đặt x2+5x-14 = t	x2+5x+4 = t+18
Thay vào phương trình (*) có: t(18+t)=19
	 t2+18-19=0
Do 1+18-19 = 0 nên t1=1 ; t2=-19
+) Với t=1 thay vào x2+5x-14=t
Ta có : x2+5x-15 =0 (1)
Ta có 
Vậy phương trình (1) có hai ngiệm phân biệt : x1= ;	x2= 
+) Với t=-19 Thay vào x2+5x-14 = t
ta có x2+5x-14= -19
 ( 2)
Ta có 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt :	x3= ; x4 =
 Vậy phương trình(3) có tập nhgiệm là :
 S=
c) Nhận xét:
Với loại phương trình có dạng trên, nếu khai triển vế trái được phương trình bậc 4 đầy đủ ta sẽ khó giải bởi THCS chưa học. Bằng việc nhóm hợp lý 2 đôi hệ số, khai triển biến đổi trong mỗi nhóm ta sẽ đưa được về phương trình bậc hai trung gian.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm phương trình ban đầu vô nghiệm.
+ Khi giải phương trình bậc hai trung gian (ẩn t) sau khi giải tìm được giá trị ta trả biến và giải phương trình bậc hai theo ẩn x, thì nghiệm của phương trình này (nếu có) là nghiệm của phương trình đầu.
3-4. Phương trình đối xứng
Dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 +dx+e=0	(I)
Trong đó x là ẩn số,a; b;c;d;e là hệ số; a và với e0
Khi 	hay	e=a	thì d= thì phương trình (I) có dạng:
 ax4 + bx3 + cx2 bx +a=0
+ Vì e nên x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (I) chia cả hai vế của phương trình (I) cho x2 ta được phương trình tương đương
 ax2+bx+c+	(II)
Nhóm	
Hay	a
Đổi biến:	x+	(do )
Nên 	
Ta có phương trình: 	
Ta được phương trình trung gian: at2+bt+c=0
Giải phương trình at2+bt+c=0 tìm được nghiệm (sau trả biến và giải phương trình 	x+) Sau đó ta biện luận về nghiệm của phương trình (I)
c) Ví dụ: 
Ví dụ 1: Giải phương trình
2x4+3x3-16x2+3x+2=0	(*)
Giải:
Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (*) nên chia cả hai vế cho x2 ta được phương trình tương đương:
2x3+3x-16+
Suy ra	 	(**)
Đặt x	thì 	
Phương trình (*) trở thành	2
Giải phương trình:	
Ta được	
+) Với t=-4 ta có x+	(x)
Giải phương trình	
Ta được:	x1=-2+	x2=-2-	(Thoả mãn x)
+)Với	ta có	(x)
Giải phương trình	
Ta được: 	(Thoả mãn x)
Vậy phương trình (*) có tập nghiệm là :
 Ví dụ 2: Giải phương trình:
2x4-12x3+74x2-105x+50=0	(***)
Giải:
Vì x=0 không là nghiệm của phương trình
Chia 2 vế của phương trình	(***) cho x2 ta được
Đặt	thì	
Phương trình (****) trở thành:	
Giải phương trình:	2t2-21t+54 = 0 ta được : t1=6;	t2=4,5
 +) Với t=6 ta có x+	(x)
Giải phương trình 	 ta có: x1=1; x2=5 ( thoả mãn x)
 +) Với t = 4,5 Ta có	x+	(x)
Giải phương trình	x ta có: x3= 2 ; x4 = 2,5 	(thoả mãn x)
Vậy phương trình (***) có tập nghiệm là:
	 S=
c) Nhận xét:
	+ Giải phương trình đối xứng: bằng phép biến đổi tương đương và đổi biến đưa về phương trình bậc hai trung gian. Giải rồi trả biến tìm nghiệm của phương trình đối xứng ban đầu.
	+ về số nghiệm của phương trình đối xứng:
- Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm phương trình đầu vô nghiệm.
- Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm t1,t2 nhưng các phương trình	;	 vô nghiệm phương trình đầu cũng vô nghiệm.
- Nếu các phương trình ; có bao nhiêu nghiệm thì phương trình đầu có bấy nhiêu nghiệm.
3-5. Phương trình dạng: 	(1)
(Trong đó ; f(x) là đa thức của biến x, x là ẩn của phương trình)
a) Cách giải:
- Tìm tập xác định cảu phương trình bằng phép đổi biến f(x)=t
- Đưa phương trình về dạng: at2+bt+c=0	(2)
- Nếu phương trình (2) có nghiệm t=t0, ta giải tiếp phương trình f(x)=t0	(*)
- Nghiệm của phương trình (*) thoả mãn điều kiện) là nghiệm của phương trình đã cho.
b)Ví dụ 1:
 Ví dụ 1: Giải phương trình:	x6-9x3+8=0	(*)
Giải:	Đặt x3=y: (*) trở thành y2-9y+8=0 với nghiệm số y1=1 và y2=8. Từ đó ta có hai phương trình: x3=1 và x3=8
Suy ra (*) có hai nghiệm x1=1; x2=2.
 Ví dụ 2 : Giải phương trình:
x4+6x3+5x2-12x+3=0	(*)
Giải:
 ĐKXĐ : 
 Biến đổi vế trái:	 x4+6x3+5x2-12x+3=0
	= x4+6x3+9x2-12x+3	
	= (x2+3x)2-4(x2+3x)+3
Phương trình (*) trở thành: (x2+3x)2-4(x2+3x)+3=0
Đặt x2+3x=t
Thay vào (x2+3x)2-4(x2+3x)+3=0
Ta có phương trình bậc hai trung gian: t2-4t+3=0
Do 1-4+3=0	 t1=1;	t2=3
Trả biến:
	+) Với t=1 thì x2+3x=1 x2+3x-1=0
	Giải ra ta được: x1,2=
	+) Với t=3 thì x2 +3x=3 x2+3x-3=0
	Giải ra ta được: x3,4=
Vậy phương trình (*) có tập nghiệm là : 
	S = 
Ví dụ 3: Giải phương trình:
	(**)
Giải:
TXĐ:	
Thêm vào 2 vế của (**) biểu thức: 	
Ta được phương trình tương đương:
Hay	
	(***)
Đặt ẩn phụ:	
Thay vào phương trình (***) ta có	
Giải phương trình:	
Ta được	t1=	t2=
+) Với t=	ta có	
Phương trình này vô nghiệm.
	+) Với 	ta có	
Giải phương trình	
Ta được x1=1; x2=-4 (thuộc ĐKXĐ)
Vậy phương trình (**) có nghiệm: 
3-6 Vài phương trình bậc cao khác: x1=1; x2= -4
a) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
	x5 + 2x4 - 5x3-10x2+4x+8=0	(*)
Giải:
Đây là phương trình bậc 5, ta biến đổi đưa về dạng phương trình tích
Dễ thấy phương trình (*) có nghiệm x=-1.
Chia vế trái của phương trình (*) cho x+1, ta được:
	(x+1)(x4+x3-6x2-4x+8)=0	(**)
Đa thức f(x) = x4+x3-6x2+8 có nghiệm x=1 ( vì f(1) =0).
Ta chia tiếp f(x) cho x-1. Khi đó, phương trình (**) có dạng:
	(x+1)(x-1)( x3-2x2-4x-8)=0
Hay 	(x+1)(x-1)(x+2)(x2-4)=0
	x+1=0	x=-1
	x-1=0	 	x=1
	x+2=0	x=-2
	x2-4=0	x=
Vậy phương trình (*) có tập nghiệm là:
	S = -1;	1;	-2;	2
Ví dụ 2:
Giải phương trình
	x4+4x3+3x2+2x-1=0	(*)
Ta nhóm các số hạng lại thì được:	(x4+4x3+4x2)-(x2-2x+1)=0
	(x2+2x)2-(x-1)2=0
	(x2+x+1)(x2+3x-1)=0
	x2+x+1=0	(1)
	x2+3x-1=0	(2)
phương trình (1) vô nghiệm
phương trình (2) có hai nghiệm
x1,2=
Vậy (*) có hai nghiệm:
x1,2=
Ví dụ 3:
Giải phương trình: 	x4-4x3-10x2+37x-14=0
Giải: 
Giả sử phân tích vế trái của phương trình thành (x2+px+q)(x2+rx+s)
Trong đó p,q,r,s là các hệ số nguyên chưa xác định. Ta có:
x4-4x3-10x2+37x-14=(x2+px+q)(x2+rx+s)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng nhất thức ta có hệ phương trình sau:
p + r= - 4
s + q + pr= - 10
ps + qr= 37
qs = - 14
Giải hệ phương trình trên với nghiệm nguyên ta được:
p=-5;	q=2;	r=1;	s=-7
Do đó phương trình đã cho trở thành:
(x2-5x+2)(x2+x-7)=0
Ta chỉ còn phải giải hai phương trình sau:
x2-5x+2=0;	x2+x-7=0 và
được tập nghiệm là:	S = 
b) Nhận xét:
Qua các ví dụ ta có cách giải các phương trình bậc cao trên:
	+ Biến đổi về dạng tích, vế phải bằng 0
	+ Phân tích thành nhân tử đưa phương trình về hệ thống phương trình bậc nhất và bậc hai (đã biết cách giải)
	+ Số nghiệm của phương trình bậc nhất, bậc hai là nghiệm của phương trình ban đầu).
4. Phương trình vô tỷ:
Dạng thường gặp:	*) 
	*) af(x)+b
	(M là hằng số hoặc đa thức)
a) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
	x=	(1)
Giải:
	 (1) x+1=	(2)	ĐK: 
Bình phương hai vế (2) ta được: (x+1)2= 
Giải phương trình ta có x1=-3 (Không thoả mãn ĐK); 
 x2=2 (Thoả mãn ĐK)
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x=2.
Ví dụ 2: Giải phương trình
	2x+	(2)
Giải:
	Điều kiện: 
Đặt	(*)	
	 t
(2) 2t2+6+t=16
 t
	 t1=2 (thoả mãn)
	2t2 + t - 10 = 0	 t2= (loại)
 t	 	 t
Thay giá trị của t vào (*) ta có:	
 x=7	(Thoả mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình (2) là x=7
b) Nhận xét:
+ Khi giải phương trình vô tỷ ta cần chú ý tìm ĐKXĐ của phương trình
+ Tiến hành giải (3 cách)
Cô lập căn thức, rồi bình phương hai vế để khử căn bậc hai
(hai vế của phương trình không âm)
Sử dụng định nghĩa căn thức bậc n (n chẵn)
	f(x)=	(1)
	g(x)	(2)
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ:
+ Nhận định số nghiệm của phương trình:
	Phương trình vô nghiệm nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm
	Phương trình vô nghiệm nếu nghiệm của phương trình bậc hai trung gian không thoả mãn điều kiện của phương trình đầu.
	Phương trình có nghiệm nếu nghiệm của phương trình bậc hai trung gian thuộc ĐKXĐ của phương trình đầu.
5-Một số phương trình đặc biệt
Ví dụ:
Ví dụ 1: giải phương trình:
	(x2+3x-4)3+(2x2-5x+3)3=(3x2-2x-1)3
Ta thấy (x2+3x-4)+(2x2-5x+3)=(3x2-2x-1)
Tư đó đặt a=x2+3x-4; b=2x2-5x+3 a + b = 3x2-2x - 1 Khi đó phương trình đã cho có dạng: 
	a3+b3=(a+b)3
mà (a+b)3=a3+3ab(a+b)+b3 	
suy ra 3ab(a+b)=0 từ đó suy ra: a= 0 hoặc b = 0 hoặc a + b = 0
	- Hoặc	a= 0 x2+3x-4=0	 phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2= -4
	- Hoặc	b= = 2x2-5x+3=0 phương trình có 2 nghiệm: x3=1; x4= 1,5
	- Hoặc	a+b= 0 3x2-2x-1=0 phương trình có hai nghiệm: x5=1; x6=)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = (1; -4; 1,5; )
Ví dụ 2:
	Giải phương trình: x4+y4+=4
Giải: Do 	nên vế trái 	. Dấu bằng sảy ra khi 
	x	Từ đó phương trình đã cho có nghiệm x=
Ví dụ 3:	Giải phương trình:	 (1+t2)2=4t(1-t2)
Giải:	Ta có (1+t2)2=(1-t2)2-4t2 phương trình đã cho trở thành
	(1-t2)2 – 4t(1-t2) + 4t2=0 hay 
hay có nghiệm là 
b) Nhận xét:
	Với các phương trình đặc biệt, mỗi phương trình có một cách giải riêng nó đòi hỏi tư duy rất cao, đòi hỏi khả năng vận dụng kiến thức tổng hợp một cách hết sức linh hoạt
Kết luận
	Phát triển tư duy toán học và nhận thức sáng tạo cho các em học sinh là một việc làm khó. Để làm được điều này người giáo viên phải là người có kiến thức, có phương pháp sư phạm tốt, hết lòng thương yêu học sinh và hơn nữa là cần phải kỳ công với các bài giảng của mình.
	Sau một thời gian giảng dạy, qua nghiên cứu kết quả học tập của học sinh các lớp bồi dưỡng học sinh khá giỏi, qua trao đổi với các đồng nghiệp tôi thấy. Khi bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi phần kiến thức về những phương trình quy về phương trình bậc hai theo những nội dung của đề tài. các em đều có sự tiến bộ rõ rệt. Thể hiện, các có cái nhìn toàn diện hơn về mảng kiến thức này, không còn lúng túng trong khi giải các dạng phương trình đã học.
	Đối với giáo viên, việc thực hiện giảng dạy các kiến thức này trở nên dễ dàng hơn rất nhiều, các đồng nghiệp của tôi đều đánh giá rất cao hệ thống kiến thức này và coi đó là tài liệu chính cho việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi lớp 9.(Mảng kiến thức về phương trình)
	Với những thành công đó, tôi mạnh dạn viết lại hệ thống kiến thức này mong phổ biến rộng rãi hơn, góp phần vào việc bồi dưỡng kiến thức cho học sinh khá giỏi. Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp, kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, rất mong các thầy cô và đồng nghiệp đóng góp ý kiến.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Ngày 28 tháng 5 năm 2008
 đánh giá của nhà trường	 Người viết
Nguyễn Thị Lan