Phương pháp tính các tổng được viết theo quy luật

Phần I: Một số vấn đề chung
I. Lý do chọn đề tài : 
 Toán học là một môn học có tính chất rất quan trọng trong việc phát triển và rèn luyện kỹ năng, tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích tổng hợp, tính cẩn thận, kiên trì, tính chính xác, năng lực sáng tạo và khả năng tư duy lôgíc cho học sinh .
Trong chương trình toán học ở bậc trung học cơ sở các bài toán tính các tổng được viết theo quy luật là một dạng toán khá hay, thường xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi. 
Từ thực tiễn dạy học môn toán THCS cơ sở tôi thấy nhiều em học sinh chưa nắm được phương pháp cũng như chưa có kĩ năng giải các bài toán tính các tổng được viết theo quy luật.
Với mục đích nâng cao chất lượng dạy học, đổi mới phương pháp dạy học,
 trang bị cho các em học sinh một số phương pháp và kỹ năng cơ bản khi tính các tổng được viết theo quy luật.
Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài: " Phương pháp tính các tổng được viết theo quy luật".
II. Mục đích nghiên cứu: 
1) Đối với giáo viên 
1. Xây dựng được cơ sở lý thuyết, các phương pháp giải các bài toán “Tính các tổng được viết theo quy luật”.
2. Phân dạng, xây dựng hệ thống các bài tập theo chuyên đề riêng phù hợp với từng đối tượng học sinh, có phương pháp giải của từng dạng.
2) Đối với học sinh 
1. Nắm được các phương pháp giải các bài toán “Tính các tổng được viết theo quy luật”.
2. Vận dụng tốt các phương pháp giải toán để làm bài tập.
3. Phát huy khả năng độc lập suy nghĩ và tư duy sáng tạo trong việc giải toán.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
 1. Đối tượng: Học sinh lớp 6,7
 2. Phạm vi : Các bài toán: “Tính các tổng được viết theo quy luật”.
IV. Phương pháp nghiên cứu:
1. Nghiên cứu lý luận:
 - Đọc tài liệu sách tham khảo có liên quan đến đề tài.
 - Tìm hiểu các dạng toán “Tính các tổng được viết theo quy luật”.
2. Nghiên cứu thực tế:
- Khảo sát kỹ năng giải bài toán “Tính các tổng được viết theo quy luật” ở các lớp giảng dạy, và ở các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Dự giờ trao đổi ý kiến với giáo viên, đặc biệt là các giáo viên tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi.
Phần II : Nội dung
A. Cơ sở lí thuyết
1. Tính chất của phép cộng
- Tính chất giao hoán: 
- Tính chất kết hợp: 
- Tính chất cộng với 0: 
- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: 
2. Phương pháp chung:
- Để tính các tổng được viết theo quy luật trước hết chúng ta cần tìm được quy luật viết các số hạng của tổng. Sau đó biến đổi để xuất hiện các số hạng đối nhau từ đó giản ước, rút gọn để tính ra kết quả.
- Để tính tổng A trong một số trường hợp chúng ta tính k .A (k là một số khác 0) từ đó suy ra A.
B. Các Bài toán và phương pháp giải: 
Ví dụ 1: Tính 
Giải: 
Cách 1: 
 (có 50 ngoặc)
 (có 50 số hạng)
Cách 2: 
Do đó: (có 100 số hạng)
Nhận xét: - Trong cách 1, việc xác định hai số hạng của ngoặc cuối có vẻ hơi khó khăn.
- Cách tính thứ hai tổng quát hơn, việc xác định số số hạng cũng đơn giản hơn.
*Hãy giải bài toán trong trường hợp tổng quát ?
Tính 
KQ : 
áp dụng:
Tính:
Hãy nêu và giải bài toán tổng quát ?
Ví dụ 2: Tính 
Giải:
Nhận xét: 
Do đó: Lần lượt cho n=1, 2, 3,...,99 ta được:
Do vậy 
*Cũng từ nhận xét trên ta có:
nên ta có thể trình bày bài giải theo cách khác như sau:
Ta tính 3E sau đó thay 3 lần lượt bởi 3-0 ; 4-1 ; 5-2;...
Do đó : 
Bài tập vận dụng
 Tính: 
TQ: 
HD: Tính 4G
 ( hãy nêu và giải bài toán tổng quát?)
Ví dụ 3: Tính 
Giải: 
Nhận xét: 
 .....................
Nên ta trình bày như sau:
* Hãy giải bài toán trong trường hợp tổng quát ?
TQ: 
Chú ý: 
VD: (a=3 , k=2)
Ví dụ 4: Tính 
Giải:
Tương tự ví dụ trên ta có:
 =....
Hãy nêu và giải bài toán tổng quát ?
Ví dụ 5: Tính 
Nhận xét: 
Nên ta tính M như sau:
Các em cũng có thể trình bày như sau: 
 Ta c ó: 
Khai thác bài toán: 
*Tính:1) 
 2) 
 * Cho 
 1) Hãy viết số hạng tổng quát của M.
 2) Tính M biết M có 100 số hạng.
Ví dụ 6: Cho dãy số: 
a) Hãy viết số hạng tổng quát thứ n của dãy.
b) Tìm số hạng thứ 50 của dãy.
c) Tính tổng 50 số hạng đầu tiên của dãy.
Giải:
Dãy số đã cho có thể viết lại như sau: 
a) Xét các mẫu trong dãy: Ta thấy thừa số thứ nhất trong mỗi mẫu chia cho 3 đều dư 1 (hay chia cho 3 thiếu 2) nên có dạng: ; thừa số thứ hai trong mỗi mẫu chia cho 3 đều dư 1 nên có dạng: 
Do đó số hạng tổng quát thứ n của dãy là: 
b) Số hạng thứ 50 của dãy là: 
c) Gọi tổng 50 số hạng đầu tiên của dãylà A:
Ta có: 
(Các bạn tự tính tiếp)
Bài tập vận dụng :
Bài 1: Tính
Bài 2: Tính
Bài 3: Tìm số tự nhiên n biết:
Bài 4: Tìm x biết:
Bài 5: Tính
Bài 6: Chứng minh rằng:
a)
b) 
Bài 7: Chứng minh rằng
Bài 8: Cho dãy số 
a) Hãy viết số hạng tổng quát của dãy.
b) Tìm số hạng thứ 100 của dãy.
c) Chứng tỏ rằng tổng 100 số hạng đầu của dãy nhỏ hơn .
Bài 9: Tính tổng:
Bài 10: Tính tổng:
Bài 11:Tính tổng:
với 
Bài 12: So sánh
a) và 
b) và 
Bài 13: Tính nhanh 
Bài 14 : Tính 
Bài 15: Tính
Bài 16: CMR : 
Bài 17: Tính 
Bài 18: Tính 
a) b) 
Ví dụ 7: Biết rằng 
Tính nhanh: 
Giải: 
Như vậy, nếu đặt P = thì S = 4P
Do đó nếu cho S ta sẽ tính được P
Ta có bài toán:
Cho .Tính P =
Bài 1: Biết rằng . Tính 
Bài 2: Biết rằng . Tính 
Nhận xét: Chúng ta có thể tăng số mũ của các luỹ thừa để có các bài toán khác:
Bài 3: Biết rằng 
Tính nhanh: 
Bài 4: Biết rằng 
Tính nhanh: 
Ví dụ 8: Cho 
a) Viết số hạng tổng quát thứ n của A
b) Tính giá trị của biểu thức A
Hướng dẫn:
 a) A gồm các số chia cho 3 dư 2, tức là chia cho 3 thiếu 1, các số này mang dấu “+” nếu n lẻ và mang dấu “-“ nếu n chẵn.
- Dạng tổng quát số hạng thứ n của A là với 
hoặc với 
b) gộp thành từng nhóm hai số được: (-3).17 = -51
Ví dụ 9: Tính 
Hướng dẫn: 
C1: Cộng từng nhóm 4 số ta được ( -8).50 = -400
C2: Cộng từng nhóm hai số (1+(-3) ; 3+(-7)...
ta được: (-4). 100 = -400
Ví dụ 10: Cho 
A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
A có bao nhiêu ước tự nhiên, ước nguyên.
Giải: 
a) Gộp thành nhóm 4 số, ta được 25 nhóm, mỗi nhóm bằng -4. Do đó A = -100. Vì thế A chia hết cho 2, chia hết cho 5, không chia hết cho 3.
Xét nên A có 9 ước tự nhiên, có 18 ước nguyên 
Bài tập:
Bài 1: Cho 	
a) Viết số hạng thứ n của A
b) Tính A khi A có 100 số hạng
Bài 2: Tính 
Ví dụ 11: Tính 
Giải:
 nên 
Do đó: 
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tính
Bài 2: So sánh A và B biết
 và 
Bài 3: Cho 
a) Chứng minh rằng: S chia hết cho 3
b) Chứng minh rằng: S chia hết cho 31
=> Hãy nêu 3 bài toán tương tự bài toán trên.
Bài 4: Chứng minh rằng tổng ( trong đó k là số tự nhiên) chia hết cho 400.
Bài 5: Chứng minh biểu thức :
Chia hết cho 
Bài 6: Cho 
Tìm chữ số tận cùng của A.
Bài 7: Cho 
Chứng minh rằng M chia hết cho 13 và 41.
Bài 8: Chứng minh: 53 ! - 51 ! chia hết cho 29.
Bài 9: Tính 
Bài 10: Hãy chứng tỏ rằng tổng:
 không phải là số tự nhiên.
Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát?
Bài 11: Cho 
a) Chứng minh rằng A chia hết cho 126.
b) Tìm chữ số tận cùng của A.
C. bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất
 Việc phân chia kiến thức theo từng chuyên đề và ở mỗi chuyên đề được phân chia theo từng dạng bài, loại bài là hết sức cần thiết . Điều đó giúp các em có thể đi sâu hơn , phân tích đánh giá đầy đủ hơn đến từng nội dung kiến thức .
 Vì vậy chúng ta phải coi đây là việc làm thường xuyên, cần thiết nhằm làm cho kết quả học tập của các em cao hơn.
 Trong quá trình giảng dạy không những giáo viên phải tự nghiên cứu, phân tích tổng hợp kiến thức mà cần phải chú trọng việc dạy cho học sinh biết cách phân dạng các bài tập, tổng hợp kiến thức . Đây là nhiệm vụ chính của giáo viên trong quá trình dạy học và giáo dục.
 Qua nhiều năm giảng dạy tại trường THCS Dĩnh Trì tôi nhận thấy năng lực học tập của các em trong trường rất tốt. Tôi đã triển khai đề tài tại trường và có kết quả tốt. 
 Từ đó tôi xin đề xuất: 
- Khi vận dụng đề tài, với mỗi khối lớp giáo viên có thể lựa chọn phạm vi kiến thức và lượng bài tập sao cho phù hợp với năng lực của mỗi đối tượng học sinh.
- Vì đề tài áp dụng chủ yếu cho học sinh khá giỏi nên khi áp dụng giáo viên hãy áp dụng phương pháp gợi mở (nếu cần) và có thể yêu cầu học sinh khai thác bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau: Tương tự hoá, tổng quát hoá bài toán, vận dụng bài toán sang bài toán khác, tìm tính chung và tính riêng cho từng bài, từng dạng bài. Nhưng bên cạnh đó có thể chọn những bài toán cơ bản và cần thiết để dạy cho các đối tượng học sinh trung bình.
Phần III : Kết luận
	Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của tôi sau khi dạy học sinh giải các bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi về “Tính các tổng được viết theo quy luật”. trong những năm vừa qua . Trong thực tế giảng dạy tôi nhận thấy sau khi áp dụng chuyên đề trên thì:
Các em học sinh đã biết phân dạng và nhận biết được các dạng bài toán về “Tính các tổng được viết theo quy luật” một cách đúng đắn và chính xác .
 - Thông qua đánh giá trong khi ôn tập và kết quả các kì thi thì đa số các em đã biết phương pháp giải và giải tốt dạng toán này.
 - Tuy nhiên với sự hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy cũng như thời gian còn nhiều hạn chế, nên không tránh khỏi những thiếu sót khi nghiên cứu và giảng dạy chuyên đề này. 
 Vậy bản thân tôi kính mong các thầy cô giáo đã có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy, các đồng nghiệp đóng góp ý kiến, phê bình để chuyên đề được đầy đủ hơn.
 Xin chân thành cám ơn!
 Ngày 10 tháng 5 năm 2007
 Người viết
 Nguyễn Thị Hằng
Tài liệu tham khảo :
1/ Sách giáo khoa , SBT Toán 6, 7 (NXBGD)
2/ Một số vấn đề phát triển đại số 6,7 (Vũ Hữu Bình) 
3/ Tạp chí Toán tuổi thơ, Toán học và tuổi trẻ ( NXB GD) 
4/ Các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh (Bắc Giang)