Một số dạng toán về lũy thừa trong chương trình Số học Lớp 6

Một số dạng toán về luỹ thừa
 trong chương trình toán 6
-------	 
I- lý thuyết:
Dựa vào một số kiến thức sau: 
1) Định nghĩa luỹ thừa. 
2) Các phép tính về luỹ thừa 
3) Chữ số tận cùng của một luỹ thừa. 
4) Khi nào thì hai luỹ thừa bằng nhau ? 
5) Tính chất của đẳng thức, bất đẳng thức. 
6) Tính chất chia hết. 
7) Tính chất của những dãy toán có quy luật. 
8) Hệ thống ghi số. 
II- Bài tập: 
1. Viết biểu thức dưới dạng một luỹ thừa:
 a) Phân tích các cơ số ra thừa số nguyên tố.
Bài 1: Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa ( bằng nhiều cách nếu có). 
a) 410 . 815 b) 82 . 253
Bài giải:
a) 410. 815 = (22)10 . (23)15 = 220 . 245 = 265 
Ta thấy 265 = (25)13 = 3213 
	 265 = (213)5 = 81925
Vậy ta có 3 cách viết là: 
	410 . 815 = 265
	410 . 815 = 3213
	410 . 815 = 81925
b) 	82 . 253 = (23)2 . (52)3 = 26. 56 = 106
Ta thấy 106 = (102)3 = 1003
	 106 = (103)2 = 10002
Vậy ta có 3 cách viết là: 
	82 . 253 	= 106
	82 . 253 	= 1003
82 . 253 	= 10002
	b) Nhóm các thừa số một cách thích hợp.
	 Bài 2 Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa. 
	( 2a3x2y) . ( 8a2x3y4) . ( 16a3x3y3) 
Bài giải:
	 	( 2a3.x3y ) . (8a2x3y4) . ( 16a3x3y3) 
	= (2.8.16) (a3. a2. a3) . ( x2x3 x3) . (y.y4.y3) 
	= 28 .a8. x8. y8 = (2axy)8
	Bài 3: Chứng tỏ rằng mỗi tổng ( hiệu) sau đây là một số chính phương. 
	a) 32 + 42
	b) 132 -52 
	c) 13 + 23 + 33 + 43
Bài giải:
	 a) 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52
	b) 132 - 52 = 169 - 25 = 144 = 122
	c) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2 = 102
	2- Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa. 
	* Luỹ thừa có cơ số tận cùng đặc biệt ( x, y, ẻN) 
	 = (n ẻN *)
	 = 
	 = 	(n ẻN *)
	 	(n ẻN *)
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các luỹ thừa sau:
	a) 42k ; 42k + 1.
	b) 92k ; 92k + 1 ( k ẻ N*)
 Bài giải:
	a) Ta có: 	42k = (42)k = 
	42k + 1 = (42)k .4 = 
	b) Tương tự ta có: 	92k = 
	92k + 1 = 
	Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các luỹ thừa sau.
	a) 22005; 32006
	b) 72007 ; 82007 
Bài giải:
a) Ta có:	22005 = (24)501 . 2 = 
	32006 = (34)501 . 32 = 
	b) Ta có:	 72007 = (74)501 . 73 = ()501.3 = 
	82007 = (84)501 . 83 = (501 . 2 = 
	3. Tính giá trị biểu thức:
	 a) Tính theo quy tắc thực hiện phép tính:
	 Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau. 
	33 . 9 - 34 . 3 + 58. 50 - 512 : 252 
Bài giải:
	 33 . 9 - 34. 3 + 58 . 50 - 512 : 252
	= 35 - 35 + 58- 58 = 0 
	b) Sử dụng tính chất phép tính.
	Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau một cách hợp lý nhất.
	A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56
	B = 9 ! - 8 ! - 7 ! . 82
Bài giải:
 A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56
 = ( 25: 5 )6 + ( 15 : 5)6 - (10:5) 6
	= 56 + 36 - 26
	= 15625 + 729 - 64 = 16290 
 B = 9 ! -8 ! - 7! .82
	= 8 ! ( 9-1) - 8 ! 8 
	= 8 ! . 8 - 8! .8 = 0 
	c) Biểu thức có tính quy luật.
	Bài 1: Tính tổng. 
	A = 1 + 2 + 22+...+ 2100
	B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100
Bài giải:
	 A = 1 + 2 + 22 + ...+ 2 100
	=> 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101 
	=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) – (1 +2 + 22+ ...+2100) 
Vậy	A = 2101 - 1 
	B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100
	=> 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101 
	B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101)
	4B = 3 - 3101
Vậy	B = ( 3- 3101) : 4
 Bài 2: Tính tổng 
	a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200 
	b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301 
Bài giải:
	a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
	25 A = 52 + 54+ ...+ 5202 
	25 A - A = 5202 - 1 
Vậy	A = ( 5202 -1) : 24 
	b) Tương tự	B = 
Bài 3: Tính 
	A = + + + ... + 
	B = + - + ...+ 
Bài giải:
A = 	 + + + ... + 
7A = 1 + + + ... + 
=> 7A - A = 1 - 	
A = : 6 
B = + - + ...+ 
5B = -4 + + +...+ 
B+5B = -4 +
B = : 6 
Bài 3: Tính 
A = 
Bài giải:
Biến đổi mẫu số ta có: 
2530 + 2528 + 2526 +...+252 + 1 
= (2528 + 2524 + 2520 + ...+1)+ ( 2530 + 2526 +2522+...+252) 
= (2528 + 2524+ 2520+...1) +252. (2528+ 2526+ 2522+ ...+ 1) 
= (2528+ 2524 + 2520+ ...+1) . (1 + 252) 
Vậy A = = 
d) Sử dụng hệ thống ghi sổ - cơ số g. 
Bài 1: Tính 
A = 6 107 + 5.105+ 4.103+2.10 
B = 12. 108 + 17.107 + 5.104 + 3 
Bài giải:
A = 6.107 + 5.105 + 4.103 + 2.10
 = 6.107 + 0.106 + 5.105 + 0.104 + 4.103+ 0.102+ 2.10 + 0.100
= 60504020
B = 12.108 + 17 .107 + 5.104 + 3 
= (10+2) .108+ ( 10 +7).107+5.104 + 3 
= 109 + 2.108 + 108 + 7.107 + 5.104 + 3 
= 109 + 3.108 + 7.107+ 0.106+ 0.105 + 5.104 +0.103 + 0.102 + 0.101+3.100
= 1370050003. 
4. Tìm x 
a) Đưa về cùng cơ số ( số mũ)
Bài1: Tìm xN biết
a) 4x = 2x+1 
b) 16 = (x -1)4
Bài giải:
a) 4x = 2x + 1 
(22)x = 2 x + 1 
22x = 2x+ 1 
2x = x +1 
2x- x = 1 
	x = 1 
b) 16 = ( x -1)4
24 = (x -1)4
2= x - 1 
x = 2+1 
x = 3 
	Bài 2: Tìm xN biết 
	a) x10 = 1x
	b) x10 = x 
	c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3
	d) x2<5
 Bài giải:
	a) x10 = 1x
	x10 = 110
	x = 1 
	b) x10 = x 
	x10 - x = 0 
	x.( x9 - 1) = 0 
	Ta có: x = 0 hoặc x9 -1 =0 
	Mà x9 -1 = 0 
	x9 = 19
	x = 1 
	Vậy x = 0 hoặc x =1 
	 c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3
Vì hai luỹ thừa bằng nhau, có cơ số bằng nhau, số mũ khác nhau ( ạ0) 
	Suy ra 2x - 15 = 0 hoặc 2x - 15 = 1 
	+ Nếu 2x - 15 = 0 
	x = 15 : 2 N ( loại) 
	+ Nếu 2x - 15 = 1 
	2x = 15 + 1 
	x = 8 
	d) Ta có x2 < 5 
	và x2³ 0 => x2 ẻ 0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 
	Mặt khác x2 là số chính phương nên 
	x2 ẻ 0 ; 1; 4 hay x2 ẻ 02 ; 12 ; 22 
	x ẻ 0; 1 ; 2 
 Dựa vào bài tập SGK lớp 6 
Bài 4: Tìm x ẻ N biết 
 a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2
b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2
Bài giải:
a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = (x +1)2
( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2
	552 = ( x +1) 2
	55 = x +1 
	x = 55- 1 
	x = 54 
b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2 
 = ( x - 2)2
	502 = ( x -2 )2
	50 = x -2 
	x = 50 + 2 
	x = 52 
	( Ta có: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2) 
Bài 5: Tìm 1 cặp	 x ; y ẻ N thoả mãn 
	73 = x2 - y2
	Ta thấy: 	73 = x2 - y2
	( 13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2
	(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2
	282 - 212 = x2 - y2
	Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là: 
	x = 28; y = 21 
	b) Sử dụng chữ số tận cùng của một luỹ thừa.
	Bài 1: Tìm x ; y ẻ N* biết. 
	x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + ...+ y! 
Bài giải:
	Ta thấy x2 là một số chính phương 
	Có chữ số tận cùng là 1 trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 
	Mà: 
	+ Nếu y = 1 
	Ta có x = 1 ! = 12 ( TM) 
	+ Nếu y = 2 
	Ta có: x2 = 1 ! + 2! = 3 ( Loại) 
	+ Nếu y = 3 
	Ta có: x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! = 9 = 32 ( TM) 
	x = 3 
	+ Nếu y = 4 
	Ta có: x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! = 33 ( loại ) 
	+ Nếu y ³ 5 
	Ta có: 
	x2 = ( 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! ) + ( 5! + 6! + ...y! ) 
	=	 + = ( loại) 
	Vậy x = 1 và y = 1 
 x = 3 và y = 3 
Bài 2: Tìm x ẻ N* biết. 
A = 111....1 	 -	 777 ...7 là số chính phương 
	 2 x chữ số 1 x chữ số 7 
Bài giải:
+ Nếu x = 1 
Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM) 
+ Nếu x > 1 
Ta có A = 111...1 	- 777...7 	= M 2 
	 2x chữ số 1 x chữ số 7 mà M 4	
	Suy ra A không phải là số chính phương ( loại) 
	Vậy x = 1 
	c) Dùng tính chất chia hết
	Bài 1: Tìm x; y ẻN biết: 
	35x + 9 = 2. 5y
	*)Nếu x = 0 ta có: 
350 + 9 = 2.5y 
	 10 = 2.5y 
 	 5y = 5 
	 y =1 
*) Nếu x >0 
	+ Nếu y = 0 ta có: 35x + 9 = 2.50
	35x + 9 = 2 ( vô lý) 
	+ Nếu y > 0 ta thấy: 
	35x + 9 M 5 vì ( 35x M 5 ; 9 M 5 ) 
	Mà 2. 5y M 5 	( vô lý vì 35x + 9 = 2.5y) 
	Vậy x = 0 và y = 1 
	Bài 2: Tìm a; b ẻ Z biết. 
	( 2a + 5b + 1 ) (2ụaụ + a2 + a + b ) = 105 
Bài giải:
	*) Nếu a = 0 ta có: 
	( 2.0 + 5b + 1) . (2101 + 02 + 0 + b) = 105 
	(5b + 1) . ( b + 1) = 105 
	Suy ra 5b + 1 ; b + 1 ẻ Ư (105) mà ( 5b + 1)M 5 dư 1 
	Ta được 5b + 1 = 21 
	 b = 4 ( TM) 
	* Nếu a ạ 0 
	Ta thấy ( 2a + 5b + 1) . ( 2ẵaẵ + a2 + a + b) = 105 
	Là lẻ 
	Suy ra 2a + 5b + 1 và 2ẵaẵ + a2 + a + b đều lẽ (*) 
	+ Nếu a chẵn ( a ạ0 ) và 2ẵaẵ + a2 +a + b lẻ 
	Suy ra b lẻ.Ta có: 2a + 5b + 1 chẵn ( vô lý) 
	+ Nếu a lẻ 
	Tương tự ta thấy vô lý
	Vậy a = 0 và b = 4 
	5. So sánh các số.
	1) Tính: 
	Bài 1: So sánh 2 luỹ thừa sau: 
	27 và 72
Bài giải:
	 Ta có: 	 27 = 128 
	72 = 49 
	Vì 128 > 49 
	nên 27 > 72 
	 2) Đưa về cùng cơ số ( hoặc số mũ) 
	Bài 1: So sánh các luỹ thừa sau. 
	 a) 95 và 273
	 b) 3200 và 2300
Bài giải:
	 a) Ta có: 	95 = (32)5 = 310
	273 = (33 )3 = 39
	Vì 310 > 39
	nên 95 > 273
	b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100
	2300 = (23) 100 = 8100
	Vì 9100 > 8100
	nên 3200 > 2300
	3) Dùng số trung gian. 
	Bài 1: So sánh hai luỹ thừa sau: 
	3111 và 1714
Bài giải:
	Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 
	 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) 
	Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714
	nên 3111 < 1714
	Bài 2: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân 
Bài giải:
	Muốn biết 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh 2100 với 1030 và 1031. 
	 * So sánh 2100 với 1030
	Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10
	1030 = (103)10 = 100010 
	Vì 102410 > 100010
	nên 2100 > 1030 (*) 
	* So sánh 2100 với 1031
	Ta có: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26
	= 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1) 
	1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53
	= 231 . 6257. 53 (2) 
	Từ (1) và (2) ta có: 
	231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53
Hay 2100 < 1031 ( **) 
Từ (*),( **) ta có: 
	1031 	< 	2100 	 	< 1031
 Số có 31 chữ số nhỏ nhất 	Số có 32 chữ số nhỏ nhất 
Nên 2100 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân. 
Bài 3: So sánh A và B biết. 
a) A = ; 	B = 
b) 	; B = 
c) A = ; B = 
Bài giải:
 A = 
Nên 19A = = = 1 + 
B = 
nên 19B = = = 1 + 
Vì > 
Suy ra 1 + > 1 + 
Hay 19A > 19B 
Nên A > B 
b) A = 
nên 22 . A = = = 1 - 
B = 
nên 22.B = = = 1- 
Vì > 
 Suy ra 1 - < 1- 
Hay 22 A < 22 B
Nên A < B 
c) Ta có: 
 A = = 
Tương tự B = 
Từ (1) và (2) Ta có
A = + 5 > 5 > 4 > + 3 =B 
nên A > B 
6. Chứng minh: 
1) Nhóm các số một cách thích hợp.
Bài 1: Cho A = 1 + 3 +32 +...+311
 Chứng minh: 
a) A ∶ 13
b) A ∶ 40
Bài giải:
a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311
= 1+3 + 32) + (33+ 34+ 35) + ...+ (39+ 310+ 311) 
= ( 1+ 3 +32) + 33 . (1 +3 + 32) + ...+39. (1 + 3 + 32) 
= 13 + 33 . 13 + ...+ 39 . 13 
= 13. ( 1+ 33 + ... + 39 ) ∶ 13 
Hay A ∶ 13 
b) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) 
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33) 
= 40 + 34 . 40 + 38 . 40 
= 40 . ( 1 + 34 + 38) ∶ 40 
Hay A ∶ 40 
2) Thêm bớt một lượng thích hợp.
 Bài 1: Cho 10k - 1 ∶ 19 ( k ẻ N) 
Chứng minh: 
a) 102k - 1 ∶ 19 
b) 103k - 1 ∶ 19 
Bài giải:
a) Ta có: 
102k - 1 = ( 102k - 10k) + (10k - 1)
= 10k . ( 10k - 1) + ( 10k - 1) 
= (10k - 1). ( 10k + 1) ∶ 19 vì 10k -1 ∶ 19
 b) 103k - 1 = ( 103k - 102k ) + (102k - 1) 
Vì 10k - 1 ∶ 19 
102k - 1 ∶ 19 ( theo câu a ) 
3) Dùng chữ số tận cùng của luỹ thừa đặc biệt: 
Bài 1: Cho n ẻN ; n > 1 
Chứng minh: 	 + 1 có tận cùng là 7 
Bài giải:
Vì n > 1 nên 2n ∶ 4 
Suy ra 2n = 4k ( k ẻN *) 
Ta có: + 1 = 24k + 1 = (24)k + 1 
= 16 k + 1 = + 1 = 
Vì 16k = ( k ẻN (*)) 
& Có chi thông cảm nghe ta?
4 : MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN,ước và bội
Trong chương trỡnh số học lớp 6, sau khi học cỏc khỏi niệm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), cỏc bạn sẽ gặp dạng toỏn tỡm hai số nguyờn dương khi biết một số yếu tố trong đú cú cỏc dữ kiện về ƯCLN và BCNN. 
Phương phỏp chung để giải : 
1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tỡm, liờn hệ với cỏc yếu tố đó cho để tỡm hai số. 
2/ Trong một số trường hợp, cú thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tớch của hai số nguyờn dương a, b, đú là : ab = (a, b).[a, b], trong đú (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. Việc chứng minh hệ thức này khụng khú : 
Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 (*) 
Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd 
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] . (**) 
Chỳng ta hóy xột một số vớ dụ minh họa. 
Bài toỏn 1 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16. Lời giải : Do vai trũ của a, b là như nhau, khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a ≤ b. 
Từ (*), do (a, b) = 16 nờn a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. 
Theo định nghĩa BCNN : 
[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 
=> m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80. 
Chỳ ý : Ta cú thể ỏp dụng cụng thức (**) để giải bài toỏn này : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suyy ra mn = 15. 
Bài toỏn 2 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. 
Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. 
Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n. 
Vỡ vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18. 
Bài toỏn 3 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60. 
Lời giải : 
Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3. 
Tỡm được (a, b) = 3, bài toỏn được đưa về dạng bài toỏn 2. 
Kết quả : a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15. 
Chỳ ý : Ta cú thể tớnh (a, b) một cỏch trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN : Theo (*) ta cú ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3. 
Bài toỏn 4 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5. 
Lời giải : Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. 
Vỡ vậy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 và n = 5 hay a = 65 và b = 25. 
Chỳ ý : phõn số tương ứng với 2,6 phải chọn là phõn số tối giản do (m, n) = 1. 
Bài toỏn 5 : Tỡm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140. 
Lời giải : Đặt (a, b) = d. Vỡ , a/b = 4/5 , mặt khỏc (4, 5) = 1 nờn a = 4d, b = 5d. 
Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35. 
Bài toỏn 6 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16. 
Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. 
Ta cú : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n. 
Vỡ vậy : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = 8
Tương đương với m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80 
Bài toỏn 7 : Tỡm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72. 
Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. 
Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a ≤ b => m ≤ n. 
Do đú : a + b = d(m + n) = 42 (1) 
   [a, b] = mnd = 72 (2) 
=> d là ước chung của 42 và 72 => d thuộc {1 ; 2 ; 3 ; 6}. 
Lần lượt thay cỏc giỏ trị của d vào (1) và (2) để tớnh m, n ta thấy chỉ cú trường hợp d = 6 =>   m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4 . (thỏa món cỏc điều kiện của m, n). Vậy d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 
Bài toỏn 8 : Tỡm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140. 
Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. 
Do đú : a - b = d(m - n) = 7   (1’) 
   [a, b] = mnd = 140   (2’) 
=> d là ước chung của 7 và 140 => d thuộc {1 ; 7}. 
Thay lần lượt cỏc giỏ trị của d vào (1’) và (2’) để tớnh m, n ta được kết quả duy nhất : 
d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4 
Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 . 
Bài tập tự giải : 
1/ Tỡm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 45. 
2/ Tỡm hai số biết tổng của chỳng bằng 448, ƯCLN của chỳng bằng 16 và chỳng cú cỏc chữ số hàng đơn vị giống nhau. 
3/ Cho hai số tự nhiờn a và b. Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn c sao cho trong ba số, tớch của hai số luụn chia hết cho số cũn lại.