Một số bài toán nâng cao – Toán 6

Một số bài toán nâng cao – Toán 6
Bài 1: Rút gọn các phân số sau:
	a) 540648 ; 	b) 23. 32.3524. 32.21
Đáp án:
a) 540648 = 5 6 ; 	b) 23. 32.3524. 32.21 = 3 .52 . 3 = 5 2 
Bài 2: Tìm phân số bằng 11 15 biết rằng tổng của tử và mẫu của chúng bằng 2002.
Đáp án:
Ta có 11 . n + 15 . n = 2002 ⇒ n = 77.
Vậy phân số cần tìm là: 11.77 15 .77 = 8471155 
Bài 3: Tìm phân số bằng 3042 3978 sao cho tổng của tử và mẫu bằng 60.
Đáp án:
Rút gọn ta có: 3042 3978 = 13 17 ; ta cần tìm n để 13n + 17n = 60
⇒ n = 2 
Vậy phân số cần tìm là: 13.2 17.2 = 26 34
Bài 4: Chứng minh phân số sau đây tối giản: 12n+1 30n+2 (n ∈ N)
Đáp án
	Gọi ƯCLN(12n + 1, 30n + 2) = d.	
Ta có: 5(12n + 1) – 2(30n + 2) = 1 ⋮ d ⇒ d = 1, nên 12n + 1 và 30n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 5: Tìm số tự nhiên không lớn hơn 10 để phân số sau tối giản: 5 n+7.
Đáp án
	Bằng cách thử ta tìm được các giá trị thích hợp là: 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10.
Bài 6. Nếu phân số a b tối giản thì phân số a a+b có tối giản không ?
	Đáp án: Nếu d là ước của a thì d không là ước của b (d ≠ 1), vì a b tối giản nên d cũng không là ước của a + b. Vậy phân số a a+b là phân số tối giản.
Bài 7. Cho phân số 1+2+3+ . . . +9 11+12+13+ . . . +19 
a) Rút gọn phân số.
b) Hãy xoá một sô hạng ở trên tử và một số hạng ở dưới mẫu để được một phân số mới có giá trị bằng phân số cũ.
Đáp án
a) Ta có: 1+2+3+ . . . +9 11+12+13+ . . . +19 = 45 135 = 1 3
b) Từ kết quả trên ta xoá 5 ở trên tử và xoá 15 ở dưới mẫu ta được phân số mới: 40 120 = 1 3
Bài 8: So sánh các phân số sau một cách hợp lí:
	a) 2526 và 5051 ; 	b) 111115 và 555559 
Đáp án:
a) 2526 = 50 52 < 5051 . Vậy 2526 < 5051 ; 	
b) 111115 = 555575 < 555559 . Vậy 111115 < 555559 
Bài 9: So sánh:
	a) A = 1315+ 11316+ 1 ; 	B = 1316+ 11317+ 1 
b) C = 19991999+ 119992000+ 1 ; 	D = 19991998+ 119991999+ 1
Đáp án:
	a) Ta có: nếu ab < 1 thì ab < a + nb + n (với n ∈ N*)
	Do đó: B = 1316+ 11317+ 1 < 1316+ 1+ 121317+ 1+12 = 1316+ 131317+ 13 = 13(1315+ 1)13(1316+ 1) = A.
Vậy A > B
b) Làm tương tự ta có: C < D.
Bài 10: Tìm tất cả các phân số có mẫu là số có một chữ số và mỗi phân số này lớn hơn 79 và nhỏ hơn 89∙
Đáp án:
Gọi phân số phải tìm là ab ta có: 79 < ab < 89 hay 7b9b < 9a9b < 8b9b 
hay 7b < 9a < 8b, mặt khác 0 < b ≤ 9.
Thử các giá trị ta được các phân số là: 45 ; 56 ; 67 ; 78 
Bài 11: Chứng minh rằng: 
	Nếu ab < cd thì ab < a + cb + d < cd (b, d ≠ 0)
Đáp án:
Ta có: ab < cd ⇔ ad < bc ⇔ ad + ab < bc + ab ⇔ a(b +d) < b(a + c)
 ⇒ ab < a + cb + d
Mặt khác từ: ab < cd ⇔ ad < bc ⇔ ad + cd < bc + cd ⇔ d(a + c) < c(b + d)
⇒ a + cb + d < cd .
Vậy: ab < a + cb + d < cd 
Bài 12: Tìm một phân số có mẫu bằng 15, biết rằng giá trị của nó không thay đổi nếu cộng tử với 2 và nhân mẫu với 2.
Đáp án:
	Ta có: a15 = a+230 ⇒ 30a = 15 (a + 2) ⇒ a = 2.
Vậy phân số phải tìm là: 215 
Bài 13: Một phân số khi chưa rút gọn có tổng tử và mẫu bằng 1100, sau khi rút gọn được phân số 37∙ Tìm phân số ban đầu.
Đáp án:
	Phân số phải tìm là: 3n7n , ta có: 3n + 7n = 1100 ⇒ n = 110
	Vậy phân số phải tìm là: 330770
Bài 14: Cho hỗn số 2x 7 ∙ Tìm x biết:
a) 2x 7 = 153 63 ; 	b) 2x 7 = 2x+9 7
Đáp án:
a) 2x 7 = 153 63 hay 2x 7 = 17 7 ⇒2x 7 =2 3 7 ⇒ x = 3 ; 	
b) 2x 7 = 2x+9 7, Ta có: 2 . 7 + x = 2x + 9 ⇒ x = 5.
Bài 15: Cho hỗn số 1119 x ∙ Tìm x biết:
	a) 1119 x = 1673 140 ; 	b) 1119 x = 272 x 
Đáp án:
	a) 1119 x = 1673 140 ⟺ 1119 x = 239 20 ⟺ 1119 x = 11 19 20 ⇒ x = 20; 	b) 1119 x = 272 x , ta có: 11x + 19 = 272 ⇒ x = 23; 
Bài 16: Tìm phân số ab biết rằng nếu thêm 6 vào tử và thêm 21 vào mẫu thì giá trị của phân số đó không đổi. Có bao nhiêu phân số như vậy ?
Đáp án:
	Ta có: ab = a+6b+21 ⟺ a(b + 21) = b(a + 6) ⟺ 21a = 6b hay ab = 621⇒ab = 27
	Có vô số phân số như vậy (các phân số này có dạng 2k7k (k ∈ N*))
Bài 17: So sánh phân số sau đây với 1: 1985.1987-11980+1985.1986
Đáp án:
	Ta có: 1985 . 1987 – 1 = 1985 . 1986 + 1985 – 1 = 1985 . 1986 + 1984 
	1985 . 1986 + 1984 > 1980 + 1985 . 1986 
Vậy : 1985.1987-11980+1985.1986 > 1.