Hướng dẫn học sinh về chủ đề Ước và bội của một số tự nhiên trong chương trình Toán Lớp 6

A Đặt vấn đề
I Lời mở đầu:
 Toán học là một bộ môn khoa học cơ bản, xuất phát từ những yêu cầu của thực tế cuộc sống và trở về phục vụ thực tế đời sống khoa học – kĩ thuật, đời sống xã hội và bản thân toán học. Là một bộ môn đựơc mệnh danh là thể thao của trí tuệ, nó luôn đòi hỏi ở người học một sự rèn luyện thường xưyên giữa việc kết hợp vận dụng các kiến thức đã được tiếp nhận vào giải các bài tập.
 Đối với học sinh lớp 6, các em mới được chuyên đổi môi trường học tập ( từ bậc học tiểu học lên bậc học trung học cơ sở) nên có một bộ phận không nhỏ học sinh bỡ ngỡ trước cách thức tổ chức Dạy-Học rất khẩn trưong và khoa học của bộ môn toán đã làm cho học sinh khó khăn trong việc tiếp thu kiên thức – kĩ năng, gây ra cảm giác thiếu tự tin trong những giờ học toán, chính vì thế khi bản thân được nhà trường phân công giảng dạy môn toán lớp 6 với các đối tượng học sinh có học lực từ yếu đến khá (hai lớp 6B, 6C) của nhà trường thấy mình có trách nhiệm phải tạo cho các em niềm tin và sự hứng thú trong học tập, cho các em nhận thấy toán học rất gần gũi và sinh động. 
 Trong chương I phần số học lớp 6 “ Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên” thì “Ước và bội của một số tự nhiên” là khái niệm tương đối đợn giản, là một phạm trù kiến thức khá hẹp nhưng nó lại xuyên suốt không chỉ chương trình toán lớp 6 mà cả chương trình toán của các khối lớp sau này. Chủ đề này các kiến thức cơ bản học sinh đẫ được tiếp cận ở chương trình tiểu học, các bài toán về chủ đề “Ước và bội của một số tự nhiên” tương đối phong phú, đa dạng nó cũng đã gây không ít khó khăn thử thách cho nhiều học sinh lớp 6 khi đang còn bỡ ngỡ trước cách thức tổ chức Dạy-Học rất khẩn trưong và khoa học của bộ môn toán cấp trung học cơ sở. Hướng dẫn học sinh học về chủ đề “Ước và bội của một số tự nhiên” trong chương trình toán lớp 6 hi vọng góp phần giúp cho các em có sự linh hoạt , sáng tạo khi vận dụng kiến thức để giải các bài tập , và có được niềm tin , sự hứng thú và tích cực trong học tập.
II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: 
1. Thực trạng:
 Chủ đề “Ước và bội của một số tự nhiên” có vai trò và vị thế quan trọng trong số học lớp 6 nói riêng, trong toán học phổ thông nói chung, nhưng lại là chủ đề chưa được khai thác nhiều vì một vài nguyên nhân nhỏ.
 Đứng về phía giáo viên : 
 - Thời lượng dành cho chủ đề ít (chỉ có 2 tiết theo phân phối chương trình : 1 tiết lí thuyết, 1 tiết luyện tập) ; 
 - Không muốn khai thác sâu , rộng ngại mất nhiều thời gian cho chủ đề này và cũng có thể không phù hợp với đối tượng học sinh, hoặc cũng có thể xẽ hướng dẫn cặn kẽ , đầy đủ hơn khi học sinh đã được học về chủ đề Ước và bội của một số nguyên. 
 Đứng về phía học sinh:
 - Chủ quan do kiến thức đơn giản, bài tập sau bài học Ước và bội ít (chỉ có 4 bài tập: từ bài 111 đến bài 114/Sgk/44) nên chưa có nhu cầu cao về chủ đề này.
2. Kết quả của thực trạng :
 Khi kiểm tra chất lượng đầu năm môn toán lớp 6B trường THCS Phạm văn hinh với thời gian làm bài 90 phút có được kết quả cụ thể như sau:
Tổng số
Điểm<2
Điểm
Từ 2=><5
Điểm từ
5=><6.5
Điểm từ
6.5 =><8.0
Điểm từ 8.0 =>10
Điểm<TB
ĐiểmTB
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
SL
TL
(%)
34
0
0
9
26,5
14
41,2
8
23,5
3
8,8
9
26,5
25
73,5
 Kết quả này phản ánh phần nào đó kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải bài tập của các em còn hạn chế. Vì thế tôi đã nghiên cứu tài liệu, tham khảo kinh nghiệm ở các đồng nghiệp tìm ra biện pháp cách thiết kế và tryuền đạt kiến thức trong mỗi giờ học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, phù hợp với tinh thần đổi mới về phương pháp dạy học, đồng thời chú ý tinh giản ngắn gọn lời giải các bài tập tuy nhiên vẫn phải đảm bảo tính chính xác và hệ thống.
B giải quyết vấn đề
I Các giải pháp cải tiến:
1. Cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản cần nhớ của chủ đề, những chú ý khi thực hiện giải từng dạng toán của chủ đề.
2. Lựa chọn các dạng bài tập của chủ đề, lựa chọn các phương pháp dạy học sao cho phù hợp với đối tượng học sinh và yêu cầu đổi mới về phương pháp giảng dạy.
3.Tinh giản ngắn gọn lời giải các bài tập tuy nhiên vẫn phải đảm bảo tính chính xác và hệ thống.
4. Tổ chức đánh giá , nhận xét kết quả, đối chứng và rút kinh nghiệm sau tiết học.
II Các biện pháp tổ chức thực hiện:
1. Kiến thức cơ bản của chủ đề:
11 Khái niệm:
 Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a.
Chú ý:
Tập hợp các ước của a kí hiệu là Ư(a).
Các ước của a (khác a) được gọi là các ước thực sự của a.
Tập hợp các bội của a kí hiệu là B(a).
12. Cách tìm ước và bội:
a, Quy tắc: 
 * Muốn tìm bội của một số khác 0, ta nhân số đó lần lượt với 0; 1; 2; ...
 * Muốn tìm các ước của a (với a>1) ta lần lượt chia a cho các số tự nhiêntừ 1 đến a để xét xem a chia hết cho số nào. Khi đó các số ấy là ước của a.
b, Nhận xét: Một số tự nhiên a≠0 có vô số bội số, các bội của a có dạng:
 B(a)=k.a với kN
 Chú ý: Nếu một số mà tổng các ước thực sự của nó bằng chính nó thì ta gọi số đó là số hoàn hảo (hay số hoàn chỉnh)
Chẳng hạn: các số 6; 28;... là những số hoàn hảo vì
 6=1+2+3	 (1; 2; 3. là các ước thực sự của 6)
 28=1+2+4+7+14	 (1; 2; 4; 7; 14. là các ước thực sự của 28)
 13. Một số kiến thức cần nhớ liên quan việc giải bài tập của chủ đề:
 Với a, b, m, k1,k2 là những số tự nhiên
 Nếu a m ; b m a + b m ; a - b m, 
 Nếu a m ; b m k1a + k2b m ; k1a - k2b m 
 Nếu a b k1a + k2b b; k1a - k2b b
2. Một số dạng toán cơ bản của chủ đề:
Các dạng bài toán của chủ đề Ước và bội rất đa dạng và phong phú, trong khuôn khổ thời gian cho phép và để có sự phù hợp giữa kiến thức của các bài tập cần truyền thụ với đối tượng học sinh tôi xin được trình bày 3 dạng toán chính với mức độ tư duy từ thấp đến cao:
a, Dạng 1: Tìm ước và bội của các số tự nhiên đã biết
Mục tiêu:
Giúp cho học sinh củng cố lại khái niệm ước và bội của một số tự nhiên.
Rèn luyện kĩ năng vận dụng quy tắc tìm ước và bội của một số tự nhiên.
Hình thành tư duy khoảng giá trị ( Hệ thức) của các số cần tìm.
b, Dạng 2: Xác định các số tự nhiên theo hệ thức cho trước.
Mục tiêu:
Giúp cho học sinh có những tư duy về ước và bội của các số tự nhiên.
Rèn luyện kĩ năng biến đổi một hệ thức thành một hệ thức mà trong đó mỗi thừa số là ước của một số tự nhiên.
c, Dạng 3: Xác định yếu tố chưa biết trong một biểu thức để biểu thức đã cho có giá trị là một số tự nhiên.
 Mục tiêu:
Củng cố và khắc sâu các tính chất chia hết của một tổng.
Rèn luyện kĩ năng biến đổi một biểu thức thành một hệ thức trong đó các yếu tố cần tìm có thể xác định được. 
3. Một số bài toán:
Dạng 1: Tìm ước và bội của các số tự nhiên đã biết
Ví dụ 1:
a, Viết tập hợp các bội nhỏ hơn 40 của9.
b, Viết dạng tổng quát các số là bội của 9.
Giải:
a, Nhân 9 lần lựot với các số: 0; 1; 2; ...ta được các bội của 9. Khi đó ta có tập hợp các bội nhỏ hơn 40 của 9 là: {0; 9; 18; 27; 36}.
b, Do trong tập hợp các bội của 9, mỗi phần tử là tích của 9 với một số tự nhiên. Nên dạng tổng quát các số là bội của 9 là: 9.k với kN.
* Là dạng toán mang tính chất củng cố khái niệm ước và bội, tuy nhiên đối với câu b, (Viết dạng tổng quát các số là bội của 9) ta cần giải thích cặn kẽ cho những đối tượng học sinh có học lực từ trung bình trở xuống vì ở đây yếu tố biểu thức cần xác định là một biểu thức chia hết cho 9 trong đó có một thừa số là chữ (kN). Khi học sinh đã hiểu và xác định tốt dạng tổng quát “các số là bội của một số” thì khi đó với câu a, ta có thể hướng dẫn học sinh cách giải khác như sau:
 Do các bội của 9 có dạng 9.k (kN), các bội của 9 cần tìm là những số nhỏ hơn 40 nên ta có: 9.k < 40 (kN)
 k < 40:9 (kN)
 k { 0; 1; 2; 3; 4}
 Vậy tập hợp các bội nhỏ hơn 40 của 9 là: {0; 9; 18; 27; 36}.
Ví dụ 2:
a, Tìm tập hợp các ước của 30.
b, Tính tổng các ước thực sự của 30.
 Giải:
a, Xét tính chia hết của 30 cho các số tự nhiên lần lượt từ 1 đến 30. Ta được tập hợp các ước của 30 là: {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30.}
b, Do 30 có các ước thực sự là: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15.
Vậy tổng cá ước thực sự của 30 là: 1+2+3+5+6+10+15=42
 Ví dụ 3: Tìm các số tự nhiên x sao cho:
a, x 7 và x <70.
b, xƯ(35) và 0≤x≤25
 Giải:
a, Cách 1: Hướng dẫn học sinh làm như câu a, trong ví dụ 1.
 Cách 2: Tập hợp các số tự nhiên x 7 là B(7) có dạng:
 7.k (kN)
 7.k <70 (kN)
 k<10 k {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 }
 Vậy: x{0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63.}
b, Xét tính chia hết của 35 lần lượt cho các số tự nhiên từ 1 đến 35 ta được tập hợp các ước của 35 là: Ư(35) = {1; 3; 5; 7; 35.}
 Vậy các số tự nhiên x thoả mãn điều kiện xƯ(35) và 0≤x≤25 là: x {1; 3; 5; 7.}
 * Các bài tập nói trên thuộc dạng củng cố khái niệm ước và bội của một số tự nhiên. Tuy nhiên trong mỗi bài ta cần phải khắc sâu những kiến thức đã huy động để giải bài tập, cố gắng tìm tòi thêm cách giải để tạo cho học sinh sự hứng thú khi giải toán.
 Dạng 2: Xác định các số tự nhiên theo hệ thức cho trước.
 Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n để 5 chia hết cho n-1
 Giải: 
 Để 5 chia hết cho n-1 (nN) thì n-1Ư(5) 
 Ta có: Ư(5)={1; 5}
- Với n-1=1 n= 2
- Với n-1=5 n= 6
 Vậy với n= 2 và n= 6 thì 5 chia hết cho n-1.
 * Khi ta chỉ rõ và học sinh thấy được khái niệm ước và bội tiềm ẩn trong bài toán bằng các thuật ngữ “Để 5 chia hết cho n-1 (nN) thì n-1Ư(5) hay 5 là bội của n-1” thì kiến thức hỗ trợ để giải các bài toán trong các ví dụ sau chỉ là:
 “Nếu a b k1a + k2b b; k1a - k2b b”
 Ví dụ 2: Tìm n để n+10 chia hết cho n+5.
 Giải:
 Ta có: n+10 n+5 
 (n+10)- (n+5) n+5
 5 n+5
 n+5Ư(5).
 Do Ư(5)={1; 5}
- Với n+5=1 (điều này không xảy ra)
- Với n+5=5 n= 0
 Vậy với n= 0 thì n+10 chia hết cho n+5.
 Ví dụ 3 : Tìm n để biểu thức có giá trị là một số tự nhiên. 
Giải:
 Ta có: 
Biểu thức có giá trị là một số tự nhiên khi là một số tự nhiên, điều này chỉ xảy ra khi: 4 n+3
 n+3Ư(4).
 Do Ư(4)= {1; 2; 4} 
 Vì n+3≥ 3 nên chỉ xảy ra trường hợp: n+3= 4 
 n=1
 Vậy với n=1 thì Tìm n để biểu thức có giá trị là một số tự nhiên. 
 * Về nội dung thì bài tập ở ví dụ 3 thì hoàn toàn tương tự như hai bài trên tuy nhiên ta cần giải thích cặn kẽ cho học sinh thấy biểu thức cũng là một phân số vì với nN thì 2n+10 và n+3 là hai số tự nhiên khác 0. Khi học sinh đã làm tốt được các dạng bài tập này thì rất có lợi thế khi giải các bài tập của chủ đề “Phân số tối giản” sau này.
 Dạng 3: Xác định yếu tố chưa biết trong một biểu thức để biểu thức đã cho có giá trị là một số tự nhiên.
 Ví dụ 1: Tìm các số tự nhiên x, y biết: (x-7)(y+3)=13
 Giải:
 Do x, y là những số tự nhiên, và có (x-7)(y+3)=13.
Nên hai thừa số x-7 và y+3 là hai ước của 13.
Ta có: Ư(13)={1; 13}
 Nên xảy ra một trường hợp sau:
 x-7= 1 x= 8
 y+3= 13	y= 10
(Không xảy ra trương hợp x-7= 13 vì y+3≥ 3)
 y+3= 1 
 * Khi giải bài toàn này ta cần nhắc lại cho học sinh tính chất: Nếu a= b.k (a, b, k là những số tự nhiên) thì các số b, k Ư(a).
 * Cách giải trên đây chỉ phù hợp với a là số nguyên tố hoặc a là hợp số có số ước ít, còn nếu a là hựop số có nhiều ước thì ta hướng dẫn học sinh giải theo cách lập bảng.
Ví dụ2: Tìm các số tự nhiên x, y biết: (xy-2)(y+5)=6
Giải: 
Cách 1: Hướng dẫn học sinh làm như ở ví dụ 1, tuy nhiên cần chỉ căn kẽ (tìm y trước, thay giá trị của y vừa tìm được vào hệ thức thứ hai để tìm x. Còn trong cách lập luận, diễn đạt nên thể hiện đơn giản, ngắn gọn) 
cụ thể: y+5= 6 (Chỉ xảy ra trường hợp này vì y+5≥ 5)
 xy-2 =1
 y= 1
 x= 3
 * Vì 6 có 4 ước nên sau khi hướng dẫn để học sinh nắm đựơc phơng pháp giải, ta nên hướng dẫn cho học sinh giải bài toán này theo chiều hướng sau đây (lập bảng) để khi gặp bài toán phải xét nhiều trường hợp ta vẫn có lời giải ngắn gọn nhưng vẫn đầy đủ.
Cách 2:
 Do x, y là những số tự nhiên, và có: (xy-2)(y+5)=6
Nên hai thừa số (xy-2) và (y+5) là hai ước của 6.
 Mà Ư(6)={1; 2; 3; 6}
 Nên ta có bảng sau:
y+5
xy-2
y
x
1
6
Loại
Loại
2
3
Loại
Loại
3
2
Loại
Loại
6
1
1
3
 Vậy chỉ có một cặp số (x, y) thảo mãn đề bài:(3; 1)
 * Khi đã thành thạo các bài toán thuộc dạng này, ta có thể hướng dẫn học sinh các bài tập của dạng nhưng ở mức độ cao hơn, Do đó đòi hỏi học sinh phải đưa đựoc bài toán về dạng quen thuộc (hai ví dụ nêu trên). 
Ví dụ 3: Tìm các số tự nhiên x, y biết: x.y= x- y+ 7
 Giải:
 Do x.y= x- y+ 7 
 x.y- x+y= 7
 x.y- x+y+ 1= 7+ 1
 (x.y- x)+(y+ 1)=8
 x(y+ 1)+(y+ 1)= 8
 (y+ 1)(x+ 1) =8
 y+1 và x+ 1 là hai ước của 8. Ta có bảng sau:
x+1
y+1
x
y
1
8
0
7
2
4
1
3
4
2
3
1
8
1
7
0
 Vậy có 4 cặp số tự nhiên (x,y) thoả mãn điều kiện bài toán: 
 (0; 7), (1; 3), (3; 1), (7; 0)
 * Trong ta cần hướng dẫn học sinh khéo léo khi nhóm, khi thêm vào hai vế cùng một só hạng để có thể áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng đưa về dạng tích của hai thừa số bằng một số tự nhiên. 
III Những kết quả đạt được:
 Chủ đề “Ước và bội của một số tự nhiên ”, một chủ đề mà các kiến thức cơ bản của nó (Khái niệm, tính chất.) ngắn gọn, đơn giản nhưng các bài toán về nó lại rất thường gặp, tương đối thú vị, nên đã tạo cho học sinh cảm giác gần gũi hấp dẫn, sự hứng thú , tự tin và yêu thích môn toán 
 Sau một thời gian kiên trì áp dụng kinh nghiệm dạy “ chủ đề ước và bội của một số tự nhiên ” vào giảng dạy (ôn tập, bồi dưỡng học sinh lớp 6B, ) thấy chất lượng học tập của các em đã được nâng lên rõ rệt. Cụ thể qua bài kiểm tra chất lượng giữa học kì I đã thu được kết quả như sau:
Tổng số
Điểm<2
Điểm từ 2 =><5
Điểm từ
5=><6.5
Điểm từ 6.5=><8.0
Điểm từ 8.0=>10
Điểm<TB
ĐiểmTB
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
34
0
0
2
5,6
11
42,6
11
32,4
10
19,4
2
5,6
32
94,4
 IV Bài học kinh nghiệm: 
 Để nâng cao được chất lượng Dạy-Học Thì người thầy phải gần gũi Học sinh, luôn nghiên cứu tài liệu, học hỏi kinh nghiệm giảng dạy của đồng nghiệp , luôn tiếp thu và vận dụng phương pháp , thiết bị dạy học tiên tiến vào từng bài giảng Phải đặt bản thân mình vào vị trí của học sinh vì những khái niệm, tính chất, quy tắc,... mà ta có cảm giác là đơn giản nhưng với học sinh để hiểu nó và vận dụng được nó là cả một vấn đề. Cần chú ý nhiều hơn đến đến phương pháp giải của từng dạng bài hơn là chỉ bảo cặn kẽ cho các em lời giải hoàn chỉnh của một bài toán cụ thể.
 Với mỗi bài toán cụ thể ta cần tìm tòi thêm cách giải (nếu có thể) để làm phong phú trí óc tưởng tượng của học sinh để tạo ra sự hứng thú trong học tập.
 Vận dụng kinh nghiệm “ Kinh nghiệm “ Dạy học chủ đề ước và bội của một số tự nhiên ” ” phải căn cứ vào chất lượng học sinh và cơ sở vật chất của nhà trường đặc biệt là căn cứ vào từng nội dung của bài toán thì mới cho kết quả cao.
C Kết luận
 Kinh nghiệm “ Dạy học chủ đề ước và bội của một số tự nhiên ” được viết từ sự nỗ lực học hỏi của bản thân, cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, đã giúp cho học sinh có niềm tin, sự hứng thú ,yêu thích môn học , thấy được sự gần gũi và tầm quan trọng của toán học với đời sống, nên đã nâng cao được chất lượng học tập . Đồng thời cũng giúp tôi nâng cao được chất lượng Dạy- Học đảm bảo chỉ tiêu và yêu cầu trong giảng dạy. Đề tài này có lễ cũng đã được nhiều Thầy Giáo, Cô Giáo có nhiều kinh nghiệm quan tâm nghiên cứu. Song với lòng ham học hỏi để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, nên rất mong sự đóng góp ý kiến chân thành của các đồng nghiệp .
 Xin chân trọng cảm ơn !
 Kim tân ngày 22 tháng 3 năm 2011
 Người thực hiện 
 Nguyễn Ngọc Anh