Hướng dẫn chấm thi Olympic môn Toán Lớp 6 - Năm học 2007-2008

Hướng dẫn chấm thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp 6 Năm học 2007-2008
Bài 1. Cho các số a, b, c. Hãy chứng tỏ rằng nếu 4a + 5b + 7c chia hết cho 11 thì 5a + 9b + 6c cũng chia hết cho 11 (4điểm)
Giải: Theo bài ra ta có: (4a + 5b + 7c) 11 => 7(4a + 5b + 7c) 11
Xét tổng: 28a + 35b + 49c + 5a + 9b + 6c = 11(3a + 4b + 5c) 11 => 5a + 9b + 6c 11 
Bài 2. Cho một số có ba chữ số mà chữ số cuối lớn hơn chữ số đầu. Nếu viết chữ số cuối lên trước chữ số đầu thì được một số mới lớn hơn số đã cho là 783. Tìm số đã cho? (3điểm)
Giải: Số đã cho biểu diễn dưới dạng: 
 Trong đó a, b, c N; 
 Số mới biểu diễn dưới dạng: .
 Ta có: 100c + 10a + b – 100a – 10b – c = 783
 => 99c – 90a – 9b = 783 => 11c – 10a – b = 87
 => 11c > 87 => c = 8 hoặc c = 9
 Nếu c = 8 => 10a + b = 1 => a = 0 (loại).
 Nếu c = 9 => 10a + b = 12 => a = 1, b = 2
 Thử lại: 912 – 129 = 783. Vậy số phải tìm là 129
Bài 3. a) Tìm x: (2điểm)
Giải: => => 
 => 3x = 23 + 6 => x = 
b)Tìm tất cả các số nguyên a và b, sao cho ƯCLN (a, b) = 10, BCNN = 100 (4điểm)
Giải: Ta có = 100.10 = 103. Giả sử a = 10a,, b = 10b,, với (a,, b, ) = 1 => a,b, =10.
Vậy , , , => , , , 
 Bài 4. Chu vi của một hình chữ nhật là 60m. Nếu giảm chiều dài 10% của nó và tăng chiều rộng 20% của nó thì chu vi không đổi. Tính diện tích của hình chữ nhật? (4 điểm)
Giải: Tổng chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là 60 : 2 = 30 (m)
Tổng của 0,9 chiều dài và 1,2 chiều rộng cũng bằng 30m, tức 0,1 chiều dài bằng 0,2 chiều rộng. 
Nghĩa là tỷ số giữa chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật bằng Vậy:
Chiều dài của hình chữ nhật là 30 : (1 + 2) . 2 = 20 (m)
Chiều rộng của hình chữ nhật là 30 – 20 = 10 (m)
Diện tích của hình chữ nhật là 10 . 20 = 200 (m2)
Bài 5. Cho tia Oc nằm giữa hai tia Oa và Ob, tia Om nằm giữa hai tia Oa và Oc, tia On nằm giữa hai tia Oc và Ob. Chứng tỏ rằng tia Oc nằm giữa hai tia Om và On (3điểm)
 Giải: Gọi nữa mặt phẳng bờ Oc chứa tia Oa là P, nữa mặt phẳng đối của nó là Q, như vậy tia Ob thuộc Q. 
 Tia Om nằm giữa hai tia Oa và Oc nên các tia Om, Oa thuộc cùng một nữa mặt phẳng có bờ Oc, do đó tia Om thuộc P.
O
a
m
c
n
b
P
Q
 Tia On nằm giữa hai tia Oc, Ob nên các tia On, Ob thuộc cùng một nữa mặt phẳng có bờ Oc, do đó tia On thuộc Q.
 Các tia Om, On thuộc hai nữa mặt phẳng đối nhau có bờ Oc (1).
 Ta lại có (vì tia Om nằm giữa hai tia Oc và Oa), 
 (vì tia On nằm giữa hai tia Oc và Ob) 
nên , 
tức là (2). Từ (1) và (2) 
suy ra tia Oc nằm giữa hai tia Om và On