Giáo án dạy thêm môn Hình học Lớp 6

Chủ đề 1 : Đoạn thẳng
I) Lý thuyết : 
1) Điểm , đường thẳng, đoạn thẳng là các hình quy ước, không định nghĩa.
2) Tính chất :
1. T/c về sự xác định đường thẳng : Có 1 và chỉ 1 đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt.
2. Tính chất về thứ tự của 3 điểm trên đường thẳng : Trong 3 điểm thẳng hàng, có 1 và chỉ 1 điểm nằm giữa 2 điểm còn lại.
3) Ba điểm thẳng hàng: Là 3 điểm cùng nằm trên 1 đường thẳng.
4) Hai đường thẳng phân biệt có 2 vị trí :
- Có 1 điểm chung : hai đường thẳng cắt nhau
- Không có điểm chung nào : Hai đường thẳng song song.
II) Bài tập :
BT 1 : Cho hình vẽ : 
a) Kể tên các điểm thuộc đường thẳng a, các điểm không thuộc đường thẳng a?
b) Trên hình vẽ có 3 điểm nào thẳng hàng?
c) Xác định giao điểm của hai đường thẳng a và b?
d) Tìm các điểm nằm cùng phía đối với điểm A, các điểm nằm khác phía đối với điểm A?
Giải :
a) Các điểm thuộc đường thẳng a : A, B, C, D 
Các điểm không thuộc đường thẳng a : E, F
b) Bộ 3 các điểm thẳng hàng là : A, B, C ; A, B, D ; A, C, D ; B, C, D ; E, A, F.
c) 
d) Các điểm B và C nằm cùng phía đối với A, các điểm D và B nằm khác phía đối với A, điểm E và F nằm khác phía đối với A .
BT 2 : Cho hai đường thẳng cắt nhau. Nếu vẽ thêm đường thẳng thứ cắt cả hai đường thẳng trước thì số giao điểm của các đường thẳng thay đổi như thế nào?
Giải
a) Trường hợp đường thẳng thứ 3 đi qua giao điểm
 của hai đường thẳng trước thì số giao điểm không
 thay đổi, vẫn là 1 giao điểm 
b) Nếu đường thẳng thứ 3 không đi qua giao điểm 
của hai đường thẳng trước thì số giao điểm mới
 là 3, tăng lên 2 giao điểm. 
BT 3 : Cho 4 điểm A, B, C, D trong đó ba điểm 
A, B, C thẳng hàng, ba điểm B, C, D thẳng hàng. Hỏi 4 điểm A, B, C, D có thẳng hàng không ?
Giải :
Ba điểm A, B, C cùng thuộc 1 đường thẳng
Ba điểm B, C, D cùng thuộc 1 đường thẳng.
Vậy 4 điểm A,B, C,D cùng thuộc 1 đường thẳng BC nên 4 điểm đó thẳng hàng.
BT 4 : Vẽ 5 điểm A, B, C, D , O sao cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, 3 điểm B, C, D thẳng hàng, 3 điểm C, D, O không thẳng hàng.
Giải thích vì sao 3 điểm A, B, D thẳng hàng
Kẻ các đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua ít nhất 2 điểm trong 5 điểm nói trên. Kể tên các đường thẳng có trong hình vẽ ( Các đường thẳng trùng nhau chỉ kể là 1 đường thẳng)
Giải :
a)Hình vẽ : Ba điểm A, B, D cùng thuộc đường thẳng BC
b) Các đường thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD trùng nhau, ký hiệu là đường thẳng a. Có 5 đường thẳng OA, OB, OC, OD và m.
Bài tập 5 : Cho trước 2 điểm A và B. trên cùng một hình hãy vẽ :
Đường thẳng m đi qua A và B
Đường thẳng n đi qua A nhưng không đi qua B
Đường thẳng p không có điểm chung nào đối với đường thẳng m. Trên hình vẽ có hai đường thẳng nào song song, cắt nhau, vì sao?
Giải :
 b)
c) Hai đường thẳng cắt nhau là : 
m và n ; n và p vì hai đường thẳng đó 
có một điểm chung 
Hai đường thẳng song song là : m và p vì hai đường thẳng đó không có điểm chung.
Bài tập 6 :
a) Cho 5 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, cứ 2 điểm thì thì dựng được một đoạn thẳng. Hỏi tất cả có mấy đoạn thẳng? Chỉ ra cách tính toán?
b) Giải bóng đá chuyên nghiệp ngoại hạng Anh có 12 đội tham gia thi đấu vòng tròn hai lượt đi và về. Tính tổng số trận đấu?
Giải :
a) Cách 1 : 
Từ điểm A dựng với 4 điểm B, C, D, E được 4 đoạn thẳng.
Từ điểm B dựng với 3 điểm C, D, E được 3 đoạn thẳng.
Từ điểm C dựng với 2 điểm D, E được 2 đoạn thẳng .
Từ điểm D dựng với 1 điểm E còn lại 1 đoạn thẳng 
Tổng số đoạn thẳng là : 4 +3 +2 +1 = 10 đoạn thẳng 
Công thức : có n điểm không thẳng hàng dựng được : n + (n -1) + (n – 2) + (n – 3) + ...+ 1 đoạn thẳng.
Cách 2 : Từ một điểm dựng được 4 đoạn thẳng với 4 điểm còn lại. Vậy tổng số đoạn thẳng là : 5 . 4 = 20 đoạn thẳng. Nhưng thực tế mỗi đoạn thẳng đã được tính đi tính lại 2 lần. Vậy số đoạn thẳng thực tế dựng được là : 20 : 2 = 10 đoạn thẳng.
Công thức : có n điểm không thẳng hàng dựng được n.(n-1) :2 đoạn thẳng.
b) Theo công thức phần a cứ hai đội làm thành 1 trận đấu. 
Có tổng số trận đấu lượt đi là 12 . 11 : 2 = 66 trận đấu.
Lượt về đấu tương tự như thế có 66 trận nữa. Tổng số trận đấu lượt đi và về là 66.2 = 132 trận đấu. 
 Bài 7 : Cho trước một số điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Biết tổng số các đường thẳng vẽ đượclà 36. Tính số điểm cho trước .
Giải
Theo công thức bài 6 ta có n.(n-1) :2 = 36 = > n(n – 1) = 72 = 9.8
Vậy số điểm cho trước là 9 điểm.
Chủ đề 2 : Tia
I ) Lý thuyết
1) K/n tia : Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng được chia ra bởi điểm O gọi là 1 tia gốc O
2) Kn hai tia đối nhau: 
- Hai tia chung gốc
- Tạo thành đường thẳng
Hình vẽ :Ox và Oy là hai tia đối nhau
3) Hai tia trùng nhau:
- Hai tia chung gốc
- Nằm trên cùng 1 đường thẳng
- Cùng hướng
Hình vẽ : OA và Oy là hai tia đối nhau
II) Bài tập
Bài tập 1 : Cho hình vẽ : 	
Kể tên những tia chung gốc O
Hai tia nào đối nhau
Hai tia nào trùng nhau
Giải
Các tia chung gốc O là : Ox, Oy, Oz
Hai tia nào đối nhau: Ox, Oy
Hai tia nào trùng nhau: OH và Oz
Bài tập 2 : Cho đường thẳng xy. Lấy điểm O xy, điểm A xy và điểm B trên tia Ay ( B khác A)
Kể tên các tia đối nhau, trùng nhau
Kể tên hai tia không có điểm chung
Gọi M là một điểm di động tên xy, xác định vị trí của điểm M để cho tia Ot đi qua M không cắt hai tia Ax và By
Giải
Các tia đối nhau là Ax và Ay, Bx và By. Các tia trùng nhau là AB và Ay, BA và Bx
Hai tia Ax và By không có điểm chung
Điểm M nằm giữa hai điểm A và B.
Bài tập 3 : 
Vẽ hai đường thẳng mn và xy cắt nhau tại O
Kể tên các tia đối nhau
Trên tia Ox lấy điểm P, trên tia Om lấy điểm E ( P và E khác O). Hãy tìm vị trí của Q để điểm O nằm giữa P và Q. Tìm vị trí của F để hai tia OE, OF trùng nhau?
Giải : 
Hình vẽ :
Hai tia đối nhau là Om và On
Ox và Oy.
Q thuộc Oy ( Q khác O)
F thuộc tia Om ( F khác O)
Bài tập 4 : 
Trên đường thẳng xy lấy điểm O.Lấy điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy, điểm M nằm giữa O và A . Giải thích vì sao:
Hai tia OA, OB đối nhau?
Điểm O nằm giữa hai điểm M và B?
Giải
Điểm O nằm trên đường thẳng xy nên Ox và Oy là hai tia đối nhau (1)
Điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy nên hai tia OA, Ox trùng nhau(2). Từ (1) và (2) suy ra OA và OB đối nhau(3)
Điểm M nằm giữa hai điểm O và A nên hai tia OM và OA trùng nhau(4)
Từ (3) và (4) suy ra hai tia OM và OB đối nhau do đó điểm O nằm giữa hai điểm M và B.
Bài tập 5 :
Gọi O là 1 điểm của đường thẳng xy, vẽ điểm A thuộc tia Ox, các điểm B và C thuộc tia Oy sao cho C nằm giữa O và B.
Trên hình vẽ có bao nhiêu tia, bao nhiêu đoạn thẳng?
Kể tên các cặp tia đối nhau?
Giải : 
a) Có 8 tia : Ax, Ay, Ox, Oy, Cx, Cy, Bx, By
b) Có 6 đoạn thẳng: AO, AC, AB, OC, OB, CB.
Bài tập 6 :
Cho 5 điểm A, B, C, M, N sao cho : điểm C nằm giũa hai điểm A và B, điểm M nằm giữa hai điểm A và C, điểm N nằm giữa hai điểm C và B. Khi đó : 
Tia CM trùng với tia nào ? Vì sao?
Tia CN trùng với tia nào ? Vì sao?
Vì sao điểm C nằm giữa hai điểm M và N?
Giải :
a) Tia CM và CA trùng nhau 
vì điểm M nằm giữa A và C
Cách 2 : Tia CM và CA trùng nhau 
vì đó là hai tia chung gốc, cùng nằm trên 1 đường thằng, cùng hướng.
b) Tia CN trùng với tia CB vì N nằm giữa hai điểm C và B
c) C nằm giữa A và B nên CA và CB là các tia đối nhau, mà M thuộc tia CA, N thuộc tia CB nên C nằm giữa hai điểm M và N.
Chủ đề 3 : Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng. Khi nào AM + MB = AB
I ) Lý thuyết
1) Định nghĩa đoạn thẳng: Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm A, điểm B và tất các điểm nằm giữa hai điểm A và B.
2) Nhận xét : Mỗi đoạn thẳng có 1 độ dài, độ dài đoạn thẳng là 1 số dương.
3) M nằm giữa hai điểm A và B AM + MB = AB
4) Mở rộng: 
a) Nếu AM + MB AB thì M không nằm giữa hai điểm A và B
b) Nếu M nằm giữa hai điểm A và B, 
điểm N nằm giữa hai điểm M và B 
thì AM + MN + NB = AB
c) Trên tia Ox, nếu OA< OB thì điểm A nằm giữa hai điểm O và B
II) Bài tập 
Bài tập 1 : Xem hình vẽ và trả lời câu hỏi 
Hình này có mấy tia?
Hình này có mấy đoạn thẳng?
Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
Vì sao có thể khẳng định tia Ox không cắt đoạn thẳng BC?
Giải 
a) Có 12 tia là tia Ax, Ay, Bx,
 By, Cx, Cx’, Ox, Ox’, Oy, Oy’ 
b) Có 8 đoạn thẳng là OA, OB, 
OC, OD, AD, BC, AB, CD
c) Những đoạn thẳng không cắt nhau là OC và AD
AD và BC, AD và OB, BC và OA, BC và OD.
d) Tia Oy cắt đoạn thẳng Bc tại B. Vậy tia Ox là tia đối của tia Oy nên không cắt đoạn thẳng BC.
Bài 2 : Cho 2 tia chung gốc Ox, Oy. Trên tia Ox lấy 2 điểm B và C sao cho B nằm giữa hai O và C. Trên tia Oy lấy điểm A sao cho OA > OC.
So sánh OA và OB
So sánh OA – OB với OA
Giải : 
a) Vì B nằm giữa O và C nên OB < OC , 
mà OC OB.
b) Vì OB > 0 nên OA – OB < OA.
Bài 3 : Trên đường thẳng a lấy 4 điểm E, F, G, H theo thứ tự đó. Giả sử EH = 7 cm, è = 2 cm, FG = 3 cm.
So sánh FG với GH?
Tìm những cặp đoạn thẳng bằng nhau?
Giải :
a) Điểm F nằm giữa hai
điểm E và G nên
 EG = EF + FG
EG = 2 + 3 = 5 (cm)
Điểm G nằm giữa hai 
điểm E và H nên EG + GH = EH.
Thay số tính được GH = 2 cm
Vậy FG > GH ( 3 cm > 2 cm)
b) EF – GH – 2 cm, EG = FH = 5 cm.
Bài 4 : Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E, trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho AE < BF. Hãy so sánh AF với BE.
Giải 
Điểm B nằm giữa A và F nên AF = AB + BF (1)
Điểm A nằm giữa E và B nên BE = AB + AE (2)
Mà AE AF < BE
Bài 5 : Cho 3 điểm A, B, C 
a)Giả sử AB = 2 cm, BC = 3 cm, CA = 5 cm. Hãy chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng.
b)Giả sử AB = 2 cm, BC = 3 cm, CA = 4 cm. Hãy chứng tỏ rằng A, B, C không thẳng hàng.
Giải : 
a) Vì AB + BC = CA ( do 2 cm + 3 cm = 5 cm) nên điểm B nằm giữa hai điểm A và C
=> A, B , C thẳng hàng.
b) Do AB + BC AC nên điểm B không nằm giữa hai điểm A và C
tương tự không có 2 điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại = > 3 điểm A, B , C không thẳng hàng.
 Bài 6 : 
Cho đoạn thẳng AB. Lấy điểm O nằm giữa A và B. Lấy điểm I nằm giữa O và B
Giả sử AB = 5 cm, AO = 2 cm, BI = 2 cm. Tính OI
Giả sử AO = a, BI = b . Tìm điều kiện của a và b để AI = OB?
Giải 
a) Vì O nằm giữa 2 điểm 
A và B nên AO + OB = AB
=> OB = AB – AO
Thay số : OB = 5 cm – 2 cm = 3 cm
Tương tự tính OI = 1 cm
b) Vì O nằm giữa A và B nên OA và OB là hai tia đối nhau
Điểm nằm giữa O và B nên OI và OB trùng nhau
Vậy OA và OI cũng là hai tia đối nhau 
=> O nằm giữa hai điểm A và I nên AI = AO + OI (1)
* Vì I nằm giữa O và B nên OB = BI + OI (2)
Từ (1) và (2) => AI = BO AO = BI a = b
Chủ đề 4 : Dấu hiệu nhận biết điểm nằm giữa hai điểm, 
trung điểm đoạn thẳng
I ) Lý thuyết
1) Đặt đoạn thẳng trên tia : Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được 1 và chỉ 1 điểm M sao cho OM = a ( đơn vị dài)
2) Một số dấu hiệu nhận biết điểm nằm giữa hai điểm :
1. Nếu O là gốc chung của hai tia đối nhau OA và OB thì O nằm giữa hai điểm A và B
2. Nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B
3. Trên tia Ox. Nếu OM < ON thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N
4.Trên tia Ox, OM < ON < OP thì điểm N nằm giữa hai điểm M và P
3) Trung điểm đoạn thẳng:
a) Định nghĩa : Trung điểm đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đạon thẳng và cách đều hai đầu đoạn thẳng đó
b) Tính chất : Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì 
c) Mỗi đoạn thẳng có 1 trung điểm duy nhất. 
II ) Bài tập
Bài tập 1 
Gọi M, N, P là 3 điểm trên tia Ox sao cho OM = 2 cm, ON = 3 cm, OP = 5 cm. 
So sánh MN và NP?
Tìm những cặp đoạn thẳng bằng nhau có trong hình vẽ 
Giải
a) *Trên tia Ox vì OM < ON ( 2 cm < 3 cm), nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N 
=> OM + MN = OM	
Thay số: 2 + MN = 3 => ON = 3 – 2 = 1 (cm) 
*Trên tia Ox vì ON < OP ( 3 cm < 5 cm) nên điểm N nằm giữa hai điểm O và P
 => ON + NP = OP 
Thay số : 3 + NP = 5 => NP = 5 – 3 = 2 (cm) 
Vậy MN < NP ( 1 cm < 2 cm) 
b) Trên tia Ox có OM < ON < OP ( 2 cm < 3 cm < 5 cm) nên điểm N nằm giữa hai điểm còn lại
=> MN + MP = MP 
Thay số MP = 1 + 2 = 3 (cm) 
Vậy :OM = NP = 2 cm ; ON = MP = 3 cm
Bài tập 2 : 
Gọi A và B là 2 điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm, OB = 6 cm. Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. So sánh AB với AC? 
Giải :
Trên tia Ox có OA < OB nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B . Tính được AB = 2 cm
Trên tia BC có AB < BC nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C. Tính được AC = 1 cm
Vậy AB > AC.
Bài tập 3
Cho A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = a cm (với a > 0) , AB = 2 cm. Tính OB?
Giải :
a) Trường hợp điểm B nằm trên tia đối của tia AO. Lúc này A nằm giữa hai điểm O và B nên OB = OA + AB = a + 2 (cm) 
b) Trường hợp điểm B nằm trên tia AO
- Nếu a > 2 cm thì điểm B nằm giữa A và O
=> OB + BA = OA . Tính được OB = a – 2 )(cm)
- Nếu a = 2 cm thì điểm B trùng với O . Khoảng cách giữa hai điểm O và B là 0 cm
- Nếu a < 2 cm thì B không thuộc tia Ox mà thuộc tia đối của tia Ox.
Bài tập 4 :
Vẽ đoạn thẳng AM = 5 cm. Lấy 2 điểm E và F nằm giữa A và B sao cho AE + BF = 7 cm.
Chứng tỏ rằng điểm E nằm giữa hai điểm B và F?
Tính EF?
Giải:
a) 
Điểm E nằm giữa hai điểm A và B nên AE + BE = AB = 5 (cm). 
Lại có theo đề bài AE + BF = 7 cm nên BE điểm E nằm giữa hai điểm B và F.
b) Tính EF:
Điểm E nằm giữa hai điểm B và F (Theo kết quả phần a) => FE + EB = BF.
Vì AE + BF = 7 cm nên AE + FE + EB = 7 (cm)
=> (AE + EB) + EF = 7 (cm) 
=> AB + EF = 7 (cm)
=> 5 cm + EF = 7 (cm) 
=> EF = 7 - 5 = 2 (cm).
Bài tập 5 :
Vẽ hai tia chung gốc Ox, Oy. Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B ( Điểm A nằm giữa O và B). Trên tia Oy lấy điểm M và N sao cho OM = OA, ON = OB
Chứng tỏ rằng điểm M nằm giữa O và N
So sánh AB với MN?
Giải :
a) Vì điểm A nằm giữa hai điểm O
 và B nên OA < OB. 
Mà OM < ON nên OM < ON 
=> N nằm giữa hai điểm O và N 
b) Ta có OB = OA + AB
=> AB = OB – OA (1)
ON = OM + MN => MN = ON – OM (2) .
Mà theo đề bài có OM = OA, ON = OB (3) . Từ (1) , (2) và (3) => AB = MN.
Bài tập về Trung điểm đoạn thẳng
Bài tập 6:
Cho 3 điểm M , N, O sao cho OM = 2 cm, ON = 2 cm và MN = 4 cm. Vì sao có thể khẳng định O là trung điểm của đoạn thẳng MN?
Giải :
Vì OM + ON = MN ( Do 2 + 2 = 4 (cm))
Nên O nằm giữa hai điểm M và N.
Lại có OM = ON nên điểm O cách đều hai đầu đoạn thẳng MN
=> O là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Bài tập 7 :
Trên tia Ox lấy 2 điểm A và M sao cho OA = 3 cm, OM = 4,5 cm. Trên tia Ax lấy điểm B sao cho M là trung điểm của AB. Hỏi điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?
Giải :
Trên tia Ox vì OA < OM ( do 3 cm < 4,5 cm) nên A nằm giữa hai điểm O và M.
=>OM = OA + AM. Tính được AM = 1,5 cm. 
=> Vì M là trung điểm của đoạn AB nên M nằm giữa hai điểm A và B và AM = MB = 1,5 cm. AB = 2 AM = 3 cm.
Điểm A tia Ox nên AO và Ax là hai tia đối nhau. Mà B thuộc tia Ax nên AO và AB cũng là hai tia đối nhau. => A nằm giữa hai điểm O và B. Lại có AO = AB = 3 cm nên A là trung điểm của đoạn OB. 
Bài tập 7 :
Trên đường thẳng a lấy 6 điểm M, N , P , Q, R theo thứ tự đó . Biết MN = NO = OP = PQ = QR. Tìm những điểm là trung điểm của đoạn thẳng có trong hình vẽ.
Giải :
Vì N nằm giữa 2 điểm M, N và MN = NO nên N là trung điểm của MO.
Vì O nằm giữa 2 điểm N, P và NO = OP nên N là trung điểm của MO.
Tương tự P là trung điểm của OQ, Q là trung điểm của PR. O là trung điểm của MQ, P là trung điểm của NR.
Bài tập 8:
Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. Lấy 2 điểm C và D thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = BD = 2 cm. Gọi M là trung điểm của AB. 
Giải thích vì sao M cũng là trung điểm của CD
Tìm trên hình vẽ các điểm khác cũng là trung điểm của đoạn thẳng?
Giải :
a) Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = = 3 cm
Trên tia AM có AC < AM ( do 2 cm < 3 cm) nên điểm C nằm giữa hai điểm A và M.
=> AC + CM = AM => CM = AM – AC = 3 – 2 = 1 (cm). Tương tự tính được MD = 1 cm.
=> CM = MD = 1 cm (1)
Có M thuộc AB nên MA và MB là hai tia đối nhau.
nên MC và MD cũng là hai tia đối nhau => M nằm giữa C và D. (2) 
Từ (1) và (2) có M là trung điểm của đoạn thẳng CD.
b) C nằm giữa A và D, CA = CD = 3 cm nên C là trung điểm của AD.
Tương tự D là trung điểm của CB.
Bài tập 9
Trên tia Ax lấy hai điểm O và B sao cho OA = 2 cm; AB = 5 cm. Gọi I là trung điểm của OB . Tính AI?
Giải :
Trên tia Ax vì AO < AB ( 2 cm < 5 cm) nên O nằm giữa hai điểm A và B
=> AO + OB = AB. Tính được OB = 3 cm.
Vì I là trung điểm của OB nên I nằm giữa O và B. Khi đó IO và IB là hai tia đối nhau.
Mà O thuộc đoạn AI nên 
 OI = IB = OB/2 = 1,5 cm.
Chương 2 : Góc
I) Lý thuyết:
1) Khái niệm về nửa mặt phẳng: 
Hình gồm đường thẳng a và một phần đường thẳng được chia ra bởi đường thẳng a được gọi là nửa mặt phẳng bờ a.
2) Góc : Là một hình gồm hai tia chung gốc.
Đỉnh O
Hai cạnh : Ox, Oy.
Ký hiệu : 
3) Tên các loại góc:
O0 < góc nhọn < 900 Góc vuông = 900
900 < góc tù < 1800 Góc bẹt = 1800
4) Tia nằm giữa hai tia
jCách 1 : 3 tia chung gốc Ox, Oy; Oz. Lấy điểm M, N trên tia Ox và Oy. Nếu đoạn thẳng MN cắt tia Oz thì tia Oz nằm giữa hai tia còn lại.
k Cách 2 : 
Ba điểm A, B, C cùng thuộc đường thẳng a, điểm O nằm ngoài đường thẳng a. Nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì tia OB nằm giữa hai tia OA và OC.
lCách 3 : Mọi tia gốc O đều nằm giữa hai tia đối nhau Ox và Oy.
m Cách 4 : 
Nếu thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.
n Cách 5 : Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, nếu góc xOy < góc xOz thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.
5) Hai góc kề nhau, phụ nhau, kề bù, kề phụ:
II) Bài tập :
BT 1 : Cho 4 điểm A, B, C, D thuộc đường thẳng a sao cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, điểm D nằm giữa hai điểm B và C, O là điểm nằm ngoài đường thẳng a. Kẻ các tia OA, OB, OC, OD.
Trên hình vẽ, kể tên các tia nằm giữa hai tia còn lại?
Có mấy tam giác trên hình vẽ?
Giải
a)Vì điểm B nằm giữa hai điểm A và C nên tia OB nằm giữa hai tia OA và OC
Vì điểm D nằm giữa hai điểm B và C nên tia OD nằm giữa hai tia OB và OC.
Vì điểm B nằm giữa hai điểm A và D nên tia OB nằm giữa hai tia OA và OD.
Vì điểm D nằm giữa hai điểm A và C nên tia OD nằm giữa hai tia OA và OC.
b)Có 6 tam giác trên hình vẽ : 
Bài tập 2 : 
Cho 3 đoạn thẳng AB; AC và BC không cùng nằm trên một đường thẳng. Một đường thẳng a đi qua B cắt AC tại M.
Tìm giao điểm của đường thẳng a và đoạn thẳng AB.
Đường thẳng a có cắt đoạn thẳng BC không? Vì sao?
Gọi tên 2 nửa mặt phẳng bờ a?
Giải
Giao điểm của đường thẳng a và đoạn thẳng AB là A
Đường thẳng a cắt đoạn thẳng BC tại B ? Vì có 1 điểm chung là B.
2 nửa mặt phẳng bờ a là : 
Nửa mặt phẳng bờ a có chứa điểm A.
Nửa mặt phẳng bờ a có chứa điểm C.
BT 3 : Vẽ 3 tia chung gốc OA, OB và OC, trong đó C nằm giữa A và B và đoạn AC nhỏ hơn đoạn BC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Trong 3 tia OA, OB và OC tia nào nằm giữa hai tia còn lại, vì sao?
Trong 3 tia OA, OC và OM tia nào nằm giữa hai tia còn lại, vì sao?
Trong 3 tia OC, OM và OB tia nào nằm giữa hai tia còn lại, vì sao?
Giải :
Vì điểm C nằm giữa hai điểm A và B nên tia OC nằm giữa hai tia OA và OB.
Vì AC < BC nên AC + AC < AC + BC
=> 2.AC AC AC < AM ( do M là trung điểm AB)
=> Điểm C nằm giữa hai điểm A và M nên tia OC nằm giữa hai tia OA và OM.
c) Trên tia AB có AC < AM < AB nên điểm M nằm giữa hai điểm C và B
=> Tia OM nằm giữa hai tia OC và OB.