Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Lê Mỹ Hạnh

Suối Ngô, Ngày 17, 18, 19, 21, 24/09/2012
Chuyên đề 1: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC
 I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 
1/ Cho biểu thức f( x ,y,...)
a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
 f(x,y...) M ( M hằng số) (1)
Tồn tại xo,yo ... sao cho:
 f( xo,yo...) = M (2) 
b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn :
 Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
 f(x,y...) m ( m hằng số) (1’)
Tồn tại xo,yo ... sao cho:
 f( xo,yo...) = m (2’) 
2/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2. Mặc dù ta có A 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau:
 A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2
 A = 2 x -2 = 0 x = 2
Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2
II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN
 1/ Tam thức bậc hai:
Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c .
 Tìm GTNN của P nếu a 0.
 Tìm GTLN của P nếu a 0
Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + x ) + c = a( x + )2 + c - 
 Đặt c - =k . Do ( x + )2 0 nên :
 - Nếu a 0 thì a( x + )2 0 , do đó P k. MinP = k khi và chỉ khi x = - 
 -Nếu a 0 thì a( x + )2 0 do đó P k. MaxP = k khi và chỉ khi x = - 
2/ Đa thức bậc cao hơn hai:
Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai
 Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7)
 Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)
Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36
 minA = -36 y = 0 x2 – 7x + 6 = 0 x1 = 1, x2 = 6.
 3/ Biểu thức là một phân thức :
 a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ : Tìm GTNN của A = .
 Giải : A = . = = .
Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1) 2 +4 4 do đó theo tính chất a b thì với a, b cùng dấu). Do đó A -
minA = - 3x – 1 = 0 x = .
Bài tập áp dụng: 
1. Tìm GTLN của BT : HD giải: .
2. Tìm GTLN của BT : HD Giải:
3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức.
 Ví dụ : Tìm GTNN của A = .
 Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm 
 A = = 2 + 2
 minA = 2 khi và chi khi x = 2.
 Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :
 A = = 3 - + = ( -1)2 + 2
 minA = 2 y = 1 x – 1 = 1 x = 2
Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt: 
2, (36/210) Tìm GTNN của bt : 
3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt: 
4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN của bt : a, b, 
c/ Các phân thức dạng khác:
 Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A = 
 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :
 A = = - 1 -1
 Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2
 Tìm GTLN A = = 4 - 4
Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a, b, 
3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: a, Với x > 0; b, Với x > 0
4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN của bt: a, với x > 0; b, Với x > 0
6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: Với x > 0
7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: Với x > 0
8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: Với x > 0
III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN
Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1
 sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A
 A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 
 Đến đây ta có nhiều cách giải 
Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A
 x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1 (1)
 Mà (x – y)2 0 Hay: x2 - 2xy + y2 0 (2) 
 Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) 1 x2 + y2 
 minA = khi và chỉ khi x = y = 
Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A
 A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - )2 + 
minA = khi và chỉ khi x = y = 
Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới
 Đặt x = + a thì y = - a . Biểu thị x2 + y2 ta được :
x2 + y 2 = ( + a)2 + ( - a)2 = +2 a2 => MinA = a = 0 x=y = 
Bài tập 1: Tìm Min A = 
Cách 1 Ta có: A= 
Min A = 2011 khi 
Cách 2: 
Min 2A = 4022 khi => Min A = 2011
BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:
Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = 
Bài 2 CMR: không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT: 
Hướng dẫn Ta có: 
Bài 3: Có hay không các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau: 
1)
2) 
Hướng dẫn Ta có: 
Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = 
Hướng dẫn Ta có:
Bài 5: CMR: Max B = 4 Với 
Hướng dẫn Ta có:
Bài 6: Tìm GTNN của
a) ( Gợi ý )
b) ( Gợi ý )
c) ( Gợi ý )
d) ( Gợi ý )
Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn : (*)
Ta có : 
Dấu “=” sảy ra khi : 
BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn : 
Bài 2: Tìm các số a, b, c, thỏa mãn : 
Bài 3: Tìm các số a, b, thỏa mãn : 
Bài 4: Tìm các số x, y, z thỏa mãn : 
Bài 5: Tìm các số m, p, thỏa mãn : 
IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị :
1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến
Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2 
ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +22minA= 2y=0x=2
2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị
chẳng hạn : -A lớn nhất A nhỏ nhất
 lớn nhất B nhỏ nhất với B > 0 
Ví dụ : Tìm GTLN của (Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi nhỏ nhất và ngược lại)
Ta có : = .Vậy 1 
min = 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0
3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết
Bất đăng thức có tính chất sau
 a ) a > b , c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d
 b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c
 c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c
 d) a > b và a, b, n > 0 thì an > bn 
BĐT Cô si: a + b 2 ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+ b)2
Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) (ac + bd)2 
Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y
Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4
 2x + 3y 26. Vậy maxA = 26 	
Thay y = vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 hoặc x= -4
Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y 0 
Vậy Max A = 26 x =4 , y = 6
3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau
- Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau
- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y thoả mãn x + y = 2005
Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 
 xy lớn nhất x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất x – y lớn nhất
giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y) Do 1 y x 2004 nên 1 x-y 2003
Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1
Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002
 Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1
VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk Tìm GTNN của bt: 
Do x > 0, y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số 
ta có: Hay => 
Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => . áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
Vậy: Min A = 4 khi : 
VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức : 
Ta có: 
Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số ta có : 
Max A = 2 khi 
VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : với x, y, z > 0.
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương: 
Do đó 
Cách 2 : Ta có : . Ta đã có (do x, y > 0) nên để 
chứng minh ta chỉ cần chứng minh : (1)
(1) Û xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
Û xy + z2 – yz – xz ≥ 0 Û y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 Û (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của .
VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3. (1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có : 
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 	 (2)
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9. Þ A ≤ 
max A = khi và chỉ khi x = y = z = .
VD 5: Tìm GTNN của với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : .
Tương tự : . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.
min A = 1 với x = y = z = .
VD 6: Tìm GTNN của với : x > 0, y > 0, x + y < 1
Ta có: 
Ta có: 
=> 
VD 7: : Cho , Tìm GTLN của 
Giải : Ta có : Với ta có:
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số Ta có: 
Hay : Dấu “ = ” xảy ra khi 
 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số Ta có: 
Hay : .	Dấu “ = ” xảy ra khi 
Do đó: - 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi 
VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của: 
Ta có: S = =
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương ta có : 
Tương tự ta có : ; 
S 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36
Dấu “=” sảy ra khi : 
Vậy Min S = 36 khi
Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó:
Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó
VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của , ĐKXĐ : 
Bình phương hai vế ta có : A2 = 2 + 
Với . áp dụng bất đẳng thức côsi cho và ta có:
 hay 
A2 4 =>A 2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2
VD2: Tìm GTNN của biểu thức: (*)
ĐKXĐ : 
Khi đó => A > 0
Từ (*) => 
A = 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số : 
Bài 2: Tìm GTLN của hàm số : 
Bài 3: Tìm GTLN của hàm số : 
Bài 4: Tìm GTLN của hàm số : 
Bài 5: Tìm GTLN của hàm số : 
Bài 6: Tìm GTLN của hàm số : 
Bài 7:Tìm GTLN của : biết x + y = 4
Bài 8 Tìm GTNN của : 
Bài 9( 76/29) Tìm GTNN của : với x, y, z dương và x + y + z 12
Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của : biết x + y = 15
Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không.
VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Giải: ĐKXĐ: Ta có: = 
Dấu “=” xảy ra khi 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số:
Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau
VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: 
Giải : Ta có 
Áp dụng BĐT Cô-si Ta có : 
Vậy Min A = 8 
VD2: ... gt; P lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC => P cè ®Þnh.
b) T©m I cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN n»m trªn ®­êng trung trùc cña AP.
------------------------------
Bµi 4. T×m quü tÝch ®Ønh C c¸c tam gi¸c ABC cã AB cè ®Þnh, ®­êng cao BH b»ng c¹nh AC.
H­íng dÉn:
KÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i A, trªn ®ã lÊy E sao cho AE = AB
=> tam gi¸c ACE = tam gi¸c BHA
=> gãc ACE = 90 ®é => C thuéc cung chøa gãc 90 ®é dùng trªn AE.
Bµi 5: Tø gi¸c låi ABCD cã AC cè ®Þnh, gãc A =450, gãc B = gãc C = 900.
a) Chøng minh r»ng BD cè ®é dµi kh«ng ®æi.
b) Gäi E lµ giao cña BC vµ AD, F lµ giao cña DC vµ AB. Chøng minh EF cã ®é dµi kh«ng ®æi.
c) T×m quü tÝch t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AEF.
H­íng dÉn:
a) gãc B = gãc D = 90 ®é => B, D thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh AC
gãc A = 45 ®é => BD = R = hs.
b) Tam gi¸c CDE vu«ng c©n => CD = ED
 tam gi¸c ADF vu«ng c©n => DA = DF
=>Tam gi¸c ACD = tam gi¸c FED
=> EF = AC = hs
c) Trung trùc cña AF c¾t trung trùc cña AE t¹i J, c¾t (O) t¹i H vµ I
=> H, I lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña hai cung AC => H, I cè ®Þnh.
gãc HJI = gãc BCD = 135 ®é
=> J thuéc cung chøa gãc 135 ®é dùng trªn HI.
----------------------------------
Bµi 6: Cho ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. Mét ®iÓm M di ®éng trªn ®o¹n AB. Dùng vÒ cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ ®­êng th¼ng AB c¸c h×nh vu«ng AMDE, MBGH. Gäi O, O' t­¬ng øng lµ t©m c¸c h×nh vu«ng trªn.
a) T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n OO'.
b) Chøng minh r»ng AH vµ EG ®i qua giao ®iÓm N kh¸c M cña c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c h×nh vu«ng AMDE vµ MBGH.
c) Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 7: Cho hai ®­êng trßn (O; R) vµ (O'; R') c¾t nhau t¹i A vµ D cã c¸c ®­êng kÝnh AOB vµ AO'C vu«ng gãc víi nhau t¹i A. Mét ®­êng th¼ng d ®i qua A vµ c¾t c¸c nöa ®­êng trßn kh«ng chøa ®iÓm D cña (O), (O') t­¬ng øng t¹i c¸c ®iÓm M, N kh¸c A.
a) Chøng minh tam gi¸c ABM vµ tam gi¸c CAN ®ång d¹ng.
b) T×m quü tÝch giao ®iÓm P cña OM vµ O'N khi d di ®éng.
c) TiÕp tuyÕn M cña (O) c¾t AD t¹i I. Chøng minh r»ng: IM2 = IA. ID.
d) T×m vÞ trÝ cña c¸t tuyÕn d ®Ó cho tiÕp tuyÕn t¹i M cña (O) vµ tiÕp tuyÕn t¹i N cña (O') c¾t nhau t¹i mét ®iÓm thuéc ®­êng th¼ng AD.
d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña d sao cho tø gi¸c MNCB cã diÖn tÝch lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã theo R vµ R'.
H­íng dÉn
a) Tam gi¸c AMB vµ tam gi¸c CAN ®ång d¹ng
b) gãc PMA + gãc PNA = gãc OAM + gãc O'AN = 90 ®é
=> gãc OPO' =90 ®é => P thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO'
c) Tam gi¸c IMA vµ tam gi¸c IDM ®ång d¹ng
=> IM2 = IA.ID
d) t­¬ng tù c©u c gi¶ sö tiÕp tuyÕn t¹i N cña (O') c¾t AD t¹i I' => I'M2 = I'A.I'D . VËy I trïng I' IM = I'N I thuéc trung trùc cña NM
VËy khi I lµ giao cña AD vµ trung trùc cña MN th× tiÕp tuyÕn t¹i M cña (O) vµ tiÕp tuyÕn t¹i N cña (O') c¾t nhau t¹i mét ®iÓm thuéc ®­êng th¼ng AD.
e) diÖn tÝch Tø gi¸c BMNC lín nhÊt (SBMA +SANC)min (SBMA)min (BM.AM)min l¹i cã: BM2 + AM2 = R2 vËy: BM.AM dÊu b»ng khi BM = AM d t¹o víi AB mét gãc 45 ®é
Khi ®ã diÖn tÝch tø gi¸c BMNC lµ: .
Bµi 8: Mét ®iÓm A ®i ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC cè ®Þnh. §­êng th¼ng qua C song song víi BA c¾t ®­êng ph©n gi¸c ngoµi cña gãc BAC cña tam gi¸c ABC t¹i D. T×m quü tÝch D.
H­íng dÉn
AD c¾t (O) t¹i E => E cè ®Þnh
l¹i cã gãc CDE = 45 ®é
VËy D thuéc cung chøa gãc 45 ®é dùng trªn CE.
Bµi 9: Cho ®­êng trßn (O; R) cè ®Þnh vµ ®­êng th¼ng d c¾t (O; R) t¹i hai ®iÓm A, B cè ®Þnh. Mét ®iÓm M di ®éng trªn d vµ ë bªn ngoµi ®o¹n AB. VÏ c¸c tiÕp tuyÕn MP vµ MN víi (O; R). Gäi N, P lµ hai tiÕp ®iÓm.
a) Chøng minh r»ng khi M di ®éng, ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP lu«n ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh.
b) T×m quü tÝch t©m I cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP.
c) Tr×nh bµy c¸ch dùng ®iÓm M sao cho tam gi¸c MNP lµ tam gi¸c ®Òu.
H­íng dÉn:
a) Gi¶ sö (I) c¾t AB t¹i H kh¸c M => gãc OHM = 90 ®é => HA = HB hay H cè ®Þnh. VËy (I) ®i qua O vµ H cè ®Þnh.
b) IO = IH => I thuéc trung trùc cña OH.
 c) Tam gi¸c MNP ®Òu gãc OMN = 30 ®é OM = 2ON = 2R VËy M thuéc (O; 2R)
Bµi 10: Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh. Mét ®iÓm I di ®éng trªn c¹nh AB (I kh¸c A vµ B). Tia DI c¾t tia CB t¹i E. §­êng th¼ng CI c¾t ®­êng th¼ng AE t¹i M. §­êng th¼ng BM c¾t ®­êng th¼ng DE t¹i F. T×m quü tÝch ®iÓm F.
H­íng dÉn:
Trªn BC lÊy G sao cho AI = BG => AI v«ng gãc víi ED
¸p dông ®Þnh lÝ Meleneut trong tam gi¸c AEB víi 3 ®iÓm th¼ng hµng C, I, M cã 
l¹i cã thay vµo (1) => => MB song song víi AG hay gãc DFB vu«ng
VËy F thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh BD ( cung nhá AB ).
Bµi 11: Cho ®­êng trßn (O; R) vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh trªn ®­êng trßn. §iÓm M l­u ®éng trªn tiÕp tuyÕn xy t¹i A cña (O; R). Qua M vÏ tiÕp tuyÕn thø hai víi (O; R). Gäi tiÕp ®iÓm lµ B.
a) T×m quü tÝch t©m c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMB.
b) T×m quü tÝch trùc t©m H cña tam gi¸c AMB.
H­íng dÉn:
a) §­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMB lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh OM
=> E thuéc trung trùc cña OA
b) Tø gi¸c AOBH lµ h×nh thoi => AH = R. VËy H thuéc ®­êng trßn (A; R) ( thuéc nöa mÆt ph¼ng bê xy chøa B)
Bµi 12: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®­êng trßn t©m O. §­êng ph©n gi¸c cña gãc A c¾t ®­êng trßn t¹i ®iÓm D. Mét ®­êng trßn (L) thay ®æi nh­ng lu«n ®i qua hai ®iÓm A vµ D. (L) c¾t hai ®­êng th¼ng AB, AC ë giao ®iÓm thø hai lµ M, N (cã thÓ trïng víi A).
a) Chøng minh r»ng: BM = CN.
b) T×m quü tÝch trung ®iÓm K cña MN. 
H­íng dÉn:
a) gãc BAD = gãc DAN => DB = DC; DM = DN
l¹i cã gãc MBD = gãc NCD; gãc BMD = gãc NCD => gãc BDM = gãc CDN
vËy tam gi¸c BDM = tam gi¸c CDN => BM = CN.
b) T­¬ng tù c©u c bµi 2
Bµi 13: Cho gãc vu«ng xOy. Mét chiÕc ªke ABC tr­ît trong mÆt ph¼ng cña gãc xOy sao cho ®Ønh B di chuyÓn trªn c¹nh Ox, ®Ønh C di chuyÓn trªn c¹nh Oy vµ ®Ønh gãc vu«ng A di chuyÓn trong gãc xOy. T×m quü tÝch ®iÓm A.
H­íng dÉn:
Tø gi¸c OBAC néi tiÕp => gãc yOA = gãc CBA = 
VËy A thuéc tia t¹o víi tia Oy mét gãc ( phÇn n»m trong gãc xOy )
Bµi 14: Cho ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R vµ mét ®iÓm P cè ®Þnh ë ngoµi ®­êng trßn. VÏ tiÕp tuyÕn PA vµ c¸t tuyÕn PBC bÊt k× (A, B, C trªn (O; R)). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC. Khi c¸t tuyÕn PBC quay quanh P.
a) T×m quü tÝch ®iÓm ®èi xøng cña O qua BC.
b) T×m quü tÝch ®iÓm H.
H­íng dÉn:
a) ta cã PO' = PO = hs; P cè ®Þnh => O' thuéc ®­êng trßn ( P; PO)
b) Tø gi¸c OO'HA lµ h×nh b×nh hµnh vÏ h×nh b×nh hµnh AOPK => K cè ®Þnh. => HO'PK còng lµ h×nh b×nh hµnh => HK = O'P = OP = hs. VËy H thuéc ®­êng trßn (K; OP).
Bµi 15: Cho h×nh vu«ng ABCD cã t©m O. VÏ ®­êng th¼ng d quay quanh O c¾t hai c¹nh AD vµ BC lÇn l­ît t¹i E vµ F ( E vµ F kh«ng trïng víi c¸c ®Ønh cña h×nh vu«ng). Tõ E, F lÇn l­ît vÏ c¸c ®­êng th¼ng song song víi DB, AC chóng c¾t nhau t¹i I.
a) T×m quü tÝch I.
b) Tõ I vÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi EF t¹i H. Chøng tá H thuéc mét ®­êng cè ®Þnh vµ ®­êng th¼ng IH ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. 
Bµi 16: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Mét ®iÓm P di ®éng trªn c¹nh BC. VÏ PQ song song víi AC ( Q thuéc AB), vÏ PR song song víi AB ( R thuéc AC). T×m quü tÝch c¸c ®iÓm D ®èi xøng víi P qua QR.
Bµi 17: Cho gãc vu«ng xOy. C¸c ®iÓm A vµ B t­¬ng øng thuéc tia Ox, Oy sao cho OA = OB. Mét ®­êng th¼ng d ®i qua A vµ c¾t OB t¹i M n»m gi÷a O vµ B. Tõ B h¹ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AM c¾t AM t¹i H vµ c¾t ®­êng th¼ng OA t¹i I. 
a) Chøng minh r»ng OI = OM vµ tø gi¸c OMHI néi tiÕp.
b) Gäi K lµ h×nh chiÕu cña O lªn BI. Chøng minh r»ng OK = HK.
c) T×m quü tÝch ®iÓm K khi M di ®éng trªn ®o¹n OB.
Bµi 18: Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O) vµ M di ®éng trªn cung BC.
a) Trªn tia ®èi cña tia CM, lÊy ®o¹n CE = MB. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm E khi M di ®éng.
b) Trªn tia ®èi cña tia MC, lÊy ®o¹n MF = MB. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm F khi M di ®éng.
Bµi 19: Cho hai ®­êng trßn b»ng nhau (O) vµ (O') c¾t nhau t¹i A vµ B. Mét c¸t tuyÕn (d) bÊt k× qua B c¾t (O0 t¹i C vµ (O') t¹i C'. T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña ®o¹n CC' khi d quay quanh B.
Bµi 20: Cho hai ®­êng th¼ng xx' vµ yy' vu«ng gãc víi nhau t¹i O vµ mét ®iÓm P cè ®Þnh. Mét gãc vu«ng ®Ønh P quay quanh P. c¸c c¹nh cña gãc vu«ng nµy c¾t xx' t¹i A vµ yy' t¹i B. T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña ®o¹n AB.
Bµi 21: Trªn mçi b¸n kÝnh OM cña ®­êng trßn (O) lÊy ®o¹n OI b»ng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®­êng kÝnh cè ®Þnh AB. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I.
Bµi 22: Cho ®­êng trßn (O) cè ®Þnh vµ mét d©y AB cè ®Þnh. Trªn cung nhá AB, ta lÊy ®iÓm C di ®éng. T×m tËp hîp t©m I cña ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC.
Bµi 23: Cho ®­êng trßn (O) vµ mét d©y AB cè ®Þnh. KÓ mét d©y AC. Trªn ®­êng th¼ng AC lÊy hai ®iÓm M, M' sao cho CM = CM' = CB, M n»m ngoµi ®­êng trßn. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M vµ M' khi C v¹ch cung AB.
Bµi 24: Cho ®­êng trßn (O; R), 2 ®iÓm B, C cè ®Þnh trªn (O) vµ mét ®iÓm A di ®éng trªn (O). T×m tËp hîp c¸c trùc t©m H cña tam gi¸c ABC.
Bµi 25: Cho tam gi¸c ABC. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M trong mÆt ph¼ng sao cho h×nh chiÕu cña M trªn ba c¹nh cña tam gi¸c lµ ba ®iÓm th¼ng hµng.
Bµi 26: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®o¹n AB. Dùng trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ ®­êng th¼ng AB c¸c h×nh vu«ng ANCD vµ BMEF. C¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp chóng t©m P vµ Q c¾t nhau t¹i M vµ N.
a) Chøng minh r»ng: AE, BC ®i qua N.
b) Chøng minh r»ng: MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng.
c) T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña PQ khi M di ®éng.
Bµi 27: Cho ®­êng trßn (O; R) vµ mét ®iÓm P cè ®Þnh trong ®­êng trßn kh«ng trïng víi O. Qua P dùng d©y cung APB, c¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A vµ B c¾t nhau t¹i M. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M khi d©y AB quay quanh P.
Bµi 32: Hai ®­êng trßn (O) vµ (O') giao nhau t¹i A vµ B. Mét c¸t tuyÕn di ®éng qua A c¾t (O) t¹i C vµ (O') t¹i D. T×m tËp hîp t©m I cña c¸c ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c BCD.
Bµi 33: Cho tam gi¸c c©n ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O; R) cã AB = AC = 
a) TÝnh ®é dµi BC theo R
b) M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn cung nhá AC, ®­êng th¼ng AM c¾t ®­êng th¼ng BC t¹i D. Chøng minh r»ng AM.AD lu«n lu«n lµ h»ng sè
c) Chøng minh t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MCD di ®éng trªn mét ®­êng cè ®Þnh khi M di ®éng trªn cung nhá AC.
H­íng dÉn:
a) BC lµ ®­êng kÝnh cña (O).
b) Tam gi¸c AMC ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACD => 
AM.AD = AC2 = R.
c) gãc ACM = gãc MDC = 1/2 s® cung CM => AC lµ tiÕp tuyÕn cña ( I ) => IC vu«ng gãc víi AC cè ®Þnh => I thuéc ®­êng th¼ng qua C vµ vu«ng gãc víi CA. 
Bµi 34: Cho h×nh vu«ng ABCD cã t©m O. VÏ ®­êng th¼ng (d) quay quanh O c¾t AD, BC t¹i E, F. Tõ E, F lÇn l­ît vÏ c¸c ®­êng th¼ng song song víi DB, AC chóng c¾t nhau t¹i I.
a) Chøng minh r»ng I thuéc mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh
b) Tõ I kÎ IH vu«ng gãc víi EF t¹i H. Chøng minh H thuéc mét ®­êng cè ®Þnh vµ IH ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.