Giáo án Giải tích Lớp 11 - Năm học 2003-2004

Ngày soạn: 4 / 12 / 2003 Ngày dạy: 8 / 12 / 2003
 Chương III Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân
 Tiết 41 phương pháp quy nạp toán học 
A. Chuẩn bị 
 I. Yêu cầu bài dạy 
 Kiến thức: Nắm được phương pháp chứng minh quy nạp toán học vận 
 dụng được phương pháp đó vào chứng minh một số mẹnh đề 
 Kỹ năng: Rèn kỹ năng chứng minh các mệnh đề bằng phương pháp chứng minh 
 quy nạp toán học 
 Giáo dục: Rèn tính tự giác trong học toán 
 II. chuẩn bị 
 1) Thầy: sgk - bài soạn 
 2) Trò: sgk - bài học - bài tập 
B. Phần thể hiện trên lớp 
 I. Kiểm tra bài cũ ( kết hợp khi giảng )
 II. Bài mới 
Thế nào là phương pháp chứng minh quy nạp toán học ?
Nêu các bước chứng minh quy nạp toán học ?
Hãy kiểm tra với n = 1 
giả sư mệnh đề đúng với 
n = k hãy chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1?
Hãy chứng minh VT = Vp ?
Em có nhận xét gì về vế trái ?
Hãy kiểm tra với n = 1?
Nếu nó đúng với n = k hãy chứng minh nó đúng với 
n = k + 1?
Lưu ý: số chia hết cho 2 và 3 thì chia hết cho 6 
tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 ?
10'
20'
13'
1) Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k 
 ( gọi là giả thiết quy nạp )Chứng minh mệnh đề đúng với 
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với 
 Thì bước 1 kiểm tra mệnh đề đúng với Bước 2 giả thiết mệnh đề đúng với phải chứng minh mệnh đề đúng với 
2) các ví dụ 
Ví dụ 1:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiện 
 ta có 
 Chứng minh
Với (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k tức là 
 ta chứng minh (1) đúng với tức là 
Thật vậy VT = 
vậy (1) đúng với n = k + 1 suy ra (1) đúng với 
Ví dụ 2: chứng minh rằng thì 
(2)
 Chứng minh
Kiểm tra với (2) đúng 
với n = 1 
Giả sử (2) đúng với tức 
 ta phải chứng minh 
(2) đúng với tức là 
Thật vậy VT = 
 đúng với đúng với 
Ví dụ 3 Chứng minh rằng ta có 
 (3) chia hết cho 6
 Chứng minh
Với chia hết cho 6
Giả sử (3) đúng với tức là chia hết cho 6 ta phải chứng minh (3) đúng với 
Tức tức là 
chia hết cho 6
 III. Hướng dẫn học ở nhà (2')
 - Ôn lại phương pháp chứng minh bằng quy nạp 
 - Giải bài tập 1, 2, 3, 4 sgk trang 88
Ngày soạn: 4 / 12 / 2003 Ngày dạy: 8 / 12 / 2003 
 Tiết 42 
A. Phần chuẩn bị 
 I. Yêu cầu bài dạy
 Kiến thức: Củng cố khắc sâu phương pháp quy nạp toán học 
 Kỹ năng: Rèn kỹ năng chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp 
 toán học 
 Giáo dục: Rèn tính tích cực tính tự giác trong học toán 
 II. Chuấn bị 
 1) Thầy: sgk - bài soạn 
 2) Trò: sgk- bài học- bài tập 
B. Phần thể hiện trên lớp 
 I. Kiểm tra bài cũ ( kết hợp khi giảng )
 II. Bài mới 
Nêu 
Nêu cách chứng minh bằng quy nạp ?
Dựa vào giả thiết quy nạp hãy chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1?
Hãy kiểm tra với n = 0, 1 ?
Hãy chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1 ?
Hãy thêm và bớt 13 vào biểu thức sau đó đặt nhân tử chung nhóm các nhân tử chia hết cho 6 ?
Chú ý: Lập luận ?
Vế trái của mệnh đề là biểu thức có tính chất gì ?
Chú ý: Nếu không xét tới dấu thì số hạng đứng sau hơn số hạng đứng trước một đơn vị vậy số hạng đứng sau 
 là số nào ?
10'
10'
10'
12'
Bài 1
Với n = 1 VT = 1, VP = 1 mđề đúng với n = 1
Giả sử mđề đúng với n = k tức là 
ta phải c / m mệnh đề đúng với n = k + 1tức là 
Thật vậy: 
Vậy mệnh đề đúng với n = k + 1 suy ra m / đề đúng với 
Bài 2
Chứng minh 
 Giải 
Với 
Giả sử m / đề đúng với n = k tức là 
 Ta phải chứng minh mệnh đề chia hết cho n = k + 1 tức là 
Thật vậy: 
Bài 3
Chứng minh rằng: thì 
 Giải 
Với n = 3 ta có VT = 8, VP = 7 Vậy mệnh đề đúng với n = 3
Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là 
Vì 
Vậy mệnh đề đúng với n = k +1 nên m / đề đúng với 
Bài 4
Chứng minh rằng: Ta có 
Với n = 1 , VT = 2 , VP = 2 m / đề đúng với
 n = k Tức là 
Ta phải chứng minh m / đề đúng với n = k +1
Tức là 
Mệnh đề đúng với 
 III. Hướng dẫn học ở nhà (3')
 Ôn lại cách chứng minh một mệnh đề bằng quy nạp 
 - Xem lại các bài tập đã chữa 
 Đọc trước bài mới 
 Ngày soạn: 4 / 12 / 2003 Ngày dạy: 10 / 12 / 2003
 Tiết 43 - 44 dãy số 
A. Phần chuẩn bị
 I. Yêu cầu bài dạy
 Kiến thức: Nắm được khái niệm dãy số hữu hạn, dãy vô hạn cách cho dãy số 
 Khái niệm về dãy số tăng( giảm ) dãy số bị chặn, bị chặn trên, 
 chặn dưới
 Kỹ năng: Rèn kỹ năng cho dãy số, chứng minh dãy số tăng( giảm ) và chứng 
 dãy số bị chặn
 Giáo dục: Rèn tính tự giác tính tích cực trong học toán rèn tư duy khái quát hoá
 II. chuẩn bị 
 1) Thầy: sgk - bài soạn 
 2) Trò: sgk - bài học - bài tập
 Tiết 43
B. Phần thể hiện trên lớp
 I. Kiểm tra bài cũ (5')
 Câu hỏi: Chứng minh rằng: thì 
 Đáp án: Với n = 0 ta có 
 Giả sử mệnh đề đúng với n = k thì tức 
 Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tức 
 II. Bài mới 
GV: nhắc lại khái niệm hàm số 
Chú ý: Dãy các giá trị của hàm số u xác định trên tập hợp M là dãy số hữu hạn 
Hãy cho biết dãy có bao nhiêu số hạng ? tìm số hạng đầu và số hạng cuối ?
Thế nào là dãy vô hạn hãy lấy ví dụ về dãy vô hạn ?
Hãy tìm số hạngtổng quát của dãy số sau ?
Tìm số hạng tổng quát của dãy số ?
Hãy lấy ví dụ dãy số cho bằng công thức ?
Hãy viết 4 số hạng đầu của dãy ?
Thế nào là hệ thức truy hồi ? hệ thức truy hồi có đặc điểm gì ?
Hãy viết dãy số dưới dạng triển khai ?
Hãy viết dãy số dưới dạng triển khai ?
GV: nêu cách biểu diễn dãy số ?
Dãy số gọi là tăng nếu thoả mãn điều kiện gì ?
Dãy số gọi là giảm nếu thoả mãn những điều kiện gì ?
Hãy lấy ví dụ về dãy số không đơn điệu ?
10'
5'
3'
3'
7'
10'
1) Định nghĩa dãy số 
 a) dãy hữu hạn
Cho là tập các số tự nhiên đầu tiên khác 0 Một hàm số u xác định trên tập 
hợp M được gọi là một dãy số hữu hạn tập các giá trị của dãy số hữu hạn kí hiệu 
Hay Trong đó 
 số hạng đầu 
 số hạng thứ hai 
 số hạng thứ m hay số hạng cuối 
Kí hiệu dãy số: hay 
Ví dụ 1: cho có dạng triển khai là dãy có 5 số hạng có 
Ví dụ 2: Cho có dạng triển khai 5, 7, 9 là dãy có 3 số hạng trong đó 
b) Dãy vô hạn 
Hàm số u xác định trên tập hợp gọi là một dãy vô hạn ( hay dãy số )
dãy số viết 
 số hạng đầu 
 số hạng thứ hai 
 số hạng thứ n hay số hạng tổng quát 
Ví dụ 1: cho có dạng triển khai 
Số hạng tổng quát là 
Ví dụ 2: cho dãy 
Số hạng tổng quát là 
2) Cách cho dãy số 
a) Bằng công thức 
Ví dụ 1: 
ví dụ 2: 
Ví dụ 3: 
b) Cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó 
Ví dụ: cho dãy với là giá trị gần đúng thiếu của số 
có 
c) cho bằng công thức truy hồi
- cho số hạng đầu ( vài số hạng đầu ) 
- cho hệ thức truy hồi: là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng ( vài số hạng )đứng trước nó 
Ví dụ1: cho dãy 
Có dang triển khai 
Ví dụ 2: cho dãy 
Gọi là dãy phibônaxi 
3) Cách biểu diễn hình học dãy số 
- Biểu diễn hình học dãy 
4) Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa:
Dãy số gọi là dãy tăng nếu thì 
Khi đó 
Dãy số gọi là dãy giảm nếu thì
Khi đó 
Dãy số tăng và dãy số giảm gọi chung là dãy đơn điệu 
Chú ý: Không phải mọi dãy đều tăng hay giảm
Ví dụ1: 
Ví dụ 2: 
 III. Hướng dẫn học ở nhà( 2' )
 - Ôn khái niệm dãy số cách cho dãy số dãy tăng hay giảm
 - Giải bài tập 1, 2, 3, 4 trang 94 sgk 
 Ngày soạn: 10 / 12 / 2003 Ngày dạy: 13 / 12 / 2003
 Tiết 44 
B. Phần thể hiện trên lớp 
 I. Kiểm tra bài cũ
 Câu hỏi: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số sau 
 Đáp án: 
 II. Bài mới 
Từ định nghĩa dãy số tăng 
( giảm) rút ra hệ quả ?
Có bao nhiêu cách chứng minh dãy số đơn điệu ?
Hãy lấy ví dụ về dãy tăng và chứng minh ?
Hãy lấy ví dụ về dãy giảm và chứng minh ?
Hãy quy đồng và rút gọn ?
Thế nào là dãy bị chặn trên ?
Thế nào là dãy bị chặn dưới ?
Thế nào là dãy bị chặn ?
Hãy lấy ví dụ về dãy bị chặn dưới ?
Hãy lấy ví dụ về dãy bị chặn trên ?
Hãy lẫy ví dụ về dãy bị chặn ?
Hệ quả:
*) Dãy số tăng 
*) Dãy số giảm
Ví dụ 1 Cho dãy là dãy tăng
Thật vậy: nên 
 là dãy tăng
Ví dụ 2: Cho dãy là dãy giảm 
Thật vậy: 
 vậy dãy số là dãy giảm 
5) Dãy bị chặn
Định nghĩa:
+) Dãy số Gọi là bị chặn trên nếu 
 số M : 
+) Dãy số Gọi là bị chặn dưới nếu 
 số m : 
+) Dãy số Gọi là bị chặn nếu 
 số M, m : 
 Ví dụ 1: Với là dãy bị chặn dưới bởi 6 không bị chặn trên 
Ví dụ 2: Cho với bị chặn trên bởi 1 không bị chặn dưới 
Ví dụ 3: Cho dãy với số và 1
sao cho là dãy bị chặn
 III. Hướng dẫn học ở nhà 
 - Ôn các khái niệm dãy số vô hạn hữu hạn cách cho dãy số, khái niệm dãy số 
 tăng dãy số giảm dãy bị chặn trên, bị chặn dưới, và bị chặn 
 - Giải bài tập 5, 6, 7 sgk trang 94 - 95 
 Ngày soạn: 10 / 12 / 2003 Ngày dạy: 13 / 12 / 2003
 Tiết 45 Luyện tập 
A. Phân chuẩn bị 
 I. Yêu cầu bài dạy
 Kiến thức: Củng cố dãy số cách cho dãy số chứng minh dãy số tăng ( giảm ) 
 dãy số bị chặn 
 Kỹ năng: Rèn kỹ năng viết dãy số dưới dạng triển khai Tìm số hạng tổng quát
 của dãy số xét tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số 
 Giáo dục: Rèn tư duy khái quát, tư duy lô gíc tính tự giác tính tích cực
 trong học toán
 II. Chuẩn bị: 
 1) Thầy: sgk - bài soạn - đồ dùng dạy học 
 2) Trò: sgk - bài học - bài tập 
B. Phần thể hiện trên lớp 
 I. Kiểm tra bài cũ ( 5' ) 
 Câu hỏi: Viết 5 số hạng đầu của dãy số 
 Đáp án: 
 II. Bài mới 
 Nêu cách viết các số hạng của dãy 
 số ?
 Hãy viết 5 số hạng của dãy số ?
 Hãy nêu cách tìm số hạng bất kỳ của 
dãy số ? 
Lưu ý: Chỉ số Nên không có 
n = 0 ?
Hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy số ?
Từ đó viết số hạng ?
Nêu định nghĩa dãy số đơn điệu ? 
Muốn xét tính đơn điệu của dãy số 
có bao nhiêu cách hãy sử dụng giải 
bài tập 5 ?
Hãy tìm số hạng thứ và xét hiệu
 ?
Nêu khái niệm dãy bị chặn trên, dưới 
và bị chặn ?
Hãy chỉ ra số M, m theo như định 
nghĩa ?
Lưu ý: dãy 
Có tồn tại số nào sao cho lớn hơn 
hay nhỏ hơn Không ?
5'
5'
5'
10'
8'
5'
Bài 1: a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 2
Bài 3 
a) 
b) hay 
Bài 4
Cho 
Ta có 
Vậy 
Bài 5
a) ta có 
 dãy giảm 
b) 
 là dãy tăng 
c) là dãy không tăng không giảm 
Bài 6
a) là dãy bị chặn dưới không bị chặn trên 
b) là dãy bị chặn 
c) là dưới không bị chặn trên 
d) 
 III. Hướng dẫn học ở nhà ( 2' ) 
 - Ôn khái niệm dãy số cách cho dãy số dãy số tăng, giảm, bị chặn 
 - Xem lại bài tập đã chữa 
 - Giải bài tập 7 sgk - trang 95 
 Ngày soạn: 14 / 12 / 2003 Ngày dạy: 20 / 12/ 2003
 Tiết 46 cấp số cộng
A. Phần chuẩn bị
 I. Yêu cầu bài dạy
 Kiến thức: Nắm được định nghĩa cấp số cộng số hạng tổng quát tính chất 
 và tổng n số hạng đầu của cấp số cộng 
 Kỹ năng: Tìm số hạng thứ tìm công sai d xác định cấp số tính tổng
 của n số hạng 
 Giáo dục: Rèn tư duy khái quát hoá tính tự giác trong học toán 
 II. Chuẩn bị 
 1) Thầy: sgk - bài soạn
 2) trò: sgk - bài học - bài tập 
B. Phần thể hiện trên lớp  ... p số nhân công thức tính các số hạng của cấp số nhân 
 tính q tính tổng 
 - Giải bài tập 6, 7, 8 sgk trang 104 
Ngày soạn: 4 / 1 / 2004 Ngày dạy: 8 / 1 / 2004
 Tiết 54
B. Phần thể hiện trên lớp 
 I. Kiểm tra bài cũ (5')
 Câu hỏi: Một cấp số nhân có 5 số hạng. Tìm số hạng cuối và tổng 5 số hạng đó 
 Biết và 
 Đáp án: và 
 II. Bài mới 
Hãy nêu công thưc số hạng tổng quát ?
Tính theo và q ?
Nêu công thức tính tổng của 9 số hạng ?
Hãy tính 
Từ giả thiết hãy tính q ?
Thế q tìm được vào tính 
Hãy tính số đo của 4 góc ?
Hãy nêu công thức dtính thể tích của hình hộp chữ nhật ?
4 số hạng đó có dạng như thế nào ?
Nêu công thức tính của hình hộp chữ nhật ?
Điều kiện để q tồn tại là gì ?
10'
15'
13'
Bài 6 
Với với 
Bài 7 
Gọi bốn góc đó là 
Theo đầu bài ta có 
Với 
Vậy các góc phải tìm là 
Bài 8
Gọi q là công bội ta có nên các số hạng của cấp số nhân là ta có 
Hay (1) 
Điều kiện để q tồn tại là 
Vì m nên khi đó (1) có hai nghiệm nghịch đảo nhau vì tích của chúng bằng 1 và có hai cấp số nhân chỉ khác nhau về thứ tự các số hạng 
Đaqực biệt với m = 3 ta có vậy ta được hình lập phương cạnh a 
III. Hướng dẫn học ở nhà (2') 
 - Ôn lại khái niệm cấp số nhân cách tính công bội q tính các số hạng của cấp 
 số nhân tính tổng các số hạng của cấp số nhân 
 - Xem lại các bài tập đã chữa 
 - Ôn kiến thức chương III các dạng bài tập trong chương và cách giải 
Ngày soạn: 5 / 1 / 2004 Ngày dạy: 8 / 1 / 2004 
 Tiết 55 - 56 ôn tập chương III
A. Phần chuẩn bị 
 I. Yêu cầu bài dạy
 Kiến thức: Củng cố hệ thống hoá kiến thức trọng tâm của toàn chương 
 Các dạng bài tập cách giải 
 Kỹ năng: Rèn kỹ năng chứng minh quy nạp xét tính đơn điệu, tính bị chặn
 của dãy số tìm công sai công bội của cấp số cộng và cấp số nhân 
 tính các số hạng tính tổng của cấp số cộng và nhân 
 Giáo dục: Rèn tư duy lô gíc tư duy khái quát hoá tính tự giác tính tích cực 
 trong học toán 
 II. Chuẩn bị
 1) Thầy: sgk - bài soạn 
 2) Trò: sgk - bài học - bài tập 
 Tiết 55
B. Phần thể hiện trên lớp 
 I. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp khi ôn tập 
 II. Bài mới 
Nêu các bước chứng minh quy nạp ?
Nêu khái niệm về dãy số hữu hạn dãy vô hạn ?
Có bao nhiêu cách chứng minh dãy số tăng dãy số giảm ?
Thế nào là dãy bị chặn ?
Nêu định nghĩa các tính chất của cấp số cộng ?
Nêu định nghĩa tính chất của cấp số nhân ?
GV: Lưu ý tính chất tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2
GV: Một số chia hết cho 6 thì phải chia hết cho 2 và 3 ?
Hãy xét hiệu ?
Hãy chứng minh dãy số bị chặn dưới không bị chặn trên ?
Hãy chứng minh > 0 ?
Hãy chứng minh dãy số bị 
chặn ?
Hãy đưa hệ về dạng chứa u và 
d ?
Hãy đưa hệ về dạng chưa và d 
biến đổi và thế vào phương trình 2 để tìm d ?
Hãy giải hệ tìm và d ?
Từ giả thiết đã cho hãy lập hệ và giải tìm u và d ?
Hãy tìm các số hạng của cấp số 
cộng ?
8'
10'
5'
7'
8'
5'
A. Lí thuyết 
1) Chứng minh quy nạp 
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = 0
( Hoặc với n = p )
Bước 2: Giả sử mệnh đề đứng với n = k 
( Hoặc với ). Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 
2) Dãy số 
- Dãy hữu hạn dãy vô hạn 
- Cách cho dãy số cách biểu diễn hình học dãy số 
- Dãy số tăng ( giảm ) 
- Dãy số bị chặn 
3) Cấp số cộng 
4) Cấp số nhân 
B. Bài tập 
Bài 1 
Kiểm tra với 
Vậy biểu thức đúng với n = 1 
Giả sử biểu thức đúng với tức 
Ta chứng minh biểu thức đúng với 
Thật vậy: 
Vì theo giả thiết 
 và 3 ( hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 )
Bài 2 
a) 
 là dãy số tăng
 nên dãy bị chặn dưới bởi 2 không bị chặn trên 
b) Ta có 
 với n chẵn và với n lẻ 
Vậy dãy số không tăng không giảm và 
Bài 3
a) 
b) 
Bài 4 
Gọi 5 số đó là 
Theo giả thiết ta có 
Vậy các số hạng của cấp số cộng là 
 III. Hướng dẫn học ở nhà (2')
 - Ôn chứng minh quy nạp, dãy số hữu hạn vô hạn, dãy số tăng dãy giảm dãy 
 bị chặn cấp số cộng cấp số nhân 
 - Xem lại các bài tập đã chữa 
 - Giải bài tập 6, 7, 8, 9 sgk trang 105 
Ngày soạn: 6 / 1 / 2004 Ngày dạy: 10 / 1 / 2004 
 Tiết 56
B. Phần thể hiện trên lớp 
 I. Kiểm tra bài cũ (5') 
 câu hỏi: Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân 
 Đáp án: 
 II. Bài mới 
Hãy đưa hệ về dạng chỉ chứa và d giải hệ tìm và d ?
Từ giả thiết của đầu bài hãy lập hệ chứa và d giải hệ tìm và d ?
Nhắc lại định lí hàm số côsin ?
Gọi ba cạnh tam giác là , , Hãy tính =?
Hãy sử dụng bất đẳng thức côsi 
lập luận cho ? từ đó suy ra góc B ?
Từ giả thiết hãy lập hệ phương trình chứa ?
Hãy khử d trong phương trình (2) và (3) ?
Hãy giải phương trình tìm q ?
Thế q tìm được tính các số hạng ?
10'
10'
8'
10'
Bài 6
b) 
Bài 7
theo đầu bài ta có 
Vậy có hai cấp số nhân 
và cấp số nhân 
Bài 8
Gọi ba cạnh tam giác là , , Không mất tính tổng quát giả sử là ba cạnh ứng với các góc A, B, C
Vậy ta có 
 Vì 
Vì giả thiết nên góc tươnng ứng nhỏ hơn 
Vậy Vậy ta có điều phải chứng minh 
Bài 9
Gọi là 4 số hạng đầu của cấp số nhân 
vói công bội q Gọi là cấp số cộng tương ứng 
với công sai d. Theo giả thiết ta có 
Khử d từ (2) và (3) ta được 
do (1) nên vì vậy 
Với thay vào (1) ta được 
Với Thay vào (1) ta được 
 và 
 III. Hướng dẫn học ở nhà (2') 
 - Ôn tập và hệ thông lại kiến thức của toàn chương 
 - Đọc trước bài giới hạn của dãy số 
Ngày soạn: 7 / 1 /2004 Ngày dạy: 12 / 1 / 2004
 Chương IV Giới hạn 
 Tiết 57 - 58 Giới hạn của dãy số 
A. Phần chuẩn bị
 I. yêu cầu bài dạy 
 Kiến thức: Nắm được định nghĩa giới hạn của dãy số biết cách tính giới hạn 
 của dãy số bằng định nghĩa Nắm được các định lí về giới hạn của 
 dãy số, công thức tính tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với 
 định nghĩa số e dãy số dần tới vô cực biết vận dụng các tính
 chất các công thức đã học vào việc tính giới hạn của dãy số 
 Kỹ năng: Rèn kỹ năng tính giới hạn của dãy số 
 Giáo dục: tính tự giác tính tích cực trong học toán thông qua các câu hỏi của 
 giáo viên 
 II. Chuẩn bị
 1) Thầy: sgk - bài soạn
 2) trò: sgk - bài học - bài tâp
B. Phần thể hiện trên lớp 
 I. Kiểm tra bài cũ (5') 
 Câu hỏi: hãy lấy ví dụ về dãy số bị chặn cho dưới dạng công thức 
 Đáp án: tìm 5 số hạng đầu của dãy số và biểu diễn trên trục số 
 II. Bài mới 
Hãy cho biết nếu n càng lớn thì khoảng cách từ tới 1 như thế nào ?
Nếu muốn thì n phải lớn hơn số nào ?
Nếu muốn thì n phải lớn hơn số nào ?
GV: Nếu muốn 
 nhỏ tuỳ ý ) thì chọn số tự
nhiên N sao cho với thì số 1 gọi là giới hạn của dãy đã cho 
GV: Nếu coi và thì tổng quát lên ta có định nghĩa giới hạn dãy 
số ?
Học sinh đọc định nghĩa ?
Hãy sử dụng định nghĩa vhứng minh ?
Hãy chứng minh ?
Sử dụng định nghĩa chứng minh ?
GV: các định nghĩa dưới dây không chứng minh ?
Học sinh đọc định nghĩa ?
Dãy số không bị chặn thì có giới hạn hay không ?
Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn là gì ?
Học sinh đọc định lí 5 ?
đọc định lí 6 ?
Hãy sử dụng các tính chất giới hạn của dãy số chứng minh ?
Hãy tính giới hạn của dãy số sau ?
Tính giới hạn của dãy số ?
GV: nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn bằng 0 ?
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì giới hạn bằng hệ số bậc cao nhất của tử chia cho hệ số bậc cao nhất của mẫu ?
GV: Giới thiệu khái niệm biểu thức liên hợp ?
Nhân chia với biểu thức liên hợp ?
10'
8'
15'
5'
1) Định nghĩa giới hạn của dãy số 
Ví dụ: Cho dãy số 
Biểu diễn hình học dãy số 
Ta thấy khi n càng lớn khoảng cách từ tới 1 càng nhỏ ( nhỏ tuỳ ý ) tức là càng nhỏ
Nếu muốn 
 thì 
Nếu muốn thì 
Tổng quát: 
Định nghĩa Số a gọi là giới hạn của dãy số nếu với ( nhỏ tuỳ ý ) tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N thì 
Kí hiệu: hay lim 
Vậy 
Ví dụ 1: chứng minh 
Thật vậy ( nhỏ tuỳ ý ) ta có vậy nếu lấy 
thì với 
Ví dụ 2: 
Với ( nhỏ tuỳ ý ) ta xét hiển nhiên 
vậy 
ví dụ 3 
Thật vậy Với ( nhỏ tuỳ ý ) ta xét
Vậy nếu lấy ta có 
2) Một số định lí về giới hạn của dãy số 
Định lí ( Điều kiện cần để dãy số có giới hạn )
Nếu dãy số có giới hạn thì nó bị chặn 
Vậy dãy số không bị chặn thì không có giới hạn 
Định lí ( tính duy nhất ) 
Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất 
Định lí ( vaiơstrat ) ( điều kiện đủ để dãy số có giới hạn ) 
Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn 
một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn 
Định lí ( giới hạn kẹp giữa ) 
Cho ba dãy số nếu ta có 
Định lí 5 ( các phép toán trên các giới hạn của dãy số ) 
Nếu hai dãy số có giới hạn thì ta có 
 nếu 
Định lí 6: Nếu thì 
Ví dụ 
a) Ví dụ 3: 
Ta có =0
b) 
 c) 
d) 
 III. Hướng dẫn học ở nhà 
 - Ôn khái niệm giới hạn của dãy số các định lí 
 - Xem các ví dụ nêu cách tìm giới hạn của dãy số 
 - Giải bài tập 1, 2, 3, 4, 5 sgk trang 115 - 116 
Ngày soạn: 9 / 1 / 2005 Ngày dạy: 15 / 1 / 2005 
 Tiết 58 giới hạn của dãy số 
B. phần thể hiện trên lớp 
 I. Kiểm tra bài cũ 
 Câu hỏi: Tính giới hạn của dãy số sau 
 Đáp án: 
 II. Bài mới 
Hãy nêu công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ?
Hãy tính giới hạn ?
Hãy tính tổng của cấp số nhân vô hạn sau ?
Hãy tìm số hạng đầu và công sai ?
GV: giới thiệu khái niệm số e và ứng dụng của số e trong toán học ?
Học sinh nhắc lại khái niệm giới hạn của dãy số ?
Hãy viết dạng triển khai của dãy số ?
Hãy cho biết khi n càng lớn thì như thế nào ?
Nếu muốn thì n phải bằng bao nhiêu ?
Dãy số có giới hạn không vì sao ?
Định lí các phép toán về giới hạn cua rdãy số có được áp dụng với hay không ? tại sao ?
Học sinh đọc định lí ?
Lấy ví dụ giới hạn dần tới 
sau đó nghịch đảo và tính giới hạn ?
VG: giới thiệu biểu thức liên hợp của nhau?
3) Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với 
Cho cấp số nhân vô hạn có công bội q khi đó tổng n số hạng đầu của cấp số nhân là theo định lí 6 ta có 
 Gọi là tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q 
Ví dụ 1:
Ví dụ 2: 
4) số e 
ta có có e = 2,71828
5) Dãy số dần tới vô cực 
Ví dụ: Xét dãy số có dạng triển khai 
2, 4, 8, 10, , 2n ,  
Khi n càng lớn thì càng lớn ( lớn tuỳ ý ) 
Nếu muốn thì chỉ việc lấy 
Tổng quát lên ta có định nghĩa 
Định nghĩa: Ta nói dãy số dần tới vô cực nếu với mọi số dương M ( lớn tuỳ ý ) tồn tại một số tự nhiên N sao cho với 
kí hiệu: hay 
Chú ý: Dãy số không bị chặn nên không có giới hạn do đó không phải là giới hạn của dãy số nên không được áp dụng các định lí về giới hạn của dãy số 
Định lí: Nếu thì ngược lại nếu thì 
Ví dụ: 
Ví dụ: 
 vì tử dần tới 2 
mẫu số dần tới 
Hai biểu thức gọi là liên hợp của nhau nếu tích của chúng thành một hằng đẳng thức 
 III. Hướng dẫn học lở nhà 
 - Ôn lại khái niệm tính chất của giới hạn dãy số xem lại cách tính giới hạn của
 dãy số 
 - Giải các bài tập 5, 6, 7, 8 sgk trang 116